决胜2020年高考,数学重难点——圆锥曲线的综合问题(学霸必须掌握题)

高考重点难点——圆锥曲线的综合问题

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．

即⎩

⎪⎨⎪⎧

Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．

(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2．弦长公式

设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋1

k 2·|y 1－y 2

| ＝

1＋1

k

2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.

1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．

2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．

[试一试]

1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．

2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的交点个数是( )

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．0

解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b

a x 平行，所以它与双曲线只有1

个交点．

1．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 设点 设出弦的两端点坐标

代入 代入圆锥曲线方程

两式相减，再用平方差公式把上式展开

转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 2．函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

[练一练]

1．椭圆x 22＋y 2

＝1的弦被点⎝⎛⎭⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________． 解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1. ∵A ，B 在椭圆上，

∴x 2

12＋y 2

1＝1，x 222

＋y 22＝1. (x 1＋x 2)(x 1－x 2)

2

＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，

即

y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)

＝－1

2，

即直线AB 的斜率为－1

2.

∴直线AB 的方程为 y －12＝－1

2⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x ＋4y －3＝0. 答案：2x ＋4y －3＝0

2．(2013·成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与曲线y ＝2x －1相切，

则该双曲线的离心率为________．

解析：双曲线x 2

a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a

x ，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝±b a x ，y ＝2x －1，

得⎝⎛⎭⎫b a 2x 2－2x ＋1＝0，由渐近线与曲线y ＝2x －1相切可知Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫b a 2＝0，得b

a ＝1，所以该双曲线为等轴双曲线，离心率为 2.

答案： 2

第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

2l 的条数是( )

A ．0或1

B ．1或2

C ．0或1或2

D ．1或2或3

解析：选D ①当A 在抛物线的外部时，共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与抛物线的对称轴平行，如图)；②可以想象，当A 在抛物线上时，有两条直线与抛物线只有一个公共点；③当A 在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点．故选D.

2．双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直

线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )

A ．k ＞－b

a

B ．k ＜b

a

C ．k ＞b a 或k ＜－b

a

D ．－b a ＜k ＜b a

解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－b a ＜k ＜b

a .

[类题通法]

研究直线与圆锥曲线位置关系的方法

研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．

弦长问题

[典例] 如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)，M 为直线l ：y ＝－

2p 上任意一点，过M 引抛物线的两条切线，切点分别为A ，B (B 点在A 点右侧)．

设抛物线上一点P 到直线l 的距离为d ，F 为焦点，当d －|PF |＝3

2，

M 的坐标为(2，－2)时，求抛物线方程和线段AB 的长．

[解] 依题意，由d －|PF |＝32，得3p 2＝3

2

，解得p ＝1，故抛物线方程为x 2＝2y .

设过M 点的直线为y ＝k (x －2)－2，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －2)－2，

x 2

＝2y ，

消去y ，得x 2－2kx ＋4(k ＋1)＝0.(*)

若直线与抛物线相切，则Δ＝4k 2－16(k ＋1)＝0，k ＝2±22， 此时，方程(*)有等根x ＝k ， ∴x B ＝2＋22，x A ＝2－22， x B －x A ＝42，x B ＋x A ＝4. ∵A ，B 在抛物线上，

∴y B －y A ＝x 2B －x 2

A

2＝(x B ＋x A )(x B －x A )2

＝8 2.

∴|AB |＝(x B －x A )2＋(y B －y A )2＝32＋128＝410. [类题通法]

有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．