韦达定理在解析几何中的应

韦达定理在解析几何中的应用

韦达定理步骤

1、

设直线0Ax By C ++=与曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,既设而不求。 2、

直线与曲线方程联立方程组。 3、

消去x, 得到关于或y 的一元二次方程. 4、 结合具体问题与韦达定理建立联系， 如求弦长等。

韦达定理注意与向量的联系

一，求弦长

.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式

∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+

或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221k

y y y y +-+ ， 1．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点。

（1）若12||x x -=||AB

（2）12||y y -=||AB = 2．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = 8 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。已知向量()()()()m x n m x n y 1122201101====，，，，，，，（其中x ，y 是

实数），又设向量1221m m n m ==u r u u r u r r u u r r ，，且m n ∥，点()P x y ，的轨迹为曲线C 。 （I ）求曲线C 的方程；

（II ）设曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作一条直线l 与曲线C 交于另一点N ，当

MN =

423

时，求直线l 的方程。 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.

练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,

那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4

二，求弦中点坐标

例4，已知直线 x-y=2与抛物线 y 2= 4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是____________________

.7. 经过椭圆2

212

x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. 设O 为坐标原点，则OA OB u u u r u u u r g

等于（ ） A. 3- B. 1

3- C. 13-或3- D. 13

±

练习2：求直线y=

2

521-x 和圆x 2+y 2=16相交所成的弦的中点坐标。 四，求曲线的方程

例5，顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线,被直线 y=2x+1截得的弦长为15.求此抛物线方程。

例6,抛物线 y= -22x .与过点M(0,-1)的直线L 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线L 的方程.

练习4:求m 的值使圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0的两个交点A 、B 满足OA ⊥

OB.

（07西二文）设直线1:+=x y l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F .

（II ）若F 是椭圆的一个焦点，且2=，求椭圆的方程.

五、与向量的联系

（19）（本小题共14分）

已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .

（Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅u u u r u u u r 的最小值.

26．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(

（1） 求双曲线C 的方程

（2） 若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其

中O 为原点）求 K 的取值范围

（07西二文）设直线1:+=x y l 与椭圆22

2141(0)2y x b b +=<<相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F .

（I ）求b 的取值范围。

（05春招）O 为坐标原点，过点(2,0)p 且斜率为K （K 为常数）的直线L 交抛物线22y x =于

1122(,),(,)A x y B x y 两点 （1）写出直线L 的方程。(2)求12x x •于12y y •（3）求证：OA OB ⊥u u u r u u u r