第四节定积分的分部积分法

? ? ? ? 1
1
1
2 arcsin xdx ?
0
x arcsin
x
?2
0
2
0
? ? 1 ??
?1
1 2
2 6 20
1 1?
x 2d (1 ?
x2)
? ? ?
? 12
?
1?
3
1? x2
2? ? 0 12
2
? 1.
xdx 1? x2
5
?2
? 例4 求 16 cos x dx . 0
b
?a udv
?
?2
?
?? 42
?
cos u
4 0
?
2? ? 2 ? 1
82
?2
所以
?16
0
cos
xdx ?
2? ?
4
2? 2
6
例5 若 f ( x )在[ 0,1]上连续，证明
?
?
? ? 2 f (sin x )dx ? 2 f (cos x )dx
0
0
证 （1）设 x ? ? ? t ? dx ? ? dt,
2
x 0?
2
t?
0
2
? ? ? 2 f (sin x )dx
0
?
?
0
? 2
f
???sin
?? ?
? 2
?
t ??????dt
?
?
? ? ? 2 f (cos t )dt ? 2 f (cos x )dx;
0
0
特别地 ,当f (sin x ) ? sin n x (n 为正整数时 )有 :
?
?
? ? 2 sin n xdx ? 2 cos n xdx
4
f
(0)?
?
2.
9
练习题
一、 填空题：
? 1、 1 xe ? x dx ? ______________； 0 e
? 2、 x ln xdx ? _____________； 1 1
? 3、 x arctan xdx ? ____________ . 0
二、 计算下列定积分：
? 1、
e
sin(ln x ) dx ；
b
?uv ? a
?
b
?a vdu.
解 设 x ? u, x ? u 2 , dx ? 2udu ,
当x
?
0时，u
?
0；
当x
?
?
2
时， u
?
?
.
?2
16
4
?
?16
0
cos
xdx
?
?4
0
2u
cos
udu
?
?
??
?04 u cosudu
?
?04 ud (sin u) ?
[(
u
?sin
u
)
4 0
?
?04 sin udu ]
xe x
|10
?
1 e x dx
0
? e ? e x |10
? e ?e?1?1
b
?a udv
?
?uv
b
?
a
?
b
?a vdu.
3
?
? 例2 求 2 x cos xdx 0
b
?a udv
?
b
?uv ? a
?
b
?a vdu.
?
?
?
?
? ? ? 解
2 x cos xdx ?
0
2 0
xd
sin
x
?
?x sin
f
(2)
?来自百度文库
3，
f
?(2)
?
5
，求
1
?0
x
f
??(2 x )dx .
思考题解答
?1 xf ??(2x )dx ?
0
1 2
1
?0
xd
f
?( 2
x
)
? ?
1 ?x f
2
?(
2
x
?)
1 0
?
1 2
1
f ?( 2 x )dx
0
?
1 2
f ?( 2 ) ?
1 4
?f
(2
x
)
?1 0
?
5 ?
2
1 ?f (2) ?
0
0
7
小结
? ? 1.定积分的分部积分公式
b
udv
?
b
?uv ?
?
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
主要作用： 1.简化定积分的计算 . 2. 证明一些等式 .
作业:P107 1的奇数号题, 2
8
思考题 设 f ??( x ) 在 ?0,1?上 连 续 ， 且 f (0) ? 1 ，
b
?a (uv )?dx
?
b
?uv ? , a
? ? ? ? ?uv
?b a
?
b
u?vdx ?
a
b
uv?dx ,?
a
b
udv
?
b
?uv ?
?
b
vdu.
a
aa
主要作用： 1.简化定积分的计算 .
2. 证明一些等式 .
2
? 例1 求 1 xe x dx . 0
解
1
?0
xe
x
dx
?
1
?0
xd
(e
x
)
? ?
?x
2 0
?
2 sin xdx
0
?
? 2
?
??
?
? cos x
2 0
? ? ? [? 0 ? 1]
2
? ? ?1 2
4
1
? 例3 计算 2 arcsin xdx . 0
b
?a udv
?
b
?uv ? a
?
b
?a vdu.
解 令 u ? arcsin x , dv ? dx ,
则 du ? dx , v ? x, 1? x2
2、2(1 ? 1)； e
三、8.
11
1
e
? 2、 1 ln x dx ；
?
e
? 三、已知 f ( x ) ? tan 2 x ,求 4 f ?( x ) f ??( x )dx . 0
10
练习题答案
一、1、1 ? 2 ； 2、1 (e 2 ? 1)；
e
4
二、1、 e sin 1 ? e cos1 ? 1； 2
3、(1 ? 3)? ? 1 ln 3. 4 9 22
第四节 定积分的分部积分法
内容提要 1.定积分的分部积分法 ； 2.定积分的常用等式。
教学要求 1.熟练掌握定积分的分部积分法 ; 2.掌握定积分的常用等式
1
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数，
则有
b
?a udv
?
b
?uv ? a
?
b
?a vdu
定积分的分部积分公式
推导
?uv ?? ? u?v ? uv?,