运筹学第二章第6节矩阵法求解线性规划问题
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第七节 矩阵法求解线性规划问题
一、线性规划问题的矩阵描述 二、矩阵法求解线性规划问题 （改进的单纯性法）
一、线性规划问题的矩阵表示
线性规划问题可以用如下矩阵形式表示： 目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b 非负条件 X≥0 将该线性规划问题的约束条件加入松弛变量后，得到标 准型：其中I 是m×m单位矩阵。
基可行解 目标函数的值
X
(1)
B b ; 0
1
1
z C BB
b
（1）非基变量的检验数：
(C N C B B
1 1
BN )
检验数也可表示为： C - CBB A ( 针对全体变量） X s）
与 - C B B （针对剩余变量 (C N1 C B B
1
（3）初始单纯性表与当前单纯性表关系
单纯性法的每一步就是：令非基变量XN（XN1和 XS2）=0，则当前基本可行解X=（XB，0） =（B-1b，0）。当前的目标函数值为 Z=CBB-1b，通过刚才用矩阵法的展示，我们发现： 1）B：初始单纯性表中基。 2）BN：初始单纯性表非基变量在A中对应的矩阵。 3）B-1：初始单纯性表中单位矩阵所对应的列在当 前矩阵中所构成的矩阵。 4）CB：当前基变量的价值向量。 5）CN：当前非基变量的价值向量。
BNX
N
BX
B
B N1 X
BS2 X S2 (2)
非负条件
XB, X
N
0
(3)
基变量XB由两部分组成，一部分是XB1，一部分是 XS1；非基变量XN由两部分组成，一部分是XN1，另 外一部分是XS2，其中XS1和XS2分别对应松弛变量XS 中基变量和非基变量的部分。
max z 2 x1 3 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5
2 x1 [1] 4 0 2
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 1/4 -3/4 θ 4 -
-1/2 2
在迭代到单纯性表2时，当前的基变量为x3，x4，x2，其中 x3和x4是松弛变量。这时，松弛变量中，x5为基变量，x3和 x4为非基变量，因此：基变量XB由两部分组成，一部分是 XB1=x2，一部分是XS1=x3和x4；非基变量XN由两部分组成， 一部分是XN1=x1，另外一部分是XS2=x5。
（4） θ 规则表示为：
右端常数项值
表示选用>0的分量
1 ( B 1b ) ( B b )i 1 i min 1 ( B P j )i 0 1 ( B P j )i ( B P j )i
换入变源自文库的系数向量
基变量
非基变量
等式右边
XB
系数矩 阵 检验数
BX X
B
B
b BN X
1
N1
S2 X
N1
S2
;
1
B b B B N1 X
1
1
1
B S 2 X s2 ;
1
目标函数： z C B B b (C N1 C B B B N1 ) X (C S 2 C B B I ) X
1 S N1
令非基变量=0，由上式得到：
x1 2 x 2 x 3 4 x1 4 x2 x
j
8
x4 0
16 x 5 12
j 1, 2 , , 5
松弛变量是x3，x4，x5，初始的基变量是x3，x4，x5， 非基变量为x1和x2。
c j→ CB 0 0 3 -z XB x3 x4 x2 b 2 16 3 -9
max z=CX+0Xs AX+IXs=b X，X s≥0
将线性规划问题将决策变量也分为两部分，其 中基变量标记成XB，非基变量标志为XN，可将系 数矩阵（A，I）分为（B，BN）两块。B是基变量 的系数矩阵，BN是非基变量的系数矩阵。也就是 说： 且（A，I）= （B，BN）。 X
X X
XN B N1
1 1
Xs B
1 1
常数 B b CBB b
1 1
B B 1 0
1
C N1 C B B B N1 C B B
二、矩阵法求线性规划问题
初始单纯性表和当前单纯性表沟通的关键是就是 B-1，如果知道初始单纯性表，直接求；如果知道当 前的单纯性表，需要找出来。
例1：已知线性规划问题当前单纯性表如下，其中x3， x4，x5，x6为松弛变量，初始单纯性表中b=（12，8， 16，12），要求补充完全当前单纯性表。
B N
相应地可将目标函数系数C分为两部分：CB和 CN，分别对应于基变量XB和非基变量XN，并且记 作： C=（CB, CN）
基变量 X X X
B1 S1
B
可包含原基变量和松弛 X X
N1 S2
变量
非基变量： X
N
;
B 系数矩阵 A B N 松弛变量： XS
cj→ CB XB b
2 x1 0 1 0 0
3 x2 0 0 0 1
0 x3 1 0 0 0
0 x4 -1 0 -2 1/2
0 x5 -1/4 1/4 1/2 -1/8
0 x6 0 0 1 0
-z
（1）判断问题：两类问题中，属于哪一类？ 属于已知当前的单纯性表的题，第二类。 （2）哪些不用求？ 比如XB和CB和基变量的检验数。 （3）哪些需要求？ 需要求δN，XB和Z？
（3）初始单纯性表与当前单纯性表关系
6）B-1BN：当前单纯表中非基变量在A中对应列构成的 矩阵。（其中某一列为B-1PJ） 7）XB=B-1b：当前单纯性表基变量的取值。 8）Z=CBB-1b=CBXB：当前单纯性表目标函数值。 9）δN=CN-CBB-1BN：当前单纯性表中非基变量在的检 验数。 初始单纯性表和当前单纯性表沟通的关键是就是B-1， 如果知道初始单纯性表，直接求；如果知道当前的单纯 性表，需要找出来。
1
B N 1（针对非基变量中 ) X
N1
非剩余变量的部分
）
（2）当前单纯性表与矩阵的关系
XB 1 X N1 B 1 CBB X S2 Z
0 1
1 0
B B N1 C N C B B B N1
1
1
B 1b 1 C B B b
B N1 ; 其中 B N B S2
;
X S1 X S2
基变量 非基变量
目标函数
max z C B X CB X
B B
CN X C N1 X
N N1
C S2 X S2
N1
(1)
约束条件
BX b
B
（4）找初始单纯性表和当前单纯性表的沟通渠道？ 找 B-1。 怎么找：（I，B）——（B-1，I），找当前单纯性表中 松弛变量对应的列向量组成的矩阵。
（5）计算：
1）δN=CN-CBB-1BN=（c4，c5）-（c3，c1，c6，c2） B-1（p4，p5） =（0，0）-（0，2，0，3）（B-1p4，B-1p5） = （0，0）-（0，2，0，3）
1 0 2 1/ 2 1/ 4 1/ 4 1/ 2 1/8
=(0,0)-(3/2,1/8)=(-3/2,-1/8)
2)Z=CBB-1b=CBXB =14 1 1
0 ( 0 , 2 , 0 ,3 ) 0 0 0 2 1/ 2
1/ 4 1/ 4 1/ 2 1/8
0 0 1 0
12 8 16 12
一、线性规划问题的矩阵描述 二、矩阵法求解线性规划问题 （改进的单纯性法）
一、线性规划问题的矩阵表示
线性规划问题可以用如下矩阵形式表示： 目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b 非负条件 X≥0 将该线性规划问题的约束条件加入松弛变量后，得到标 准型：其中I 是m×m单位矩阵。
基可行解 目标函数的值
X
(1)
B b ; 0
1
1
z C BB
b
（1）非基变量的检验数：
(C N C B B
1 1
BN )
检验数也可表示为： C - CBB A ( 针对全体变量） X s）
与 - C B B （针对剩余变量 (C N1 C B B
1
（3）初始单纯性表与当前单纯性表关系
单纯性法的每一步就是：令非基变量XN（XN1和 XS2）=0，则当前基本可行解X=（XB，0） =（B-1b，0）。当前的目标函数值为 Z=CBB-1b，通过刚才用矩阵法的展示，我们发现： 1）B：初始单纯性表中基。 2）BN：初始单纯性表非基变量在A中对应的矩阵。 3）B-1：初始单纯性表中单位矩阵所对应的列在当 前矩阵中所构成的矩阵。 4）CB：当前基变量的价值向量。 5）CN：当前非基变量的价值向量。
BNX
N
BX
B
B N1 X
BS2 X S2 (2)
非负条件
XB, X
N
0
(3)
基变量XB由两部分组成，一部分是XB1，一部分是 XS1；非基变量XN由两部分组成，一部分是XN1，另 外一部分是XS2，其中XS1和XS2分别对应松弛变量XS 中基变量和非基变量的部分。
max z 2 x1 3 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5
2 x1 [1] 4 0 2
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 1/4 -3/4 θ 4 -
-1/2 2
在迭代到单纯性表2时，当前的基变量为x3，x4，x2，其中 x3和x4是松弛变量。这时，松弛变量中，x5为基变量，x3和 x4为非基变量，因此：基变量XB由两部分组成，一部分是 XB1=x2，一部分是XS1=x3和x4；非基变量XN由两部分组成， 一部分是XN1=x1，另外一部分是XS2=x5。
（4） θ 规则表示为：
右端常数项值
表示选用>0的分量
1 ( B 1b ) ( B b )i 1 i min 1 ( B P j )i 0 1 ( B P j )i ( B P j )i
换入变源自文库的系数向量
基变量
非基变量
等式右边
XB
系数矩 阵 检验数
BX X
B
B
b BN X
1
N1
S2 X
N1
S2
;
1
B b B B N1 X
1
1
1
B S 2 X s2 ;
1
目标函数： z C B B b (C N1 C B B B N1 ) X (C S 2 C B B I ) X
1 S N1
令非基变量=0，由上式得到：
x1 2 x 2 x 3 4 x1 4 x2 x
j
8
x4 0
16 x 5 12
j 1, 2 , , 5
松弛变量是x3，x4，x5，初始的基变量是x3，x4，x5， 非基变量为x1和x2。
c j→ CB 0 0 3 -z XB x3 x4 x2 b 2 16 3 -9
max z=CX+0Xs AX+IXs=b X，X s≥0
将线性规划问题将决策变量也分为两部分，其 中基变量标记成XB，非基变量标志为XN，可将系 数矩阵（A，I）分为（B，BN）两块。B是基变量 的系数矩阵，BN是非基变量的系数矩阵。也就是 说： 且（A，I）= （B，BN）。 X
X X
XN B N1
1 1
Xs B
1 1
常数 B b CBB b
1 1
B B 1 0
1
C N1 C B B B N1 C B B
二、矩阵法求线性规划问题
初始单纯性表和当前单纯性表沟通的关键是就是 B-1，如果知道初始单纯性表，直接求；如果知道当 前的单纯性表，需要找出来。
例1：已知线性规划问题当前单纯性表如下，其中x3， x4，x5，x6为松弛变量，初始单纯性表中b=（12，8， 16，12），要求补充完全当前单纯性表。
B N
相应地可将目标函数系数C分为两部分：CB和 CN，分别对应于基变量XB和非基变量XN，并且记 作： C=（CB, CN）
基变量 X X X
B1 S1
B
可包含原基变量和松弛 X X
N1 S2
变量
非基变量： X
N
;
B 系数矩阵 A B N 松弛变量： XS
cj→ CB XB b
2 x1 0 1 0 0
3 x2 0 0 0 1
0 x3 1 0 0 0
0 x4 -1 0 -2 1/2
0 x5 -1/4 1/4 1/2 -1/8
0 x6 0 0 1 0
-z
（1）判断问题：两类问题中，属于哪一类？ 属于已知当前的单纯性表的题，第二类。 （2）哪些不用求？ 比如XB和CB和基变量的检验数。 （3）哪些需要求？ 需要求δN，XB和Z？
（3）初始单纯性表与当前单纯性表关系
6）B-1BN：当前单纯表中非基变量在A中对应列构成的 矩阵。（其中某一列为B-1PJ） 7）XB=B-1b：当前单纯性表基变量的取值。 8）Z=CBB-1b=CBXB：当前单纯性表目标函数值。 9）δN=CN-CBB-1BN：当前单纯性表中非基变量在的检 验数。 初始单纯性表和当前单纯性表沟通的关键是就是B-1， 如果知道初始单纯性表，直接求；如果知道当前的单纯 性表，需要找出来。
1
B N 1（针对非基变量中 ) X
N1
非剩余变量的部分
）
（2）当前单纯性表与矩阵的关系
XB 1 X N1 B 1 CBB X S2 Z
0 1
1 0
B B N1 C N C B B B N1
1
1
B 1b 1 C B B b
B N1 ; 其中 B N B S2
;
X S1 X S2
基变量 非基变量
目标函数
max z C B X CB X
B B
CN X C N1 X
N N1
C S2 X S2
N1
(1)
约束条件
BX b
B
（4）找初始单纯性表和当前单纯性表的沟通渠道？ 找 B-1。 怎么找：（I，B）——（B-1，I），找当前单纯性表中 松弛变量对应的列向量组成的矩阵。
（5）计算：
1）δN=CN-CBB-1BN=（c4，c5）-（c3，c1，c6，c2） B-1（p4，p5） =（0，0）-（0，2，0，3）（B-1p4，B-1p5） = （0，0）-（0，2，0，3）
1 0 2 1/ 2 1/ 4 1/ 4 1/ 2 1/8
=(0,0)-(3/2,1/8)=(-3/2,-1/8)
2)Z=CBB-1b=CBXB =14 1 1
0 ( 0 , 2 , 0 ,3 ) 0 0 0 2 1/ 2
1/ 4 1/ 4 1/ 2 1/8
0 0 1 0
12 8 16 12