梁的弹塑性弯曲
第四章 结构弹塑性分析
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
同济大学水利工程系
影响梁变形的因素公式
影响梁变形的因素公式
在结构设计中，梁主要承受垂直于其轴线的荷载作用，柱主要承受平行于其轴线的荷载所用。
柱主要是轴向拉伸变形或压缩变形。
假设材料是线弹性，服从胡克定律。
若应力超出弹性范围，材料中就会出现塑性变形。
在这种情况下，平截面假设仍然有效，但应力与应变关系不再是线性，且在加载和卸载过程中遵循不同的规律。
在考虑塑性变形的基础上研究梁的弹塑性弯曲问题，会得出一些不同的结果。
影响梁变形的主要因素有：
1、构件的材料性能：与材柚弹性模量E成反比；
2、构件的跨度：与跨度L的n次方成正比，此因素影响最大；
3、构件的截面尺寸：与截面的惯性矩I成反比。
根据梁挠度变形公式，f=5qLLLL除以(384EJ)，构件的变形与构件跨度L的n次方成正比。
因此，梁的跨度因素影响最大。
梁的变形公式跨度越大，影响越大，截面的惯性矩越大，影响越小，外荷载越大，影响越大。
例如：两个矩形截面梁a和b除了截面不同，其他条件相同。
a的截面宽和高分别为：2和2，面积为4，惯性矩=2×2×2×2/12=16/12；
b的截面宽和高分别为：5和1，面积为5，惯性矩=5×1×1×1/12=5/12；
所以，a的截面积比b的截面积小，可是a的惯性矩比b的惯性矩大，所以根据梁变形公式，a的变形比b的变形小。
基于应变的纯弯曲梁弹塑性分析
通 过上 面 的分 析计 算 ， 以下几 点 结论 ： １ 有 （） 在平 截面假 定下 ， 对形 心 轴 和 中性 轴 相重 合 的 截 面 ， 于应 变 的纯 弯 曲梁 弹 塑性 分 析利 用 截面 上 基 应变 分布 为直线 ， 当已知截 面最外层 纤维应 变 ， 可 方便 地等 比例 推 得 截 面 其 它 点 的应 变 。 ２ （ ）用 截
参 考 文 献
一Leabharlann 一２ｏ ｏ ｇ ｏ ｏ×３ ６ ． ５ ６ ０ ４ ０ ９
７ ６Ｏｌ ９ ＯＮ ・ｍ ６ ４０
—
一
一
一
—
７ ． ６６ ＯＫ Ｎ ・
由上面 的计 算 分 析 可 看 出梁 的抵 抗 弯 矩 为 ｌ ７ ｌ．
２ ＫＮ ・ ， 由于 塑 性 应 变 损 失 的 抵 抗 弯 矩 为 而
Ａ 一 ６ ， ＝ １ ． × ２ ０ ＝ ５ ｍｍ 。 ＾ ＝ ２ ５ ＝ ０ ＝ ＝２ ００
那 么截 面抵抗 弯矩 为
Ｍ 一 －— — Ａ， ， ， ｈ
ｏ ２ｏ ４ ６０ ８０ ０ ｏ ００ ０ ０ ｌ ００ｌ ０ ４０ ６０ ００ ００ ０ｌ ０１ ０ｌ ２ ８ ２０
第 ２ 卷 第 ５期 １ ２０ ０ ８年 ｌ ０月
高等 函授学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｅ ｃ ｄ ｃ ｔｏ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎｄ ｎ ｅ Ｅ ｕ ａ ｉｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ
１ ７ ０ ０× （． ０ ｉ 。 ｌ ５ ５× ０［ ０ ０ Ｏ０ ｌ ） ＋ １．
第十七章-弹塑性分析详解
b
s
max s
理想弹塑性模型
P
h
开始屈服
max
M W
M bh2
6
(+) Pl 4
b
s
max s
理想弹塑性模型
M e sW
P
h
(+) Pl 4
b
进入屈服
s
max
M W
M bh2
2e
6
max s s
理想弹塑性模型
M
2( h 2
e)b s
•
1 (h 22
e)
W'
sz
(h2 4
e2 )b s
2 3
b
s
e2
P
h
整截面屈服
(+) Pl 4
M e=0
h2 (
4 Mu
e2 )b s
h2 4
b
s
2 3
b
se2
b
s
s
理想弹塑性模型
Mu 6 1.5 Me 4
P
塑性铰 的形成
塑性铰（plastic hinge)的力学模型
Mu
Mu
与普通铰相比，塑性铰
是个概念或力学模型
s，进入屈服阶段，接着还有强化阶段，最后进入局部变
形阶段，然后破坏。
认为屈服就破坏，这是弹性设计的概念。按照 弹性设计的构件工作时只允许发生弹性变形。 安全性与经济性的平衡：工程师必须考虑的问题 弹塑性设计：充分利用材料的塑性变形，化有害 为有利。
塑性材料应力应变关系
column beam
joint
N2
P cos2 1 2 cos3
P
N3 1 2 cos3
第九章 塑性力学简单实例
• 圆杆的位移,应变和应力 采用圆柱坐标,位移分量 a 为: ur 0 zra z u zr r uz 0 o x 其中 为单位长度扭角. 应变 z r , 其它为零. 应力除 z (它的大小与 z 有关,是 r 的 函数)不等于零外, 其它为零. 注意: 这个问题满足简单加载条件. 另外, 应力满足平衡条件, 也满足圆杆侧 面的边界条件. 根据Saint-Venant原理杆 两端的边界条件可以只在合力方面得到 满足.
5) 残余应力 在 T 作用下, 按弹性计算得 到 2Tr z R4
3)弹性极限扭角( rs R
e
s
):
RG 3
弹性极限扭矩为
Te
由卸载前的应力减去上 式的剪应力得到残余应 力.见前页图.
R 3 s
2 3
4-5 非圆截面杆的塑性极限扭矩 在圆杆的弹塑性扭转中, 截面上的最大剪应力产生在距圆心最远 处的外边界上, 且在扭转过程中截面无翘曲. 对于非圆截面杆件, 前述两个结论不适用. 此时杆件截面将发生翘曲, 及扭转中横截 面不再保持平面, 但刚性转动的假定仍然成立, 而因此得到的最 大剪应力产生在距形心最近处. 先讨论非圆截面杆的弹性扭转. y zr 1.弹性分析
b y
M
M
x o
h/2
z h/2
y
y
• 基本关系式 按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不 可压缩,即 1/ 2 ,它们的应力和应变表示为
截面上的应力分布情况( 距离):
是梁的中性面到弹塑性分界面的
梁截面上要 满足的条件
1. 对于理想弹塑性材料
• 截面上的弯矩是
是弹性区对中性轴的惯性矩,
弹塑性力学第五章分析解析
平衡方程
1
几何方程
2 1 3
2018/7/31
变形协调方程
22
第五章 简单弹塑性力学问题
二、考虑加载路径对桁架变形的影响——比例加载
P 3 2 1 A 2 2 P 2 2 A 2 2 P 1 2 3 A 2 2
塑性极限荷载
得
由于此时三根杆都已屈服，变形已不再受到任何约束，桁架进入 无限制塑性变形阶段 ，结构丧失进一步承载的能力，所以，又表示桁 架的 极限承载能力 。从上式可以发现， Ps 与材料的弹性模量无关。这 表明，如果采用理想刚塑性模型，则求出的 Ps 仍是一样的。这就为结 构的极限分析带来了极大的方便。
2018/7/31 5
第五章 简单弹塑性力学问题
【解】1、弹性阶段－弹性解和弹性极限荷载（ 0＜P≤ Pe ）
N1 N3
N1 cos N 2 N3 cos P
平衡关系
N3 N1 N2 1 , 2 , 3 A A A
1 3 2 1 cos 2 P / A
第五章 简单弹塑性力学问题
福州大学土木工程学院 卓卫东 教授
第五章 简单弹塑性力学问题
引
言
简单桁架问题 梁的弹塑性弯曲问题 平面问题
2018/7/31
2
第五章 简单弹塑性力学问题
引 言
从本章开始，我们将应用前几章的基础理论和一般性原 理，解决工程实践中遇到的弹塑性力学问题。已经知道，经 过抽象化处理后，一个实际的弹塑性力学问题在数学上总是 归结为一个偏微分方程组的边值问题。因此，需要在严格的 边界条件下求解复杂的偏微分方程组。由于往往难以克服数 学上的困难，所以在一般情况下，很难求得问题的解析解或 精确解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。 本章将通过几个简单的问题，说明弹塑性力学问题的理 论求解方法。
弹塑性力学之结构的塑性极限分析
塑性极限载荷
4"6
确定塑性区位置
截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构
・特点:
-塑性较的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩; 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。
<]
ax(x9z\ay=az= rxy=ryz= rzx=0
♦:・小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
二.弹性阶段
—
P1
6M
♦ Mises屈服条件:
xmax
bh2
弹性极限弯矩
二
2bh2
弹性极限载荷
三.弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
>Mp塑性区扩展
第十章结构的塑性极限分析
矗塑性极限分析定理和方法
❖梁的极限分析❖圆板的极限分析
❖梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 載荷
§10-1梁的弹塑性弯曲
1.基本假定
•:•平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
z5=— P
・纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
heh/2
陆=2町(yxzdz+ 2町aszdz
0he
陆
0叽he
“Me
Ms=—-
s2
h2
弹塑性区交界线:
h/2
(Jszdz
陆=
£
弹塑性区交界线：饥=±丄3
h~2\
<]
►P(lΒιβλιοθήκη 2x)2ALPl/4
四.全塑性阶段
X—6
x = 0
塑性极限弯矩
n
A
浅析混凝土梁弹塑性阶段弯曲性能
浅析混凝土梁弹塑性阶段弯曲性能摘要：本文主要针对混凝土结构梁进行制作及试验模拟，通过对混凝土结构梁进行弯曲试验，检验梁的弯曲性能。
通过试验数据及混凝土梁的变形产生的裂缝，分析其弹塑性阶段变化，同时对混凝土梁各类裂缝进行分析控制，以便更好地运用到实际工程。
关键词：混凝土梁；试验；裂缝；弯曲性能；弹塑性阶段1 研究背景随着我国城市化迅猛发展，建筑业成为我国各行业的领跑者。
其中，混凝土结构建筑在我国乃至世界范围内都广泛使用，研究混凝土结构性能对于混凝土结构设计及现场施工愈发重要，本文主要针对混凝土结构梁的试验、受力性能分析及应用展开分析。
2 试验概况2.1 材料及力学性能本次试验地点位于某项目实验室。
试验设计混凝土梁为1200mm（长）×200mm（高）×100mm（宽）。
试验梁配合比为水泥：砂：水：纤维=0.43：0.2：0.35：0.02（体积比）。
所用原材料为刚拆封水泥（理论质量37.15kg，实际质量37.2kg），细沙（理论质量17.388kg，实际质量16.5kg），自来水（理论质量12.24kg，实际质量12.225kg）和纤维（理论质量0.9kg，实际质量0.9kg）。
理论质量与实际质量略有偏差，但误差在5%以内，可忽略不计。
混凝土强度取于试验梁同条件制作并养护的标准立方体试块的抗压强度。
2.2 试件制作本试件采用纤维（PVA）的素混凝土梁，总体积0.024立方米，各参数如表所示。
2.3 梁的制作步骤（1）在试模内表面涂一薄层矿物油或其他不与混凝土反应的脱模剂，并且在试模底部放置一纸片。
（2）在实验室搅拌混凝土时，其量应以质量计量单位，水泥渗透料，水泥和外加剂为±0.5%，骨料为±1%。
（3）取样，将试验搅拌的混凝土尽快一次装入试模，在装料时，沿着试模四周插捣。
（4）插捣混凝土拌合物应分两层装入模内，每层的装料厚度大致相等。
插捣应按螺旋方向从边缘向中心均匀进行。
基于Matlab的弹塑性梁平面弯曲的教学探讨
基于Matlab的弹塑性梁平面弯曲的教学探讨
王晔;杨姝
【期刊名称】《中国现代教育装备》
【年(卷),期】2009(000)013
【摘要】梁的弹塑性平面弯曲分析包括了塑性力学解题的全部过程.本文以矩形截面简支梁受集中载荷和均布载荷作用发生平面弯曲为例,利用MATLAB强大的做图功能绘制出了梁的弹塑性区的分界线,直观地给出了梁的弹塑性变化的全过程,使学生能更好地理解塑性力学的概念.对塑性力学教学方法和手段进行了探讨.
【总页数】3页(P74-76)
【作者】王晔;杨姝
【作者单位】内蒙古工业大学,内蒙古呼和浩特,010051;内蒙古工业大学,内蒙古呼和浩特,010051
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于MATLAB的静定梁平面弯曲内力教学研究与实践 [J], 王晔;杨姝
2.后张法预应力梁横向整体偏差对梁体平面弯曲的影响 [J], 高占武;郭常春
3.基于弹塑性弯曲理论的圆截面梁弯曲回弹分析 [J], 张锐;舒豪
4.基于Matlab的弹塑性梁平面弯曲的教学探讨 [J], 王晔;杨姝
5.基于平面波展开法的声学黑洞梁弯曲波带隙研究 [J], 李敬;朱翔;李天匀;万志威因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
塑性力学 第五章 梁的弹塑性弯曲
M
S
yS
I e 2 S S P
yS
式中
I e 2 y 2 b y dy ，是截面弹性区对中性轴的惯性矩
0
SP
yS
y b y dy
2
h 2
是截面 y y s ~
轴的静矩。
h 一块塑性区对中性 2
如梁的横截面是高为h 、宽为b
b h2 2 SP yS 2 4
第五章
§5-1 §5-2
梁的弹塑性弯曲
弹塑性力学中的边值问题 梁的弯曲
1
§5-1
弹塑性力学中的边值问题
由于塑性本构关系有全量和增量两种理论，需要给出对 这两种理论的边值问题的提法及解法 全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线 为双曲线。 设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为 qe，则 qe 即为
11
在弯矩最大的截面 ( 的值，它可由上式得： bh2 S
qe 3l 2
x0
处 )刚开始进入塑性即 yS h / 2 时
五、极限荷载 q P 当 x 0 处的整个截面进入塑性状态，梁成为一个机构， 进入自由塑性变形阶段，将发生“无限制”的塑性流动。这 q 称为极限荷载，用表示 qP 时的 。 qP bh2 S 1.5 。 qP 且 qe 2l 2 在极限设计的理论中，要求出使结构丧失承载能力时的 荷载，在目前的情形就是极限荷载 q P。在许用应力的设计中， 只要梁中任一处达到塑性状态，梁就不许可承受更多的荷载，
05003塑性弯矩
弹塑性和塑性工作阶段(1)塑性极限弯矩、塑性铰与截面形状系数截面边缘部分进入有限状态后，当弯矩继续增加，弹性核心部分减小。
当整个截面都进入塑性状态时，得塑性极限弯矩为：M p= W pn f y式中W pn——净截面塑性抵抗矩这时梁截面已不能负担更大的弯矩，而变形则将继续增加，梁左右部分在弯径方向产生相对转动，这种现象称为形成塑性铰。
图1 梁截面的塑性抵抗矩W pn =S n1+S n2=2S n式中S n1、S n2分别为上、下半净截面对塑性中和轴(面积一部分轴)的面积矩；S n2为上或下半净截面(A n/2)对形心轴的面积矩(图1)。
对矩形截面，W= I/(h/2)=bh2/6，W pn=2S=2(bh/2)h/4=bh2/4，W pn =1.5 W n。
对工形截面或格构式截面，边缘纤维屈服时，全部截面的应力基本上都已接近f y，故W pn≈W n，计算可得W pn =(1.1～1.2) W n，翼缘愈大时取偏低值。
W pn / W n (或W pn/ W)称为截面形状系数。
(2)截面塑性发展系数钢梁设计中只考虑截面内部分发展塑性，否则①梁的挠度将过大；② 钢梁腹板较薄，会有一定剪应力，有时还有局部压应力，故应限制塑性弯曲应力的范围以免综合考虑的折算应力太大；③ 过分发展塑性变形对钢梁的整体稳定和板件的局部稳定不利。
因此设计时不采用塑性W pn ，而代以稍偏小的γW ，γ为截面塑性发展系数，取1<γ< W pn / W n 。
经归并简化后，GBJ17-88规定，设计时采用的γ值见表1。
表1 截面塑性发展系数γx 、γy 值表中γ原则上归为四类：(a)γ=1.2——适用于所考虑边缘纤维处没有加宽翼缘的截面(如矩形截面、工字形截面绕弱轴弯曲等)，这些截面有较大的塑性发展潜力。
(b)γ=1.05——适用于所考虑边缘纤维为加宽翼缘的截面(如矩形截面、工字形截面，这些截面发展塑性变形增大抵抗弯矩的潜力较小。
弹性力学10塑性极限分析
Pl
Mp l
ql 2 Mmax 2 M P
ql
2M p l2
❖ 例：确定下列静定梁的极限载荷。
（3） A
q
l/2 B l/2 C
ql2/2
ql2/8
AB：3Mp BC：Mp
解：
AB与BC段截面不同，塑性 铰可能出现在AB段也可能出 现在BC段。
作弯矩图。
塑性铰出现在AB段时：
M max
ql 2 2
证明： k l
设机动允许的位移（速度）场 u * i
q ij*
破坏载荷： k Pi 应力场： s * ij
❖ 虚功率原理：
k Piui*dS
s
*
ij
i*j
dV
ST
V
s*
s s ij
*
ij
ij
s ij
l Piui*dS s iji*jdV
ST
V
k l
Piui*dS
s* ij
3MP
塑性铰出现在BC段时：
MB
ql 2 8
MP
ql
6M p l2
ql
6M p l2
ql
8M l2
p
二．超静定梁的极限分析
❖ 超静定结构的基本特点： （1）有多余联系，内力仅由静力平衡方程不能完全确定，内力与结 构的变形有关，所以内力与梁的刚度有关。
（2）在超静定梁中，当梁内截面屈服，即出现塑性铰时，由于梁的 刚度发生变化，内力会重新分布，所以梁达到塑性极限状态时塑性 铰的位置无法预先知道，应按照逐渐加大载荷的方法逐步确定，但 计算不便。
ST
V
q ij
s ij
s0 ij
s ij
梁的弹塑性弯曲课件
将环保、可持续发展理 念融入弹塑性弯曲优化 设计，推动绿色工程的 发展。
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弹性模量01Fra bibliotek材料的弹性模量越大，梁的抗弯刚度越大，弹塑性弯曲程度越
小。
屈服强度
02
材料的屈服强度越高，梁的塑性变形能力越小，弹塑性弯曲程
度越小。
应变硬化指数
03
材料的应变硬化指数越大，梁在弹塑性弯曲过程中的承载能力
越强。
截面形状对弹塑性弯曲影响
截面面积
截面面积越大，梁的抗弯截面系数越大，弹塑性弯曲程度越小。
变形与应力分布
分析模拟结果，得到梁的变形和应力分布情况， 评估梁的承载能力和安全性。
塑性铰形成与发展
观察塑性铰的形成和发展过程，研究塑性铰对梁 弹塑性弯曲性能的影响。
参数敏感性分析
针对不同参数进行敏感性分析，探讨各参数对梁 弹塑性弯曲性能的影响规律。
05
梁的弹塑性弯曲影响因素 研究
材料性能对弹塑性弯曲影响
02
梁的弹塑性弯曲理论分析
弹性力学基础
01
02
03
应力与应变
掌握应力、应变的概念及 其在张量表示下的物理意 义，理解弹性体受力与变 形之间的关系。
弹性本构关系
熟悉广义胡克定律及其在 不同材料中的应用，了解 弹性常数之间的换算关系 。
弹性力学基本方程
掌握平衡方程、几何方程 和物理方程的推导及其意 义，理解边界条件的提法 和应用。
截面惯性矩
截面惯性矩越大，梁的抗弯刚度越大，弹塑性弯曲程度越小。
截面形状系数
截面形状系数越大，梁在弹塑性弯曲过程中的应力分布越均匀， 承载能力越强。
加载条件对弹塑性弯曲影响
考虑材料不同拉压强度纯弯曲箱梁弹塑性分析
一 号（
十
（ ４ ）
＊： 长沙理工大学重点实验室开放基金资助项 目（ 目 项 编号 ：ｆ８１８ ； ｋ ０００ ）湖南省教育厅科 学研究 （ ｊ 一般 ） 目（ 目编号 项 项
斌 （９ １ ）男 ， １８ 一 ， 长沙理工 大学土建 学院博 士研究 生 ， 讲师 ， 理工 学院土建学院 ， 湖南 湖南 岳 阳 ４ ４ ０ １０ ０
关 键 词 ： 壁 箱 梁 ， 塑性 分 析 ， 服 极 限 ， 数 分 析 薄 弹 屈 参 中 图 分 类 号 ： Ｕ３ ３ Ｔ １ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
梁纯弯 曲是研 究梁 、 和壳弯 曲与屈 曲的基 础 ， 板 以往 的研 究 大多集 中在矩 形截 面梁 的弯 曲 问题 上 ｌ５。现代 斜拉 桥 的兴 起 ， １ － Ｊ
考 虑 材 料 不 同 拉 压 强 度 纯 弯 曲箱 梁 弹 塑 性 分 析 ＊
李 斌
摘
韦成龙 卢 卫
要 ： 桥梁工程 中常用 的薄壁箱梁及其他截面 梁纯 弯 曲进行弹塑性分析 ， 出了考虑材料拉压 屈服 强度 不 同时的塑 对 给
性极 限弯矩计算公 式， 计算结果表 明所推公 式具有广 泛适用性 ， 方便 了薄壁主梁结构 弹塑性分析 － ９计算应用。
压屈服极 限。 令：
ｙ＝ ／ ≤ １ 。
ＪＡ
图 １ 单箱双室箱梁截 面几何参数
Ｉ ｄ ＝０ Ａ ａ
（） ３
整理可得 ：
１ １ 弹性状 态 ．
收稿 日期 ： １—４０ ２ ００— ０ ６
作者简 介： 李 卢
ｅ ＝
０ Ｃ ９ ）湖 南 理 工 学 院科 研 项 目（ 目编 号 ：０ ８ ４ ８ ３ １； 项 ２ ０ Ｙ３ ）
塑性铰
14.5 梁的弹塑性弯曲塑性铰14.5.1 极限弯矩以图14-7a所示的梁为例，由7.4节的分析可知，当弹性弯曲时，横截面上正应力；最大应力在离中性轴最远的点上。
当最大应力达到屈服点时，该处材料开始屈服，相应的弯矩值为屈服弯矩，用表示（14-11）应力分布如图14-7a所示。
此后，弯矩继续增加，由于是理想弹塑性材料，已进入屈服状态的点的应力不再增大；而附近点的应力在增大并达到屈服点。
这样，横截面出现了塑性区与弹性区，其应力分布如图14-7b所示。
当截面上各点应力均达到时（见图14-7c），梁进入塑性极限状态，此时的弯矩即为极限弯矩，用表示。
若截面上拉应力区面积与压应力区面积分别用和表示，则由截面上轴力可知，由此可得上式表明，横截面上各点应力全部达到时，以中性轴为界，横截面受拉区面积与受压区面积相等。
因此，如横截面是不对称于中性轴的截面（例如T字形或字形截面）时，中性轴将不通过该截面的形心，其位置将随着弯曲变形的进行而发生变化。
中性轴的位置确定后，则根据横截面的弯矩就是截面法向内力元素的合力矩，得到极限弯矩（14-12）式（14-12）中，与分别代表受拉区与受压区面积对中性轴的静矩，并均取正值。
比较式（14-11）与式（14-12），得令（14-13）则（14-14）由式（14-14）可见，极限弯矩是屈服弯矩的倍。
系数与横截面形状有关，称为形状系数，可用式（14-13）计算得到。
例如，图14-8所示的矩形截面，有即对于矩形截面梁，其极限弯矩是屈服弯矩的1.5倍。
14.5.2 塑性铰以图14-9a所示的简支梁为例。
最大弯矩始终在载荷作用的截面处。
当该截面的弯矩增加到极限弯矩时，该截面上各点均进入屈服状态，其邻近截面也发生局部塑性变形（见图14-9a中阴影区）。
这时，该截面处的微小梁段虽然仍可承受极限弯矩，但已如同铰链一样失去抵抗弯曲变形的能力（见图14-9b）。
这种由于塑性变形而形成的“铰链”称为塑性铰。
功能梯度梁纯弯曲的弹塑性理论分析
关 键词 ： 能梯度 梁 ； 弯 曲； 功 纯 残余应 力 中图分 类号 ： ２ ３ ０； ４ 文献标 志 码 ： Ａ
Ｅｌ ｓ ｏ ｌ ｓ ｉ ｈ ｏ ｅ ｉ ａ ｎａ ｙ ｉ ｆ ａ ｆ ｎ ｔｏ ｌｙ ｇ ａ ｅ ａ ｔ ｐ ａ ｔｃ ｔ ｅ ｒ ｔｃ ｌａ ｌ ｓ ｓ ｏ ｕ ｃ ｉ ｎａ ｌ ｒ ｄ ｄ
拉 伸与 压缩具 有相 同 的性 能 ． ２ 梁在变 形 过程 中横 截 面始 终 保 持 为平 面 ， ） 即
对 Ｆ Ｍ 梁 进 行 了研 究 ， 出 了分 析 功 能 梯 度 材 料 Ｇ 提 梁 的新方 法 ． ａ ｇ和 Ｌ ［ 用 大 变 形 和 小 变形 理 Ｋｎ ｉ０应 １ Ｊ 论研 究 了功 能梯度 悬臂 梁在 端载荷 作用 下 的弯 曲响 应 ． ａｈｏｉ１ Ｙ ｇｏｂ［ １讨论 了中性 层 位 置对 均 布载 荷 作用 Ｊ 下 功能梯 度梁 变形 的影 响 ．ｉ ｋ１采 用 里 兹 法对 § ｎ 【 ２ Ｊ 受 均布 载荷 作用 的功 能梯度 简支梁 进 行 了分 析 ．
材料 Ａ和 理 想弹 塑性材 料 Ｂ两相 材 料 组成 ， 复合 材料 的屈 服 特 性较 复 杂 ． 了获得 纯 弯曲 的理 其 为
论 解 ， 用复 合材料 力学 的方 法 ， 别考虑 两相 材料 的应 力 ， 以此 为基础 对 梁进 行 弹 塑性 分析 ， 利 分 并 认
为 梁的屈 服特 性 完全 由材料 Ｂ的应 力决 定 ， 而并 非 整体 应 力 ． 中详 细讨 论 了加 载和 卸 载过 程 的 文 各 个阶段 ， 并给 出相应 的 解析 解 ． 最后 通 过算例 ， 中性 轴 的位 置 、 面 应 力分 布 、 余应 力和 残余 对 截 残
适筋梁的三个工作阶段及其破坏特征
适筋梁的三个工作阶段及其破坏特征适筋梁是建筑结构中常见的承载构件之一，它具有耐久性和强度高等优点，其贯穿于建筑物内部，是建筑结构中重要的承重构件。
适筋梁在使用过程中，需要经过三个阶段：弹性阶段、弹塑性阶段和破坏阶段。
在这三个阶段中，适筋梁的破坏特征也会发生变化，下面分别进行介绍。
一、弹性阶段在适筋梁受到荷载作用时，它会出现一个弹性状态，其变形会遵循胡克定律，变形量与荷载呈线性关系。
此时，适筋梁的构件内部力学表现为拉力和压力，拉力主要承受上方荷载的作用，而压力则主要承受筋和混凝土表面的作用。
此时适筋梁的破坏特征并不能明显地表现出来。
二、弹塑性阶段当适筋梁的荷载逐渐增加到一定程度后，其变形会发生变化。
这个过程被称为弹塑性阶段。
此时，适筋梁的构件已经发生了一定的塑性变形，其变形量与荷载的关系不再是线性的，而是曲线的，而且弯曲程度也逐渐增加。
在这个过程中，适筋梁的主要表现为出现裂缝和弯曲变形。
裂缝的产生主要是由于混凝土的收缩和伸长引起的，而弯曲变形则是由于力的作用引起的。
三、破坏阶段当适筋梁承载的荷载达到一定程度时，其构件会发生破坏。
这个过程就是破坏阶段。
在这个过程中，适筋梁的主要表现会向弹塑性阶段反转，弯曲变形加剧，矩钢筋的塑性变形程度越来越严重，直至矩形钢筋产生屈服。
此时，适筋梁的构件表现为裂缝成长和断裂破获。
裂缝的产生主要是由于混凝土表面的剪切破坏引起的，而断裂破获则是由于筋材屈服而导致的。
总之，适筋梁需要经过这三个阶段进行承载，其破坏特征也会随着阶段的不同而发生变化。
在实际应用中，需要根据适筋梁的特点和实际荷载情况，严格控制荷载的大小，并进行科学合理的设计，从而尽可能地延长适筋梁的使用寿命。
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4 M e 2bh Pe ss l 3l 弹性极限载荷
s
ss
ss
s
4
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
ss
z
M s 2b s x zdz 2b s s zdz
0 he
sx
he h / 2
zs s M s 2b zdz 2b s s zdz he 0 he
P
o
x
Me he2 Ms 34 2 2 h he 1 2 P (l x ) 3 h 2 Pe l
x l
z
Ms M p
M Pp l Me Pe l
Pe 2 Pp 3
Mp ss
Me
h/ 2
l 3
z ss
11
x
bh2 MP ss 塑性极限弯矩 4 3Me Mp 2 4 M P bh2 PP s s 塑性极限载荷 l l
ss
h/ 2
PP M 2
Pe l l 2 Me 4
l 6 确定塑性区位置
z ss
8
• 塑性铰：在全塑性阶段，跨中截面的 上下两塑性区相连，使跨中左右两截
h/ 2
he
z
ss
P x l/2 z
bs s Ms 3h2 4he2 12
l/2
o
bh2 Me ss 6
Me Ms 2
he2 3 4 h2
5
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
塑性区扩展
ss
z
Me Ms 2
h 3 4 h
P o l/2 z l/2
x
x
P l Me 2 2
he h 2
x
x
h he 2
x0
h Pl he 3 2 2Me
Pl/4
Me
7
四．全塑性阶段
x0
P
x
l 6
he 0
bs s 3h2 4he2 12
Ms
o l/2 z l/2
一．基本假定 平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
d
x
z d dx
dx
z d d
d
d ( + z )d
x z
dx
b
P x
h
z
y
l/2 l/2
x
z
1
一．基本假定 纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。 P x l/2 l/2 h z
2 e 2
sx
he h / 2
z
ss
P x
P l M x x 2 2
o x l/2 z l/2
令： M S M x
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
6
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
P o l/2 z
x
l 6
x l/2
面产生像结构（机械）铰链一样的相
对转动－－塑性铰。 • 特点： – 塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能
P
x
传递大于塑性极限弯矩的弯矩。
– 塑性铰是单向铰，梁截面的转动 方向与塑性极限弯矩的方向一致。 否则将使塑性铰消失。 l/2 z
9
l/2
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。 P o l z x
h z
解：
b y
Mmax Pl
P M max l
bh2 Me ss 6 bh2 Pe ss 6l bh2 Mp ss 4 bh2 Pp ss 4l 10
M max
Pe P PP
b y
s x ( x, z ) s y s z xy yz zx 0
sx
sx
2
一．基本假定 小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与 横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺寸进行 计算。 P x l/2 l/2 h b y
bh3 I 12
z
Mmax=Pl/4
d 2w M ( x) 2 dx EI 1
3
二．弹性阶段
Mz s x E x I 6M s x max 2 bh Ez bh I 12
3
P x
l/2
b h y z
l/2
s x max s s Mises屈服条件：
bh2 Me ss 6
2ss弹性极限来自矩