2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案

第7讲 抛物线 ,

)

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质

标准

方程

y 2＝2px

(p ＞0)

y 2＝－2px

(p ＞0)

x 2＝2py

(p ＞0)

x 2＝－2py

(p ＞0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0，0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2

，0 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－p 2

，0 F ⎝

⎛⎭

⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－p 2

离心率 e ＝1

准线 方程 x ＝－p

2

x ＝p 2

y ＝－p 2

y ＝p 2

范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，

x ∈R

y ≤0， x ∈R

开口

方向 向右

向左

向上 向下 焦半径

|PF |＝

|PF |＝

|PF |＝

|PF |＝

(其中

P (x 0， y 0))

x 0＋p 2

－x 0＋p

2

y 0＋p 2

－y 0＋p

2

1．辨明两个易误点

(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．

(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．

2．与焦点弦有关的常用结论

(以右图为依据)

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

(1)y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p 2

4

.

(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2θ

(θ为AB 的倾斜角)．

(3)1|AF |＋1|BF |为定值2

p

. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．

1.教材习题改编 抛物线8x 2

＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝

⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，132

C 由8x 2＋y ＝0，得x 2

＝－18

y .

2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝

⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.

2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2

＝2x B ．y 2

＝－2x C ．y 2＝4x

D ．y 2

＝－4x

D 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2

＝－2px (p >0)且p

2＝1，p ＝2，所以方程为y 2

＝－4x ，故选D.

3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝5

2p ，则直线MF 的斜率为( )

A ．43

B ．53

C ．54

D ．52

A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝5

2

p ，得

x 0＋p 2

＝5p

2

，所以x 0＝2p .

所以y 20

＝2px 0＝4p 2

，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p

2，0)，

所以k MF ＝2p －02p －

p 2＝4

3，

故选A.

4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．

设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2

＝4x .

y 2

＝4x

5.教材习题改编 抛物线x 2

＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p

2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2

＝4y .

x 2

＝4y

抛物线的定义及其应用

(1)若抛物线y 2

＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )

A ．

2

2

B ．

24

C ．12

D ．14

(2)已知抛物线y 2

＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．

【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－1

2.

设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为3

2

，

所以a ＝1，代入抛物线方程y 2

＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝2

4

.

(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.

即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4

若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．

由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42

＋22

＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.

抛物线定义的应用

(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．

(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p

2.

1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线