2021新高考数学新课程一轮复习：第八章 第7讲 抛物线含解析

第7讲 抛物线

组 基础关

1．(2019·厦门一模)若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±4 答案 C

解析 抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.而抛物线x 2＝

ay 的焦点到准线的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

a 4＋a 4＝1，解得a ＝±2.

2．(2019·汀赣十四校第一次联考)已知抛物线y 2＝4x 与x 2＝2py (p >0)的焦点间的距离为2，则p 的值为( )

A ．4

B ．12

C ．2 3

D ．6 答案 C

解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，p 2.由题意可知

1＋p 2

4＝2，且

p >0，解得p ＝2 3.

3．(2020·南昌摸底)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( )

A ．(4,0)

B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0,0) 答案 B

解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p

2＝－2，焦点坐标为(2,0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)．

4．(2019·哈尔滨三模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条倾斜角为π

6的直线，与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．16 答案 D

解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，p ＝2，过焦点的直线的斜率k ＝tan π6＝3

3，则直线方程为y ＝33(x －1)，代入y 2＝4x 得1

3(x －1)2＝4x ，整理得x 2－14x ＋1＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝14，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝14＋2＝16.

5．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( )

A ．(1,2)或(1，－2)

B ．(1,4)或(1，－4)

C ．(1,2)

D ．(1,4)

答案 A

解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以1

2×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．

6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为2

3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN

→＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D

解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝2

3(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝2

3

(x ＋2)，

y 2＝4x ，

消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)，

又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝

8.故选D.

7．(2019·怀化三模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为k 的直线，与抛物线相交于A ，B 两点，设直线OA ，OB (O 为坐标系原点)的斜率分别为k 1，k 2，

则下列等式正确的是( )

A ．k 1＋k 2＝k B.1

k ＝k 1＋k 2 C.1k ＝1k 1

＋1k 2

D ．k 2＝k 1·k 2

答案 C

解析 由题意，得OA 的方程为y ＝k 1x ，与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)联立，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 21，2p k 1，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2p k 22，2p k 2，∴k ＝2p k 1－2p k 22p k 21－2p k 2

2＝11k 1＋1k 2

，∴1k ＝1k 1＋1k 2

.故选C.

8．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为1，则实数p 的值为________．

答案

2

解析 由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，设P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

p 2，p ，k AP

＝p p ＝1，则直线AP 的方程为x －y ＋p

2＝0，以AF 为直径的圆的圆心为O (0,0)，半径为R ＝p 2，则O 到直线AP 的距离为d ＝p 22＝2p

4，则圆O 截直线AP 所得的弦

长为1＝2R 2

－d 2

＝2

p 24－⎝ ⎛⎭⎪

⎫2p 42

，解得p ＝ 2.

9．(2019·武汉4月调研)已知过点M (1,0)的直线AB 与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 的方程为________．

答案 2x ＋y －2＝0

解析 当直线AB 的斜率不存在时，不符合题意，故设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧

y ＝k (x －1)，y 2

＝2x

消去y 并整理，得k 2x 2－2(k 2＋1)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2(k 2＋1)

k 2，x 1x 2＝1.∴直线