菱形的性质

有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）
解:∵花坛ABCD是菱形 1 ∴AC⊥BD, ∠ABO= ∠ABC=300 1 2 1 在Rt△OAB中 ,AO= AB= ×20=10(m), 2 2
10
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是， 那么它有几条对称轴？对称轴之间有 什么位置关系？
A
菱形是轴对称图形
B
1 3
4 2
D
提示:从对称性、边、 角、对角线、 面积等方面来探讨
11
(2)从图中你能得到哪些结论?并说 明理由.
C
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形 的所有性质. 对称轴有两条,对角线所
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变 边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等 菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平 行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
．
3
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑
D
O E
C
S菱形=BC. AE
么
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
1 S菱形 ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD 2 面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
?
1个定义 2个公式
：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
菱形是轴对称图形, 在的直线.
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等， 故：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A D
B
C
12
菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一组对角。 D 已知:四边形ABCD是菱形 O A C 求证: ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA B ∵四边形ABCD是菱形 AC⊥BD
角
∠ADC=∠ABC ∠DCA=∠BCA AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
=
菱形的两条对角线互相垂直平， 每一条对角线平分一组对角。
15
【菱形的面积公式】
A
菱形
B
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
解： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD 1 1 ∴ AO= AC= ×8=4cm， O 2 2 A C 1 1 BO= BD= ×6=3cm， 2 2 B 1 ∴△AOB的面积= ×AO ×BO 21 = ×4×3=6 2 思考： ∴菱形ABCD的面积=4 ×6=24 D
若对角线AC的长度为m,BD的长度为n，则菱 23 形ABCD的面积是多少？
课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识 吗？
矩形
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形
菱形
你想知道什么样的四边形就是菱形吗？
24
四边形集合
平行四边形集合 菱形集合
矩形集合
25
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
1 ∠DAB= 2 1 ∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD= ∠ADC= 2
1 ∠DCB 2 1 ∠ABC 2
14
D
边
菱形的两组对边平行且相等
A B
O
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
数学语言
∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC;OB=OD180° AD ∥BC ∴ ∴ ∠DAC=∠BAC ∴∠DAB+∠ABC= AB=BC=CD=DA ∴ ∴ ∠DAB=∠DCB =
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
17
相等的线段：
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
B
5 6
A
1 2
7
D
8
O
3 4
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
C
B
D F
A.75°B.60°C.45°D.30°
E C
20
5 . 四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O
2
C
∴AC⊥BD
2 2 2 2
5
3
∴ OB AB OA 5 4 9B ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
BO=
A B
O
AB2 AO2 =
202 102 ≈17.32(m).
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20(m), BD=2BO ≈34.64(m). 花坛的面积
D
C
22
S菱形ABCD=4× S △OAB=AC×BD
≈346.40(m2).
例2在菱形ABCD中，对角线AC=8cm,BD=6cm， 问菱形ABCD的面积是多少？
请观察和猜想所得四边形有何特征？
A O B C
菱形的对角线互相垂直,
并且每一条对角线平分一组对角.
30
D
请证明这个 命题!
4
让我们一同走进生活中的菱形
菱形就在我们身边
5
菱形就在我们身边
6
三菱越野汽车欣赏
7
8
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
9
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
19.2.2 特殊的平行四边形（第2课时）
第2课时
情 前面我们学习了平行四边形和矩形，知 道了如果平行四边形有一个角是直角时,成 景为什么图形? (矩形,由角变化得到) 创 如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫 设 什么呢? (菱形)
矩形
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
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如图，我家正在装修房门，想在菱形ABCD处安装一 块玻璃，已知每平方分米的玻璃价格为1元，请问需 要得到哪些数据,便可知道要花多少钱？
∵四边形ABCD是菱形 证明： ∴AB=BC=CD=DA ∴AB=AD,OD=OB
又∵ AO = AO ∴ △AOD ≌ △AOB 又∵ AC = AC ∴ ∠DOA=∠BOA ∴ △ADC ≌ △ABC 又∵ ∠DOA+∠BOA= 180° ∴ ∠DOA=∠BOA= 90° ∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA ∴ AC⊥BD
A B O D C
①
19
A
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， B 60度 则∠BAC＝_______.
D O C
D
3. 菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm， 3 A 4 O 则菱形的边长是（ C ） A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm 4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，A E、F分别为BC，CD的中点，那么 ∠EAF的度数是（ ）B B
八年级 数学
学一学
第十九章 四边形 第十九章 四 边 形四边 四边形 第十九章 第十九章 第十 九形 章 四边形
D A B O C
几何语言
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB∥CD， AB=BC=CD=DA， OA=OC，OB=OD， AC⊥BD， ∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=
5、已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm， 求菱形的高。 28
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60 度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动 点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正 三角形。
D
E A
F
C
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菱形是轴对称图形
画出等腰△ABC关于底边AC对称的图形
A E
3 12
F D C
26
B
3、已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且 DE⊥AB，AB＝a． 求：⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长 ⑶菱形ABCD的面积
27
4、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交D于O，且 ∠DAE=2∠BAE， 求证：EB=OA；
A O D
B
E
C