(广东专用)2020高考数学总复习 第八章第七节 课时跟踪训练 理

课时知能训练

一、选择题

1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x236－y2108＝1 B.x29－y227

＝1 C.x2108－y236＝1 D.x227－y29

＝1 【解析】 由题意知b a

＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6， 则c ＝6，由{ b2＝3a2c2＝a2＋b2c2＝36，得{ a2＝9b2＝27，

∴双曲线方程为x29－y227

＝1. 【答案】 B

2．若双曲线y25－x2m ＝1的渐近线方程为y ＝±53

x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【解析】 由双曲线的渐近线方程为y ＝±53

x 可知m ＝9. ∴F(0，±14)，其到y ＝±53x 的距离d ＝|314|14

＝3. 【答案】 B

3．(2020·惠州调研)已知双曲线x2a2－y2b2

＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )

A ．(1，5)

B ．(1，5]

C ．(5，＋∞)

D ．[5，＋∞)

【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意b a

＞2. ∴e ＝c a ＝ 1＋b a

2>1＋4＝ 5. 【答案】 C

4．设椭圆C1的离心率为513

，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )

A.x242－y232＝1

B.x2132－y252

＝1 C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122

＝1 【解析】 由题意知曲线C2是以椭圆C1的焦点为焦点的双曲线，且2a ＝8，即a ＝4，

由椭圆的离心率知c 13＝513

，∴c ＝5，

∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，

∴曲线C2的标准方程为x216－y29＝1. 【答案】 A 5．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是( )

A.x29－y2＝1 B ．x2－y29

＝1 C.x29－y219＝1 D.x219－y29

＝1 【解析】 ∵MF1→·MF2→＝0，

∴MF1→⊥MF2→⇒|MF1→|2＋|MF2→|2＝(210)2＝40.

又|MF1→|·|MF2→|＝2，

∴(|MF1→|－|MF2→|)2＝40－4＝36，

∴2a ＝6⇒a ＝3，

∴a2＝9，b2＝c2－a2＝1.

∴方程为x29

－y2＝1. 【答案】 A

二、填空题

6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212

＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．

【解析】 由题意知，M 点的坐标为M(3，±15)，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，由两点间的距离公式得d ＝3－42＋±15－02＝4.

【答案】 4

7．(2020·揭阳模拟)中心在原点焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．

【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12

， ∴离心率e ＝c a

＝ 1＋b a 2＝52

. 【答案】 52 8．已知F 是双曲线x24－y212

＝1的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

【解析】 设双曲线的右焦点为Q ，则Q(4,0)，|PF|－|FQ|＝4，

∴|PF|＋|PA|＝4＋|PQ|＋|PA|，

∴当P 、Q 、A 三点共线时|PF|＋|PA|有最小值， ∵|AQ|＝4－12＋0－42＝5，

∴|PF|＋|PA|的最小值为4＋5＝9.

【答案】 9

三、解答题 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程；

(2)求证：MF1→·MF2→＝0；

(3)求△F1MF2面积．

【解】 (1)∵e ＝2，

∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明 ∵MF1→＝(－3－23，－m)，

MF2→＝(23－3，－m)．

∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，

∵M 点在双曲线上，

∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

∴MF1→·MF2→＝0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4 3.

由(2)知m ＝±3.

∴△F1MF2的高h ＝|m|＝3，

∴S △F1MF2＝6.

10．双曲线x2a2－y2b2

＝1(a>1，b>0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b)且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s≥45

c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 【解】 直线l 的方程为x a ＋y b

＝1，即bx ＋ay －ab ＝0， 由a>1，得点(1,0)到直线l 的距离d1＝b a －1a2＋b2

. 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离d2＝b a ＋1a2＋b2

， ∴s ＝d1＋d2＝2ab a2＋b2＝2ab c

. 又s≥45c ，得2ab c ≥45

c ，即5a·c2－a2≥2c2.