第6课时 二次根式
二次根式教案(优秀8篇)
本环节通过１个引题，２个例题的活动达到让学生学会从实际问题中抽象出中心对称的基本性质，并会用二次根式的加减法则解决有关实际问题。既培养了学生的观察能力，又培养了学生的有理有据的作图能力。
（三）、巩固练习：
在此环节中，利用课后的练习和选取的课外习题来巩固二次根式的加减，来达到突出重点的目的。
（三）教学手段
采用多媒体教学，通过直观演示图象，更好地教会学生“二次根式的加减的研究方法，同时通过多媒体辅助手段展示教学内容，扩大课堂容量，提高教学效率。
六、说教学过程的设计：
本课共分为五个环节：
（一）、复习引入新课:
利用＂同类二次根式的＂引入，激发学生好奇心和求知欲，创设情景，旨在引出新课题。既达到了复习的目的，又引出了新课。
（注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行）
三、课后作业（课后作业见附件2）
教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。
四、板书设计
课题：二次根式(1)
二次根式概念例题例题
二次根式性质
反思：
次根式教案篇六
第十六章二次根式
代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=，≠，≥，≤，”；②单个的数字或单个的字母也是代数式
2、会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点
最简二次根式的定义。
教学难点
一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程
一、复习引入
1、把下列各根式化简，并说出化简的根据：
2、引导学生观察考虑：
化简前后的根式，被开方数有什么不同？
化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
第6课 数的开方与二次根式
第6课 数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
数学八年级下《二次根式》复习课件
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
浙教版初中数学初二数学下册《二次根式》说课稿
浙教版初中数学初二数学下册《二次根式》说课稿一、教材分析1.1 教材基本信息•课程名称：初二数学下册•教材版本：浙教版•课题名称：《二次根式》1.2 教材内容简介《二次根式》是初二数学下册的一章内容，主要介绍了二次根式的概念、性质和运算法则。
学习本章内容可以帮助学生理解和掌握二次根式的基本概念，并培养对二次根式进行加减乘除运算的能力。
本章的学习内容与前几章所学的有理数、实数等相关，通过本章的学习，学生可以进一步拓展数学知识面，为后续学习准备。
二、教学目标2.1 知识与技能•理解二次根式的定义；•掌握二次根式的性质；•掌握二次根式的基本运算法则；•能够在实际问题中应用二次根式进行计算。
2.2 过程与方法•通过讨论和练习，激发学生的兴趣和积极性；•引导学生通过问题探究的方式主动学习；•培养学生的逻辑思维和解决问题的能力；•激发学生的合作学习意识，促进交流与合作。
2.3 情感态度价值观•培养学生对数学的兴趣和好奇心；•培养学生的观察、分析和解决问题的能力；•培养学生的团队合作和交流能力。
三、教学重难点3.1 教学重点•二次根式的概念和性质；•二次根式的基本运算法则。
3.2 教学难点•二次根式的运算法则的掌握和应用。
四、教学过程4.1 导入与热身在开始本节课内容之前，可以通过一个简单的问题导入，例如：将一些数进行分类，分为有理数和无理数。
4.2 理论讲解首先，对二次根式进行定义和性质的讲解，包括：1.二次根式的定义：二次根式是形如 $\\sqrt{a}$ 的无理数，其中a是一个非负实数。
2.二次根式的性质：二次根式的值是非负实数，如果a为正实数，则值为正实数，如果a为非正实数，则值为零。
4.3 运算法则的讲解接下来，对二次根式的运算法则进行讲解，包括：1.加法与减法：对于形如 $\\sqrt{a} \\pm\\sqrt{b}$ 的二次根式，如果a和b都是非负实数，则可以进行加法和减法运算。
2.乘法法则：对于形如 $\\sqrt{a} \\cdot\\sqrt{b}$ 的二次根式，可以进行乘法运算，并化简为$\\sqrt{ab}$。
二次根式教案(实用7篇)
二次根式教案（实用7篇）二次根式教案第1篇一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．二次根式教案第2篇1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.教学过程设计1.复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。
华师大版九年级数学上二次根式
第22章 二次根式第1课时 二次根式（1）教学目标:1a ≥0）的意义解答具体题目。
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。
教学重难点：a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；a ≥0）”解决具体问题．教学流程:一、回顾：当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a 是负数时，a 没有意义．二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意： 在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例：x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解：被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．三、练习x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-板书设计：二次根式 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 例题：第2课时 二次根式（2）教学目标：1a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．2a ≥0）是一个非负数，教学重难点：a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．a≥0）是一个非负数；• 教学流程：一、复习引入：（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0有意义吗？［老师点评（略）．］二、探究新知：议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，22213，2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）22=a（a≥0）的结论解题．解：2 =32，（2=32·2=32·5=45，2=56，（）2=74=．三、巩固练习：计算下列各式的值：22（4）2）2（222-四、应用拓展：例2 计算1．2（x≥0） 2．2 3．2 4．）五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．板书设计：二次根式第3课时 二次根式（3）教学目标：（a ≥0）并利用它进行计算和化简．教学重难点：a （a ≥0）．难点：讲清a ≥0a 才成立．教学流程：一、复习引入：老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知：（学生活动）填空：=_______；=________=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=21102337．例1 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1（2=4（3（4 三、巩固练习：教材P4.3.4．四、应用拓展：例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 可以是什么数？（3，则a可以是什么数？五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．板书设计：二次根式第4课时二次根式的乘除法(1)教学目标:a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简教学重难点：a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．教学流程:一、复习引入:（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知:（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．反过来例1．计算（1（2（3（4解：（1（2（3=（4三、巩固练习:（1）计算（学生练习，老师点评）①②×四、归纳小结：本节课应掌握：（1＝（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．板书设计：例题：第5课时二次根式的乘除（2）教学目标：a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．教学重难点：a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学流程：一、复习引入：（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．利用计算器计算填空:（1=_________，（2=_________，（3=______，（4=________．二、探索新知：刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：例1．计算：（1（2解：（1=2（2==×三、应用拓展：例3=，且x为偶数，求（1+x解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值=6．四、归纳小结：a≥0，b>0a≥0，b>0）及其运用．板书设计：二次根式的乘除法a≥0，b>0）例题：a≥0，b>0）第6课时二次根式的乘除(3)教学目标：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．教学重难点：重点：最简二次根式的运用．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学流程：一、复习引入：（学生活动）请同学们完成下列各题1．计算（1（2，（3二、探索新知：观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．例1．(1)例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．解：因为AB 2=AC 2+BC 2 所以132====6.5（cm ） 因此AB 的长为6.5cm ．三、巩固练习：练习2、3板书设计：二次根式的乘除法1．被开方数不含分母； 例题：2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．课后反思：第7课时 二次根式的加减(1)教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．教学重难点：重点：二次根式化简为最简根式．难点：会判定是否是最简二次根式．教学流程：一、复习引入：学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．AC二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）老师点评：因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1=（2+3（2（4+8三、巩固练习练习1、2．四、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．板书设计：二次根式的加减（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；例题：（2）相同的最简二次根式进行合并．第8课时二次根式的加减(2)教学目标：运用二次根式、化简解应用题．教学重难点：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点．教学流程：一、复习引入：上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．二、探索新知：例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）B A CQP分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米．则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．三、巩固练习：练习3四、归纳小结：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．板书设计：二次根式的加减例题：第9课时 二次根式的加减(3)教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 教学重难点：重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学流程：一、复习引入：学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy2．计算（1）（2x+3y ）（2x-3y ） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知：如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（）÷÷-3 2三、巩固练习练习第3题四、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．板书设计：二次根式的加减（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；例题：（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．课后反思：。
第6课 二次根式的除法(2)
3
3
4
9.计算：
(1) 2a 6a ；
解：原式= 2a 6a = 1 = 1 = 3 3 33
(2)4 6x 1 x . 23
解：原式=4 2 6x 3 =8 18=8 3 2=24 2 x
10.(例4)计算：
(1) 27 50 6 . 解：原式=3 3 5 2 6 35 3 2 6 15
1 3
b
4a
3
0，
解得
a 1 ， 4 b 12.
原式=2a b 2 1 12 3. 4
谢谢！
45
2
= 1 18= 3 2
10
10
17.计算：3x xy 4 y 6 x . xy
解：原式=3 4 1 x3 y y y 2 y xy
6
xx
第3关
18.一个底面为 30 cm× 50cm的长方体玻璃容器中装满水，现将 玻璃容器中的一部分水倒入一个底面为正方形，高为 10 cm的 铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了 150 cm，
那么铁桶的底面边长是多少？
解：设铁桶的底面边长为x cm，则
x2 10 30 50 150 解得 x 5 6 ，即铁桶的底面边长为 5 6 cm.
19. 已知实数a，b满足 4a b 11
2a
a b
b a
1 b
的值.
解：由题意得
1 b 4a 3 0 ，试求 3
4a b 11 0，
6.(例2)化简：
(1) 3 2 6 27 3
：
(1) 75 5 6 84
(2) 2xy y 2x 2x
8.(例3)计算：
(1) 18 8 ；
解：原式= 18 8= 18 1 = 9 = 9 = 3 8 4 42
第6课时_数的开方及二次根式学案__基训题目1
第6课时 数的开方及二次根式学案 基训题目1 1、36的算术平方根是( )． (A)6 (B)±6 (C)6 (D)±6 2、27的立方根是( ) A ．3 B ．3- C ．9 D ．9-3、一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( ) A ．1a +B ．21a +C ．21a +D ．1a + 4、函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是( ) A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤5、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．36、使11x -在实数范围内有意义的x 应满足的条件是 ．7、若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ． 8、函数31x y x -=-中，自变量x 的取值范围是 ．9、下列根式中不是最简二次根式的是( )．A ．2B ．6C ．8D ．1010、下列根式中，不是最简二次根式的是( )A ．7B ．3C ．12D ．211在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是( ) A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)12、计算()22的结果等于 ； 方程11x -=的根是 ．13、已知a 为实数，那么2a -等于( )A. aB. a -C. － 1D. 0 14、计算：118232+-= ． 1227-=15、8化简的结果是 ； 若使二次根式2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ；当x=________时，二次根式4x -有意义．16、已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是 ．17、当x ≤0时，化简21x x --的结果是 ．18、分母有理化：15= ； 方程11x -=的根是 ；计算：=-2712 ．19、计算：11|2|sin 45(2009)2-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭°20、先化简，在求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中3a =2011.3.22。
二次根式全章教案(8课时)
初二数学二次根式全章教案授课时间：年月日第周星期课时序号一、课前导学：学生自学课本2-3页内容，并完成下列问题 1. 温故而知新：（1）如果一个数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么x 叫做a 的，记为x =，（2）如果一个非负数x 的平方等于a ，即2x =a （0≥x ），那么非负数x 叫做a 的，记为x =， （3）计算下列各式的值：=，=，=，=，=，2)9(=，2．一般地我们把形如（）叫做二次根式，a 叫做_____________， 3. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3， 16-， 34， )0(3≥a a ， 12+x4．根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31(根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ）， 5.计算：(1)2)23( (2)2)52(- 二、合作、交流、展示： 1.理解二次根式概念（1）二次根式a 中，字母a 必须满足 ； （2）二次根式与算术平方根有何关系呢？ （3）当0≥a 时，a 是什么数？教 学 过 程 设 计2)3(________)(2=a【归纳】二次根式的双重非负性： 2．当x 取何值时，下列各二次根式有意义（1）； （2）x 322- （3）2)2(-x （4）x--21 3.若，则= ，4．已知，求xy的值．【收获感悟】：， 三、巩固与应用1. 若x -在实数范围内有意义，则x 为（）， A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数2．当x 时，二次根式x 35-有意义，3. 在式子xx+-121中，x 的取值范围是____________.4．在实数范围内因式分解：①72-x ② 4a 2-115a 的值为___________． 6．已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________. 7．已知+3，求y x 的值．8.拓展提高：已知a 、b =b +4，求a 、b 的值．四、小结：1．二次根式的概念：； 2.二次根式的性质：（1），（2）； 3．巧用非负数解题． 五、作业：《作业本》第1页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号 43-x 20a -2a b -一、课前导学：学生自学课本第4页内容，并完成下列问题 1.计算：=24=23.0=2)52(=20观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=≥2,0a a 时2．计算：=-2)4(=-2)3.0(=-2)52(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3.【归纳】二次根式的性质：=2a = 4．化简下列各式：（1）=22.0（2）=-2)3.0( （3）=-2)4( （4）()22a =（0<a ）5．代数式：用基本运算符号把连接起来的式子叫做代数式. 二、合作、交流、展示：1.理解二次根式三条基本性质： （1）双重非负性：a 0（） （2）()=2a （） （3） =2a2．【讨论】二次根式的性质：)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系？教 学 过 程 设 计3．化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简b b c c a a ---++-22)(.三、巩固与应用 1. 课本第4页练习2； 2．2)4(-π= ；3．a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________； 4.你能运用公式a a =2比较53与34的大小吗?5．当x = 6．拓展提高：（1）已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx（2）已知实数a 满足a a a =-+-2014)2013(2，求22013-a 的值.四、小结：1.二次根式的性质：，，；2．灵活运用二次根式的性质解题. 五、作业：《作业本》第2页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号一、课前导学：学生自学课本6-7页内容，并完成下列问题1、探究 ⑴ 计算下列各式，观察计算结果：①×=______ ，=_______ ② × =_______ ，=_______ ③ × =_______ ， =_______ ⑵ 仔细观察上题中的规律，猜想b a ∙＝()0,0≥≥b a (二次根式乘法法则)再例举两个例子验证你的猜想：； 2、计算× ＝；×＝ ；274∙＝ ；123∙＝3、乘法公式反过来得到：=ab ()0,0≥≥b a ，4、填空：⑴=∙=⨯=24248；=∙=⨯=292918；⑵请你用上述方法化简下列二次根式： 12＝； 27＝； 48＝； 72＝； 98＝； 250x ＝；二、合作、交流、展示：1.二次根式的乘法法则：b a ∙＝，注意：乘法法则成立的条件是： （为什么？）2、积的算术平方根的性质（乘法法则的逆向运用）=ab 注意：⑴性质成立的条件是：（为什么？） ⑵如何化简：()()94-⨯-？4994⨯16252516⨯1003636100⨯23563、例题1 计算：⑴3127⨯ ⑵4510152⨯ ⑶1531372⨯-例题2 化简：⑴()()8116-⨯- ⑵3225b a ⑶4499ab ⑷【收获感悟】：如何进行二次根式的化简，例题3 计算：⑴714⨯ ⑵10253⨯ ⑶ xy x 31122⨯-三、巩固与应用 1、等式成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-12、下列各等式成立的是（ ）． A．4×2=8B ．5×4=20 C.5×2=10 D ．y x y x +=+224、不改变式子的值，把根号外的数移到根号里面： ⑴=32 ； ⑵313＝；⑶ －=62 5、比较下列两数的大小：⑴227 ⑵347 ⑶23-32-6、已知一个三角形的一条边长为502，这条边上的高为83，求这个三角形的面积.7、计算：（1）6×（-2）； （28、（拓展）化简⑴a a 1 ⑵aa 1-四、小结：1．二次根式的乘法法则：； 2.积的算术平方根的性质：， 五、作业：《作业本》第3页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号 2212b a 1112-=-∙+x x x 55532532686一、课前导学：学生自学课本第8-9页内容，并完成下列问题 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质b a ∙＝，=ab2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯3、填空： （1；（2； （3；（4．你能发现什么规律呢？一般地，对二次根式的除法规定：二次根式的除法法则商的算术平方根的性质 4、计算：（1）312（2）16141÷5、化简：（1）257（2）932（3）)0,0(42522≥>b a a b 二、合作、交流、展示：仿照课本例题利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质完成以下题目1、计算：（1（2（3）52154【温馨提示】：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，教 学 过 程 设 计被开方数之商为被开方数。
中考复习第一轮课件6二次根式
课时训练
1. (2007天津非课改 ).已知 a=2,则代数式 天津非课改 已知 则代数式
a+ 2 a− a− a a
的值等于 - 3
( a −b ) 2
2. 若实数 ＜b，则化简 若实数a＜ ， A.a+b B.a-b
的结果是 ( D )
C.-a-b
D.-a+b
3. (2007山东莱芜非课改 ) x3 −x2 =x x−1 成立 则x的取值范 成立,则 的取值范 山东莱芜非课改 x≥1 . 围是 4. 当m≥2时，化简： 4 − 4 m + m 2 = 化简： ≥
5− 5 的整数部分是 2
． 。
3.若 ( x − 2 ) 2 = 2 − x 若
，则的取值范围是 x≤2
4.(2007广东课改 )若代数式 x − 3 有意义，则实数 广东课改 若代数式 有意义， x的取值范围是 ( x≥3 ) 的取值范围是
1 5.(2007广东河池非课改 )化简 2 − 3 =2+ 广东河池非课改 化简
1 1 1 1 =2 , 2+ =3 , 3 3 4 4
请你将猜想到的规律用含自然数
n(n≥1)的代数式表示出来： 的代数式表示出来： 的代数式表示出来
1 1 n+ = ( n +1 ) n +2 n +2
Hale Waihona Puke 要点、 要点、考点聚焦1.二次根式的定义 1.二次根式的定义 (1)式子 a≥0)叫做二次根式 叫做二次根式. (1)式子 a (a≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 被开方数必须非负， a≥0， (2)二次根式 a 中，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. 据此可以确定被开方数为非负数. (3)公式 公式( (3)公式( a )2=a(a≥0). 2.积的算术平方根 积的算术平方根， (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. a≥0 b≥0 (2)公式 ab = a • b (a≥0，b≥0).
《二次根式》教材分析
《⼆次根式》教材分析《⼆次根式》教材分析1⼀、本章地位与作⽤本章内容属于“数与代数”的基础内容，既是“整式”、“分式”之后引⼊的第三类重要代数式，也是“实数”之后对“数”的认识的深化．本章内容具有极强的“⼯具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“⼆次⽅程”之前，意在为解⼆次⽅程做好准备；本学期安排本章在“勾股定理”之前，能为解任意直⾓三⾓形的三边数值扫清障碍．⼆、知识⽹络归纳三、课标及中考要求【课标要求】了解⼆次根式、最简⼆次根式的概念，了解⼆次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会⽤它们进⾏有关的简单四则运算．（不要求进⾏根号下含字母的⼆次根式的四则运算，如，等．）【中考要求】1参考了之前⼏次同题教材分析稿，例题也⼤多沿⽤之。
四、课时安排建议21．1 ⼆次根式约2课时 21．2 ⼆次根式的乘除约2课时 21．3 ⼆次根式的加减约3～4课时数学活动与⼩结约2课时五、全章教学建议1．注意本章内容的“⼯具性”．⼆次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、⼆次⽅程的学习打基础，因此应重点落实⼆次根式的性质、化简和计算（特别是实数的化简和计算）的准确性，提⾼学⽣的计算能⼒．尽管课本中的例题相对简单，但不要忽视它们在学⽣建⽴知识结构的过程所起的过渡作⽤．⾮实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容（如分母有理化等），相应地，学探诊测试6第6题及之后的题⽬可不作为基本教学要求．2．从提出⼆次根式的概念开始，就注意强化“⼆次根式在⼀定条件下才有意义”这⼀观念．避免教材第7页⼩贴⼠“在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表⽰正数”给学⽣带来的误解和误导．总有为数不少的学⽣将⼆次根式有意义的“⾮负性”条件误记为“正性”条件，可能与此有关．3．注意对“实数”⼀章知识的复习，体现“数式通性”的原则；注意与“整式”、“分式”相关知识的联系，相关结论可以类⽐记忆．4．注意教材和学探诊中，有些题⽬需要⽤到勾股定理，可先回避．六、各⼩节教学建议 21．1 ⼆次根式（1）实例引⼊，注意复习开平⽅、算术平⽅根的概念和符号表⽰．（2）⼆次根式的形式定义：建议不要把精⼒放在辨别⼀个式⼦是否为⼆次根式上，⽽应该侧重于理解被开⽅数是⾮负数（不要误记为正数）的要求．作为单独⼀个数应属于单项式，⾮⼆次根式．学探诊92页第6题：下列各式中，⼀定是⼆次根式的是：（A B C D 答案B ．本⼈认为题⼲应该改为“下列各⼆次根式⼀定有意义的是”．总之，真正该提醒学⽣的是“数式通性”：如果被开⽅数是⼀个常数，那么它不可以是负数；如果被开⽅数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．（3）⼆次根式（根号）的双重⾮负性：)0(,0≥≥a a ；（4）教材要求掌握的公式：2 (0)a a =≥ (0)a a ≥，建议授课时提⾼要求，理解并掌握??<-≥==)0()0(2a a a a a a ．2a 与2)(a 的对⽐：①运算顺序不同：2)(a 是先求算术平⽅根再平⽅，2a 是先平⽅再求算术平⽅根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，⽽2a 中a 的取值是任意实数；③运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =??<-≥=)0()0(||a a a a a ．（5）代数式的概念：建议适当补充⼀些代数式的书写规范（如果之前没有讲过）．例1 ：当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1 （2 （3（4 答案：（1）1x ≥；（2）1x ≤；（3）1x >；（4）0x ≥且1x ≠．提⾼题：求下列函数解析式中⾃变量x 的取值范围：（1）y x 23-；（2）y 11x +；（3）y =（4）y ．答案：（1）322x -≤≤；（2）0x ≤且1x ≠-；（3）12x ≥且2x ≠；（4）全体实数．例2 ：若x 、y 为实数，且y ＝2-x ＋x -2＋3．求y x 的值．（y x =9）例3 ：判断下列等式是否成⽴：(1)219()= (2)219()=-19()= (4)2()a b=-()a b =- (6)0)().a a =≤答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．例4 ：已知c b a ,,为三⾓形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=．（a b c ++）21．2 ⼆次根式的乘除（10,0)a b ≥≥理解⼆次根式乘除运算法则的合理性：可与()n n n a b ab =做形式上的类⽐；***可以利⽤算术平⽅根的定义进⾏推理证明：∵222ab =?= 且0≥≥，∴．从公式的适⽤范围看，包括了某些字母取0的情况；为降低难度，如果遇到纯⼆次根式化简问题，可以默认为字母都表⽰正数；当涉及字母的取值范围问题时，不能认为字母都是正数．（2）公式的逆⽤：)0,0(≥≥?=b a b a ab ；．能利⽤这条性质对⼆次根式进⾏化简．注意学⽣不易理解“开得尽⽅的因数或因式”的含义，教材在第8页⼩贴⼠的解释：可以开⽅后移到根号外的因数或因式．在这⾥，不妨多举⼀些例⼦，让学⽣明确在化简时，⼀般先将被开⽅数进⾏因数分解或因式分解，然后再将能开得尽⽅的因数或因式开出来．初步总结乘法运算的结果应满⾜以下两个要求：①结果是⼀个⼆次根式，或单项式乘以⼆次根式；也可能没有根号，只是单项式；②根号下不再有 “开得尽的因数或因式”．（30,0)a b=≥>，)0,0(>≥=b a ba b a注意0b >的条件；可以通过归纳、或证明、或类⽐nn n a a b b ??=得出此公式；对于⼆次根式的除法运算和⼆次根式的化简，应让学⽣⼀题多解，⼀⽅⾯是熟悉⼆次根式性质、运算法则和⽅法，另⼀⽅⾯，通过⼀题多解，总结做题经验，使运算更灵活、更简洁．如515515555353532==??==； 515)5(155553532==??=． a a a a aa a a224222828===；a aaa a a a a 22222228====．⼜如 222222212212212=?==?=； 22)2(2122122==?=；22142122122=?=?=．如果学⽣觉得不易灵活运⽤，也可总结为更易操作的“算法”：=再化简．⽤具体的实例归纳总结出把⼀个⼆次根式化为最简⼆次根式的⽅法技巧．如：当被开⽅数较⼤时，可⽤分解因数的办法将被开⽅数尽可能写成完全平⽅数的乘积形式．⾄此学⽣应能对……等常见数值进⾏化简．总之，学⽣在化简运算的简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中先要求学⽣观察⼆次根式的特点，根据其特点分析运⽤哪条性质、哪种⽅法来解答，每步运算的根据的什么，培养学⽣的分析能⼒和观察能⼒，以及计算的⽬的性和条理性．（4）最简⼆次根式的概念：不要求学⽣背出定义，关键是遇到实际式⼦能够加以判断，让学⽣在练习中熟悉这个概念，同时明确⼆次根式的运算结果应化为最简⼆次根式．例5 ：计算：（1 （2；（3 （4例6 ：化简：（1 （2 （3 （4（5 （6 （7 （8（9 （10）例7 ：计算：（1；（2 （3；（4；（5 （6）3 （7 （8 （9例8 ：计算：（1）12322??；（2）)126(75?÷．例9 1.4143个有效数字）． 21．3 ⼆次根式的加减（1）教材采⽤了“被开⽅数相同的最简⼆次根式”的说法；为简洁明了，建议还是类⽐同类项的概念给出“同类⼆次根式”的概念，能通过实例判断⼏个⼆次根式是不是同类⼆次根式，注意强调先化简的重要性．例如，分成⼏个⼩问题：①把被开⽅数都是整数的放在⼀个⼩题中，②把被开⽅数都是分数的放在⼀个⼩题中，③把被开⽅数带有简单字母的放在⼀个⼩题中，④把字母次数略⾼于2的放在⼀个⼩题中，……使问题的解决有⼀个由浅⼊深的渐进过程，最终再给出类似a（2）明确⼆次根式的加减法运算的实质就是合并同类⼆次根式，这与整式加减的实质类似．加减法的练习也同样可细分成⼏个层次进⾏教学．例如：①不需要化简能直接进⾏相加减的，②需要化简但被开⽅数都是简单整数的，③被开⽅数都是有理数但既有整数⼜有分数的，④被开⽅数含有字母的，等等．加减运算中常出现的错误类型有：①或类似的式⼦；②运算过程中有3294+=+或34143=或类似的问题；③运算过程中有532=+或2322311=-或类似的问题．（4）⼆次根式的混合运算．教材利⽤⼩贴⼠类⽐了它与实数、整式运算的联系:第14页: “在有理数范围内成⽴的运算律，在实数范围内仍成⽴”；第17页: “在⼆次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适⽤”．分析式⼦结构，明确运算顺序；关注乘法公式和运算律的应⽤；计算少跳步，避免类似(5516=，之类的典型错误．例10计算：（1（2）2484554+-+（3）3241182182-+；（4）4832714122+-；（5()3122--?（6）0(π1)+-（7)1+（8）68 13222124--+-例11计算：（1）3)154276485(÷+- （2）x xx x 3)1246(÷- （3） )65153(1051-?（4）2136233÷-（5）2)32()122)(488(---+ （6）)2332)(2332(-+ （7）2)534(+（8）)3225)(65(-+（9） 1515)103()103(-+ （10） (11))13(1312+?+÷（12）abb a ab b 3)23(235÷-?（13）)93()24(3ab a ba b a a b a b +-+ （14）221122??-+-+（15）((((22221111（16）ab －b a ―ab＋2++a b b a （a ＞0，b ＞0）例12⼀个长⽅体的长为，宽为cm 3，⾼为cm 2，则它的表⾯积为 2cm ，体积为3cm ．（8+例13若8a ，⼩数部分是b ，则22ab b -= ．（5）★章节复习及综合（1）条件求值类题⽬：例14甲、⼄两⼈对题⽬“求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答，甲的解答：11112495a a a a a a a ==+-=-=，⼄的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a aa ，谁的解答是错误的？为什么？例15（1）如果524-+=+b a b a ，那么b a 2+=_____．（2）若实数x y ，满⾜033222=+-++y y x ，则xy 的值是．．例16①已知: 101=+a a ，求221a a +的值．（6）②已知: ()5721+=x ， ()5721-=y ，求x 2- xy + y 2的值．（112）（2）寻找规律、现场学习类：例17已知下列等式：10=100，1000，······，①根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性；②观察上述等式的规律，请你写出第n 个等式．（允许写成99999n个的形式）例18 观察下列等式：12)12)(12(12121-=-+-=+；23)23)(23(23231-=-+-=+；34)34)(34(34341-=-+-=+；……回答下列问题：①；② ......（9）例19m 和n ，使22mn a +=且mn =a ±222m n mn +±，即变成2()m n ±5±32++222++，==请仿照上例解下列问题：（1；（2七、***拓展专题（1）分母有理化：例20)a b ≠ 例21计算：)12008)(200720081...341231121(+++++++++（2）⼆次根式⽐较⼤⼩：例22⽐较⼤⼩：（1）3与22（平⽅法）（2）－（被开⽅数）（3）571-与351-（分母有理化）（4）2002－2001与2001－2000（倒数法/分⼦有理化）例23观察下列各式的特点：2312->-，3223->-，2532->-，……(1) 请根据以上规律填空20072007- >(2) 请根据以上规律写出第)1(≥n n 个不等式，并证明你的结论． (3) 计算下列算式：.....+9）（3）化简和运算技巧（注意隐含条件：字母的取值范围）：例24（1）已知a <0，化简⼆次根式b a 3-的正确结果是（）． AA ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -（2）把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（）． C A ．m B ．m - C ．m -- D ．m -例25 （1）已知x+y=6，xy=6，求：xyy x +的值；（2）已知x ＋y=－8，xy=8，求的值．（-例26 计算)311)(37(6117)75)(53(7523+++++++++例27 （1）化简ba b a b a b ab a b a a ba b +-÷++-?-+-2；（a ba b +-）（2）化简111111112222-++--++--+-++a a a a a a a a .（1a >）．（例28（1）已知x ＝2323-+， y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值；）（2）已知3 21+=a ，求a a a a a a a -+---+-2221 2121的值．（3）。
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
《二次根式》word教案 (公开课)2022年北师大版 (6)
1.式子b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)，b a ba = (a ≥0,b ＞0)的运用；能利用化简对实数进行简单的四那么运算.(重点) 2.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法那么进行有关实数的四那么运算.〔难点〕3.通过对法那么的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性.教法及学法指导：本节采用“导学－探究—反响〞教学模式，引导学生对设计的问题进行主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得到二次根式化简的方法，并能进行简单的四那么混合运算. “两个公式的逆运用〞是本节课的重点知识，“灵活地运用公式进行实数运算〞是本节课的难点知识．对以上两个知识，要通过大量练习，才能让学生熟练掌握.课前准备：制作课件，学生课前进行预习工作.教学过程:一、 导学1.让学生回忆算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？〔利用课间展示图片〕学生思考后踊跃答复，上述两个问题学生很容易完成.在这个环节为了方便表示，设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .因此，学生得到：.2,822==b a 由算数平方根的定义很容易得到：.2,8==b a2.老师继续提出问题：这两个正方形的边长之间有什么关系？〔停留片刻，展示分割大正方形的图片〕借助图片，学生得出：,2b a =即：.228=3.你能借助什么运算法那么解释它吗？点明本节课研究任务——化简，导入新课.二、 探究1.利用课件出示上节课研究的两个运算法那么：b a b a ⋅=⋅〔a ≥0，b ≥0〕， ba b a=〔a ≥0，b ＞0〕．并明确指出逆用仍然是成立的，面积8 面积2即:b a b a ⋅=⋅,b a b a = 〔a ≥0，b ＞0〕. 2.老师提出问题：能否根据该公式将8化成22呢？在这个环节，由于学生课前已经自学完课本，有局部学生能够解决这个问题.学生答复：2242428=⨯=⨯=.〔强调：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号〕3.探究方法老师提出问题：以上化简过程有何规律呢？学生得出：被开方数被拆成两个因数乘积的形式，并且其中一个因数能够直接开平方,而且在这个变化过程当中逆用了我们上节课研究的乘法运算公式.老师明确：像这种运算我们称为化简，像8被开方数含有开得尽的因数，一般需要进行化简.4.典例解析：32如何化简?学生在这个环节进行小组探究，学生得出〔1〕：82848432=⨯=⨯=〔学生比拟热于利用乘法口诀〕; 学生得出〔2〕：2416216232=⨯=⨯=老师引导学生：两名同学化简的结果有什么区别?学生：82可以继续化简，即2442242282=⨯=⨯=.老师继续提出：哪种方法更好呢?我们以后应该采用哪种方法?学生一定选择第二种方法,第二种方法的优点是只需一次化简,而第一种方法需要两次化简.总结方法:对于32这种式子的化简,被开方数拆成两个因数乘积的形式,其中一个因数能够直接开方,而另一个不再含有开方开得尽的因数.5.反响练习：化简：〔1〕45；〔2〕27；〔3〕54；〔4〕98；〔5〕16125． 五名同学在黑板板书,其余同学独立完成.完成后同位交换批改,并订正答案.黑板上的让同学点评.6.拓展：事实上，对带有根号的数的化简，不仅仅限于以上提出的要求，它还有其他要求．类比〔4〕98 〔5〕16125的化简,让学生化简21.(小组合作探究) 学生会有两种做法: 方法一: 212121==.在此指出这种结果并非最简,还需进行分母有理化,但分母有理化不是我们现在的教学要求,以后我们习题课的时候有可能会涉及到.方法二: 22424221===.自学效果好的同学得到这种方法,这种方法是我们这节课要掌握的方法.那么这种方法的特点是什么呢?学生答复:被开方数的分母利用分数的根本性质扩大一定的正整数倍,配成能够直接开方的数.有些学生有这种想法: 2242216816821====.这种情况里面8还需要化简.因此分母扩大一定的正整数倍后,应该配成最小的能够直接开平方的数.老师总结:原来被开方数含有分母，化简后，被开方数不含分母了．7.反响练习：化简：(1)31 (2) 121 (两名同学黑板板书,其余同学独立完成,并同位间批改订正)8.小结归纳：带根号的数的化简要求：〔1〕使被开方数不含开得尽的数；〔2〕使被开方数不含分母．运用例1 化简：〔1〕50；〔2〕348-；〔3〕515-． 对于例题的处理：先让学生自学例题，注意解题格式和步骤，然后合上课本把例题再做一遍，并且找四名同学到黑板上板书，最后让学生点评例题.三、反响1．课本60页随堂练习1：〔三名同学到黑板板书，然后其余同学独立完成，同位间批改订正，黑板上同学的完成情况，让学生点评〕化简：〔1〕18；〔2〕7533-；〔3〕72．2.补充习题， 化简：〔1〕81；〔2〕278；〔3〕2.1；〔4〕1615 〔找同学板书〕 说明:(3)〔4〕大局部同学无从下手，老师给予适当点拨.〔3〕要先把小数化成分数，再考虑下一步的化简.〔4〕要把带分数化成假分数，再考虑下一步的化简.3.补充习题，化简：〔1〕128； 〔2〕900； 〔3〕48122+；〔4〕325092-+； 〔5〕5145203--； 〔找同学板书〕 课堂小结小组内交流讨论，总结本节课的收获.以小组为单位做出总结：〔1〕被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子需要化简；〔2〕公式b a b a ⋅=⋅〔a ≥0，b ≥0〕，ba b a=〔a ≥0，b ＞0〕从左往右或从右往左在化简中会灵活运用．〔3〕能够进行含有根式的式子的四那么混合运算.限时作业课本62页 习题 2．10 知识技能 1.课本64页 复习题 8.化简 〔4〕〔5〕〔6〕板书设计：教学反思:1.这是一节实数的运算、化简课，只有在熟练掌握两个公式〔和这两个公式的逆运用〕的根底上，反复利用练习来稳固学生对知识理解和融汇.通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并体验实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过同学们互相交流合作，得出两个化简的公式〔实际上是两个运算公式的逆运用〕，培养他们的合作精神和探索能力.课本的知识量比拟少，我在新课引入和反响训练方面所花的时间相对多一些，这也是数§ 实数(三)1．法那么 2.例题讲解b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；ba b a =(a ≥0,b ＞0) 练 习 区〔或式〕的运算的通用的做法，旨在通过练习、例题来稳固学生对所学知识的理解和掌握. [教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
二次根式教案及教学设计
⼆次根式是在学⽣掌握了平⽅根、算术平⽅根的基础上进⼀步学习的重点内容，如何设计⼆次根式教学呢?下⾯是的⼆次根式教案资料，欢迎阅读。
⼆次根式教案篇1 教学建议 知识结构： 重点难点分析： 是商的⼆次根式的性质及利⽤性质进⾏⼆次根式的化简与运算,利⽤分母有理化化简.商的算术平⽅根的性质是本节的主线，学⽣掌握性质在⼆次根使得化简和运算的运⽤是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之⼀分母有理化，分母有理化的理解决定了最简⼆次根式化简的掌握. 教学难点是⼆次根式的除法与商的算术平⽅根的关系及应⽤.⼆次根式的除法与乘法既有联系⼜有区别，强调根式除法结果的⼀般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性⼤，要让学⽣⾸先理解分母有理化的意义及计算结果形式. 教法建议： 1. 本节内容是在有积的⼆次根式性质的基础后学习，因此可以采取学⽣⾃主探索学习的模式，通过前⼀节的复习，让学⽣通过具体实例再结合积的性质，对⽐、归纳得到商的⼆次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学⽣有⼀定的探索⽅向. 2. 本节内容可以分为三课时，第⼀课时讨论商的算术平⽅根的性质，并运⽤这⼀性质化简较简单的⼆次根式(被开⽅数的分母可以开得尽⽅的⼆次根式);第⼆课时讨论⼆次根式的除法法则，并运⽤这⼀法则进⾏简单的⼆次根式的除法运算以及⼆次根式的乘除混合运算，这⼀课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况;第三课时讨论分母有理化的概念及⽅法，并进⾏⼆次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅⼊深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开. 3. 引导学⽣思考“想⼀想”中的内容，培养学⽣思维的深刻性，教师组织学⽣思考、讨论过程中，⿎励学⽣⼤胆猜想，积极探索，运⽤类⽐、归纳和从特殊到⼀般的思考⽅法激发学⽣创造性的思维. 教学设计⽰例 ⼀、教学⽬标 1.掌握商的算术平⽅根的性质，能利⽤性质进⾏⼆次根式的化简与运算; 2.会进⾏简单的⼆次根式的除法运算; 3.使学⽣掌握分母有理化概念，并能利⽤分母有理化解决⼆次根式的化简及近似计算问题; 4. 培养学⽣利⽤⼆次根式的除法公式进⾏化简与计算的能⼒; 5. 通过⼆次根式公式的引⼊过程，渗透从特殊到⼀般的归纳⽅法，提⾼学⽣的归纳总结能⼒; 6. 通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性. ⼆、教学重点和难点 1.重点：会利⽤商的算术平⽅根的性质进⾏⼆次根式的化简，会进⾏简单的⼆次根式的除法运算，还要使学⽣掌握⼆次根式的除法采⽤分母有理化的⽅法进⾏. 2.难点：⼆次根式的除法与商的算术平⽅根的关系及应⽤. 三、教学⽅法 从特殊到⼀般总结归纳的⽅法以及类⽐的⽅法，在学习了⼆次根式乘法的基础上本⼩节 内容可引导学⽣⾃学，进⾏总结对⽐. 四、教学⼿段 利⽤投影仪. 五、教学过程 (⼀) 引⼊新课 学⽣回忆及得算数平⽅根和性质： (a≥0，b≥0)是⽤什么样的⽅法引出的?(上述积的算术平⽅根的性质是由具体例⼦引出的.) 学⽣观察下⾯的例⼦，并计算： 由学⽣总结上⾯两个式的关系得： 类似地，每个同学再举⼀个例⼦，然后由这些特殊的例⼦，得出： (⼆)新课 商的算术平⽅根. ⼀般地，有 (a≥0，b>0) 商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根. 让学⽣讨论这个式⼦成⽴的条件是什么?a≥0，b>0，对于为什么b>0，要使学⽣通过讨论明确，因为b=0时分母为0，没有意义. 引导学⽣从运算顺序看，等号左边是将⾮负数a除以正数b求商，再开⽅求商的算术平⽅根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平⽅根，然后再求两个算术平⽅根的商，根据商的算术平⽅根的性质可以进⾏简单的⼆次根式的化简与运算. 例1 化简： (1) ; (2) ; (3) ; 解∶(1) (2) (3) 说明：如果被开⽅数是带分数，在运算时，⼀般先化成假分数;本节根号下的字母均为正数. 例2 化简： (1) ; (2) ; 解：(1) (2) 让学⽣观察例题中分母的特点，然后提出，的问题怎样解决? 再总结：这⼀⼩节开始讲的⼆次根式的化简，只限于所得结果的式⼦中分母可以完全开的尽⽅的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决. 学⽣讨论本节课所学内容，并进⾏⼩结. (三)⼩结 1.商的算术平⽅根的性质.(注意公式成⽴的条件) 2.会利⽤商的算术平⽅根的性质进⾏简单的⼆次根式的化简. (四)练习 1.化简： (1) ; (2) ; (3) . 2.化简： (1) ; (2) ; (3) 六、作业 教材P.183习题11.3;A组1. 七、板书设计 ⼆次根式的除法 ⼆次根式教案篇2 ⼀、内容和内容解析 1.内容 ⼆次根式的概念. 2.内容解析 本节课是在学⽣学习了平⽅根、算术平⽅根、⽴⽅根的概念，会⽤根号表⽰数的平⽅根、⽴⽅根，知道开⽅与乘⽅互为逆运算的基础上，来学习⼆次根式的概念. 它不仅是对前⾯所学知识的综合应⽤，也为后⾯学习⼆次根式的性质和四则运算打基础. 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表⽰成⼆次根式的形式，它们都表⽰⼀些正数的算术平⽅根，由此引出⼆次根式的定义. 再通过例1讨论了⼆次根式中被开⽅数字母的取值范围的问题，加深学⽣对⼆次根式的定义的理解. 本节课的教学重点是:了解⼆次根式的概念; ⼆、⽬标和⽬标解析 1.教学⽬标 (1)体会研究⼆次根式是实际的需要. (2)了解⼆次根式的概念. 2. 教学⽬标解析 (1)学⽣能⽤⼆次根式表⽰实际问题中的数量和数量关系，体会研究⼆次根式的必要性. (2)学⽣能根据算术平⽅根的意义了解⼆次根式的概念，知道被开⽅数必须是⾮负数的理由，知道⼆次根式本⾝是⼀个⾮负数，会求⼆次根式中被开⽅数字母的取值范围. 三、教学问题诊断分析 对于⼆次根式的定义，应侧重让学⽣理解 “ 的双重⾮负性，”即被开⽅数 ≥0是⾮负数，的算术平⽅根≥0也是⾮负数.教学时注意引导学⽣回忆在实数⼀章所学习的有关平⽅根的意义和特征，帮助学⽣理解这⼀要求，从⽽让学⽣得出⼆次根式成⽴的条件，并运⽤被开⽅数是⾮负数这⼀条件进⾏⼆次根式有意义的判断. 本节课的教学难点为:理解⼆次根式的双重⾮负性. 四、教学过程设计 1.创设情境，提出问题 问题1你能⽤带有根号的的式⼦填空吗? (1)⾯积为3 的正⽅形的边长为_______，⾯积为S 的正⽅形的边长为_______. (2)⼀个长⽅形围栏，长是宽的2 倍，⾯积为130m?，则它的宽为______m. (3)⼀个物体从⾼处⾃由落下，落到地⾯所⽤的时间 t(单位:s)与开始落下的⾼度h(单位:m)满⾜关系 h =5t?，如果⽤含有h 的式⼦表⽰ t ，则t= _____. 师⽣活动:学⽣独⽴完成上述问题，⽤算术平⽅根表⽰结果，教师进⾏适当引导和评价. 【设计意图】让学⽣在填空过程中初步感知⼆次根式与实际⽣活的紧密联系，体会研究⼆次根式的必要性. 问题2 上⾯得到的式⼦，，分别表⽰什么意义?它们有什么共同特征? 师⽣活动:教师引导学⽣说出各式的意义，概括它们的共同特征:都表⽰⼀个⾮负数(包括字母或式⼦表⽰的⾮负数)的算术平⽅根. 【设计意图】为概括⼆次根式的概念作铺垫. 2.抽象概括，形成概念 问题3 你能⽤⼀个式⼦表⽰⼀个⾮负数的算术平⽅根吗? 师⽣活动:学⽣⼩组讨论，全班交流.教师由此给出⼆次根式的定义:⼀般地，我们把形如 (a≥0)的式⼦叫做⼆次根式，“ ”称为⼆次根号. 【设计意图】让学⽣体会由特殊到⼀般的过程，培养学⽣的概括能⼒. 追问:在⼆次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”? 师⽣活动:教师引导学⽣讨论，知道⼆次根式被开⽅数必须是⾮负数的理由. 【设计意图】进⼀步加深学⽣对⼆次根式被开⽅数必须是⾮负数的理解. 3.辨析概念，应⽤巩固 例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义? 师⽣活动:引导学⽣从概念出发进⾏思考，巩固学⽣对⼆次根式的被开⽅数为⾮负数的理解. 例2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义? 呢? 师⽣活动:先让学⽣独⽴思考，再追问. 【设计意图】在辨析中，加深学⽣对⼆次根式被开⽅数为⾮负数的理解. 问题4 你能⽐较与0的⼤⼩吗? 师⽣活动:通过分和这两种情况的`讨论，⽐较与0的⼤⼩，引导学⽣得出 ≥0的结论，强化学⽣对⼆次根式本⾝为⾮负数的理解， 【设计意图】通过这⼀活动的设计，提⾼学⽣对所学知识的迁移能⼒和应⽤意识;培养学⽣分类讨论和归纳概括的能⼒. 4.综合运⽤，巩固提⾼ 练习1 完成教科书第3页的练习. 练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义. (1) ;(2) ;(3) ;(4) . 【设计意图】辨析⼆次根式的概念，确定⼆次根式有意义的条件. 【设计意图】设计有⼀定综合性的题⽬，考查学⽣的灵活运⽤的能⼒，开阔学⽣的视野，训练学⽣的思维. 5.总结反思 教师和学⽣⼀起回顾本节课所学主要内容，并请学⽣回答以下问题. (1)本节课你学到了哪⼀类新的式⼦? (2)⼆次根式有意义的条件是什么?⼆次根式的值的范围是什么? (3)⼆次根式与算术平⽅根有什么关系? 师⽣活动:教师引导，学⽣⼩结. 【设计意图】:学⽣共同总结，互相取长补短，再⼀次突出本节课的学习重点，掌握解题⽅法. 6.布置作业: 教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题. 五、⽬标检测设计 1. 下列各式中，⼀定是⼆次根式的是( ) A. B. C. D. 【设计意图】考查对⼆次根式概念的了解，要特别注意被开⽅数为⾮负数. 2. 当时，⼆次根式⽆意义. 【设计意图】考查⼆次根式⽆意义的条件，即被开⽅数⼩于0，要注意审题. 3.当时，⼆次根式有最⼩值，其最⼩值是 . 【设计意图】本题主要考查⼆次根式被开⽅数是⾮负数的灵活运⽤. 4.对于，⼩红根据被开⽅数是⾮负数，得出的取值范围是 ≥ .⼩慧认为还应考虑分母不为0的情况.你认为⼩慧的想法正确吗?试求出的取值范围. 【设计意图】考查⼆次根式的被开⽅数为⾮负数和⼀个式⼦的分母不能为0，解题时需要综合考虑. ⼆次根式教案篇3 教学建议 本节的重点有两个: ⒈同类⼆次根式的概念 ⒉⼆次根式加减运算的⽅法 本节的主要内容是讲解⼆次根式的加减法，⽽⼆次根式的加减法的关键是把⼆次根式化为最简⼆次根式，再把同类⼆次根式合并.⼆次根式的加减法运算实质是合并同类⼆次根式，前提是要充分了解同类⼆次根式的概念，因此同类⼆次根式的概念是本节的⼀个重点. 本节的难点⼆次根式的加减法运算 ⼆次根式的加减法⾸先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了.整式加减⽆⾮是去括号与合并同类项，⼆次根式的加减在化简之后也是如此，同类⼆次根式类似同类项.但是学⽣初次接触⼆次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握⼆次根式的加减法运算是本节的难点. 本节的主要内容是讲解⼆次根式的加减法，⽽⼆次根式的加减法的关键是把⼆次根式化为最简⼆次根式，再把同类⼆次根式合并. (1)在知识引⼊的讲解中，有两种不同的处理⽅法:⼀是按照教材中的⽅法，先给出⼏个⼆次根式，把他们都化成最简⼆次根式，在进⾏⽐较或者加减运算，从⽽引出⼆次根式的加减法和同类⼆次根式;⼆是先复习同类项的概念或进⾏⼀两道简单的正式加减的题⽬，通过类⽐引出同类⼆次根式和⼆次根式的加减法.两种处理⽅法各有优劣，教师在教学过程中可根据学⽣的实际情况进⾏选择，当然也可以把这两种⽅法综合应⽤，但有些过繁. (2)在教材例1的教学中，教师可以根据学⽣情况进⾏细分处理，例如分成⼏个⼩问题:①把被开⽅数都是整数的放在⼀个⼩题中，②把被开⽅数都是分数的放在⼀个⼩题中，③把被开⽅数带有简单字母的放在⼀个⼩题中，④把字母次数略⾼于2的放在⼀个⼩题中，……使问题的解决有⼀个由浅⼊深的渐进过程，便于学⽣参与其中，也容易使学⽣获得成就感. (3)在组织学⽣进⾏⼆次根式的加减法教学中，同样将例题细分成⼏个层次进⾏教学，例如:①不需要化简能直接进⾏相加减的，②需要化简但被开⽅数都是简单整数的，③被开⽅数都是有理数但既有整数⼜有分数的，④被开⽅数含有字母的，等等. (4)在⼆次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求⼆次根式加减法的法则，但可以组织学⽣⾃⼰总结法则，既有利于学⽣的参与，⼜能提⾼学⽣的观察、分析和归纳能⼒. (5)在⼆次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学⽣的错误认识，⽐如:①不是最简⼆次根式就不是同类⼆次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况.教师在教学中可以出⼀些容易出错的题⽬让学⽣进⾏辨别，以利于知识的巩固. 教学设计⽰例1 ⼀、素质教育⽬标 (⼀)知识教学点 1.使学⽣了解最简⼆次根式的概念和同类⼆次根式的概念. 2.能判断⼆次根式中的同类⼆次根式. 3.会⽤同类⼆次根式进⾏⼆次根式的加减. (⼆)能⼒训练点 通过本节的学习，培养学⽣的思维能⼒并提⾼学⽣的运算能⼒. (三)德育渗透点 从简单的同类⼆次根式的合并，层层深⼊，从解题的过程中，让学⽣体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想. (四)美育渗透点 通过⼆次根式的加减，渗透⼆次根式化简合并后的形式简单美. ⼆、学法引导 1.教师教法引导法、⽐较法、剖析法，在⽐较和剖析中，不断纠正错误，从⽽树⽴牢固的计算⽅法. 2.学⽣学法通过不断的练习，从中体会、⽐较、⼆次根式加减法中，正确的⽅法使⽤，并注重⼩结出⼆次根式加减法的法则. 三、重点·难点·疑点及解决办法 1.教学重点⼆次根式的加减法运算. 2.教学难点⼆次根式的化简. 3.疑点及解决办法⼆次根式的加减法的关键在于⼆次根式的化简，在适当复习⼆次根的化简后进⾏⼀步引⼊⼏个整式加减法的，以引起学⽣的求知欲与兴趣，从⽽最后引⼊同类⼆次根式的加减法，可进⾏阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学⽅法，以利于学⽣的理解、掌握和运⽤，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学⽣总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学⽣去伪存真，这种⽐较法的教学可使学⽣对概念的理解、法则的运⽤更加准确和熟练，并能提⾼学⽣的学习兴趣，以达到更好的学习效果. 四、课时安排 2课时 五、教具学具准备 投影⽚ 六、师⽣互动活动设计 1.复习最简⼆根式整式及的加减运算，引⼊⼆次根式的加减运算，尽量让学⽣回答问题. 2.教师通过例题的⽰范让学⽣了解什么是⼆次根式的加减法，并引⼊同类的⼆次根式的定义. 3.再通过较复杂的⼆次根式的加减法计算，引导学⽣⼩结归纳出⼆次根式的加减法的法则. 4.通过学⽣的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学⽣从解题过程中体会理解⼆次根式加减法的实质及解决的⽅法. 七、教学步骤 (-)明确⽬标 学习⼆次根式化简的⽬的是为了能将⼀些最终能化为同类⼆次根式项相合并，从⽽达到化繁为简的⽬的，本节课就是研究⼆次根式的加减法. (⼆)整体感知 同类⼆次根式的概念应分⼆层含义去理解(1)化简后(2)被开⽅数还相同.通过正确理解⼆次根式加减法的法则来准确地实施⼆次根式加减法的运算，应特别注意合并同类⼆次根式时仅将它们的系数相加减，根式⼀定要保持不变，并可对⽐整式的加减法则以增加对合并同类⼆次根式的理解，增强综合运算的能⼒. 第⼀课时 (-)教学过程 【复习引⼊】 什么样的⼆次根式叫做最简⼆次根式?(由学⽣回答) 与的形式与实质是什么? 可以化简为 . 继续提问: ，可以化简吗? ，可以化简吗? 这就是本节课研究的内容--⼆次根式的加减法. 【讲解新课】 1.复习整式的加减运算 计算: (1) ; (2) ; (3) . ⼩结:整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算. 2.例题 (1)计算 . 解: . (2)计算 . 解: . ⼩结: (1)如果⼏个⼆次根式的被开⽅数相同，那么可以直接根据分配律进⾏加减运算. (2)如果所给的⼆次根式不是最简⼆次根式，应该先化简，再进⾏加减运算. 定义:⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式以后，如果被开⽅数相同，这⼏个⼆次根式就叫做同类⼆次根式. 3.例题 例1 下列各式中，哪些是同类⼆次根式? ，，，，，， . 解:略. 例2 计算 . 解: . 例3 计算 . 解: . ⼆次根式加减法的法则:。
第6课时_数的开方及二次根式学案__基训题目2
第6课时 数的开方及二次根式学案 基训题目21、要使代数式x 有意义，则x 的取值范围是 ； 8的立方根为 ； 2x =___________； 计算10(23)(21)----的结果是_________．2、当2-=x 时，代数式1352--x x 的值是 ．* 3、已知实数x ，y 满足x2＋y2－4x －2y ＋5=0，则32x yy x +-的值为______ 4、若互为相反数，则_______。
、 5、若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．6、化简：21(3)a a -+-的结果为( )A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、47、若230x y ++-=，则xy 的值为( )A ．8-B ．6-C ．5D ．6 8、若实数x y ，满足22(3)0x y ++-=，则xy 的值是 9、的整数部分是_________，小数部分是________。
10、3最接近的整数是( )A ．0B ．2C ．4D ．511、估算272-的值() A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间D ．在4到5之间12、估计20的算术平方根的大小在( )A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间13、若=3，则x 的取值范围是( )。
A. x=0B. －1≤x ≤2C. x ≥2D. x ≤－114、下列计算正确的是：A ．822-=B ．321-=C ．325+=D ．236= 15、使等式成立的实数a 的取值范围是( )。
A. a ≠ 3B. a ≥，且a ≠ 3C. a>3D. a ≥16、下列各组二次根式(a>0)中，属于同类二次根式的是( )。
A. C.17、下列运算正确的是( ) A ．3273-= B ．0(π 3.14)1-= C ．1122-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．93=± 18、对于5678的值，下列关系式何者正确 (A) 55<5678<60 (B) 65<5678<70 (C) 75<5678<80 (D) 85<5678<90 。
人教版-数学-八年级下册《二次根式》教学详案
《二次根式》教学详案1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.第课时使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.【难点】会求二次根式中字母的取值范围.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.导入一:唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?要解决这个问题,我们得从二次根式说起.将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.导入二:1.教师出示复习题:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算术平方根是.学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.2.教师出示教材第2页“思考”题:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为.学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.1.二次根式的概念思路一(针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,,分别表示什么意义?它们有什么共同特征?教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.思路二像,,,这样的式子有什么共同特点呢?学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.引导学生说一说对二次根式的认识:(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.2.例题讲解二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()A. B.C. D.(其中a<0)〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.当x≥2时,在实数范围内有意义.【变式训练】若式子1+有意义,则x的取值范围是.〔解析〕根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.(1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项二次根式的概念形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等二次根式有意义的条件被开方数必须是非负数求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≥-C.x>D.x≠解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范围:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数.(3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数.(4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.第1课时1.二次根式的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.【选做题】教材第5页习题16.1第7题.二、课后作业【基础巩固】1.若是二次根式,则下列结论正确的是()A.x≥0,y≥0B.x>0,y>0C.x,y同号D.≥02.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是. 【能力提升】5.当x时,+在实数范围内有意义.6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则x y=.7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.【答案与解析】1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴x y=9.)7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.练习(教材第3页)1.解:设长方形的长和宽分别为3a cm,2a cm.由题意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3 cm,宽取2 cm.2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,有意义.(2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义. (3)当-a≥0,即a≤0时,有意义.(4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.〔解析〕根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.当x=±2时,y=-3.①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.已知(3a-6)2+=0,求b a的值.〔解析〕根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b 的值,再代入原式中计算.解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此时b a=32=9.本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.第课时1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】自学教材第3~4页的内容.导入一:教师出示问题:先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.导入二:1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.思路一1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)我们先来探究性质1:()2=a(a≥0).提问:你能解释下列式子的含义吗?()2,()2,,()2.学生口述,教师根据情况评价.()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.()2=;()2=;=;()2=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.教师引导学生说出每一个式子的含义.是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2.是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).(教材例2)计算:(1)()2;(2)(2)2.学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22×()2=4×5=20.把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.【变式训练】计算:(-2)2.〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.2.二次根式的性质2:=a(a≥0)提问:你能解释下列式子的含义吗?,,,.教师引导学生说出每一个式子的含义.表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.=;=;=;=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).(教材例3)化简:(1);(2).引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.学生独立完成,集体订正.解:(1)==4.(2)==5.(1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).小组讨论:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|= 让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.思路二请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.(2)猜想当a≥0时,()2=.2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.==;==;==;==;….通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.归纳并板书:二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提问:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.3.代数式提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.4.例题讲解(补充)计算:(-5)2,,-.〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.==.-=-=-.(补充)比较2与3的大小.〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,又∵44<45,且2>0,3>0,∴2<3.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项()2=a(a≥0)任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身被开方数a是非负数=|a|= 任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a可以是任何实数代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式1.计算的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:==3.故选B.2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.3.+的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)当x时,=2-x成立;(2)计算=.解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.答案:(1)≤2(2)π-35.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9.(2)(2)2=22×()2=12.(3)=(-2)2×=2.(4)(-)2=(-1)2×()2=15.第2课时1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性质2:=a(a≥0)例23.代数式4.例题讲解例3例4一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.【选做题】教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次根式的值为3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,则()A.a<B.a≤C.a>D.a≥3.(2015·杭州中考)若k<<k+1(k是整数),则k等于()A.6B.7C.8D.94.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是.6.在实数范围内分解因式:(1)x2-3=;(2)n5-6n3+9n=.7.列出下列代数式:(1)面积为3的圆的半径;(2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽.8.计算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化简,再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.对于题目“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.谁的解答是错误的?为什么?【答案与解析】1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.)2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.)3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)4.C(解析:观察图可知a<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式、绝对值的性质进行化简计算.原式=-a-=-a+a+b=b.故选C.)5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数m的最小值为5.)6.(1)(x+)(x-)(2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)7.解:(1).(2)宽:3;长:5.8.解:(1)=.(2)(3)2=32×()2=18.(3)=(-2)2×=.(4)-=-=-3π.(5)==.9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是=-a.本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.练习(教材第4页)1.解:(1)()2=3.(2)(3)2=32×()2=9×2=18.2.解:(1)=0.3.(2)=.(3)-=-π.(4)=10-1=.习题16.1(教材第5页)1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义.(2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义.(3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义.(4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.2.解:(1)()2=5.(2)(-)2=()2=0.2.(3)=.(4)(5)2=52×()2=25×5=125.(5)==10.(6)=72×=49×=14.(7)=.(8)-=-=-.3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=±.因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R=,即面积为S的圆的半径为.(2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x·3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.4.解:(1)32.(2)()2.(3)()2.(4)0.52.(5).(6)02.5.解:由题意可知πr2=π·22+π·32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x·4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义.(2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义.(3)∵即x>0,∴当x>0时,在实数范围内有意义.(4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.8.解:设h=kt2, 则由题意,得20=k×22,解得k=5,∴h=5t2,∴t=(负值已舍去).当h=10时,t==,当h=25时,t==.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为s和s.9.解:(1)由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18.(2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.10.解:V=πr2×10,r=(负值已舍去),当V=5π时, r==,当V=10π时,r==1,当V=20π时,r==.如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.〔解析〕根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.已知a,b,c为三角形的三条边,则+=.〔解析〕根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.此类化简问题要特别注意符号问题.化简:.〔解析〕题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.。
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2.二次根式的除法
一般地，对二次根式的除法规定 〕.
即：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.
4.最简二次根式
我们把满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.
注意3.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根.
例3.计算：〔1〕 ；〔2〕 .
程
一．二次根式的有关概念
1.二次根式的概念
一般地，我们把形如 〔 〕的式子叫做二次根式，“ 〞称为二次根号.
注意1.1.平方与开平方互为逆运算；
2. 有意义的条件是 ，并且 〔 〕是一个非负数.
2.两个重要结论
〔 〕;
〔 〕.
例1.假设代数式 有意义，求x的取值范围.
例2.假设 ，化简代数式 .
二.二次根式的乘除
1.二次根式的乘法
一般地，对二次根式的乘法规定 〕.
即：两个二次根式相乘，被开放数相乘，根指数不变.
注意2.〔1〕此规定可推广到多个二次根式的情况；
〔2〕公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负数，因为负数没有平方根.
〔3〕此公式也可反过来用，就得到 ，利用它可以进展二次根式的化简.
三．二次根式的加减
1.同类二次根式的概念
把几个二次根式化成最简二次根式后，假设果被开方数一样，这几个二次根式就叫做最简二次根.
注意4.判断两个根式是否是同类二次根式时，首先要把它们化为最简二次根，然后再看被开方数是否一样.
例5.在以下二次根式中，与 是同类二次根式的是〔〕
A. B. C. D.
2.二次根式加减的运算法那么
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第6课时二次根式
(70分)
一、选择题(每题3分，共27分)
1．[2015·绵阳]±2是4的(A) A．平方根B．相反数
C．绝对值D．算术平方根2．[2015·绵阳]要使代数式2－3x有意义，则x的(A)
A．最大值是2
3B．最小值是
2
3
C．最大值是3
2D．最小值是
3
2
【解析】∵代数式2－3x有意义，∴2－3x≥0，解得x≤2 3.
3．[2015·重庆]化简12的结果是(B) A．4 3 B．2 3 C．3 2 D．2 6
4．[2014·潍坊]若代数式
x＋1
（x－3）2
有意义，则实数x的取值范围是(B)
A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3
C．x＞－1 D．x＞－1且x≠3
【解析】由题意得x＋1≥0且x－3≠0，
解得x≥－1且x≠3.
5．[2015·扬州]下列二次根式中是最简二次根式是(A)
A.30
B.12
C.8
D.1 2
6．[2015·凉山]下列根式中，不能与3合并的是(C)
A.1
3 B.
1
3
C.
2
3 D.12
7．[2014·白银]下列计算错误的是(B)
A.2·3＝ 6
B.2＋3＝ 5
C.12÷3＝2
D.8＝2 2
【解析】 A.2·3＝6，计算正确； B.2＋3，不能合并，计算错误； C.12÷3＝4＝2，计算正确； D.8＝22，计算正确． 8．[2015·广州]下列计算正确的是
(D)
A ．ab ·ab ＝2ab
B ．(2a )3＝2a 3
C ．3a －a ＝3(a ≥0) D.a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)
9．实数a ，b 在数轴上的位置如图6－1所示，且|a |>|b |，则化简a 2－|a ＋b |的结果为
(C)
A ．2a ＋b
B ．－2a ＋b
C ．b
D ．2a －b
图6－1
二、填空题(每题4分，共16分)
10．[2015·长沙]把
2
2
＋2进行化简，得到的最简结果是结果保留根号)． 11．(1)[2015·聊城]计算：(2＋3)2－24＝__5__； (2)[2015·滨州]计算：(2＋3)(2－3)＝__－1__. 【解析】 (1)原式＝2＋26＋3－26＝5； (2)原式＝(2)2－(3)2＝2－3＝－1.
12．[2016·中考预测]若20n 是整数，则正整数n 的最小值为__5__.
13．[2015·平昌县一模]已知x ，y 为实数，且x －3＋(y ＋2)2＝0，则y x ＝__
－8__.
【解析】 由题意得x －3＝0，y ＋2＝0， 解得x ＝3，y ＝－2， 所以，y x ＝(－2)3＝－8. 三、解答题(共27分)
14．(10分)(1)计算：2＋(－1)2 017＋(2＋1)×(2－1)－⎪⎪⎪
⎪⎪⎪－3×13；
(2)化简：12－
92－2＋242＋(2－2)0
＋12＋1
. 解：(1)原式＝2－1＋1－1＝1；
(2)原式＝23－3
22－(1＋23)＋1＋2－1 ＝－22－1.
15．(10分)(1)[2015·凉山]计算：－32＋3×
1
tan60°
＋|2－3|；
(2)[2015·绵阳]计算：|1－2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2
－1cos45°＋3－8.
解：(1)原式＝－9＋3×1
3
＋3－2 ＝－5－2；
(2)原式＝2－1＋4－2－2＝1.
16．(7分)[2014·成都]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫
a a －
b －1÷b a 2－b 2
，其中a ＝3＋1，b
＝3－1.
解：原式＝⎝
⎛⎭⎪⎫a
a －
b －a －b a －b ·a 2－b 2b ＝b
a －
b ·（a ＋b ）（a －b ）b
＝a ＋b ，
当a ＝3＋1，b ＝3－1时，
原式＝(3＋1)＋(3－1)＝2 3.
(15分)
17．(5分)若5的整数部分为x，小数部分为y，则x2＋y的值为【解析】∵2＜5＜3，∴x＝2，y＝5－2，
则原式＝4＋(5－2)＝2＋ 5.
18．(5分)[2014·咸宁]观察分析下列数据：0，－3，6，－3，23，－15，
32，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是结果需化简)．19．(5分)将1，2，3，6按图6－2所示方式排列．若规定(m，n)表示第m
排从左向右第n个数，则(5，4)与(15，7)表示的两数之积是
图6－2
【解析】(5，4)表示第5排第4个数为2，(15，7)表示第15排第7个数，前面(包括第15排第7个数)共有1＋2＋3＋…＋14＋7＝112个数，112被4整除，故(15，7)表示6，所以2×6＝2 3.
(15分)
20．(15分)阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn 2.
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a＋b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__m2＋3n2__，b＝__2mn__；
(2)利用所探索的结论，换一组正整数a，b，m，n填空：__4__＋__2__3＝(__1__＋__1__3)2；
(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn.
∵4＝2mn，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13.。