零输入响应

0.135U0 0.05U0
当： t 时， uc U0 e1 0.368U0 t 2 时， uc 2 U0 e2 0.135U0 t 3 时， uc 3 U0 e3 0.05U0 t 4 时， uc 4 U0 e4 0.0184U0
在工程实际中，一般近似认为 t = 3 ～5τ时，电容上的电
在图（a）所示电路中，当 t = 0 时开关S由a转向了c，电 路发生了换路。 t<0（换路前），流过电感L的电流是一恒定
的电流，电感储存磁场能，换路前瞬间 iL(0-) =is=I0。
在 t≥0（换路后），由于电流源不再作用于电路，电路的 输入为零，电路中的响应是由电感上初始储能（即初始电流 I0 ）所引起的，为 RL电路的零输入响应。
（c）t≥0(换路后）
解：（1）换路前（t<0）
电路
∵ 电路处于稳态，ic(0-)= 0，电容视如开路
∴
uc
0
2
10 4
4
4
4
（V）
（2）换路后（t≥0），电路为RC电路的零输入响应
依据换路定律 uc 0 uc 0uc 0 4 （V）
求时间常数τ，电容放电电路如图（d）所示
R R1R2 44 2（Ω）
于是，一介RC电路零输入响应的一般表示式可写为
uc t uc 0 est uc 0 et c
（t≥0）
it C duc uc 0 et c i0et c （t≥0）
dt R
（2）一介RC零输入响应电路中τ 的意义
由一介RC零输入响应：
uc(0) uc(t)
uc t uc 0 et （t≥0）
压uc ( t ) 由初始状态 uc ( t0 ) 衰减为0。
返回
（5）电流 i ( t ) 的变化过程与 uc ( t ) 的变化过程相似
it
uc
0
t
e
U0
t
e
R
R
t
i 0 e
（t≥0）
这里，有必要指出：
i0 0
①
i 0
U0 R
在 t = 0 处，电流发生了跃变！
而 uc 0 uc 0uc 0 U0 电压 uc ( t ) 连续！
§7-3 零输入响应
t=0
所谓零输入响应，就是外加输入（激励）为零时，由动态
元件的初始贮能所引起的电路响应。
一、RC电路的零输入响应
电阻和电容组成的电路中，无 外加输入时，由电容的初始电压所 产生的电路响应，称为 RC 电路的 零输入响应。
S1 t=0 S2
t=0 i(t)
+
U0 －
+uc ( t ) R
∵
u
L
L
diL dt
图(b) t ≥0 （换路后）
∴ 电路的状态方程为
Lwk.baidu.com
diL dt
RiL
0
（t≥0）
方程是以电感电流 iL(t)为状态变量的线性一介齐次微分方
程，依据微分方程理论可知
方程的特征方程为 Ls R 0
方程的特征根为
sR L
令
L
L R
τL 称为 RL 电路的时间常数，单位为秒。
于是特征根
（3） 时间常数τ的几何意义
过任意 A 点作切线 AC
BC AB tg
uc(t)
uc(0)
uc
t
uc
0
e1 t
tg
duc t
dt
t t1
uc(t1) A
uc( t1+τ )
uc 0
e1
t1
α
0
Bτ
Ct
∵
AB
uc t1
uc 0
1
e
t1
∴ BC AB tg
① 由图可知，切线AC在时间坐标上的次切距的长度BC在
s 1
L
（称为RL电路的固有频率）
则，一介RL电路零输入响应的一般表示式为
iL t iL 0 est I0 et L
（t≥0）
uL t
L diL dt
R I0 et L
uL
0
et L
（t≥0）
3、一介RL零输入响应的变化过程
iL t I0 et L
uL t R I0 et L
零输入响应与初始值 uc(0) 、 iL(0) 成正比的特性，称作零
输入响应的比例性。
四、电路的固有频率
由于特征根 s 1 ，为时间的倒数，具有频率量纲，
表征电路的固有特性，故又称为电路的固有频率。在一介RC
和RL电路中，当固有频率 s<0 为负实数时，响应呈现指数规
律衰减。
[例题] 图示电路，在 t = 0 时开关由 a 投向 b ，已知在换 路前电路处于稳态，试求 t ≥0 时的各支路电流。
t≥0(换路后）
uc (0+) = U0
2、RC电路零输入的状态方程及响应
依据 KVL ，建立图示零输入RC电 路的状态方程为
RC
duc dt
uc
0
（t≥0）
i(t )
+
C －uc ( t ) R
（t≥0）
u c(0) =U0
方程是线性一介齐次微分
方程，其解为
uc
t
Kest
1t
K e RC
设 uc (0) U0
a 10Ω
b 10V 10Ω
1A
1H 20Ω t<0
10Ω 10V
iL(0-) u－+L(0-)
(a)
t=0 时换路
(b) t<0 时 uL(0-) = 0
电感视如短路
10Ω i1 + i2 10Ω 1H uL(t)
iL(t) －
(c) t≥0（换路后）
20Ω 求τL和 iL
+
1H uL(t) R iL(t) －
1F
R2 4Ω
返9
t<0
t≥0
（a）t<0(换路前）, uc ( t ) = uc ( 0- )
2Ω
R1 = 4Ω
+ R3 i ( t ) + ic = 0
10V
uc ( 0- ) R2
－
－ 4Ω
i ( t ) R1
4Ω + ic ( t )
uc
(
t
) －
1F
4Ω
R2
（b）t<0(换路前）ic(0-) = 0
0
t /s
it uc 0 et i0 et
R
i(t) i(0)
（t≥0）
可知：
0
t /s
①只要知道电容的初始电压值 uc ( 0 ) 和电路的时间常数τ， 就可以确定一介RC电路在t≥0时的零输入响应 uc ( t ) 和 i ( t )。
② 响应uc ( t ) 和 i ( t )随 t 呈指数衰减，τ越小衰减越快， 即电容放电越快；τ越大衰减越慢，即电容放电越慢。
uc 010 V ； 2 s 10
∵ 电路为一介RC零输入响应
∴ 电容的电压为
uc
t
uc
0
e
t
t
10 e 2
V
02
ic(t) /A
t /s
（t≥0）
流过电容的电流为
0
t /s
ic t C
duc dt
t
5 e 2 A
（t ＞0）
-5
式中负号表示电容上电流和电压的方向相反
二、RL电路的零输入响应
－
t≥0 时，电路的输入为
t<0(换路前） 换路
零，由 uc ( 0 ) 的作用产生响
应，是RC零输入响应。
S1
S2
t≥0
1、含电容电路的换路定律
依据电容电压的连续 性质，电路满足
+ U0 －
i(t )
+
uc ( t ) R
－
i(t )
+
uc ( t ) R
－
uc ( 0+ ) = uc ( 0 ) = uc ( 0- ) = U0
1、含电感电路的换路定律
依据电感电流的连续性质，当含有电感的电路在 t = 0 换 路时，必须满足以下换路定律
i(0 ) i(0) i(0 )
i L(0) = I0
2、一介RL零输入电路的状态方程及响应
+
依据 KVL 对图(b)建立电路方程
uL RiL 0
L uL(t) R iL(t) －
一介RC零输入响应电路的状态方程为
i(t )
+
C uc ( t ) R
－
RC
duc dt
uc
0
（t≥0）
特征方程为 sRC 1 0 ； 特征根为
t≥0
uc (0) = U0
s 1 RC
令 c RC （τc称作 RC 电路的时间常数，单位为秒） 则 s 1 c （S也称作 RC 电路的固有频率）
t
uc
0
e
t
4et2
（t≥0）
再由图 (c) 求得换路后的电流为
it
uc t
4 e
t 2
e t 2
（A）
R1
4
（t > 0）
例2、已知一介RC零输入响应电路中的电容C=1F，电容上
的电压响应曲线如图所示。试求流过电容的电流，并作出电流
的波形。 解：由题意和电压响应曲线可知
uc(t) / V
② 可近似认为 t = 3 ～5τ时，电路中的电流 衰减为零。
uc曲线
例1、如图所示，S 原在位置 1 时电路处于稳态。在 t = 0 时，开关S由位置 1 合于位置 2，求t≥0时的电流 i ( t ) 。
2Ω 1 S
R1 = 4Ω
+ R3 2 10V －
i(t )
ic ( t )
uc
(
t
+
)
－
电感视如短路
由图(c)可求出一介RL电路 零输入响应的等效放电电阻为：
R 1010// 2010
电路的时间常数为
L L R 1 10 0.1 s
10Ω i1 + i2 10Ω 1H uL(t) 20Ω
iL(t) －
(c) t≥0（换路后）
电感的电流为 iL t iL 0 et L e10t A ( t ≥0 )
电感的电压为
uL t
L diL dt
10e10t
V
( t ≥0 )
10Ω i1 + i2 10Ω 1H uL(t) 20Ω
iL(t) －
(c) t≥0（换路后）
支路电流
i1
uL 10 10
0.5e10t
A
( t ≥0 )
支路电流
i2
uL 20
0.5 e10t
A
( t ≥0 )
Go
电阻和电感组成的电路中，外加输入为零时，由电感的 初始电流所产生的电路响应，称为RL电路的零输入响应。
R0 a S c
i L(0) = I0
is=I0
t=0
b +
L
iL(t)
－uL(t)
R
S由a转向c
+
L uL(t)
t=0 时换路 iL(t) －
R
图(a) t <0（换路前）
图(b) t ≥0（换路后）
则 K uc (0) U0
1t
uc t U0 e RC （t≥0）
电容的初始电压 u c(0)
一介RC电路中，零输入响 应的一般表示式可写成
1t
uc t uc 0 e RC （t≥0）
it
C
duc
uc
0
1
e RC
t
dt R
U0
1t
e RC
（t≥0）
R
3、一介RC电路的时间常数τc （1） 时间常数τc 的定义
(d) t ≥0（换路后）
解： t ≥0 时，为一介RL电路的零输入响应
(1) t < 0 时，由图(b)求得
iL 0 10 10 1 A
(2) t ≥0 时，依据换路定律
iL 0 iL 0 iL 0 1A
10Ω 10V
iL(0-) u－+L(0-)
(b) t<0 时 uL(0-) = 0
数值上等于时间常数τ，即 BC = τ。
② 在uc ( t ) 曲线上任意一点A，如果uc ( t )以该点的斜率为 固定变化率作衰减，经过τ时间， uc ( t )衰减为零值。
（4）电容电压的放电过程与时间常数的关系
uc t U0 et （t≥0）
一介 RC 零输入响应电 路中，电容的放电过程
数规律由初始值衰减为零，即电 感的放电时间为3τ～5τ。
三、零输入响应的比例性
已知一介RC、RL电路的零输入响应分别为
uc t uc 0 est uc 0 et c （t≥0）
iL t iL 0 est iL 0 et L （t≥0）
uc t uc 0 显然，零输入响应 iL t iL 0
R1 R2 4 4
1F
ic ( t ) －+uc ( t )
R = R1 // R2
RC 12 2（S）
（d）
∴ uc t uc 0 e t 4 e t 2 （V） （t≥0）
i ( t ) R1
4Ω ic ( t )
+
uc
(
t
) －
1F
4Ω
R2
（c）t≥0(换路后）
uc
uL 0 et L
（t≥0） （t≥0）
电流放电曲线
+
L uL(t) R
－
iL(t) t ≥0，i L(0) = I0
τ 电压变化曲线
响应 iL(t) 和 uL(t) 随时间按
工程技术中，常近似认为 t
指数规律衰减，理论上
经3τ～5τ后， iL(t) 和 uL(t) 按指
t 经0 到 ∞
iL(t) 由 I0→0 uL(t) 由－RI0→0