中点四边形问题
中点四边形典型例题
经典题型1
例题1：如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H是边AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请问四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（2）若四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（3）若四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明.
思路分析：准确画出图形，通过观察就可以得到（1）四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是矩形。
证明思路可以有多种——条件中有四个中点，显然在考查中位线的知识，而中位线的结论中有“中位线与第三边”的位置关系与数量关系，所以可以从“边”的角度来判定四边形是平行四边形。
经典题型2
例题2：如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H是边AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请问四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（2）要使四边形EFGH是矩形，需要原四边形对角线满足怎样的条件？并证明；（3）要使四边形EFGH是矩形，需要原四边形对角线满足怎样的条件？并证明.
思路分析：由例题1，我们就知道四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH中，图形中就没有给出对角线，说明判定它是矩形，应该用“……的平行四边形中是矩形”，故只能用“一个角是直角的平行四边形是矩形”了，从而应该添加条件“AC⊥BD”即可。
（3）四边形EFGH中，图形中就没有给出对角线，说明判定它是菱形，应该用“……的平行四边形中是菱形”，故只能用“一组邻边相等的平行四边形是矩形”了，从而应该添加条件“AC=BD”即可。
中点四边形模型(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米）， 故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ． 故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3， 同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18， 故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=， 同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”， 点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12． 故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14． 即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形； （2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。
中点四边形问题总结
中点四边形规律总结规律总结：中点四边形： 如图，四边形ABCD 勺各边的中点，所构成的四边形 EFGH 叫做四边形ABCD 勺中点四边形。
三角形的中位线定理，矩形的对角线相等，菱形的对角线互 相垂直，正方形的对角线相等且互相垂直。
例1:无论四边形ABCD 勺形状怎么变化，中点四边形 EFGH 勺形状始终为。
请写出猜想，并证明。
已知，如图，四边形 ABCD 中, E 、H 、C 、G 分别为AB 、BC CD DA 中点 求证：四边形EFGH 是 ________________ .相关知识点: 任意四边形的中点四边形是“平行四边形” 任意平行四边形的中点四边形是“平行四边形” 任意矩形的中的四边形是菱形；任意菱形的中点四边形是矩形；任意正方形的中点四边形是正方形；D证明：连接AC,利用三角形的中位线定理和平行四边形的定义即可证明例2研究特殊四边形的中点四边形的形状。
使四边形ABCD 分别为平行四边形、 矩形、菱形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形 EFGH 形状。
发现：中点四边形的形状有 _________________________________________ .① 顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是什么四边形提出猜想，并说明你的 猜想是否正确② 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是什么四边形提出猜想，并说明你的 猜想是否正确。
例3、反之若.中点四.边形_.EFGH 分别为.矩形、菱形和正方形.，贝u 四边形ABCD 是否 一定分别为菱形、矩形(等腰梯形)、正方形观察下面图形。
问题：决定中点四边形EFGH 勺形状的主要因素是四边形ABCD 勺边角对角线 概括规律：决定中点四边形EFGH 勺形状的主要因素是 _______________________ 。
⑴ _______________________________ ,则四边形EFGH 为菱形；⑵ _______________________________ ,则四边形EFGH 为矩形；⑶ __________________________________ ,则四边形EFGH 为正方形例4.如图(1) (2) (3)，最外面的矩形、菱形、正方形的面积为 1,则最里面的E CGD B中点四边形的面积图（3）。
中点四边形的规律探索
中 点 四 边 形 的 规 律 探 索
罗 国 强
（ 疆 兵 团 农 二 师 ２ ３ 中学 ， 新 ２团 新疆 和 静 ８ １０ ） ４ ３ ８
何 谓 中 点 四边 形 ？依 次 连 接 四边 形 各 边 中点 所 得 的 四边
形 称 为 中 点 四边 形 。 例 题 解 析
一
、
例 １在 北 师 大 版 教 材 《 学 》 年 级 上 册 第 三 章 中有 这 样 ： 数 九 道题 目 ： 意 作一 个 四边 形 ， 将 其 四边 的 中点 依 次 连 接 起 任 并 来 ， 到 一 个 新 的 四边 形 ， 个 新 四边 形 的 形 状 有 什 么 特 征 ？ 得 这 请 证 明你 的结 论 ， 与 同伴 进 行 交 流 。 并 在 做 这 道 题 时 ， 请 学 生 画一 画 、 一 推 、 一 量 、 一 猜 我 推 量 猜
中点 四边 形 是 什 么 四 边形 ？ 思 路 点 拨 ：正 方 形 的对 角 线 既 相 等 又 六 、 学 要 关 注 学科 ， 要 关 注 学 生 教 更
Ｃ
评注 ： 该题 也可连 接Ｂ 通 过证Ｅ ／ Ｇ Ｆ ／ Ｈ， Ｄ， Ｆ／ Ｈ，Ｇ／ Ｅ 或证
Ｅ＝ Ｆ ＧＨ， Ｇ＝ Ｈ，均 可获 得 结 论 。 这 是 对 平 行 四边 形 的 定 义 Ｆ Ｅ
１
图１
图２
Ｂ
解 ： 图 １ 图２ 四边 形Ｅ Ｇ 是 平 行 四边 形 。证 明如 下 ： 如 、 ， Ｆ Ｈ 连 接 ＡＣ． 点Ｅ Ｆ ， 分别 是 边 Ａ Ｂ 的 中点 ， Ｂ， Ｃ
‘ ‘ ． ‘ ． ．
◇
。：
Ｅ ／Ａ ，Ｆ ￣ Ａ Ｆ／ Ｃ Ｅ ＝ Ｃ。
２
中点四边形综合问题重难点培优八年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】
八年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题18.13中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD 中，AC BD =，顺次连接四边形各边中点得到的图形是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不对【分析】根据中位线定理证明中点四边形的四边相等，则顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形． 【解析】E ，F 分别是DC ，AD 的中点， 12EF AC ∴=，//EF AC ， 同理，12GH AC =，//GH AC ，12GF BD =， EF GH ∴=，//EF GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，AC BD =，EF GF ∴=，∴平行四边形EFGH 为菱形，故选：A ．2．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的判定即可判断①；画出图形，根据菱形的判定即可判断②；根据菱形和正方形的判定即可判断③；根据三角形的中位线性质得出//EF AC ''，12EH B D =''，//EH B D ''，12FG B D =''，//FG B D ''，求出EH FG =，//EH FG ，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH 是平行四边形，根据菱形的性质得出AC B D ''⊥''，求出90HEF ∠=︒，根据矩形的判定得出四边形EFGH 是矩形，即可判断④．【解析】①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误； ②如图，AC BD ⊥，但是四边形ABCD 不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误； ③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；④如图，E 、F 、G 、H 分别是菱形A B C D ''''的边A B ''、B C ''、C D ''、A D ''的中点，//EF AC ∴''，12EH B D =''，//EH B D ''，12FG B D =''，//FG B D ''， EH FG ∴=，//EH FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，四边形A B C D''''是菱形，∴''⊥''，AC B DEH B D''，//EH AC∴⊥''，EF AC''，//∴⊥，EF EH即90∠=︒，HEF∴四边形EFGH是矩形，故④正确；所以正确的个数是1，故选：D．3．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是()A．若AC BD=，则四边形EFGH为菱形B．若AC BD⊥，则四边形EFGH为矩形C．若AC BD⊥，则四边形EFGH为正方形=，且AC BDD．若AC与BD互相平分，且AC BD=，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BD===，=时，存在EF FG GH HE故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BDEFG FGH GHE∠=∠=∠=︒，⊥时，存在90故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；===，⊥，存在EF FG GH HE C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BD=，且AC BD∠=∠=∠=︒，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；90EFG FGH GHED、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC BD=，故四边形EFGH 为菱形，故本选项符合题意；故选：D．4．（2021春•樊城区期末）如果一个四边形的对角线相等，顺次连接该四边形四条边的中点，可以得到( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到//EF BD，//GH BD，12EF BD=，12GH BD=，12EH AC=，根据菱形的判定定理证明即可．【解析】E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，//EF BD∴，//GH BD，12EF BD=，12GH BD=，12EH AC=，//EF GH∴，EF GH=，∴四边形EFGH是平行四边形．如图，连接AC、BD，AC BD=，12EF BD=，12EH AC=，EF EH∴=，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．5．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是()A ．当AC BD ⊥时，四边形EFGH 为菱形B ．当AC BD =时，四边形EFGH 为矩形C ．当AC BD ⊥，AC BD =时，四边形EFGH 为正方形D ．以上说法都不对【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH 为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解析】点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，//EF AC ∴，12EF AC =，//GH AC ，12GH AC =，//EH BD ，12EH BD =， //EF GH ∴，EF GH =，∴四边形EFGH 为平行四边形，当AC BD ⊥时，EF EH ⊥，∴四边形EFGH 为矩形，A 选项说法错误；当AC BD =时，EH EF =，∴四边形EFGH 为菱形，B 选项说法错误；当AC BD ⊥，AC BD =时，EF EH ⊥，EF EH =，∴四边形EFGH 为正方形，C 选项说法正确；D 选项说法错误；故选：C ．6．（2019•青神县一模）如图，正方形ABCD 四边的中点分别是E 、F 、G 、H ，若四边形EFGH 的面积是2，则正方形ABCD 的周长是( )A ．4B ．42C ．8D ．82【分析】根据正方形的性质得到AB BC CD AD ===，求得AE BE BF CF CG DG DH AH =======，根据全等三角形的性质得到EF FG HG EH ===，45AHE DHG ∠=∠=︒，求得90GHE ∠=︒，求得1AE AH ==，得到正方形ABCD 的边长为2，于是得到答案．【解析】正方形ABCD 四边的中点分别是E 、F 、G 、H ，AB BC CD AD∴===，∴=======，AE BE BF CF CG DG DH AH∠=∠=∠=∠=︒，A B C D90∴∆≅∆≅∆≅∆，AEH BFE CGF HDE SAS()∠=∠=︒，AHE DHGEF FG HG EH∴===，45GHE∴∠=︒，90∴四边形EFGH是正方形，四边形EFGH的面积是2，∴四边形EFGH2，∴==，AE AH1∴正方形ABCD的边长为2，∴正方形ABCD的周长是8，故选：C．7．（2019•江油市二模）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是()A．任意一个四边形的中点四边形是菱形B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．【解析】A、任意一个四边形的中点四边形是平行四边形，故此选项错误；B、任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，正确；C、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，故此选项错误；D、对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，故此选项错误．故选：B．8．（2019•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是正方形，=，且AC BD⊥时，中点四边形是矩形，当对角线AC BD【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC⊥时，中点四边形是矩形，当对角线AC BD=，=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD且AC BD⊥时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．9．（2021秋•金水区校级月考）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【分析】根据“一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是矩形”进行判断即可．【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，故③错误；当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是矩形，故①②错误，所以正确的有0个，故选：A．10．（2021春•德阳期末）如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是菱形，则AC与BD互相垂直；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】先证四边形EFGH是平行四边形，再由菱形、矩形以及正方形的判定分别对各个说法进行判断即可．【解析】E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EH∴是ABD∆的中位线，FG是CBD∆的中位线，EF是ABC∆的中位线，//EH BD ∴，12EH BD=，//FG BD，12FG BD=，//EF AC，12EF AC=，//EH FG∴，EH FG=，∴四边形EFGH是平行四边形，①AC BD=，EH EF∴=，∴平行四边形EFGH是菱形，故①错误；②AC BD⊥，EF EH∴⊥，90FEH∴∠=︒，∴平行四边形EFGH 是矩形，故②错误；③若四边形EFGH 是菱形，则AC BD =，故③错误；④对角线AC BD =，且AC BD ⊥时，中点四边形EFGH 是正方形，故④正确，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2021春•阿拉尔期末）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是 正方形 ．【分析】由三角形中位线定理得//EH BD ，12EH BD =，//FG BD ，12FG BD =，//EF AC ，12EF AC =，则//EH FG ，EH FG =，得四边形EFGH 是平行四边形，再怎EH EF =，则平行四边形EFGH 是菱形，然后证90FEH ∠=︒，即可得出结论．【解析】如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，EH ∴是ABD ∆的中位线，FG 是CBD ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线，//EH BD ∴，12EH BD =，//FG BD ，12FG BD =，//EF AC ，12EF AC =， //EH FG ∴，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，AC BD =，EH EF ∴=，∴平行四边形EFGH 是菱形，又AC BD ⊥，EF EH ∴⊥，90FEH ∴∠=︒，∴四边形EFGH 是正方形，故答案为：正方形．12．（2021秋•寿光市期末）下列说法正确的是 A 、C ．A ．对角线相等的菱形是正方形B ．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形C ．成轴对称的两个图形全等D ．有三个角相等的四边形是矩形【分析】利用正方形的判定方法、菱形的判定方法、矩形的判定方法及全等图形的定义分别判断后即可确定正确的答案．【解析】A 、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；B 、顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C 、成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；D 、有四个角相等的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意．故答案为：A 、C ．13．（2020春•西华县期末）如图所示，AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，且AC BD ⊥，已知10AC =，8BD =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EG 41 ．【分析】易证四边形HEFG 是平行四边形，因为AC BD ⊥，所以HG EH ⊥，所以四边形HEFG 为矩形，进而由勾股定理得到22EG HE HG +．【解析】E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，152HG EF AC ∴===，142EH FG BD ===， E ，H ，是AB ，AD 中点，//HE BD ∴，12HE BD =， 同理//FG BD ，12FG BD =， ∴四边形HEFG 是平行四边形， AC BD ⊥，HG EH ∴⊥，∴四边形HEFG 为矩形，22224541EG HE HG ∴=+=+4114．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，依次连接AO ，BO ，CO ，DO 的中点E ，F ，G ，H ，得到四边形EFGH ，点M 是EF 的中点，连接OM ，若10AB =，则OM 的长为 2.5 ．【分析】根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据三角形中位线定理得到152EF AB ==，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解析】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， E 、F 分别为OA 、OB 的中点，152EF AB ∴==， 在Rt EOF ∆中，M 是EF 的中点，1 2.52OM EF ∴==， 故答案为：2.5．15．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD 中，AD BC =，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，四边形EHFG 是 菱形 ．【分析】由已知条件得出GF是ADC∆的中位线，GE是ABC∆的中位线，EH是ABD∆的中位线，由三角形中位线定理得出//GF EH，GF EH=，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE EH=，即可得出四边形EHFG是菱形．【解析】证明：点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，GF∴是ADC∆的中位线，GE是ABC∆的中位线，EH是ABD∆的中位线，//GF AD ∴，12GF AD=，12GE BC=，//EH AD，12EH AD=，//GF EH∴，GF EH=，∴四边形EGFH是平行四边形，又AD BC=，GE EH∴=，∴四边形EGFH是菱形．故答案是：菱形．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足对角线垂直且相等条件时，四边形EFGH是正方形．【分析】根据三角形中位线定理得到//EF BD，12EF BD=，//GH BD，12GH BD=，12EH AC=，进而证明四边形EFGH为平行四边形，再根据正方形的判定定理解答即可．【解析】点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，//EF BD ∴，12EF BD=，//GH BD，12GH BD=，12EH AC=，//EF GH∴，EF GH=，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC BD=时，EF EH=，∴平行四边形EFGH为菱形，当AC BD⊥时，EF EH⊥，∴菱形EFGH为正方形，∴当四边形ABCD的对角线垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，故答案为：对角线垂直且相等．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是①②③．【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形解答．【解析】中点四边形都是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．故答案为：①②③．18．（2020春•新乐市期末）对于任意矩形ABCD ，若M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，下面四个结论中，①四边形MNPQ 是平行四边形；②四边形MNPQ 是矩形；③四边形MNPQ 是菱形； ④四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是 ①③ ．【分析】连接AC 、BD ，由三角形中位线定理得出//MN AC ，12MN AC =，//PQ AC ，12PQ AC =，//MQ BD ，12MQ BD =，则//MN PQ ，MN PQ =，MN MQ =，证出四边形MNPQ 是平行四边形，四边形MNPQ 是菱形；①③正确；当AC BD ⊥时，MN MQ ⊥，四边形MNPQ 是矩形，四边形MNPQ 是正方形，②④不正确，即可得出结论．【解析】连接AC 、BD ，如图：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，MN ∴是ABC ∆的中位线，PQ 是ACD ∆的中位线，MQ 是ABD ∆的中位线，//MN AC ∴，12MN AC =，//PQ AC ，12PQ AC =，//MQ BD ，12MQ BD =， //MN PQ ∴，MN PQ =，MN MQ =，∴四边形MNPQ 是平行四边形，∴四边形MNPQ 是菱形；故①③正确；当AC BD ⊥时，MN MQ ⊥，四边形MNPQ 是矩形，四边形MNPQ 是正方形．故②④不正确； 故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）①当AB 与CD 满足条件 AB CD = 时，四边形EGFH 是菱形；②当AB 与CD 满足条件 时，四边形EGFH 是矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到12EG AB =，//EG AB ，12FH AB =，//FH AB ，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；②根据矩形的判定定理解答．【解析】（1）证明：E ，G 分别是AD ，BD 的中点，EG ∴是DAB ∆的中位线，12EG AB ∴=，//EG AB ， 同理，12FH AB =，//FH AB ， EG FH ∴=，//EG FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）①F ，G 分别是BC ，BD 的中点，FG ∴是DCB ∆的中位线，12FG CD ∴=，//FG CD ， 当AB CD =时，EG FG =，∴四边形EGFH 是菱形；②//HF AB ， HFC ABC ∴∠=∠，//FG CD ，GFB DCB ∴∠=∠，90ABC DCB∴∠+∠=︒，90HFC GFB∴∠+∠=︒，90GFH∴∠=︒，∴平行四边形EGFH是矩形，故答案为：①AB CD=；②AB CD⊥．20．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为BAC∠内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB 的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB AC=，AO平分BAC∠时，求证：四边形EFGH为矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理推知////EH AO FG，12EH FG AO==，则四边形EFGH是平行四边形．（2）根据平行线的性质和等腰AEF∆的性质推知：90HEF ADE∠=∠=︒，则四边形EFGH为矩形．【解析】证明：（1）EH是ABO∆的中位线，//EH AO ∴，12EH AO=．同理，FG是ACO∆的中位线，//FG OA ∴，12FG AO=．//EH FG∴，EH FG=，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）设OA与EF的交点为D，AB AC=，E、F分别为AB，AC的中点，AE AF∴=．AO平分BAC∠，//EH AD，∴∠=∠=︒，HEF ADE90∴四边形EFGH为矩形．21．已知：如图，分别以BM、CM为边，向BMC∆形外作等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点．（1）猜测四边形EFGH的形状；（2）证明你的猜想；（3）三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响？【分析】（1）由题意可猜测四边形EFGH是菱形；（2）首先连接AC，BD，易证得()∆≅∆，即可得AC BDAMC BMD SAS=，又由E、F、G、H分别为AB、===，即可得四边形EFGH是菱形；BC、CD、DA中点，则可证得EF FG GH EH（3）由（2）得：BMC∆形状的改变对上述结论没有影响．【解析】（1）解：四边形EFGH是菱形；（2）证明：连接AC，BD，∆和CDMABM∆是等边三角形，∴=，CM DMAM BM∠=∠=︒，=，60AMB CMD∴∠=∠，AMC BMD在AMC ∆和BMD ∆中，AM BM AMC BMD CM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMC BMD SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 中点，12EF GH AC ∴==，12EH FG BD ==， EF FG GH EH ∴===，∴四边形EFGH 是菱形；（3）解：BMC ∆形状的改变对上述结论没有影响．22．（2021春•东莞市期末）如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接E 、F 、G 、H ．（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形；（2）在四边形ABCD 中，若再补充一个条件： AC BD ⊥ ，则四边形EFGH 是矩形；（3）连接EG 、FH ，求证：222222EG FH EF FG GH HE +=+++．【分析】（1）由中位线定理证明：//HG AC ，12HG AC =，//EF AC ，12EF AC =，从而//HG EF ，HG EF =，即可证明四边形EFGH 是平行四边形；（2）若AC BD ⊥，则90DOC ∠=︒，由//EF AC ，//FG BD ，即可得90GFE ∠=︒，故四边形EFGH 是矩形；（3）过H 作HP EG ⊥于P ，过F 作FQ EG ⊥于Q ，Rt HPE ∆中，22222EH HP OE OP OE OP =++-⋅，Rt HPG ∆中，22222HG HP OG OP OG OP =++-⋅，由四边形EFGH 是平行四边形，可得12OE OG EG ==，12OH OF HF ==，故2222222222112222EH HG HP OE OP OE OP HP OG OP OG OP HF EG +=++-⋅+++-⋅=+，同理可得：22221122EF FG HF EG +=+，从而可证明222222EG FH EF FG GH HE +=+++．【解析】（1）H 、G 是AD 、CD 的中点，HG ∴是ACD ∆的中位线，//HG AC ∴，12HG AC =，同理：//EF AC ，12EF AC =，//HG EF ∴，HG EF =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：补充的条件是：AC BD ⊥，证明如下：如图：若AC BD ⊥，则90DOC ∠=︒，//EF AC ， 90OMF DOC ∴∠=∠=︒，FG 是BCD ∆的中位线，//FG BD ∴，18090GFE OMF ∴∠=︒-∠=︒，由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是矩形；故答案为：AC BD ⊥；（3）过H 作HP EG ⊥于P ，过F 作FQ EG ⊥于Q ，如图：Rt HPE ∆中，22222222()2EH HP EP HP OE OP HP OE OP OE OP =+=+-=++-⋅， Rt HPG ∆中，22222222()2HG HP PG HP OG OP HP OG OP OG OP =+=++=++-⋅， 由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形，12OE OG EG ∴==，12OH OF HF ==， 2222222222EH HG HP OE OP OE OP HP OG OP OG OP ∴+=++-⋅+++-⋅ 22222()HP OP OE OG =+++222112()()22OH EG EG =++ 22112()22HF EG =⨯+ 221122HF EG =+， 同理可得：22221122EF FG HF EG +=+， 222222EG FH EF FG GH HE ∴+=+++．23．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ．（1）如图1，试判断四边形PQMN 怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB 上取一点E ，连结DE ，CE ，恰好ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形（如图2)，判断此时四边形PQMN 的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接AC 、BD ．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN 的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）①设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，由于2222213()()2DB x y x x xy y =++=++，2222213()()2AC x y y x xy y =++=++，可得平行四边形PQMN 的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN 是菱形；【解析】四边形PQMN 为平行四边形；（1）连接AC 、BD ．PQ 为ABC ∆的中位线，//PQ AC ∴，12PQ AC =， 同理//MN AC ．12MN AC =． MN PQ ∴=，//MN PQ ，∴四边形PQMN 为平行四边形；（2）四边形PQMN 是菱形；理由如下：设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，2222213()()2DB x y x xy y ∴=++=++，2222213()()2AC x y y x xy y =++=++， 平行四边形PQMN 的对角线相等，∴平行四边形PQMN 是菱形；24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =，四边形EGFH 是怎样的四边形？证明你的结论．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到12EG AB =，//EG AB ，12FH AB =，//FH AB ，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）依据四边形ABCD 是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．【解析】（1）证明：E ，G 分别是AD ，BD 的中点， EG ∴是DAB ∆的中位线，12EG AB ∴=，//EG AB ， 同理，12FH AB =，//FH AB ， EG FH ∴=，//EG FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）菱形．理由：F ，G 分别是BC ，BD 的中点，FG ∴是DCB ∆的中位线，12FG CD ∴=，//FG CD ，又12EG AB =， ∴当AB CD =时，EG FG =，∴平行四边形EGFH 是z。
课题学习;中点四边形[下学期]--华师大版
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中点四边形
概念：顺次连结四边形的各边中点所组成
的四边形叫做中点四边形。
1
1
结论1： EF=HG= AC，EH=FG= BD
2
2
结论2： 四边形EFGH是
C 结论3： EFGH =AC+BD
H
DABiblioteka 结论4：S= S EFGH
1
E
2 四边形ABCD
G
B
F
C
应用拓展2：
五边形的面积与它中点五边形面积有没有倍 数关系？ 六边形。。。
的闪烁变化，越来越亮突然，只见雪墙顶部猛然射出一片纯红色的隐光，这片神光很快化作万万亿亿的隐隐约约的疯，以飘然飞向每个ｌ官和所有在场的学生，随着声 声奇妙的声响，这些疯都变成了一份份 ｌ题的答卷……与此同时，闪亮的文字纷纷变成光闪闪的墨紫色圣液从上面纷纷落下，眨眼间在三只巨碗之上变成了闪烁怪异、 质感华丽的跳动自由的团体操……这时女总管瑶雯娃姑婆发出最后的的狂吼，然后使出了独门绝技『青烟穷鬼柳叶拳』飘然一扫，只见一阵蓝色发光的疾风突然从女总 管瑶雯娃姑婆的腿中窜出，直扑闪光体而去……只见闪光体立刻碎成数不清的珍稀神奇的团体操飞向悬在空中的大广场。随着全部团体操进入大广场，就见空中剩余的 物质很快像怪云一样收缩凝固成弯狗飞流盆景花和三个小蚁巢从天上落下，丝毫不差地返回了原位……这时悬在ｌ场上空闪着奇光的亮青色吹筒形天光计量仪，立刻射 出串串雪白色的脉冲光……瞬间，空中显示出缓缓旋转的纯黄色巨大数据，只见团体操表演的ｌ核总分是９８．４０分！团体操 的答辩总分是９７．５９分！第七章下 午该就要正式大ｌ了，大ｌ场地在冰乱麻魔沟进行，蘑菇王子和知知
应用拓展１：
１．当原四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，中点四 边形ＥＦＧＨ是平行四边形． ２．当原四边形ＡＢＣＤ是矩形，中点四边形 ＥＦＧＨ是菱形． ３．当原四边形ＡＢＣＤ是菱形，中点四边形 ＥＦＧＨ是矩形． ４．当原四边形ＡＢＣＤ是正方形，中点四边形 ＥＦＧＨ是正方形．
四边形常见模型(六大题型)(解析版)-初中数学
四边形常见模型目录题型01中点四边形模型 1题型02十字架模型 4题型03对角互补模型 8题型04半角模型 11题型05含60°的菱形模型 16题型06三垂线模型 20题型01中点四边形模型1.(23-24九年级上·山东枣庄·期中)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形【答案】C【详解】解：如图，设点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∵四边形EFGH是菱形，∴EF=FG=GH=EH，∵BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．2.(23-24九年级上·山西朔州·期中)如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD和AD的中点，顺次连接EF，FG，GH和HE得到四边形EFGH．若AC=10,BD =12，则四边形EFGH的面积等于()A.30B.35C.40D.60【答案】A【详解】解：∵点E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，EF =12AC ，∵AC =10，∴EF =12AC =5，同理，可得：HG ∥AC ，HG =12AC =5，∴EF ∥HG ，EF =HG ，∵点E ，H 分别为边AB ，AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH ∥BD ，EH =12BD =6，同理，可得：FG ∥BD ，FG =12BD =6，∴EH ∥FG ，EH =FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠FEH =90°，∴平行四边形EFGH 是矩形，∴矩形EFGH 的面积为：6×5=30，即四边形EFGH 的面积为30．故选：A ．3.(23-24九年级上·山东东营·期中)如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，则顺次连接四边形ADEC 各边中点，得到的四边形的形状一定是．【答案】菱形【详解】解：∵把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，∴CD =AE =AB ，∵顺次连接四边形ADEC 各边中点，∴H 、F 分别是DE 、AD 的中点，∴HF =12AE ．同理FM =12CD ,NH =12CD ,MN =12AE ，又∵DC =AE ，∴HN =HF =FM =MN ，∴四边形HFMN 是菱形．∴得到的四边形的形状一定是：菱形．故答案为：菱形．4.(23-24九年级上·河南信阳·期中)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)求证：四边形EFGH 的形状是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是菱形．【答案】(1)证明见解析(2)互相垂直(3)AC =BD【详解】(1)证明：如图，连接AC 、BD ，∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EF 、GH 分别为△ABC 、△ADC 的中位线，∴EF =12AC ，EF ∥AC ，GH =12AC ，GH ∥AC ，∴EF =GH ，EF ∥GH ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形；(2)解：当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形，∵EF ∥AC ，FG ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG ，∴平行四边形EFGH 是矩形，故答案为：互相垂直；(3)解：当AC =BD 时，四边形EFGH 是菱形，∵EF =12AC ，FG =12BD ，AC =BD ，∴EF =FG ，∴平行四边形EFGH 是菱形，故答案为：相等．5.(23-24九年级上·福建泉州·期中)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH ，HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形？并说明理由．【答案】(1)见详解(2)AC ⊥BD ，见详解【详解】(1)解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，∴HG ∥AC ,HG =12AC ,EF ∥AC ,EF =12AC ，∴HG ∥EF ,HG =EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)解：AC ⊥BD ，理由如下：连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，∴HG ∥AC ,EH ∥BD ．∵AC ⊥BD ，∴HG ⊥EH ，∴∠EHG =90°，∴平行四边形EFGH 是矩形．故答案为：AC ⊥BD ．题型02十字架模型6.(23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，将一边长为15的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE =8，折痕为PQ ，则PQ 的长为()A.15B.16C.17D.18【答案】C 【详解】解：过点P作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE +∠APQ =90°，又∠DAE +∠AED =90°，∴∠AED =∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ =∠PQM ，则∠PQM =∠APQ =∠AED ，∠D =∠PMQ ，PM =AD∴△PQM ≌△ADE∴PQ =AE =82+152=17．故选：C ．【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．7.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为．【答案】25【详解】解：如图，过点G 作GH ⊥AD 于H ，则四边形ABGH 中，HG =AB ，由翻折变换的性质得GF ⊥AE ，∵∠AFG +∠DAE =90°，∠AED +∠DAE =90°，∴∠AFG =∠AED ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∴HG =AD ，在△ADE 和△GHF 中，∠GHF =∠D∠AFG =∠AED GH =AD，∴△ADE ≌△GHF (AAS )，∴GF =AE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =12CD =2，在Rt △ADE 中，由勾股定理得，AE =AD 2+DE 2=42+22=25，∴GF 的长为25．故答案为：25．【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．8.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)如图，正方形纸片ABCD 的边长为24，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE =10，则GE 的长为【答案】9813【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =24，∠BAD =∠D =90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH =GH ，∴∠BAH +∠ABH =90°，又∵∠FAH +∠BAH =90°，∴∠ABH =∠FAH ，∴△ABF ≌△DAE (ASA )，∴AF =DE =10，在Rt △ABF 中，BF =AB 2+AF 2=242+102=26，S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ，∴24×10=26AH ，∴AH =12013，∴AG =2AH =24013，∵AE =BF =26，∴GE =AE -AG =26-24013=9813，故答案为：9813．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．9.(23-24九年级上·陕西商洛·期中)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 相交于点G ，连接AG ，求证：(1)CE ⊥DF ．(2)∠AGE =∠CDF ．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC =CD =AD ，∠B =∠BCD =90°，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴BE =12AB ，CF =12BC ，∴BE =CF ，在△CBE 与△DCF 中，BC =CD∠B =∠FCD BE =CF，∴△CBE ≌△DCF SAS ，∴∠ECB =∠FDC ，∵∠BCE +∠ECD =∠BCD =90°，∴∠ECD +∠CDF =90°，∴∠CGD =90°，∴CE ⊥DF ．(2)延长CE ，交DA 的延长线于H ，∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AHE =∠BCE ，∵点E 是AB 的中点，∴AE =BE ，∵∠AHE =∠BCE ，∠AEH =∠CEB ，AE =BE ，∴△AEH ≌△BEC AAS ，∴AH =BC ，∵在正方形ABCD 中，AD =BC ，∴AH =AD ，∵CE ⊥DF∴∠HGD =90°，∴AG 是Rt △HGD 斜边的中线，AG =12DH =AD ，∠ADG =∠AGD ，∠AGE +∠AGD =∠HGD =90°，∠CDF +∠ADG =∠CDA =90°，∠AGE=∠CDF．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质等，综合性很强，解题的关键是能够综合运用上述知识．题型03对角互补模型10.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于()A.7B.9C.16D.25【答案】C【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，AE2=AO2+OE2，在Rt△COE中，CE2=CO2+OE2，∴AE2-CE2=AO2-CO2，在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB2，在Rt△COB中，CO2=BC2-OB2，∴AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16，∴AE2-CE2=16，故选：C．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．11.(23-24·山东淄博·期中)如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC=a，AC=b，AB=c，则下列关系式中成立的是()A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2【答案】A【详解】设EF =x ，DF =y ，根据三角形重心的性质得AF =2y ，BF =2EF =2x ，利用勾股定理得到4x 2+4y 2=c 2，4x 2+y 2=14b 2，x 2+4y 2=14a 2，然后利用加减消元法消去x 、y 得到a 、b 、c 的关系．【解答】解：设EF =x ，DF =y ，∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为△ABC 的重心，AF =12AC =12b ，BD =12a ，∴AF =2DF =2y ，BF =2EF =2x ，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB =∠AFE =∠BFD =90°，在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2=c 2，①在Rt △AEF 中，4x 2+y 2=14b 2，②在Rt △BFD 中，x 2+4y 2=14a 2，③②+③得5x 2+5y 2=14(a 2+b 2)，∴4x 2+4y 2=15(a 2+b 2)，④①-④得c 2-15(a 2+b 2)=0，即a 2+b 2=5c 2．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．12.(23-24九年级上·河北石家庄·期中)已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ．(1)若AB =5，OA =3，OC =4，则BC =；(2)若AD =2，BC =5，则AB 2+CD 2=；(3)若AB =m ，BC =n ，CD =c ，AD =d ，则m ，n ，c ，d 之间的数量关系是．【答案】427m 2+c 2=n 2+d 2【详解】(1)∵AC ⊥BD ，∴∠BOC =∠COD =∠DOA =∠AOB =90°，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴CB =OB 2+OC 2=42+42=42．故答案为42．(2)由(1)得：∴OB 2+OC 2=BC 2，OA 2+OD 2=AD 2，OB 2+OA 2=AB 2，OC 2+OD 2=CD 2，∴AB 2+CD 2=OB 2+OA 2+OC 2+OD 2=BC 2+AD 2，∵AD =2，BC =5，∴AB 2+CD 2=2 2+5 2=7．故答案为7．(3)由(2)得：AB 2+CD 2=BC 2+AD 2，∴m 2+c 2=n 2+d 2．故答案为m 2+c 2=n 2+d 2．【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．13.(23-24九年级上·安徽芜湖·期中)如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是(填序号)．(2)【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形ABCD 中，若AC ⊥BD ，则AB 2+CD 2=AD 2+BC 2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．(3)【问题解决】如图乙，在△ABC 中，BC =3，AC =4，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，连接AE ，BD ，有AE ⊥BD ，求AB ．【答案】(1)②④；(2)猜想正确，理由见解析；(3)AB =5【详解】解：(1)∵菱形、正方形的对角线相互垂直，∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义，故答案为：②④；(2)猜想正确，理由如下：∵四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠AOB =∠COD =∠BOC =∠AOD =90°，∴AB 2=OA 2+OB 2，CD 2=OC 2+OD 2，BC 2=OB 2+OC 2，AD 2=OA 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2，BC 2+AD 2=OB 2+OC 2+OA 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=AD 2+BC 2；(3)∵BC =3，AC =4，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴AD =12AC =2，BE =12BC =32，DE =12AB ，∵AE ⊥BD ，∴AB 2+ED 2=AD 2+BE 2，∴5 4AB2=4+94，∴AB=5．14.(23-24九年级上·福建福州·期中)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是；(只填序号)(2)如图，垂美四边形ABCD的对角线交于点O,AB=2,BC=3,AD=4，求CD的长度．【答案】(1)③④(2)21【详解】(1)解：∵菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直，∴只有正方形和菱形能称为垂美四边形，故答案为：③④；(2)∵AC⊥BD，∴AB2=AO2+BO2，BC2=BO2+CO2，DC2=DO2+CO2，AD2=AO2+DO2，∴AB2+DC2=AO2+BO2+DO2+CO2，BC2+AD2=AO2+BO2+DO2+CO2，∴AB2+DC2=BC2+AD2；∵AB=2,BC=3,AD=4∴CD2=32+42-22=9+16-4=21∴CD=21．题型04半角模型15.(23-24九年级上·四川眉山·期中)(半角模型)如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，F是BC上的点，且∠EDF=45°．求证：AE+CF=EF．【答案】见解析【详解】证明：如图，在BC的延长线上截取CG=AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCG=90°，∴△ADE≌△CDG SAS，∴DE=DG，∠ADE=∠CDG．∵∠EDF=45°，则∠ADE+∠CDF=∠ADC-∠EDF=45°∴∠FDG=∠CDF+∠CDG=45°．∴∠EDF=∠FDG．在△DEF 和△DGF 中DE =DG∠EDF =∠FDG DF =DF，∴△DEF ≌△DGF SAS ∴EF =GF ．即EF =GC +CF∴AE +CF =EF ．16.(23-24九年级上·广西南宁·期中)【探索发现】如图①，四边形ABCD 是正方形，M ，N 分别在边CD 、BC 上，且∠MAN =45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将△ADM 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△ABE ，连接AM 、AN 、MN．(1)试判断DM ，BN ，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．(2)如图②，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上，∠MAN =45°，连接MN ，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．【答案】(1)MN =DM +BN ．证明见解析(2)MN =BN -DM ．证明见解析【详解】(1)解：MN =DM +BN ．证明如下：由旋转，可知：AE =AM ，BE =DM ，∠EAM =90°．∠ABE =∠D =90°∴点E 、B 、C 共线∵∠MAN =45°∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN在△EAN 和△MAN 中AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN (SAS )∴EN =MN∵EN =BE +BN∴MN =DM +BN (2)解：MN =BN -DM ．证明如下：在BC 上取BE =MD ．连接AE ，∵AB =AD ，∠B =∠ADM ，∠EAM =90°∴△ABE ≌△ADM (SAS )∴AE =AM ，∠BAE =∠MAD∵∠MAN =45°∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN在△EAN和△MAN中，AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN∴△EAN≌△MAN(SAS)∴EN=MN∵EN=BN-BE∴MN=BN-DM【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键．17.(23-24九年级上·广东汕尾·期中)如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．(1)求证：△EAG≅△EAF；(2)若DF=3，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)BE=2【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°；由旋转的性质可知：∠GAB=∠DAF，AG=AF，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△EAG和△EAF中，AF=AG∠GAE=∠EAF AE=AE，∴△EAG≅△EAF SAS．(2)解：∵DF=3，CD=6，∴CF=3，由(1)可知：GE=EF，BG=DF，∴CG=9，∴CE+EF=9，在Rt△EFC中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即CE2+32=9-CE2，解得：CE=4，∴BE=BC-CE=6-4=2．18.(23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中)【问题情境】神奇的半角模型在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法．如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，为了探究EF、BE、DF之间的数量关系，小明的思路如下：如图2，延长CB到点H，使BH=DF，连接AH，先证明△ADF≌△ABH，再证明△AHE≌△AFE．从而得到EF、BE、DF之间的数量关系．(1)提出问题：EF、BE、DF之间的数量关系为．(2)知识应用：如图3，AB=AD，∠B=∠D=90°，以A为顶点的∠BAD=120°，∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)知识拓展：如图4，在四边形ABCD中，AB=AD=a，BC=b，CD=c．∠ABC与∠D互补，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，且∠EAF=1∠BAD，请直接写出△EFC的周长=．(用2含a、b、c的式子表示．)【答案】(1)EF=DF+BE(2)(1)中的结论还成立，证明见解析(3)b+c【详解】(1)解：延长CB到点H，使BH=DF，连接AH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠ABH=∠BAD=90°，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH,AH=AF，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=45°，∴∠EAH=∠EAF，∵AE=AE，∴△AHE≌△AFE，∴EF=EH，∵EH=BE+BH，∴EF=DF+BE；故答案为：EF=DF+BE(2)解：(1)中的结论还成立，证明如下：延长CB到点M，使BM=DF，连接AM，∵∠B=∠D=90°，∴∠ABM=∠D=90°，∵AB=AD，∴△ADF≌△ABM，∴∠DAF=∠BAM,AM=AF，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=60°，∴∠EAM=∠EAF，∵AE=AE，∴△AME≌△AFE，∴EF=EM，∵EM=BE+BM，∴EF=DF+BE；(3)解：如图，延长CB到点P，使BP=DF，连接AP，∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABP=180°，∴∠D=∠ABP，∵AB=AD，∴△ADF≌△ABP，∴∠DAF=∠BAP,AP=AF，∵∠EAF=1∠BAD，2∠BAD，∴∠BAE+∠DAF=12∴∠EAP=∠EAF，∵AE=AE，∴△APE≌△AFE，∴EF=EP，∵EP=BE+BP，∴EF=DF+BE，∵BC=b，CD=c，∴△EFC的周长=EF+CE+CF=DF+BE+CE+CF=BC+CD=b+c．故答案为：b+c题型05含60°的菱形模型19.(2024·上海·期中)菱形ABCD的边长为23，∠B=60°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，那么△AEF周长为【答案】9【详解】解：过点A作AM⊥EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=BC=CD=23，∵∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，∵AE ⊥BC ，∴BE =CE =12BC =232=3，∠BAE =∠DAF =30°，再Rt △AEB 中，AE =AB 2-BE 2=3，同理可证，∠DAF =∠CAF =30°，AF =3，∴∠EAF =120°-30°-30°=60°，AE =AF =3，∴△AEF 是等边三角形，边长为3∴△AEF 的周长是9．20.(23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试)如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，过点B 作BE ⊥AB 交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为．【答案】192【详解】解：如图，取H 为BE 的中点，∵菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，∴AB =BC =CD =4，AB ∥CD ，∠BAD =∠BCE =60°，∵F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，∴EH =12BE ，FH 是△ABE 的中位线，∴FH =12AB =2，AB ∥FH ，∴AB ∥FH ∥CD ，∵BE ⊥AB ，∴FH ⊥BE ，CD ⊥BE ，∴∠FHE =∠BEC =90°，∴∠CBE =90°-60°=30°，∴CE =12BC =2，∴BE =BC 2-CE2=42-22=23，∴EH =12BE =3，∴FH =CE ，在△FHG 和△CEG 中，∠FHG =∠CEG∠FGH =∠CGE FH =CE，∴△FHG ≌△CEG (AAS )，∴EG =GH =12EH =32，在Rt △FHG 中，由勾股定理得：GF =FH 2+GH 2=22+32 2=192，故答案为：192．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21.(23-24九年级上·上海·期中)如图，菱形ABCD 中，AB =3，∠DAB =60°，AE =1，点P 为对角线AC上的一个动点，则PE +PB 的最小值为．【答案】7【详解】解：如图，连接BD ，PD ，过D 作DR ⊥AB 于R ，由菱形的对称性可得：PD =PB ，∴PB +PE =PD +PE ≥DE ，当D ,P ,E 三点共线时，PD +PE 最短，∵菱形ABCD 中，AB =3，∠DAB =60°，∴AB =AD =3，△ABD 为等边三角形，∴AR =BR =32，DR =AD 2-AR 2=323，∵AE =1，∴ER =32-1=12，∴DE =12 2+323 2=7，∴PB +PE 的最小值为：7；故答案为：7【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．22.(23-24九年级上·广西钦州·期中)如图，已知菱形ABCD 的边长为8，点M 是对角线AC 上的一动点，且∠ADC =120°，则MA +MB +MD 的最小值是．【答案】83【详解】解：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=DC=BC，∠DAB，∠MAE=12∴∠DAB+∠ADC=180°，∴∠DAB=180°-120°=60°，∴∠MAE=1∠DAB=30°，2△DAB是等边三角形，∵ME⊥AB，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2ME+DM，∴当D、M、E三点共线时，ME+DM取得最小值，此时ME+DM=DE，∴MA+MB+MD的最小值为2DE，AB=4，∴AE=12∴DE=AD2-AE2=82-42=43，∴2ME+DM=2DE=83，∴MA+MB+MD的最小值为83；故答案：83．23.(23-24九年级上·四川绵阳·开学考试)如图，△ABC中，∠BCA=90°，D是斜边AB的中点，若CE∥AB，DE∥BC，且DE交AC于点O，连接AE．(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B=60°，BC=6，则四边形ADCE的面积=．【答案】(1)证明见解析(2)183【详解】(1)证明：∵CE∥AB，DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴CE∥BD，且EC=BD．∵D是斜边AB的中点，∴AD=BD，∴EC=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BCA=90°，D是斜边AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)解：∵∠BCA=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵BC=6，∴AB=2BC=12，∴AC=AB2-BC2=122-62=63，由(1)知，四边形ADCE是菱形，四边形DBCE是平行四边形，∴AC⊥DE，DE=BC=6，∴菱形ADCE的面积=12AC×DE=12×63×6=183，故答案为：183【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．24.(23-24九年级上·浙江杭州·开学考试)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【答案】(1)见解析(2)菱形的面积为83【详解】(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，作EG⊥BC于G，∴∠BEG=30∘,∠BGE=90∘，∴BG=12BE=2,∴EG=23，即高为23，∴菱形的面积为4×23=8 3.题型06三垂线模型25.(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作正方形CEFG，连接AF，BD交于点P，连接BG，过点F作FH⎳BG交BC于点H，连接AH，交BD于点K，下列结论中错误的是()A.HE=CDB.△AHF是等腰直角三角形C.点P为AF中点D.PK=BK+DP【答案】D【详解】解：A．∵四边形CEFG是正方形，∴GF∥CE，GF=CE，∵BG∥HF，∴四边形BHFG为平行四边形，∴GF=BH，∴BH=CE，∴BC=HE，∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD．∴HE=CD，故A正确；B．∵ABCD是正方形，CEFG是正方形，∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°，∵BC=HE，BH=CE，∴AB=HE，BH=EF，∴△ABH≌△HEF(SAS)，∴AH=HF，∠BAH=∠EHF，∵∠BAH+∠AHB=90°，∴∠EHF+∠AHB=90°，∴∠AHF=90°，∴△AHF为等腰直角三角形，故B正确；C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠HBD=1∠ABC，2∴∠HBM=45°，∴BH=MH，∵△ABH≌△HEF，∴BH=EF，∴MH=EF，∴四边形EFMH为矩形，∴MF∥BE∥AD，MF=HE，∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP，∵AD=BC=HE，∴AD=MF，∴△P AD≌△PFM(ASA)，∴AP=FP，故C正确；D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ=AP，∠QAP=90°，∵△AHF是等腰直角三角形，∴∠HAF=45°，∴∠QAK=∠P AK=45°，∵AK=AK，∴△AQK≌△APK(SAS)，∴QK=PK，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP，∴∠QBK=90°，∴BK2+BQ2=QK2，∴BK2+DP2=KP2，故D错误；故选：D．【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形．26.(23-24九年级上·广西贵港·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为()A.13B.15C.17D.20【答案】C【详解】∵四边形ABDE是正方形，∴∠BAE=90°，AE=AB，∵EF ⊥CA ，∴∠F =90°，∴∠EAF +∠AEF =90°，∵∠EAF +∠BAC =180°-∠BAE =90°，∴∠AEF =∠BAC ，在ΔAEF 和ΔBAC 中，∠F =∠ACB =90°∠AEF =∠BAC AE =AB，∴ΔAEF ≌ΔBAC AAS ，∴EF =AC =8，AF =BC =7，在Rt ΔECF 中，EF =8，FC =FA +AC =8+7=15，根据勾股定理得：CE =82+152=17，故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．27.(23-24九年级上·辽宁盘锦·期中)如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且AE =CF ，则四边形EBFD 的面积为：．【答案】9【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =DC ，∠A =∠DCF =90°，∵AE =CF，∴△DAE ≅△DCF SAS ，∴四边形EBFD 的面积=正方形ABCD 的面积=32=9．故答案是9．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键．28.(23-24九年级上·陕西西安·期中)已知：点E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 得到四边形EFGH ．有下列说法：①四边形EFGH 是平行四边形；②当四边形ABCD 为平行四边形时，四边形EFGH 是菱形；③当四边形ABCD 为矩形时，四边形EFGH 是菱形；④当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；⑤若四边形EFGH 是正方形，则四边形ABCD 一定是正方形．其中正确的是()A.①③④B.①②⑤C.①③④⑤D.②④⑤【答案】A 【详解】解：如图所示，连接BD 、AC ，∵E 、H 分别为AD ，CD 中点，∴EH =12AC ，同理，FG =12AC ，EF =12BD ，HG =12BD ，∴EH =FG ，EF =HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；当四边形ABCD 是矩形时，则AC =BD ，∴EH =EF ，∴平行四边形EFGH 是菱形，而当四边形ABCD 是平行四边形时，不能得出EH =EF ，故②错误，③正确；当AC ⊥BD 时，∵E 、F 、H 分别为AD 、AB 、CD 中点，∴EF ∥BD ，EH ∥AC ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形，故④正确；∵EF =GH =12BD ，EH =FG =12AC ，四边形EFGH 是正方形，∴EF =GH =EH =FG ，EF ⊥EH ，∴BD =AC ，BD ⊥AC ，不能说明四边形ABCD 是正方形，故⑤错误；故选A ．29.(23-24九年级上·山东泰安·期中)如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为()A.23cmB.33cmC.43cmD.3cm【答案】B【详解】解：连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =AD =BC =CD =2cm ，∠B =∠D ，∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴BE =12BC =1,DF =12CD =1，∴BE =DF =1，在△ABE 和△ADF 中，AB =AD∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF (SAS )，∴AE =AF ,∠BAE =∠DAF ，∵∠B =∠D =60°，∴△ABC 与△ACD 是等边三角形，∴AE ⊥BC ，∴∠BAE =∠DAF =90°-60°=30°，AE =AB 2-BE 2=3，∵∠BAD =180°-∠B =120°，∴∠EAF =∠BAD -∠BAE -∠DAF =120°-30°-30°=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴△AEF 的周长是33cm ．故选B ．30.(23-24九年级上·江苏无锡·期中)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，点E 是边AD 的中点，将△DCE沿着CE 翻折，得到△D CE ，延长BD 交CE 的延长线于点H ，则EH =．【答案】255【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB =4，∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°,AB =BC =CD =AD =4，∵点E 是边AD 的中点，∴DE =AE =12AD =2，在Rt △CDE 中，CE =DE 2+CD 2=22+42=25，∵将△DCE 沿着CE 翻折，得到△D CE ，∴∠DCE =∠D CE =12∠DCD ，∠D =∠CD E =90°，CD =CD =4，DE =D E =2，∴CD =BC ，如图，过点D ′作D F ⊥CH 于点F ，过点C 作CG ⊥BH 于点G ，则∠D CG =∠BCG =12∠BCD ，∴∠HCG =∠D CE +∠D CG =12∠DCD +12∠BCD =12(∠DCD +∠BCD )=12∠BCD =45°，∴∠H =45°，∴△D FH 为等腰直角三角形，HF =D F ，∵S ΔDCE =12D E ×CD =12CE ×D F ，∴D F =D E ×CD CE =2×425=455,∴HF =D F =455，在Rt △D EF 中，EF =D E 2-D F 2=22-455 2=255，∴EH =HF -EF =255，故答案为：255．【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据题意推理论证得到∠H =45°是解题关键．31.(23-24九年级上·山西太原·期中)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E 是BC 边上一点，且CE =2BE ，连接AE ，点F 是AB 边上一点，过点F 作FG ⊥AE 交CD 于点G ，连接EF ，EG ，AG ，则四边形AFEG 的面积为．【答案】5【详解】解：如图，过F 点作FH ⊥CD 于H ，∴∠FHG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =AB =3，∠B =∠C =90°，∴四边形BCHF 是矩形，∴FH =BC =AB =3，∠BFH =90°，∴∠GFH +∠AFG =90°，∵AE ⊥FG ，∴∠AFG +∠EBA =90°，∴∠EAB =∠GFH ，在△ABE 和△FHG 中，∠B =∠FHGAB =FH ∠BAE =∠HFG，∴△ABE ≌△FHG (ASA )∴AE =FG ，∵CE =2BE ，∴BE =13BC =1，∴AE =AB 2+BE 2=32+12=10，∴FG =10，∴S 四边形AFEG =12AE ⋅FG =12×10×10=5；故答案：5．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键．32.(23-24九年级上·山西吕梁·期中)如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形各边中点E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH 的面积等于cm 2．【答案】8【详解】解：连接AC ，BD ，∵点E 、F 、G 、H 是正方形各边的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，FG 是△ABC 的中位线，GH 是△BCD 的中位线，EH 是△ADC 的中位线，∴EF =GH =12BD ，FG =EH =12AC ，EF ∥BD ，FG ∥AC ，又∵AC =BD ，∴EF =FG =GH =EH ，∴四边形EFGH 是菱形，又∵AC ⊥BD ，EF ∥BD ，FG ∥AC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是正方形∵正方形ABCD 的周长为16cm ，，∴AB =BC =CD =AD =4，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD =42，，∴EF =12BD =22∴四边形EFGH 的面积=22 2=8cm 2．故答案为：8．33.(23-24九年级上·山东东营·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，点B 在y 轴上，∠AOC =60°，则点B 的坐标为．【详解】解：如图，连接AC交BO于点D，∴OC=OA=2,OD=DB，AC⊥BD，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=2，AC=1，∴AD=12∴OD=OA2-AD2=3，∴OB=2OD=23，∵点B在y轴上，∴点B的坐标为0,23．故答案为：0,23．34.(23-24九年级上·湖北咸宁·期中)在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．(1)作△APB≌△AND(如图①)，求证：△APM≌△ANM；(2)求证：MN2=BM2+DN2；(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，(如图②)，请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)MN2=2BM2+2DN2．理由见解析【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°．∴∠BAM+∠NAD=45°，∵△APB≌△AND，∴P A=NA，∠P AB=∠NAD，∴∠P AB+∠BAM=45°，∴∠P AM=∠NAM=45°，在△APM和△ANM中，P A=NA∠P AM=∠NAMAM=AM，∴△APM≌△ANM(SAS)；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，∵△APB≌△AND，∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°，∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，∴PM2=BM2+PB2，∵△APM≌△ANM，∴PM=MN，∴MN2=BM2+DN2；(3)解：MN2=2BM2+2DN2．理由如下：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△AB M ．如图：过点M 作M F⊥CD于F，连接M N，同(1)可证△AMN≌△AM N，∴M N=MN．∵∠C=90°，∠CMN=45°，∴CM=CN．设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，∴M F=AD-AB =AD-AB=a+c-(b+c)=a-b，NF=DN+DF=DN+B M =DN+BM=b+a．在Rt△M FN中，M N2=M F2+NF2=(a-b)2+(a+b)2=2a2+2b2，∴MN2=2BM2+2DN2．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用SAS即可证明△APM≌△ANM；(2)证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；(3)通过构造直角三角形，利用勾股定理找出MN2=2BM2+2DN2．35.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE=DF，AB=BE，AE与BF相交于点O，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=DF=3，∠ABE=60°，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)4【详解】(1)证明：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC,AD=BC，∵CE=DF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD,AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长为22，∴AB+BC=11，∴AB+BE+EC=11，∵AB=BE,CE=3，∴AB=BE=4，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=4．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．。
四边形中的中点问题
四边形中的中点问题11、已知：AD 平分/ BAC, BD 丄AD , E 为 BC 中点，求证： DE//AC ; DE — (AC-AB )21 BD 丄 AD , E 为 BC 中点，求证： DE//AC ; DE=—(AC+AB)23、已知：BE 、CD 分别为△ ABC 的角平分线，AF 丄CD, AG 丄BE ,连FG 求证：FG=^ (AB+AC-BC)4、已知：BD CE 分别为△ ABC 的外角平分线，AD 丄BD , AE 丄CE,连DE ,求证：DE=^ (AB+AC+BC)215、已知：CE BD 分别为△ ABC 的内、外角平分线，AD 丄BD, AE 丄CE,连DE,求证：DE^ (AB+BC-AC)2C2、已知：AD 为/ BAC 外角平分线的反向延长线,A7、已知：RT A ABC 中，CD 为AB 边上的高，AE 、BF 分别为角平分线，交 CD 于P 、G 两点，M 为PE 的中点，N 为 1 FG 的中点，求证： MN//AB ； MN= — (AC+BC-AB)28、如图，△ AOB 和厶A i OB i 是顶角为100°的两上等腰三角形,K 、L 、M 分别是AB 、BB 「B 1 A 1的中点，求/ KLM .如图，在 口ABCD 中，BC=2AB,CE1 AB 于E , F 为AD 的中点，若 / AEF=50 °,贝U / AFE 为多少?B L6、已知：RT ^ ABC 中，CD 为AB 边上的高, MN=MDAE 平分/ BAC,交CD 于F , M 为AC 的中点，N 为FE 的中点，求证:AF 丄BC 于F , AF 交BD 于E , 若 DE=2AB,求/ AED 的度数F13、分别以厶FBC 的两边FB 和FC 为斜边在形外作等腰 Rt A FBD 和等腰Rt A ACF , P 是BC 的中点，求证:14、四边形 ABCD 对角线 AC BD 交于E ,且AC=BD M 、N 分别为AD 、BC 中点。
专题中点四边形综合问题重难点培优八年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版浙教版
八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.9中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•兴宁市期末）若正方形ABCD各边的中点依次为E、F、G、H，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2021秋•成华区期末）顺次连接菱形四边中点形成的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定3．（2021春•霍林郭勒市校级月考）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．平行四边形D．正方形4．（2021秋•和平区期末）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．三角形5．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不对6．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形8．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（）A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形D．以上说法都不对9．（2018•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（2021春•遵化市期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上、11．（2021春•宜兴市月考）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形．12．（2021秋•南海区月考）顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是．13．（2021春•泰兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形为形．14．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是．15．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，依次连接AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，得到四边形EFGH，点M是EF的中点，连接OM，若AB＝10，则OM的长为．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是正方形．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是．18．（2021春•昆明期末）如图，某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个如图所示的四边形花园EFGH，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若AB＝10m，AD＝20m，则四边形EFGH的面积为m²．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．20．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）①当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形．21．（2021春•滦州市期末）已知：如图，四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD和AC的中点．（1）求证：四边形MPNQ是平行四边形．（2）若满足AB＝CD．试判断MN与PQ的位置关系（不用说明理由）．22．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2），判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论．23．（2021春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、EH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）再加上条件后，能使得四边形EFGH是矩形．请从①四边形ABCD是菱形，②四边形ABCD 是矩形．这两个条件中选择1个条件填空（写序号），重新画图并写出证明过程．24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB＝CD，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．。
借助一个问题认识中点四边形
借助一个问题认识中点四边形中点四边形是指顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形，其形状与原四边形的两条对角线有着十分密切的内在联系，现就一个问题的几种变式浅析归纳如下：问题1如图1，E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 各边中点.求证四边形EFGH 是平行四边形.分析: 点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边中点,要证四边形EFGH 是平行四边形,看似无法下手,但若想到连接对角线AC 、BD(这时两条对角线既不垂直,也不相等),则可将四边形问题转化成三角形问题,EF 、GH 分别是△ACB 和△ACD 的中位线,根据三角形中位线性质定理知,EF ∥AC,GH ∥AC,从而EF ∥GH,同理HE ∥GF,由平行四边形的定义知,四边形EFGH 是平行四边形.变式1: 如图2，E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 各边中点,且对角线AC=BD.求证四边形EFGH 是菱形.分析:(这时两条对角线不垂直,仅相等), EF 、GH 分别是△ACB 和△ACD 的中位线,根据三角形中位线定理知,EF=GH=21AC,同理HE=GF=21BD,而AC=BD,所以EF=FG=GH=HE,,由菱形的判定知, 四边形EFGH 是菱形.变式2: 如图3，E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 各边中点,且对角线AC ⊥BD.求证四边形EFGH 是矩形.分析: (这时两条对角线互相垂直,但不相等),EF 为△ABC 的中位线,则EF ∥AC;FG 为△BCD的中位线,则FG ∥BD,而AC ⊥BD,可得EF ⊥FG,再由问题1可知,四边形EFGH 是平行四边形,从而四边形EFGH 是矩形.ABCDE FGH ABCDEFGH变式3: 如图4，E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 各边中点,对角线AC=BD 且AC ⊥BD.求证四边形EFGH 是正方形.分析: (这时两条对角线互相垂直且相等),因为AC=BD,由变式1可知四边形EFGH 必为菱形.又因为AC ⊥BD,由变式2可知四边形EFGH 必是矩形,从而四边形EFGH 是正方形.规律方法：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形，一定是一个平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形则为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形则为矩形；当原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形则为正方形。
四边形中点习题及答案
多个中点，考虑（或构造）______________．
1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E ，F ，G 分别是
AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB ＝66°，∠CAD ＝20°，
则∠EFG =________.
2．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是DC 及AB 的中点，射线FE 与AD 及BC 的延长线分别交于点H 及G ．试猜想∠AHF 与∠BGF 的关系，并给出证明．
3．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ．
求证：∠BME=∠CNE ；（提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）
（2）如图2，在△ABC 中，F 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线FE 交BA 的延长线于点G ，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE 的长度．
A C D F
G
答案：1 . 2.相等
3. 提示：若猜想不出∠AHF 与∠BGF 的关系，可考虑使四边形ABCD 为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC ，以F 为中心，将△ABC 旋转180°，得到△ABP ．
23。
专题01 中点四边形模型(全国通用)(原卷版)
专题01 中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【典例2】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【典例3】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2023春•福山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和3．（2023春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝3，AD＝4，则中点四边形EFGH的面积为（）A．8B．6C．4D．34．（2023春•费县期末）顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．对角线相等的四边形C．菱形D．对角线互相垂直的四边形5．（2023•商丘模拟）一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个原四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．对角线相等6．（2023春•路北区期末）顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（）A．互相平分．B．互相平分且相等C．互相垂直．D．互相平分且垂直7．（2023春•达州期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．138．（2023•浦东新区二模）顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是（）A．菱形B．对角线相等的四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形9．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF上，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．10．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定11．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD12．（2022春•惠城区校级期中）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形13．（2022•老河口市模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．对角线相等的四边形14．（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．48B．24C．32D．1215．（2023春•金湖县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝8，AD＝10，则AO的长为．16．（2022春•皇姑区期末）在四边形ABCD中，AC＝6cm，BD＝9cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为cm．17．（2023秋•丹东期末）【问题初探】数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质．首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．接下来张老师提出问题：如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH是什么形状？中点四边形EFGH的面积与原四边形ABCD的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程．班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形EFGH是平行四边形，且中点四边形EFGH的面积是原四边形ABCD面积的一半．证明如下：证明：如图2，连接AC，BD∵点H，G分别为AD，CD的中点∴HG是△ADC的中位线，根据三角形中位线定理可得：HG与AC的位置关系为，数量关系为．同理可得：EF∥AC，∴HG∥EF，HG＝EF∴四边形EFGH是平行四边形根据线段HG，AC的关系，进而可得△DHG∽△DAC，且＝同理∴（1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整．【类比探究】（2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形EFGH的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空）①当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为菱形？②当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为矩形？③中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有怎样的数量关系，并说明理由．【学以致用】（3）如图3，在四边形ABCD内部有一点O，连接OA，OB，OC，OD，点H，G分别是AD，BC的中点，连接HG，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝150°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，求HG的长．18．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．19.（2022春•仙居县期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．。
中点四边形课后练习参考答案
《中点四边形》课后练习一、选择题（本大题共10小题）1．（2020春•崇川区校级期中）已知四边形ABCD的对角线相等，顺次连接四边形的四条边中点，所得到的新四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BD，GH∥BD，EF BD，GH BD，EH AC，根据菱形的判定定理证明即可．【解析】∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，∴EF∥BD，GH∥BD，EF BD，GH BD，EH AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC＝BD，EF BD，EH AC，∴EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．2．（2020春•清江浦区期末）已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为（）A．40B．20C．16D．8【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，求证四边形KLMN为矩形和KN．KL的长，然后即可求出四边形KLMN的面积．【解析】如图，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，∴四边形KLMN为矩形，∴KN∥AC，且KN AC，∵AC＝10，∴KN10＝5，同理KL＝4，则四边形KLMN的面积为4×5＝20．故选：B．3．（2020春•木兰县期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EF AC，EH BD，EH∥BD，EF∥AC，根据正方形的判定定理解答即可．【解析】如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴EF AC，EH BD，EH∥BD，EF∥AC，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∴AC＝BD，∵EH∥BD，EF∥AC，∠HEF＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，∴四边形ABCD可能是正方形，故选：D．4．（2020春•徐州期中）如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推…，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为（）（S≥2且S是正整数）A．B．C．D．【分析】观察图形发现第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个阴影部分的面积为，依此类推，得到第n 个图形的阴影部分的面积即可．【解析】观察图形发现：第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个图形中的阴影部分的面积为，…第n个图形中的阴影部分的面积为．故第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为，故选：B．5．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH 为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD，且AC⊥BD，存在EF＝FG＝GH＝HE，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC＝BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意；故选：D．6．（2020秋•荥阳市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2B．2+2C．4+2D．4+4【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．【解析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，∴BC＝2AC＝4，AB AC＝2，∵BD＝CD，∴AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形，∵AD＝AC＝DC，∴∠ADC＝60°，∵AE∥DB，∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∵AE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴AD＝DE＝2，∵AJ＝JE，AI＝ID，∴IJ DE＝1，∵BH＝DH，AI＝ID，∴IH AB，∴四边形GHIJ的周长＝2（1）＝2+2，故选：B．7．（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，将正方形（图①）作如下操作：第1次，分别连接各边中点，得到5个正方形（图②）；第2次将图②中左上角的正方形按上述方法再分割得到9个正方形（图③），…，以此类推，若要得到2033个正方形，则需要操作（）次．A．506B．507C．508D．509【分析】根据正方形的个数变化规律，可得第n次得到（4n+1）个正方形，据此可得结论．【解析】∵第1次：得到4+1＝5个正方形；第2次：得到4×2+1＝9个正方形；…以此类推，第n次得到（4n+1）个正方形，若第n次得到2033个正方形，则4n+1＝2033，解得：n＝508．故选：C．8．（2020春•仙居县期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE．若EH＝3EF，则下列结论正确的是（）A．AB EF B．AB＝2EF C．AB＝3EF D．AB EF【分析】连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．【解析】连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EF AC，EF∥AC，EH BD，EH∥BD，∵EH＝3EF，∴OB＝3OA，∴AB OA，∴AB EF，故选：D．9．（2019秋•海淀区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA中点，AC⊥BD．则下列相关叙述中错误的是（）A．连接EG，FH，则有EG＝FHB．若BD，则以E，F，G，H为顶点的四边形为正方形C．连接EG，FH，相交于点O，则OE＝OF＝OG＝OHD．若EF＝3，FG＝4，则EG＝5【分析】如图，连接EH，HG，FG，EF．EG，FH，设EG交FH于点O．证明四边形EFGH是矩形即可解决问题．【解析】如图，连接EH，HG，FG，EF．EG，FH，设EG交FH于点O．∵AE＝EB，AH＝DH，∴EH∥BD，EH BD，同法可证FG∥BD，FG BD，EF∥AC，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵ACBD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴EG＝FH，∴OE＝OG＝OF＝OH，∴∠EFG＝90°，若EF＝3，FG＝4，则EG5．故选项A，C，D正确，故选：B．10．（2019春•青山区期中）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形A n B n∁n D n．则下列结论正确的个数有（）①四边形A1B1C1D1是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长为；④四边形A n B n∁n D n的面积是．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；④根据四边形A n B n∁n D n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．【解析】①连接A1C1，B1D1．∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；故①结论正确；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②结论正确；③根据中位线的性质易知，A5B5A3B3A1B1AC，B5C5B3C3B1C1BD，∴四边形A5B5C5D5的周长是2（a+b），故③结论正确；④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形A n B n∁n D n的面积是．故④结论正确．综上所述，①②③④正确．故选：A．二．填空题（共8小题）11．（2020春•广陵区校级期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是AC＝BD．【分析】根据三角形中位线定理得到EF BD，EH AC，根据菱形的性质得到EF＝EH，得到答案．【解析】∵E、F、H分别是边AD、AB、CD的中点，∴EF BD，EH AC，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝EH，∵EF BD，EH AC，∴AC＝BD，故答案为：AC＝BD．12．（2020春•高淳区期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D在△ABC内，且BD＝CD，∠BDC＝90°，E、F、G、H分别是AB、AC、BD、CD的中点，则四边形EFHG的面积为．【分析】连接AD并延长交BC于点P，根据线段垂直平分线的定义得到BP＝CP＝5，AP⊥BC，根据勾股定理求出AP，根据直角三角形的性质求出PD，得到AD的长，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFHG为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【解析】连接AD并延长交BC于点P，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AP是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP＝5，AP⊥BC，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BP＝CP，∴DP BC＝5，在Rt△APB中，AP12，∴AD＝12﹣5＝7，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF BC＝5，EF∥BC，同理，GH BC，GH∥BC，EG BC＝3.5，EG∥AD，∴GH＝EF，GH∥EF，∴四边形EFHG为平行四边形，∵EF∥BC，EG∥AD，AP⊥BC，∴四边形EFHG为矩形，∴四边形EFHG的面积＝5，故答案为：．13．（2020春•邗江区期末）已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为20．【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，得到四边形KLMN为矩形和KN、KL的长，求出四边形KLMN的面积．【解析】如图，∵K、L分别为AD、AB的中点，∴KL是△ABD的中位线，∴KL BD＝4，KL∥BD，同理，NM BD，NM∥BD，ML AC＝5，ML∥AC，∴KL＝MN，KL∥MN，∴四边形KLMN为平行四边形，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，NM∥BD，ML∥AC，∴KL⊥ML，∴四边形KLMN为矩形，∴四边形KLMN的面积为4×5＝20，故答案为：20．14．（2020春•东海县期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2020个矩形的面积为．【分析】易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2．【解析】已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2；第三个矩形的面积是（）2×3﹣2；…故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1．∴第2020个矩形的面积为，故答案是：．15．（2020春•广陵区期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加AC＝BD条件，就能保证四边形EFGH是菱形．【分析】易得新四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．【解析】∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可，例如AC＝BD，故答案为：AC＝BD．16．（2020•湘阴县一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解析】如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF AC，同理HG∥AC，HG AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．17．（2020春•新乐市期末）对于任意矩形ABCD，若M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的中点，下面四个结论中，①四边形MNPQ是平行四边形；②四边形MNPQ是矩形；③四边形MNPQ是菱形；④四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①③．【分析】连接AC、BD，由三角形中位线定理得出MN∥AC，MN AC，PQ∥AC，PQ AC，MQ∥BD，MQ BD，则MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，证出四边形MNPQ是平行四边形，四边形MNPQ是菱形；①③正确；当AC⊥BD时，MN⊥MQ，四边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形，②④不正确，即可得出结论．【解析】连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的中点，∴MN是△ABC的中位线，PQ是△ACD的中位线，MQ是△ABD的中位线，∴MN∥AC，MN AC，PQ∥AC，PQ AC，MQ∥BD，MQ BD，∴MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴四边形MNPQ是菱形；故①③正确；当AC⊥BD时，MN⊥MQ，四边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形．故②④不正确；故答案为：①③．18．（2020•通州区一模）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③④．【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ AC，MN∥AC，MN AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解析】①当AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②当AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③当AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形；故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形．故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．故答案为：①②③④．。
四边形的中点专题
四边形的中点专题四边形的中点专题1..如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF丄DE与BC延长线交于点F.连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1)若BF=BD=2 ，求BE的长；(2)若M是EF中点，求证：MC垂直平分DB(1)解：•••四边形ABCDE方形，•••/ BCD=90，••• Rt△ BCD中, BC2 CD2 BD2，2 2即BC22 2 • BC=AB=1T DF丄DE, ADE y EDC=90 =Z EDC k CDF•/ ADE y CDFADE CDF在^ ADE?3 CDF中， AD CD ，A DCF 90•△ ADE^A CDF(ASA，-——2•AE=CF=BF-BC=2 1 • BE=AB-AE=1-1 .2 =21(2)证明：如图：连接DM BM T DF丄DE M为EF中点，• DM= EF,2vZ EBF=90，M 为EF 中点，• BM」EF,：BM=DM2• M在BD的垂直平分线上v BC=CD,.C在BD的垂直平分线上• MC垂直平分DB2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线丄AC于点E,求证：AD=2OE证明：取CD的中点F,连接EF, OFv四边形ABCD是平行四边形，•AO=COV DE I AC••/ DEC=90•••EF=FCV CD// AB•••/ CAB2 DCA=x.•••/ FEC K DCE= x.•••/ DAC K FOC=2 x.•••/ FEO K EFO= x••• OE=OFAD=2OE3.在平行四边形ABC冲，对角线相交于点O. E、F、P分别OB OC AD的中点, 且AC=2AB 求证：EP=EF证明：连接AE, V四边形ABCD是平行四边形3题••• AD=BC AC=2OA=2OC： AC=2AB•••OA=AB V E 为OB中点,••• AE! BD （三线合一定理），•••K AED=90 , V P 为AD中点,••• AD=2Ep v BC=AD •- BC=2EPV E、F分别是OB OC中点，• BC=2EF • EP=EF4.如图，点E为正方形ABCD外一点，/ BCE K BAE=15 ,AE=T3,O为BD的中点，连接OE,求OE的长。
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专题复习：中点四边形问题
结论一：中点四边形EFGH是平行四边形；
结论二：若对角线AC和BD相等，则中点四边形EFGH是菱形；
结论三：若对角线AC和BD互相垂直，则中点四边形EFGH是矩形；
结论四：若对角线AC和BD互相垂直且相等，则中点四边形EFGH是正方形
1、（2010•青海）观察探究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD中，点
E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到
的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是____________；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是_________________；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是_________________；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是_______________.
2、如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形A n B n C n D n．
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形A n B n C n D n的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长．
问题提出：
（1）当n为_________时，四边形的形状是矩形；求其周长=_____________ (2)当n为___________时，四边形的形状是菱形。
求其周长=______________
3、O点是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G 依次连结起来，设DEFG能构成四边形。
（1）如图当O点在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形。
（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由。
（3）若四边形DEFG为矩形，则O点所在位置应满足什么条件，试说明理由。