倾斜角与斜率 (1)

A级基础巩固

一、选择题

1．给出下列说法，正确的个数是()

①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；

②一条直线的倾斜角为－30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条；

④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．

A．0B．1C．2D．3

解析：若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．-=答案=-：A

2.如图所示，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()

A．k3＞k2＞k1

B．k1＜k2＜k3

C．k3＜k1＜k2

D．k2＜k1＜k3

解析：直线l3的倾斜角为钝角，斜率为负，直线l1，l2的倾斜角

均为锐角，斜率为正，且直线l 2的倾斜角大于直线l 1的倾斜角，所以k 2＞k 1，所以k 3＜k 1＜k 2.

-=答案=-：C

3．已知点A (1，2)，在x 轴上存在一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为( )

A ．(0，3)

B ．(0，－1)

C ．(3，0)

D ．(－1，0)

解：由题意可设点P 的坐标为(m ，0)，则0－2

m －1＝tan 135°＝－1，

解得m ＝3.故点P 的坐标为(3，0)．

-=答案=-：C

4．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是( )

A ．[0，2]

B ．[0，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－12，0

解析：如图所示，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－0

1－0

＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0，2]．

-=答案=-：A

5．斜率为2的直线经过点A (3，5)，B (a ，7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )

A ．4，0

B ．－4，－3

C ．4，－3

D ．－4，3

解析： 由题意，得⎩⎨

⎧k AC

＝2，k AB

＝2，即⎩

⎪⎨⎪⎧b －5－1－3

＝2，

7－5

a －3＝2. 解得a ＝4，

b ＝－3. -=答案=-：C 二、填空题

6．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m ≥1)．

解析：当m ＝1时，倾斜角α＝90°； 当m ＞1时，tan α＝

3－2

m －1＞0，

所以0°＜α＜90°，故0°＜α≤90°. -=答案=-：0°＜α≤90°

7．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．

解析：设直线PQ 的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°， 因为k PQ ＝－3，所以tan θ＝－3，则θ＝120°. 将直线绕点P 顺时针旋转60°，

所得直线的倾斜角为60°，所以其斜率为tan 60°＝ 3. -=答案=-： 3

8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1

b ＝

________．

解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以0－2a －2＝b －2

0－2.

所以(a －2)(b －2)＝4，即ab ＝2a ＋2b ＝2(a ＋b )． 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝a ＋b 2（a ＋b ）＝1

2.

-=答案=-：1

2

三、解答题

9．已知点A (n ，－n －3)，B (2，n －1)，C (－1，4)，若直线AC 的斜率是直线BC 斜率的3倍，求n 的值．

解：由题意知，直线AC 的斜率为4＋n ＋3

－1－n ，

直线BC 的斜率为4－（n －1）

－1－2，

所以4＋n ＋3－1－n ＝3×4－（n －1）－1－2，

整理得n 2－3n ＋2＝0，解得n ＝2或n ＝1. 经检验，均符合题意．

10．若经过点A (1－a ，1＋a )和点B (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围．

解：因为直线AB 的倾斜角为钝角，

所以直线AB 的斜率存在，且为负值，

所以2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －1a ＋2＜0，所以－2＜a ＜1，

故a 的取值范围是(－2，1)．

B 级 能力提升

1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )

A ．α＋45°

B ．α－135°

C ．135°－α

D ．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°

解析：由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°；又0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图所示)．

-=答案=-：D

2．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是________．

解析：设P (a ，b )为l 上任一点，经过平移后，点P 到达点Q (a －3，b ＋1)，此时直线PQ 与l 重合，