第十一讲 立体几何(一) 平行与垂直.

第十一讲立体几何（一）平行与垂直

【内容要点】

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.

直线与平面是立体几何的核心内容，主要包括：三条公理、三个推论、三线平行公理（公理4）、三垂线定理及其逆定理、三种位置关系（直线与直线、直线与平面、平面与平面）。其中“平行问题”与“垂直问题”是两类重要的证明问题。

【例题剖析】

例1. 如图，已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F，H．

(2)判断四边形EFGH是哪一类四边形；

(3)若AC=BD=a，求四边形EFGH的周长．

需经过分别与AB(或CD)共面的直线(例如AD)进行过渡，再利用平面几何知识达到论证的目标。

(2)在(1)的基础上，不难判断EFGH四边形的类型。

(3)利用(1)、(2)的结果再进一步进行探索。

解：(1)由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为

(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD．由于β∥γ，所以HG∥BD．同理EH∥AC．故EFGH为平行四边形。

评述此问题的最终解决都是利用平面几何的有关知识进行的，这里利用了辅助平面ABD和ADC是关键所在，本题也是利用线面、面面、线线平行的互相转化这一基本思想得到最后结果的．

例2. 正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN 求证：MN∥平面BEC

分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC中与MN平行的直线。

证明（一）：作NK∥AB交BE于K，作MH∥AB交BC于H

∴MH∥NK

∵ABCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形

∴它们是全等正方形

∵AM=FN ∴CM=BN

又∠HCM=∠KBN，∠HMC=∠KNB

∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK

∴MHKN是平行四边形∴MN∥HK

∵HK⊂平面BEC MN⊄平面BEC

∴MN∥平面BEC

证明（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行

过N作NP∥BE，连MP，∵NP∥AF

∴FN/FB=AP/AB

∵AM=FN，AC=BF

∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC

∴MP∥BC ∴平面MNP∥平面BCE

∴MN∥平面BCE

解题中经常需要作互相平行的直线，为了使作直线的位置符合要求，构造成平行四边形，利用平行四边形对边这一关系是作平行线的依据之一。

例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，MN是异面直线A1D与AC的公垂线段，求证：MN//BD1。

分析：由于MN⊥A1D且MN⊥AC联想到线面平行的性质定理，只需证明MN⊥平面α，且BD1⊥平面α，为此在图形中发现满足该要求的平面α，由直觉猜测平面ACB1，即是要找的α，再予以验证即可，这似乎容易证明。

证明：连结AB 1，CB 1

D D A B C D

1⊥平面， ∴DB D B ABCD 是在平面上的射影1

而平面，且，由三垂线定理，有AC ABCD AC DB ⊂⊥ D B AC D B B C 111⊥⊥，同理可证

∴⊥D B A C B

111平面（）

B C A D MN A D 111//，而⊥ ∴⊥MN B C 1 又 MN AC ⊥

∴⊥MN ACB 平面（）1

2 由（1）（2）及线面垂直的性质定理，知MN//BD 1。

［注］本题看似平行问题，但要利用线面垂直的判定，性质定理，说明了平行问题与垂直问题的紧密联系。

例4.如图，已知平面 α，β，γ，α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=m ，求证m ⊥γ．

分析：可用直接证法，即在γ内找出两条直线，使之都与m 垂直即可，由于已知α⊥γ，β⊥γ，这样的直线是可以找到的；也可用间接证法，即用反证法或同一法均可以得到证明，这是因为两个平面相交时，只有一条公共的直线．

作PA ⊥a 于A ，PB ⊥b 于B ，因为α⊥γ、β⊥γ，所以PA ⊥α，PB ⊥β，α∩β=m ，故PA ⊥m ，PB ⊥m ，因此m ⊥γ．

是m ，故m ⊥γ．

评述 ①证法一是通过m 垂直于γ内两相交直线来实施m ⊥γ的结论；而证法二是用同一法进行证明．本题也可用反证法进行证明．

②本题是很容易证明的正确命题，而不是定理，因此在做解答题时，不能作为论证的依据而使用．

例5. 已知：a ，b 是两条异面直线，a ⊥α，b ⊥β，α∩β=l ，AB 是a ，b 共垂线，交a 于A ，交b 于B

求证：AB ∥

l

证明（一）：（利用线面垂直的性质定理） 过A 作b1∥b ，则a ，b1可确定一平面γ ∵AB 是异面垂线的公垂线， 即AB ⊥a ，AB ⊥b ∴AB ⊥b 1 ∴AB ⊥γ

∵a ⊥α，b ⊥β，α∩β=l ∴l ⊥a ，l ⊥b ∴l ⊥b 1 ∴l ⊥r ∴AB ∥l

证明（二）：（利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行）。

A

B

b a

m n

l

α

β

γ

g

∵AB 是异面直线a ，b 的公垂线，过AB 与a 作平面γ，γ∩α=m ∵a ⊥α ∴a ⊥m 又a ⊥AB ，AB ⊂γ

∴m∥AB

又过AB作平面g，g∩β=n

同理：n∥AB

∴m∥n，于是有m∥β

又α∩β=l ∴m∥l

∴AB∥l

例6.如图，已知ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，M、N分别为AB和PC的中点。

(1)求证MN⊥CD；(2)若PA=AD，求证面MND⊥面PDC．

分析：(1)显然CD与MN是异面直线，证明其垂直的途径有二，其一是直接利用三垂线定理或其逆定理，其二是利用三垂线定理的证明方法，即通过线面垂直来证明线线垂直。

(2)证明面面垂直的基本方法就是证明一个面经过另一个面的一条垂线。由(1)已证明了MN⊥CD，只需再证明MN⊥PC即可。

(1)证法一：如图，连AC，过N作NO⊥AC于O，因为PA⊥面ABCD，故PA⊥AC。因而PA∥NO，所以NO⊥面ABCD。且由N为PC中点知O为AC中点，即矩形ABCD的中心，OM为MN在面ABCD内的射影。显然OM⊥AB，所以MN⊥AB(三垂线定理)，因为AB∥CD，所以MN⊥CD。

证法二：取DC的中点E。因为N是PC中点，所以NE∥PD。ME∥AD。因此ME⊥DC．又因为PA⊥面ABCD，AD⊥DC。故

PD

所以MN⊥DC．

(2)证法一：如图，连PM，MC．由PA=AD=BC，AM=MB，PA⊥AM，MB⊥BC，可知PM=MC．又由N为PC中点，知MN⊥PC．由(1)MN⊥DC，所以MN⊥面PDC．因而面MND⊥面PDC