积的算术平方根

b3 a
a3 b
=ab
2
xy g
1 x
=2
y
1. 法则：一般地，有 ag b ab a 0,b 0 . 这就是
说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平 方根． 2. 要点精析：(1)法则中被开方数a、b既可以是数，也可以是代 数式，但都必须是非负数； (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的 法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为根号外因数(式) ，被开方数之积作为被开方数； (3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式； (4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．
(1). 8; (2). 18; (3). a3
1
1 27
＝
___3_____
2 等式 x 1g x 1 x2 1
成立的条件
是( )
A．x≥1
B．－1≤x≤1
C．x≤－1
D．x≤－1或x≥1
计算
(1). 7 6
(2). 1 32 2
(3). 2 3 2
解：（1） 7 6 6 7 42
ab a • b;(a 0,b0)
积的算术平方根法则：
积的算术平方根，等于各因式算 术平方根的积。
(1). 12 (2). 4a3 (3). a4b
例3：化简
(1) 49 121 77 (2) 4 y 2 y (3) 16ab2c3 4bc ac (4) (36) 16 (9) 72 (5) 52 122 13
导引：(1)(2)两题直接利用公式 ag b ab a 0,b 0
计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二
次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相乘，
同时注意确定积的符号．
解： (1) 28 7 287 196= 142 14.
(2) 1 256 1 256 64 8.
(1) 0.4 3.6;
(2) 3 20 ( 15) ( 1 48).
2
3
a2 a(a 0) 反过来就是 a a2 (a 0)
把下列各式中根号外的正因式移进根号内
(1) 3 2
(3) x 1 x
(2) 4 a
(4) x 1 x
根号外的负因式不能移进根号内,在移进根 号内之前一定要先判断是否为非负因式.
A.4 5 2 5 8 5 B.5 3 4 2 20 5 C.4 3 3 2 7 5 D.5 3 4 2 20 5
例4 化简： (1) 8 15 20; (2) 5 8 1 1 3 54; 27 4
(3) 5ab b a 0, b 0 .
125a 导引：二次根式乘法运算化简的目的：转化为没有二
次根式的乘法运算，且将二次根式被开方数中 能开得尽方的因数(式)从根号中开出来．
解： (1)方法一： 8 15 20 815 20
25 52 3 (22 5)2 6
20 6.
方法二： 8 15 20 4 2 3 5 4 5
4 4 5 5 2 3
2
2
4 5 23
4
4
(3)
ห้องสมุดไป่ตู้
4
xy g
1 4
1 xyg
4
x.
y
y
(4) 6 27 (2 3) 6 (2) 27 3
12 81 12 9 108.
总结
(1) 两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方 的一定要开方；
(2) 当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式 相乘的法则进行运算，如 ag bgc d ac bd （b ≥ 0 ,d ≥ 0）即将根号外的因数(式)a、c相乘， 被开方数b、d相 乘．
3. 拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不 变，即：
(2)几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．
ag bg c abc a 0,b 0,c 0;
注意：在上式中，a、 b都表示非负数.在本 章中，如果没有特别 说明，字母都表示正 数.
2.下列各等式成立的是 D .
(6) 8x2 16x4 (x 0) 2x 2 4x2
1.要点精讲： （1）积的算术平方根的性质是对两个以上的 积的算术平方 根同样适用；
（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件是乘积中的每 个因数(式)必须是非负数；应用此性质的作用是化简 二次根式；
（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数(式)分解， 然后将能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外．
(2). 1 32 1 32 16 4
2
2
(3). 2 3 2 1 3 2 2
3 2 2 3 2 6
（1） 3 6 =3 2 （2）3 2 5 8 =60
（3）5 x • 3 x3 =15x2
（4） 2 4 8 =8
3x 15x =3 5x
a 3ab =a 3b
被开方数的积的算术平方根.
例1 计算： (1) 7 6;
(2) 1 32. 2
解： (1) 7 6 7 6 42.
(2) 1 32 1 32 16=4.
2
2
例2 计算： (1) 28 7; (3) 4 xy g 1 ; y
(2) 1 256. 4
(4) 6 27 (2 3).
45 6.
(2) 5 8 1 1 3 54 15 8 5 54
27 4
27 4
15 20 15 22 5 30 5.
(3) 5ab b 5ab b
125a
125a
2
bb .
25 5
总结
1 下列计算正确的是( )
A. (16)g(9) 16g 9 B. 25a4b2 5a2b C. 82 52 8 5 D. 252 242 7 2 计算：
=
4 25 = 16 9 = = 100 0.01
参考上面的结果，用＜、﹥ ﹦填空
4 9
49
4 25
4 25
16 9
16 9
100 0.01 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b(a 0,b 0)
二次根式乘法法则: 两个算术平方根的积，等于它们
课堂小结
1. 运用二次根式的乘法法则时注意被开方数都必须是非负 数，否则公式不成立．
2. 运用积的算术平方根公式时必须将被开方数(式)进行因数( 式)分解，再进 行计算，将开得尽方的因数(式)移到根号外 ．化简时注意 题目中隐含的条件．
3．把根号外的因式移到根号内的方法：先要根据题意确定根 号外因式的符号，当根号外因式的符号为正时，直接平方 后移到根号内，当根号外因式的符号为负时，只能将正因 式平方后移到根号内，负号留在根号外．
1.计 算：(1)( 7 )2 ;(2)( 5)2 ;
(3) 121 ;(4) (3)2 . 2.当x 3时,化简: ( x 3)2 ; 3.当x 时, 1 x有意义; 4.当x 时, 2 有意义.
3 x
计算下列各题，观察 计算结果：
4 9
=
49 =
4 25
=
16 9
=
100 0.01