2019-2020年高考数学5年真题备考题库 第八章 第7节 抛物线 理(含解析)

2019-2020年高考数学5年真题备考题库 第八章 第7节 抛物线 理（含

解析）

1．（xx 湖南，5分）如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a 0)经过C ，F 两点，则b

a

＝________.

解析：由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝⎛⎭⎫p 2，0，F ⎝⎛⎭⎫p 2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p ⎝⎛⎭⎫p

2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以b

a

＝1＋ 2. 答案：1＋2

2．（xx 新课标全国Ⅰ，5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若＝4，则|QF |＝( )

A.7

2 B.52

C ．3

D ．2

解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为＝4，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.

答案：C

3．（xx 新课标全国Ⅱ，5分）设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )

A.334

B.938

C.6332

D.94

解析：易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝3

3，故直线AB 的方程为y ＝

33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋9

16

＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋3

2＝12，结合图象可得O 到直线

AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9

4

.

答案：D

4．（xx 辽宁，5分）已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )

A.12

B.23

C.34

D.43

解析：∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，∴－p

2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线

AB 的方程为x ＝k (y －3)－2 ①，将①与

y 2＝8x

联立，即⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝k y －3

－2，

y 2

＝8x 得y 2－8ky ＋

24k ＋16＝0 ②，则Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，即2k 2－3k －2＝0，解得k ＝2或k ＝－1

2

(舍

去)，将k ＝2代入①②解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝8y ＝8，即B (8，8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝4

3，故选D.

答案：D

5．（xx 山东，14分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．

(1)求C 的方程；

(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 解：由题意知F ⎝⎛⎭⎫

p 2，0. 设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛

⎭⎫

p ＋2t 4，0.

因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p

2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由

p ＋2t

4

＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①由(1)知F (1,0)，

设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)， 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．

y0故直线AB的斜率k AB＝－

2.

因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 0

2x ＋b ，

代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b

y 0＝0，

由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2

y 0.

设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4

y 20

.

当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0

x E －x 0

＝－4

y 0＋y 04y 20－y 2

04＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝

4y 0

y 2

0－4

(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0

y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．

②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，

所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1

x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，

因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1

y 0

.

设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 0

2(x －x 0)，

由于y 0≠0，可得x ＝－2

y 0y ＋2＋x 0，

代入抛物线方程得y 2＋8

y 0

y －8－4x 0＝0.

所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4

x 0＋x 0＋4.

所以点B 到直线AE 的距离为

d ＝

⎪⎪⎪⎪

4x 0

＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2

＝

4x 0＋1x 0

＝

4⎝

⎛⎭⎫x 0＋1x 0.