第10章 第3节 矩阵对策的解法

(10 25 )
a11 a12 (a11 a 22 ) (a12 a 21 ) a 22 a12 (a11 a 22 ) (a12 a 21 ) a11 a 21 (a11 a 22 ) (a12 a 21)
(10 26 ) (10 27 ) (10 28 ) (10 29 )


(10 49 )


(10 52 )
11
例18 利用线性规划方法求解赢得矩阵为A的矩 阵对策。
7 2 9 A 2 9 0 9 0 11
12
S1 1 , 2 ,
S 2 1 , 2 , 3
4
例14 用图解法求解矩阵对策G={S1，S2；A}， 其中 S1 1 , 2 , 3, S 2 1 , 2
2 7 A 6 6 11 2
例15 求解赢得矩阵A的矩阵对策。
(10 40)
就是对策的值VG 。
定理11 设矩阵对策G={S1，S2；A}的值为VG ， 则
VG max min E ( x, j ) min* max E (i, y ) *
xS1 1 j n yS 2 1i m
(10 41)
10
min z xi' i ' （P） a x j 1,, n ij i 1, i x ' 0, i 1,, m i max w y 'j j ( D) aij y 'j 1, i 1,, m j y ' 0, j 1,, n j

j 1, , n (10 38 ) i 1, , m i 1, , m (10 39 ) j 1, , n

9
其中
v max min E ( x, y ) min max E ( x, y ) * * * *
xS1 yS2 yS2 xS1
4 A 1
8/3 5
4 5
2 7
5
3. 线性方程组方法 例 16 求解矩阵对策——“齐王赛马” 解：已知齐王的赢得矩阵为
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 A 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3
3
a11a 22 a12 a 21 VG (a11 a 22 ) (a12 a 21 )
Fra Baidu bibliotek
例12 求解矩阵对策G={S1，S2；A}，其中
1 3 A 4 2
2. 2 n 或 m 2 对策的图解法 例13 考虑矩阵对策G={S1，S2；A}，其中
2 3 11 A 7 5 2
6
例17 某厂用三种不同的设备 1 , 2 , 3 加工三种不 同的产品 1 , 2 , 3 ，已知三种设备分别加工三种产 品时，单位时间内创造的价值由表10-3给出。
表10-3
使用设备 被加工产品
1 1
2 3
3 -1 2
2
-2 4 2
3
4 2 6
7
3.2 线性规划方法
(10 23)
(10 24 )
2
当矩阵A不存在鞍点时，可以证明上面等式组(I)和 * * * * (II) 一定有严格非负解 x* ( x1 , y2 ) ， , x2 ) 和 y* ( y1 其中 a 22 a 21 *
x1
* x2 * y1 * y2
(a11 a 22 ) (a12 a 21 )
由定理5已知，任一矩阵对策G={S1，S2；A}的求 解均等价于一对互为对偶的线性规划问题，而定理4 * 表明，对策G的解 x *和 y 等价于下面两个不等式 组的解。
8
aij xi v, i （I） xi 1 i xi 0, aij y j v, j (II) yj 1 j y j 0,
第3节 矩阵对策的解法
3.1 公式法、图解法和方程组法
2 2 对策的公式法 所谓 2 2 对策是指局中人I的赢得矩阵为 2 2阶， 即
1.
a11 a12 A a21 a22
由定理6可知，为求最优混合策略可求下列等式组：
1
a11x1 a21 x2 v （I） a12 x1 a22 x2 v x x 1 1 2 a11 y1 a12 y 2 v (II)a21 y1 a22 y 2 v y1 y 2 1