高一数学基本不等式1
5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
24 2. 巳知x 0, 则6x 的最小值是____, x 此时x=_____.
3. 巳知x, y都是正数, x y 求证: 2. y x
4.证明
（1）lg x logx 10 2 ( x 1) 证：∵ x 1 于是 ∴ lg x 0
logx 10 0
lg x logx 10 2 lg x lg x 10 2
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
a+b 由公式a +b 2ab, 2 可得以下结论：
2 2
ab
a b (1) 2( a、b同号)； b a a b （2） 2( a、b异号)。 b a
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值 是 _______,此时x=___,y= _____
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知 求
a, b, x, y R 且
1 2 a 2
a
思考 1
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
ab 2
高一数学 基本不等式1的代换
高一数学基本不等式1的代换基本不等式是高中数学中的重要概念，它在解决各类数学问题时起到了关键作用。
本文将通过讲解基本不等式1的代换，来帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
基本不等式1的代换是指，在给定的不等式中，通过对不等式两边进行代换或变形，得到一个新的不等式，从而方便求解问题。
在这个过程中，我们要注意保持不等式的方向性和有效性。
我们来看一个简单的例子：已知不等式 a > b，现在我们要将其代换为另一个不等式。
我们可以令x = a - b，这样原不等式可以变形为x > 0。
通过这个代换，我们将原来的不等式转化为了一个更简单的形式，从而更方便地进行分析和推导。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子：已知不等式2x - 3 > 5，现在我们要将其代换为另一个不等式。
我们可以令y = 2x - 8，这样原不等式可以变形为y > 0。
通过这个代换，我们将原来的不等式转化为了一个更简单的形式，从而更方便地进行分析和推导。
除了代换外，我们还可以通过变形的方式来改写不等式。
例如，对于不等式3x + 2 > 7，我们可以通过将其两边同时减去2，得到3x > 5。
这样，我们就将原不等式转化为了一个更简单的形式，从而更方便地进行分析和推导。
基本不等式1的代换在解决实际问题中起到了重要作用。
例如，当我们需要求解一个含有多个变量的不等式时，可以通过代换的方式将其转化为只含有一个变量的不等式，从而更方便地进行求解。
另外，基本不等式1的代换也可以帮助我们简化不等式的形式，从而更容易观察和发现不等式的特点。
在应用基本不等式1的代换时，我们需要注意以下几点：首先，代换应该是合理的，即代换后的不等式与原不等式的关系应该一致。
其次，代换应该能够简化不等式的形式，从而更便于进行分析和推导。
最后，代换后的不等式应该保持原不等式的方向性和有效性，即代换不应该改变不等式的结论。
基本不等式1的代换是解决数学问题中常用的方法之一。
高一数学 基本不等式1的代换
高一数学基本不等式1的代换高一数学基本不等式1的代换基本不等式是高中数学中的重要概念之一，它在解决数学问题和证明数学定理时起到了关键作用。
而基本不等式1的代换则是在解决一些复杂的不等式问题中的常用技巧之一。
本文将通过几个具体的例子，来介绍基本不等式1的代换方法及其应用。
我们先回顾一下基本不等式1的表达式。
基本不等式1是指对于任意的正实数a、b和正整数n，都有(a+b)^n≥C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n。
其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数。
下面，我们将通过实例来介绍基本不等式1的代换方法。
例1：证明当x>0时，有x^2 + 1/x^2 ≥ 2。
解：由于不等式中含有平方项，我们可以尝试将其转化为基本不等式1的形式。
对于左边的不等式，我们可以进行如下的变形：x^2 + 1/x^2 = (x^2 + 2 + 1/x^2) - 2≥ [(x + 1/x)^2 - 2] (由(a + b)^2≥2ab)≥ 2 - 2= 2所以，当x>0时，有x^2 + 1/x^2 ≥ 2。
例2：证明当a、b、c均为正实数时，有(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
解：同样地，我们可以利用基本不等式1的代换方法来解决这个不等式。
对于左边的不等式，我们可以进行如下的变形：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = (a+b+c)(ab+bc+ca)/(abc)= [(a+b+c)/3][(ab+bc+ca)/3]/(abc)≥ [(√(abc))/3][(√(abc))/3](abc) (由基本不等式1)= abc/9由于a、b、c均为正实数，所以abc>0，所以abc/9>0。
所以，当a、b、c均为正实数时，有(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
基本不等式 2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
分析：利用函数 y t 1 (t>0)的单调性.
t
t (0,1] 单调递减， t [1, ) 单调递增
解: y x2 5 x2 4 1 x2 4
x2 4
x2 4
令t x2 4 则y t 1 (t 2) t
当t
2,即:
x
0时,
ymin
5 2
1 x2 4
练习
等号成立.
ab a b 2
因此，基本不等式
ab a b 2
的几何意义是“半径不小于半弦”
基本不等式 ab a b 代数意义
2
如果把 a b看作是正数a、b的等差中项，把 ab
2
看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙 述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a b 为a、b的算术平均数， ab 为几何平均数， 那么 2
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时， 正方形EFGH缩为一个点，这时有
a2 b2 2ab
结论1：
若a, b R,则a2 b2 2ab(当且仅当 a b时“”成立).
证明： 作差比较 a2+b2-2ab=(a-b)2
当ab时，(a-b)2>0 得 a2+b2>2ab
当a=b时，(a-b)2=0 得 a2+b2=2ab
x y x bx x b(x a) ab (x a) ab a b
xa
xa
xa
2 ab a b ( a b)2
解2 : x y (x y)( a b ) xy
a b a y b x a b 2 ab ( a b)2 xy
例5.求函数 y x 2 5 的最小值.
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则 xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.由
高中一年级数学《基本不等式》课件
你能给出它的证明吗？
基本不等式1：如果 a ，b R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当a b 时取“”号）.
证明： a2 b2 2ab （a b）2 当 a b 时，(a b)2 0 （比较法） 当 a b 时，(a b)2 0
由于正方形ABCD的面积大于4个直角三 角形的面积和，即得到一个不等关系：
___a_2___b_2 __2_a_b___
当 直角三角形变成等腰直角三角形时， 即 a b时，正方形EFGH缩为一个点， 这时有_____a_2__b_2___2_a_b____.
基本不等式1：一般地，对于任意实数a、
又 AB⊥DE，∴ △ACD∽△BCD，
从而得到： CD2 AC CB ，
CD ab 半径 a b .
2
当且仅当点C 与圆心重合， 即 a b 时，等号成立 .
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab （当且仅当a b 时取“2”号）.
探究:你能对基本不等式2给出几何解释吗？
由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形 的面积和，即得到一个不等关系： ____a_2 __b_2___2_a_b_____.
②设直角三角形的两条直角边长为a,b， 那么正方形的边长为____a_2__b_2____. 这 样,4个直角三角形的面积的和是 ____2_a_b_____,正方形的面积为__a_2___b_2 __.
当且仅当 a=b 时，等号成立.
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab （当且仅当a b 时取“2”号）.
证明： a ，b R， 由基本不等式1得：
( a )2 ( b )2 2 a b ，（综合法）
高一基本不等式
高一数学 基本不等式及其应用1．基本不等式1 对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．基本不等式2 对任意正实数a 和b ，有2a b +≥a b =时等号成立．说明：对于基本不等式2，有两个重要变形○1若,a b ∈+R ，则a b +≥○2若,a b ∈+R ，则2)2(b a ab +≤，它们的主要作用是求代数式的最小值和最大值．2．设0x >，求142x x ++的最小值并指出最小值取得时x 的值．3．已知0, 0a b >>且4ab =，求下列各式最小值及此时,a b 的值．（1）2a b +； （2）11a b +．4．设1x >，求1251x x ++-的最小值并指出最小值取得时x 的值．5．设2x >，求2332x x x -+-的最小值并指出最小值取得时x 的值．62的最小值．7．已知0, 0a b >>且4a b +=，求下列各式最大值及此时,a b 的值．（1）4ab ； （2）22a b ； （3）(1)(2)a b ++．8．已知302x <<，求()532x x -的最大值并指出最小值取得时x 的值．9．已知22, 02a b a b >+=且，求12y =10．已知,0a b >且3ab a b =++，求a b +的最小值11．（1）已知正数x y 、满足21x y +=，求11x y +的最小值． （2）190,0,2x y x y>>+=设且，求x y +的最小值．12．已知集合{}25M y y x ==-+，4,11N y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬-⎩⎭，则M P = ______ 13. 若703x <<，则()73x x -的最大值为 ________ 14．已知x ∈R 2的最小值是_____________________．15．若0,0,231a b a b >>+=，则ab 的最大值是____________________．16．建造一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每 平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价是多少元？17．若直角三角形面积为24cm ，求此三角形周长的最小值．18．如图，某小区要在一块矩形的绿化地块（图中的阴影部分）四周筑路，使上、下路面 的宽为1米，左右路面的宽为2米 ．为了保证绿化面积为72平方米，并且使路面与绿 化地块的占地总面积最小，那么绿化地块的长和宽应该分别为多少米？19．求下列不等式的解集．（1）131x x +≥- ； （2）|||1|a x x ->-．20．若不等式 2||<+b ax 的解集为)6,2(，求实数b a ,的值．21．关于x 的不等式()211ax a x -<-的解集非空，则a 的取值范围是______________．22．设x R ∈，用[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]3π=，[ 1.4]2-=-，[5]5=．（1） 若[]2x =，则x 的范围为________________________；(2 ) 若[|1|]3x -=，则x 的范围为_____________________．23．已知集合102x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}40B x px =+<，若B A ⊆，求实数p 的范围．。
第1课时 基本不等式 高一数学
要注意“1”的代换.
3.提升逻辑推理和数学运算素养.
易 错 辨 析
忽视基本不等式成立的条件致错
1
【典例】 求 y=x+ 的取值范围.
错解:∵x+ ≥2 · =2,
∴y的取值范围为{y|y≥2}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
(
)
A.
B.b
解析:∵ab<
∵
+
>
C.2ab
D.a2+b2
+
,∴ab< ,∴2ab< .
+
+
>0,
∴
>Fra bibliotek2
2
,
∴
a
+b
>
.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,
∴b>a2+b2,∴b最大.
证明:∵a,b,c 均大于 0,∴ , , 也都大于
∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b,
三式相加得 2
+ +
≥2(a+b+c),
即 + + ≥a+b+c,
当且仅当 a=b=c 时,取等号.
高一数学基本不等式
高一数学基本不等式有哪几个?
高中数学基本不等式常用的有六个，在以后学习的过程中还要积累一些常见的不等式。
1.基本不等式a^2+b^2≧2ab
对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。
证明的过程：因为（a-b）^2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。
它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。
2.基本不等式√ab≦(a+b)/2
这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。
证明过程：要证(a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）^2≧0，显然（√a-√b）^ 2≧0是成立的。
它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。
3.b/a+a/b≧2
这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。
证明的过程：b/a+a/b=(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。
4.基本不等式的拓展公式：a^3+b^3+c^3≧3abc，a，b，c均为正数。
5.（a+b+c）/3≧³√abc，a，b，c均为正数，当且仅当a=b=c时等号成立。
6.柯西不等式。
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
第一节从简到繁：基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念，它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。
在本节中，我们将从简到繁，逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。
1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是两个数。
当a≥b时，我们称a大于等于b；当a≤b时，我们称a小于等于b。
在这里，我们需要深入理解等号的含义：等号在不等式中表示两个数相等或等价。
基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系，更包括了等于的情况。
1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点，其中最重要的是传递性和对称性。
传递性指的是如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。
对称性则表示如果a≥b，则-b≥-a；如果a≤b，则-b≤-a。
这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用，也为后续的应用奠定了基础。
1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在代数、几何和概率等领域。
特别是在二元一次不等式的求解中，基本不等式的运用尤为重要。
通过将不等式转化为标准形式，我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解，从而解决各类实际问题。
第二节深入探讨：基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。
在这里，我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形，并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。
通过加减同一个数或式子，我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并；通过乘除正数或负数，我们可以改变不等式的方向或大小。
这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。
在实际问题中，通过运用基本不等式的转化和特点，我们可以将二元一次不等式转化为标准形式，并利用基本不等式进行求解。
基本不等式 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2
几何
平均
算术
平均
a b
2
2
平方
平均
当且仅当a b时等号成立
2
2
ab
ab
2
a b
2
2
2
1 1
a b
a, b 0, 当且仅当a b时等号成立
ab 2 a b
(
) ab (
)
1 1
2
2
a b
a, b R, 当且仅当a b时等号成立
2
2
2
2
∀, ∈ ,
∀, ∈ ,
2
+
2
≥ 2 ，变形式
当且仅当 =
时，等号成立
≤
2 +2
，
2
当且仅当 = 时，
等号成立
定理1.重要不等式：
（5）证明
思考：你能给出不等式
a 2 b 2≥2ab
的证明吗？
证明：（作差法） a 2 b 2 2ab ( a b ) 2
x
三相等
12
变式1 若 x 0,求 y 3 x
的最小值
x
解： x 0, 3x 0,
12
y 3x 12
x
12
当且仅当3x ，即x 2时，ymin 12
x
1
变式2 若 x 0 ,求 y x
的最大值.
x
解： x 0, x 0,
4
x y
证明是：x, y都是正数，所以
xy
2
x y
(1)若xy等于定值P,
2.2基本不等式(第1课时)课件高一上学期数学人教A版
➢ 探究二:基本不等式的几何含义 课本P45探究
思考：ab
a
2
b
1)AB几表何示含什义么：?
ab
2) 圆2 的表弦示哪长个的线一段半？小于或等于圆的半径长，
ห้องสมุดไป่ตู้
3) 当ab 且对应仅哪当个弦线过段呢圆？心时，二者相等.
（4）OD 与 CD 的大小关系如何？
➢ 探究三：基本不等式的应用
那么 a b 与 2 ab 的关系如何？
问题2：问题1的结论中，等号成立的条件是什么？
➢ 新知:基本不等式的概念
基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把
ab 2
叫做正数a，b的算术平
均数，把 ab 叫做正数a，b的几何平均数．
(2)基本不等式：当 a 0,b 0 时，
ab a b 2
例 1. （课本 P45 例 1）已知 x>0， x 1 的最小值.
x
➢ 探究三：基本不等式的应用
（课本P45例2）
➢ 探究三：基本不等式的应用
练习 1 （1）（课本 P46 第 5 题）已知直角三角形的面积等于50cm2 ，当两条直角边 的长度各位多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
（2）把 36 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 最大为多少？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式 第1课时
主讲人：小蔡老师
➢ 学习目标：明确方向，把握重、难点
学习目标： 1．理解基本不等式并了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
学习重点： 1．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 2．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．
高一数学必修一基本不等式
高一数学必修一基本不等式高一数学必修一中的基本不等式是指在数学中常见且重要的一类不等式，它们在解决实际问题和证明数学定理时起着重要的作用。
本文将对高一数学必修一中的基本不等式进行介绍和解析，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
我们来讨论一元一次不等式。
一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数不等式。
对于一元一次不等式的解法，我们可以使用逆向思维，将不等式转化为等式，再根据等式的性质进行分析。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将其转化为2x + 3 = 7，然后解得x = 2。
由于不等式的解集包括等号的解和不包括等号的解，因此不等式的解集为x > 2。
接下来，我们来讨论一元二次不等式。
一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次函数不等式。
对于一元二次不等式的解法，我们可以使用图像法、配方法、因式分解法等多种方法。
其中，图像法是最直观和易于理解的方法。
我们可以将二次函数的图像绘制出来，通过观察图像的形状和位置来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其对应的二次函数y = x^2 - 4x + 3的图像绘制出来，然后观察图像在哪些区间上大于0，从而确定不等式的解集为x < 1或x > 3。
除了一元一次不等式和一元二次不等式，高一数学必修一中还有其他类型的不等式，如绝对值不等式、分式不等式等。
对于绝对值不等式，我们需要根据绝对值的定义和性质进行分析。
例如，对于不等式|2x - 3| ≤ 5，我们可以将其分为两种情况进行讨论，即2x - 3 ≥ 0和2x - 3 < 0。
对于分式不等式，我们需要注意分母不等于0的条件，并根据分式的性质进行分析。
例如，对于不等式(2x - 1)/(x + 2) > 0，我们需要考虑x + 2 ≠ 0的条件，并根据分式的正负性进行讨论。
除了以上介绍的基本不等式，高一数学必修一中还包括一些常见的不等式定理和不等式性质。
2.2基本不等式(1)教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期春季课题基本不等式（1）教科书书名：普通高中教科书数学（必修第一册）教材出版社：江苏凤凰教育出版社教学目标1.学会推导并掌握基本不等式定理；2.数学能够应用定理证明不等式并解决一些简单的证明和求最值问题.教学内容教学重点：1. 基本不等式的定义、证明方法和几何解释；2. 用基本不等式解决简单的证明和最值问题。
教学难点：1. 基本不等式的几何解释；2.在解题中灵活使用基本不等式；教学过程一、情景引入将物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量.不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b.思考：如何合理地表示物体的质量呢？表示物体的质量. 做法1：把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=a+b2问题1：这样的做法合理吗？做法2：设天平的两臂长分别为l1,l2,物体实际质量为M，根据力学原理有l1M=l2a, l2M=l1b.将上述两个等式的两边分别相乘，得l1l2M2=l1l2ab,所以M=√ab. 由此可知，物体的实际质量为√ab.对于正数，我们把a+b2称为a,b的算术平均数，√ab称为a,b的几何平均数.二、探索新知问题2：两个正数a,b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？如图，AB是圆⊙O的直径，点C是AB上一点,AC=a,BC=b，过点C作CD⊥AB 垂直交半圆于点D，连接AD，BD.思考：你能在图中找到长度为a+b2、√ab的线段吗？OD =a+b2表示圆的半径.图中三角形均为直角三角形，可证△ACD∼△DCB，因而CD2=AC∙BC(射影定理), 得CD =√ab表示圆的半弦长.问题3： OD与 CD大小关系如何呢？CD ≤OD√ab≤a+b2，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.得到一个猜想：∀a>0,b>0,√ab≤a+b2，当且仅当a=b时等号成立.三、探究—基本不等式的证明问题4：在前面学习不等式性质中，我们已经解决过一些不等式的证明，有哪些常用方法呢？作差法、分析法、利用不等式性质法等. 请同学们尝试用以上方法证明基本不等式.思考:“√ab≤a+b2”还有哪些等价形式？ab≤(a+b2)2思考: 两个数的“平方和与积”的不等关系呢？用a2替换a，b2替换b，得ab≤a 2+b2 2ab≤(a+b2)2当且仅当a=b时等号成立.ab≤a2+b22,当且仅当a=b时等号成立.问：请问上述a、b的范围是多少？四、学以致用例1 设a,b为正数，证明下列不等式成立.（1）ba+ab≥2 ; （2）a+b+1a+1b≥4(1)分析：观察ba 、ab的结构，发现积为定值ba∙ab=1.基本不等式揭示了两个非负数的和与积的不等关系，即它们的几何平均数不大于它们的算术平均数.(2) 分析：观察a、b、1a 、1b的结构，发现a∙1a=1，b∙1b=1.分别使用基本不等式.例2 已知函数y =x +16x+2(x >−2)求此函数的最小值.分析：观察x 、16x+2的结构，发现二者积不为定值，并且从x >−2，有x +2>0，但x 可能为负数，不能直接使用基本不等式.思考：能不能凑成积为定值，且均为正数呢？四、课堂小结最后我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下问题：（1）什么是基本不等式？∀ a >0,b >0,√ab ≤ a+b2，当且仅当a =b 时等号成立.文字语言：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.几何解释：在圆中，半弦长小于或等于半径长.（2）还收获了哪些不等式呢？∀a , b ∈R ，ab ≤(a +b 2)2,当且仅当a =b 时等号成立. ∀a , b ∈R ，ab ≤a 2+b 22,当且仅当a =b 时等号成立. （3）利用不等式解决问题时，需要注意什么？首先用整体思想，看能否转化为两个正数的和或者积的形式，再观察和或积是否为一个定值，最后计算检验不等式中的等号能否取到，简言之就是“一正、二定、三相等”.备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
基本不等式(第1课时)(课件)(人教A版2019必修一)高一数学同步备课
2
当且仅当1 x 1 x，即x 0时，上式等号成立，
∴当x 0时，
1 x 2取得最大值1.
5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条
直角边的和最小? 最小值是多少?
解：
设两直角边长分别为a , b，则有ab 100.
由基本不等式，可得a b 2 ab 20，
等式的几何解释吗？
D
∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD，又CD⊥AB，
BC， 即CD= ，
∴△ACD∽△DCB，∴CD2=AC·
a b
.
又∵|DE|≤|AB|， ab
2
A
a
C b
E
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.
B
1.利用基本不等式
求最值
典例1
已知 > ，求 + 的最小值.
1
1
2
2
x
2，
2
2
x
x
1
，即x 1时，上式等号成立，
2
x
1
∴当x 1时，x 2 + 2 取得最小值 2.
x
当且仅当x 2
4.已知 1 x 1，求1 x 2的最大值.
解：
由基本不等式，可得
1 x 2 (1 x )(1 x ) (
1 x 1 x 2
基本不等式：
若a , b R , 则
ab
ab (当且仅当a b时, 等号成立)
2
a b
叫做正数a,b的算术平方数，ab叫做正数a,b的几何平方数.
2.2基本不等式 (第1课时)(课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1.教材P46练习第 2,5题；
2.P48-49习题2. 2,复习巩固第1,2题
（二）探究性作业：
教材P46 练习及参考答案
当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定）
（3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等）
应用新知
12
练习(1) 当 x 0 时，求 4x 的最大值；
x
【解析】 x 0, x 0.
利用基本不等式求最值的注意事项
一正:各项必须都是正值.
12
12
( 4 x ) 2
(4 x) 8 3 ,
②
通常称不等式②为基本不等式（basicinequality）．
ab
其中，
叫做正数 a, b 的算术平均数，
2
ab 叫做正数 a, b 的几何平均数．
文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。
认识新知
重要不等式： a 2 b 2 2ab ；
基本不等式：
ab
ab
2
.
问题3 基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，
B.最小值 9 C.最大值-3 D.最小值-3
【答案】C
2
【解析】
x ,3x 2 0 ,
当遇见负数时，
3
先应该乘以负
1，再适当配
9
9
9
3 3 . 凑构造倒数型，
f ( x) 3 x 2
3 (2 3x)
3 2 (2 3x)
【解析】 x 0, x 0,
2
分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的
2
1
1
1
高一数学基本不等式的应用及不等式证明1(学生版)
4、已知 ，则 的最大值是_________.
5、已知 ，且 ，
求（1） 的最小值；（2） 的最小值。
变式题2：x>0时 的最小值为多少？何时取到？
变式题3：x>0，当x为何值时， 取到最大值？最大值是多少？
变式题4：x>-1，当x为何值时， 的值最小？最小值是多少？
二、不等式的证明
1.证明不等式的基本依据：
（1）实数大小的比较原则；
（2）不等式的性质；
（3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式
2、基本不等式都有什么用图？
【课后练习】
1、均值不等式链
设 、 ，则 （调和均值 几何均值 算术均值 平方均值），当且仅当 时等号成立.
2、甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为 ，后一半时间的行走速度为 ；乙用速度 走完前半段路程，用速度 走完后半段路程；问：谁先到达B地？
⑶综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。
用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是基本不等式找思路。
（一）直接应用基本不等式
直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
例1.已知a， ，求证： 。
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C
说明： ① “当且仅当”是充要条件的
表达方式（“当”表示条件是充分 的， “仅当”表示条件是必要的）．
②
a b 2 ab
2 2
的充要条件是
ab
新知探究
4.特别地，如果a＞0，b＞0，我们 用 a 、 b 分别代替a、b ，可得什么 不等式?
a
ab ab ( a >0, b >0) 2
当且仅当a＝b时等号成立.
新知探究
基本不等式
1. 若 a, b R , 则 a b 2ab , 当 且仅当 a b 时取“ = ”号.
2 2
a b ab 2. 若 a, b R , 则 2
当且仅当
,
a b 时取“ = ”号.
典例讲评
变式:
ab 2 1. ab ( ) , a, b R 2
ab 2 2 S 直角三角形＝ ， S正方形＝ a ＋ b 2
S正方形 4 S直角三角形
2 2
a b 2ab
新知探究
2.从图形分析,上述不等式在什么情况 下取等号？ 当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a2＋b2＝2ab.
D
G H F E B C
A
新知探究
3.在上面的图形背景中，a，b都是 正数，那么当a，b∈R时，不等式 a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？ 一般地，对于任意实数a，b， 有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时 D 等号成立.
2 2
ab 2 a b 2. ( ) , a, b R 2 2 a b ＋ 3. 2, a, b R b a
典例讲评
例1 已知x、y都是正数，求证：
2 2 3 3 3 3 (x＋y)(x ＋y )(x ＋y )≥８x y
例2
已知
2 2 2 a ＋b ＋c ＝ 1 ，
2 求证：(a＋b＋c) ≤3.
；
离有什么不同/想办法破开这封印/如此の话/我实力定然可以暴涨/说不定就能超过你咯/"收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第⑨百三拾八部分过时の皇子）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第⑨百三拾⑨部分刚臂皇拳卡槽马开和叶静云壹群人打 量着整佫空荡荡の洞穴/最后目光落在洞壁上の雕刻上/这洞穴中唯有这东西/秘密肯定在这上面/只不过/众人打量咯许久/也未曾发现其中孕育着什么秘密/叶静云摸着这些雕刻の石壁/有些发燥の说道/祖宗们也真确定の/不留下解封の办法/让我们摸索怎么能摸索の出来/"庞绍等人也自然抱怨/众人 抱怨归抱怨/可还确定打起精神研究/毕竟这关乎家族の兴衰/"你有没有发现这石壁中好像孕育着意/"马开突然问着叶静/"啊///"叶静云壹愣/心神沉浸在石壁中/随即摇摇头道/"你感觉错咯吧/和普通石壁并没有什么不同啊/"马开摇摇头道/向叶静云说道/不会有错の/绝对确定孕育咯意境/"这壹句话 在壹旁の慕容灭滴也听到咯/它皱眉心神融入到石壁中/随即眼睛壹亮/显然也感觉到咯/慕容灭滴和马开の异状吸引咯不少人/壹些人问道/皇子殿下/你发现咯什么/"这石壁中确实有意/只确定很淡/我努力の感知/才勉强发现/大家也试试/能不能感知到/"慕容灭滴对着壹群人道/它希望大家都能感知到 /这样才能~壹~本~读~小~说~/破开其中の秘密/众人大喜/都开始感知其中の意境/但心神融入其中后/不由皱咯皱眉头/心想那里有什么意境/完全确定壹块冷冰冰の石头啊/"怎么会这样/众人问道/"我们什么都感知不到/"马开心想/大概确定它们の实力还不够吧/想到这/马开也不指望它们/心神完全融 入到这些石壁中去/感知着微弱の意/慕容灭滴也放弃咯这些人/和马开壹样沉浸在这些石壁中/马开沉浸在石壁中/心神完全感知其中の意/马开の感知力确定惊人の/即使这意拾分微弱/可马开还确定慢慢の感知到其中の意蕴/马开很快感觉到壹股刚猛气息/这股刚猛の意境和慕容灭滴刚刚出手对付它 の有些相似/马开心中疑惑/把全部の精力用来感知/而就在马开如此の时候/那石壁猛然壹变/在它元灵之中/石壁不再确定石壁/而确定壹面镜子/在镜子中/有壹佫修行者壹拳拳の舞动/在其中修行者武技壹般/这佫修行者身着黄袍/尊贵华丽/每壹拳都刚猛至极/如同细细の感知の话/发现和刚刚慕容灭 滴攻击马开の拳法很确定相似/只确定相比慕容灭滴攻击它の拳势/显得成熟完美の多/"怎么会这样/马开心中疑惑万分/但心神却沉浸在这佫修行者之中/心神随着它の拳法而舞动/把它舞动の身影烙印在元灵之中/它の意境被马开细细の感悟/壹遍又壹遍/马开感知到の意境越来越强/到最后/马开也渐 渐の清楚这壹套拳法叫什么/"刚臂皇拳/"这确定这壹套拳法の名字/马开从意境中感知到/马开壹遍又壹遍の感知其中の意境/马开感知到の越来越强/对于刚臂皇拳の精髓也渐渐の领悟/这壹套拳法倒也不差/只确定马开身具太多の高深秘术/这拳法倒也并没有让马开惊艳の感觉/但马开知道/这要确定 拿到别人手中/就确定壹种不得咯の秘术/当马开感觉对其中の意境完全掌握后/这才从刚臂皇拳中退出来/而在马开退出来之后/原本让它感觉变化咯の石壁依旧确定老样子/"怎么会这样/马开疑惑/转而向慕容灭滴/莫容灭滴身上の意境也在变化/和它の刚猛意境有些不同/它の意境突然变の有些刚柔 并济/"难道它也和我有壹样の经历/"马开等咯片刻/慕容灭滴睁开眼睛/它呆呆の着面前の石壁/又转头向马开/丝毫没有掩饰其中の惊讶和意外/这瞬间就让马开明白/它果然有和自己壹样の经历/只确定从刚刚它の意来/它感知の和自己不确定同壹种意境/要不然它の意散发出来の只会更加の刚猛/"马 开/怎么回事/叶静云问着马开说道/"这石壁之中有功法/我刚学咯壹套刚臂皇拳/"这壹句话让叶静云呆咯呆/随即喃喃道/刚臂皇拳/皇家の壹种功法/虽然不确定它们の顶尖功法/但也算其中の上品/刚刚慕容灭滴对付你就用の这壹套拳法/"马开点头道/这石壁有秘密/开启封印の手段应该在其中/只确 定不知道到底确定如何开启/你再去感知壹下/还有别の意境吗/叶静云对着马开说道/马开点头/心神继续沉浸到其中/很快马开就感知到壹股微弱の气息/这股气息和刚刚不同/这确定壹股柔绵の意境/很快/马开の心神就其牵引/面前出现壹佫人影/它在虚空舞动不断/每壹次舞动都有都棍影满布/马开 心神沉浸在其中/感知到这股柔绵不断の意境/其中带着壹股缠绕/棍影不断/这壹套武技比起刚刚の刚臂皇拳丝毫不差/"缠动棍法/"马开从其中知道这套棍法の名字/在壹次次の感悟中/马开把这壹套の棍法精髓也完全感知/当马开彻底烙印咯这壹套棍法の时候/这才从其中退出来/"如何/叶静云和庞绍 这时候同时走到马开面前/有些急の问道/"这壹次确定缠动棍法/"马开深吸壹口气道/"李家の功法/这套棍法很有名气/叶家不少弟子吃过这套功法の亏/"叶静云愣愣の着马开/"这石壁中难道孕育着各家の武学不成/叶静云疑惑の着马开/她心神融入到石壁中/很快她就眼睛壹亮/盯着马开说道/我也能 感觉到其中の意境咯/只确定很弱/这///"庞绍这时候也心神融入其中/之后它摇摇头道/我还确定感知不到/可能确定叶静云の实力比起我强不少の缘故吧/只确定/它现在能感知到/确定不确定因为你们感知到其中意の缘故/马开你再试试/说不定你多感知几种意/我们就能感知到咯/"收集阅读本部 分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第⑨百三拾⑨部分刚臂皇拳）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第⑨百四拾部分得各族功法卡槽马开心神再次沉浸在石壁中/很快就感知到另外壹种意/很旧很慢比较/)马开沉浸在其中/又得到咯壹套功法‘壹叶飞扇’/这确定 叶家の壹套武技/这佫马开很清楚/当初在舜城の时候/舜城叶家说道这套武技の时候/就拾分向往/可马开依旧感知到咯/并且掌握咯/和刚刚壹模壹样/叶静云这时候也能感知到其中の意/从她表现の意境来/显然确定感知到其中の意/经历着和自己壹样の事/慕容灭滴和马开换着地方/感知着壹种又壹种 の意/只不过马开の速度要比起它快の多/这让慕容灭滴皱眉不已/心想这佫人の滴赋和悟性难道比起自己还强不成/慕容灭滴在感悟咯五种意后/就感觉到拾分吃力/额头上有着汗水涌动而出/但马开却面色正常/丝毫没有衰弱之相/甚至连在它们之后の叶静云/都神情淡然/这让慕容灭滴备受打击/不敢 相信这两人の悟性比起它强/但不管它信不信/马开壹次又壹次の换着地方/感知着壹道道意境/慕容灭滴见此/它也同样如此做/只确定显得吃力の多/在马开和叶静云慕容灭滴の感知中/石壁中の意境增强咯不少/庞绍等人都能感知到咯/更新最／壹／本／读／/快最稳定/)这让它们大喜过望/壹佫佫心 神沉入其中/感知着其中の意境/庞绍等人无法和马开等人比/它们感悟壹种意境所花费の时间要长の多/但这么多人壹起感悟/石壁中の意境瞬间强大咯数倍/任何壹人都能感知到咯/马开心神沉浸在石壁中/感知着壹种种意境/随着壹种种意境被它感悟/马开掌握越来越多の功法/这些功法都确定各家中 不错の功法/就这样数滴过去咯/马开感悟咯拾八种功法/马开说出这句话の时候/庞绍吞咯吞唾沫/对着马开说道/帝都の古老世家/就拾八家/"这壹句话让马开也有些难以置信/它这确定把拾八家の功法都给掌握咯/虽然现在还未修行/但精髓都被它烙印咯/修行起来并不难/莫容灭滴在旁边听到马开说 它掌握咯拾八套功法/忍不住倒吸咯壹口凉气/它咬牙坚持/也只掌握拾套而已/这已经确定极限咯/再也无法感悟/当然让它打击の不只确定这/叶静云之后告诉马开/她掌握咯拾五套/这壹句话说出来/让慕容灭滴眼睛都直咯/叶静云の这句话/代表着自己の悟性确实不如它们两人/其它各族の弟子都在感 悟/当所有弟子都苏醒过来の时候/每佫人都最少都感悟到三种功法/这让不少人面面相窥/心想别族の功法居然被自己所学/自家の功法被别人所学/这算不算乱套咯/要确定让族中知道/不知道它们确定什么反应/但这时候/它们也顾不得这么多咯/壹佫佫都着石壁/石壁在众人感知之后/已经变样咯/原 本雕刻着花虫鸟兽等の石壁/此刻却出现咯壹道道光柱/这些光柱射向各处/正好拾八道/着这些光柱/叶静云愣愣の着众人/就这样