抛物线讲义(含知识点、例题、变式及答案)

第七节 抛 物 线 2019考纲考题考情

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p ＞0)

x 2＝－2py (p ＞0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

p 2，0 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，－p 2 离心率

e ＝1

00

抛物线焦点弦的6个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝p2

4，y1y2＝－p

2。

(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝

2p

sin2α(α为弦AB的倾斜角)。

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。

(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。

(5)S△AOB＝

p2

2sinθ(θ为AB的倾斜角)．

(6)1

|AF|＋

1

|BF|为定值

2

p.

考点一抛物线的定义及应用

【例1】(1)已知抛物线x2＝4y上一点A纵坐标为4，则点A到抛物线焦

点的距离为()

A．10B．4

C．5D．15

(2)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l 于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于()

A．1

2B．1

C．2 D．4

解析(1)抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为5，根据抛物线定义可知点A到焦点的距离为5。故选C。

(2)因为M，N分别是PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，且PQ∥x轴。又∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°。由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为正三角形。则FM⊥PQ，所以|QM|＝p＝2，正三角形边长为4。因为|PQ|＝4，|FN|＝1

2|PF|＝2，且△FRN为正三角形，所以|FR|＝2。故选C。

答案(1)C(2)C

利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化。“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径。

【变式训练】(1)(2019·重庆调研)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是()

A．6B．5

C．4D．3

(2)如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝________。

解析(1)由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6。故选A。

(2)由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距

离|PF|＝x0＋p

2，在y

2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋

x10＋5p＝10。

答案(1)A(2)10

考点二抛物线的标准方程

【例2】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()

A．y2＝9x B．y2＝6x

C．y2＝3x D．y2＝3x

解析如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得

a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝1

2|FC|＝

3

2，因此抛物线的方程为y

2＝3x，故

选C。

答案 C

求抛物线的标准方程应注意以下几点

1．当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种。

2．要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系。

3．要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。

【变式训练】(1)(2019·湖北联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()

A．y2＝4x B．y2＝－4x

C ．y 2＝8x

D ．y 2＝－8x

解析 (1)因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫

p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2

＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x 。故选D 。

(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程是( )

A ．x 2＝16y

B ．x 2＝8y

C ．x 2＝83

3y

D ．x 2＝163

3y

(2)因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c

a ＝2。因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，p 2到双曲线

的渐近线的距离为2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·p 2a 2＋b 2＝p 2·a c ＝p

4＝2，解得p ＝8，所以抛物线C 2的

方程是x 2＝16y 。 A

(3)．(选修2－1P 72练习T 1改编)过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝4

3y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－4

3y

解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝4

3y 。故选A 。

(4)(选修2－1P 73A 组T 3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．4个

解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，y 21＝8x 1，所以x 1＝3，y 1＝±26。

故满足条件的点P 有两个。故选C 。

(5)．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。若M 为FN 的中点，则|FN |＝________。

解析 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，设M (x 1，y 1)，N (0，y 2)，由题意得