2020年高考数学专题讲解：立体几何(一)

年级：辅导科目：数学课时数：课题立体几何（一）

教学目的

教学内容

一、知识网络

二、命题分析

立体几何在高考中考查的主要内容有：空间几何体的性质、线面关系的判定与证明、表面积与体积的运算、空间几何体的识图，空间中距离、角的计算等．

从近几年高考来看，一般以2～3个客观题来考查线面关系的判定、表面积与体积、空间中的距离与角、空间几何体的性质与识图等，以1个解答题来考查线面关系的证明以及距离、角的计算．在高考中属于中档题目．而三视图作为新课标的新增内容，在2011年高考中，有多套试卷在此知识点命题，主要考查三视图和直观图，特别是通过三视图来确定原图形的相关量．预计今后高考中，三视图的考查不只在选择题、填空题中出现，很有可能在解答题中与其他知识点结合在一起命题.

三、复习建议

在2012年高考复习中注意以下几个方面：

(1)从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变，除保留传统的“四选一”的选择题外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类题目往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合．

在2012年高考复习中注意以下几个方面：

(1)从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变，除保留传统的“四选一”的选择题外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类题目往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合．

(3)从方法上来看，着重考查公理化方法，如解答题注重理论推导和计算相结合，考查转化的思想方法，如要把立体

．

4．空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用画法，基本步骤是：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝ .

(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段，长度变为．

(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度．

5．中心投影与平行投影

(1)平行投影的投影线互相，而中心投影的投影线相交于一点．

(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在投影下画出来的图形．

（三）基础自测

1．(2010·北京理)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )

[答案] C

[解析] 本题考查了三视图知识，解题的关系是掌握三视图与直观图的知识，特别是应明确三视图是从几何体的哪个方向看到的．由三视图中正(主)视图、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.

2．(2010·福建理)如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确

．．．的是( ) A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台

[答案] D

[解析] ∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1

∴B1C1∥面EFGH，B1C1∥FG，

∴Ω是棱柱，故选D.

3．右图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为( )

A.1

2

B.

2

2

C．1 D. 2

[答案] B

[解析] 如图，在平面直观图中，B′C′＝1，∠B′C′D′＝45°，

∴B′D′＝

2 2 .

4．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是( )

A．六棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．五棱柱

[答案] A

[解析] 由俯视图可知，该物体的形状是六棱柱，故选A.

5．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体最多为________个．

[答案] 7

[解析] 由主视图和左视图知，该几何体由两层组成，底层最多有3×2＝6个，上层只有1个，故最多为7个．6．(2010·新课标理)正(主)视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)

[答案] 三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分)．

[解析] 本题考查空间几何体的三视图．本题属于开放性题目，答案不唯一．

正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形．

7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V ；

(2)求该几何体的侧面积S .

[分析] 由三视图的形状大小，还原成几何体；再利用体积公式和表面积公式求解．

[解析] (1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥．

且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO ＝4，O 点是AC 与BD 的交点．

∴该几何体的体积V ＝13

×8×6×4＝64. (2)如图所示，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，侧面VAB 中，VE ＝VO 2＋OE 2＝42＋32

＝5，

∴S △VAB ＝12×AB ×VE ＝12

×8×5＝20， 侧面VBC 中，VF ＝VO 2＋OF 2＝42＋42＝42，

∴S △VBC ＝12×BC ×VF ＝12

×6×42＝12 2. ∴该几何体的侧面积S ＝2(S △VAB ＋S △VBC )＝40＋24 2.

[点评] 由三视图还原成几何体，需要对常见的柱、锥、台、球的三视图非常熟悉，有时还可根据三视图的情况，还原成由常见几何体组合而成的组合体．

（四）典型例题

1.命题方向：空间几何体的结构特征

[例1] 下列命题中，成立的是( )

A ．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥

B ．四面体一定是三棱锥

C ．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥

D ．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥

[分析] 结合棱锥、正棱锥的概念逐一进行考查．

[解析] A 是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；

B 是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；

对于C ，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥；

D 也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥．