高等数学向量代数与空间解析几何题

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考研数学(二)题库(高等数学)-第四章向量代数和空间解析几何【圣才出品】

x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等，
则应选 D 项）
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
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【解析】由a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}可知 λa＋μb＝{3λ＋2μ，5λ＋μ，－2λ＋4μ}，
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又 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则（λa＋μb）·{0，0，1}＝0，即（－2λ＋4μ）×1＝0 得 λ＝2μ。
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2．设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（
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A．|a＋b|＝|a|＋|b|
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第四章向量代数和空间解析几何
一、选择题
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1．若向量a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}，且 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则 λ 与 μ 的关
系为（）。
A．λ＝μ
B．λ＝－μ
C．λ＝2μ
D．λ＝3μ
【答案】C
（－7）×（－1）＋3×（－1）＝0，所以直线与平面平行。
x 3y 2z 1 0 7．设有直线 L : 2x y 10z 3 0 及平面∏：4x－2y＋z－2＝0，则直线 L（）。
A．平行于∏
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高等数学向量代数与空间解析几何 (7.5.2)--曲面和曲线

习题7.51. 过定点(,0,0)R -作球面2222x y z R ++=的弦，求动弦中点的轨迹方程.2. 说出下列曲面方程的名称，并作出草图：(1)222(0)x y az a +=>; (2)222(0)x y az a -=>;(3)222z x y =++;(4)220y x z -+=; (5)2222310x y z -++=; (6)222239x y z ++=.3. 说出下列曲面方程的名称，并作出草图：(1)221x y +=; (2)21x =;(3)220x y -=; (4)30y z -=;(5)2222x y z az ++=; (6)22x az =;(7)22149x y +=; (8)22119x y -=; (9)222x y z -=; (10)22234z x y =+.4. 写出适合下列条件的旋转曲面的方程：(1)曲线2210x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩绕z 轴旋转一周; (2)曲线221940x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕x 轴旋转一周； (3)曲线2210y z x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周； (4)曲线250z x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩绕x 轴旋转一周. 5. 说明下列旋转曲面是如何形成的并写出它的名称： (1)22214y x z +-=; (2)224x y z +=; (3)2221169z x y +-=; (4)2224x y z +=. 6. 指出下列方程表示的曲线：(1)222253x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩; (2)222(1)(4)2510x y z y ⎧-+++=⎪⎨+=⎪⎩; (3)2219420y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩; (4)241x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩; 7. (1) 将曲线22216:2x y z C z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示为参数方程，并求其沿z 轴方向的投影柱面及在xOy 面上的投影曲线；(2) 将曲面22z x y =+与平面1x y z ++=的交线C 表示为参数方程，并求其沿z 轴方向的投影柱面及在xOy 面上的投影曲线；(3) 将曲面2222x y z ++=和22z x y =+的交线C 表示为参数方程，并求其沿x 轴方向的投影柱面及在yOz 面上的投影曲线；(4) 将旋转抛物面22z x y =+与平面1y z +=的交线C 表示为参数方程，并求其在各坐标面上的投影曲线;(5) 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216:0x y z C x z y ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩的柱面方程; (6) 求柱面22z x =与锥面z =所围立体在三坐标面上的投影区域.8. 把下列曲线C 的参数方程化为一般式方程: (1) cos ,:2cos 1,3sin ,x t C y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ [0,2π]t ∈;(2) ,:x t a C y z =+⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩[,]t a a ∈-. 9. 试建立下列曲面的参数方程：(1) 椭圆柱面：220022()()1x x y y a b --+=；(2) 双曲柱面：22221y z a b -=；(3) 双叶双曲面：2222221x y z a b c --+=；(4) 椭圆抛物面：2200022()()x x y yz z a b --+=-；(5) 双曲抛物面：2222x y z a b -=；(6) 二次锥面：2222220x y z a b c +-=.。

高等数学向量代数与空间解析几何题【精选文档】

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题

2
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的

高等数学向量代数与空间解析几何 (7.4.2)--空间的平面和直线

习题7.41. 判断下列四点是否共面:(1) (1,0,1),(2,4,6),(3,1,2),(6,2,8)A B C D -;(2) (1,2,1),(2,2,3),(1,1,2),(4,5,6)A B C D --.2. 设≠0a ,(1) 若⋅=⋅a b a c , 则是否必有=b c ?(2) 若⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?(3) 若⋅=⋅a b a c ,且⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?3. 指出下列平面对于坐标轴或坐标面的相对位置：(1) 3210x y -+=; (2) 250x +=； (3) 0x y -=； (4)0Ax Cz +=.4. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点0(1,2,3)M -, 法向量为(2,1,5)=--n ;(2) 在x 轴,y 轴和z 轴上的截距分别为2,3,1-;(3) 过点(5,7,4)-且在x y z 、、轴上截距相等；(4) 过点(3,6,2)P -，且垂直于OP (O 为原点)；(5) 过点1(2,1,3)M -,2(5,1,4)M -和3(2,2,4)M -；(6) 过Ox 轴和点(4,3,1)--；(7) 平行于Oy 轴，且通过点(1,5,1)-和(3,2,2)-；(8) 平行于xOz 平面，且通过点(3,2,7)-；(9) 过点(1,3,2)-，且平行于平面520x y z +--=；(10) 过两点(8,3,1),(4,7,2)-，且垂直于平面35210x y z +--=；(11) 平行于平面2250x y z +++=而与三坐标面所构成的四面体的体积为１5. 指出下列直线的位置性态：(1) 123102x y z -++==- (2)113100x y z +-+==; (3) 6,5,3x t y t z t =-==-;(4) 12,23,0x t y t z =-=-+=. 6. 求满足下列条件的直线的对称式方程，并将其中(1)~(4)化为参数方程和一般式方程：(1) 过点0(1,2,3)M , 方向向量为(2,1,1)=-s ;(2) 过点0(1,2,0)M -, 方向向量为3-s =i k ;(3) 过点(2,3,8)-，且平行于y 轴;(4) 过点(2,3,8)-，且平行于直线243325x y z --+==-; (5) 过点(1,3,2)-，且垂直于平面520x y z +--=；(6) 过点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -；(7) 过点(1,3,2)-，且与z 轴垂直相交；(8) 过点(1,2,1)-，且平行于直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩(9) 垂直于三点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -和3(0,1,5)M 所在平面，且过点1M ；(10) 过点(3,4,4)-，且与坐标轴夹角分别为π3,π4,2π3的直线方程.7. 求平面4210x y z -+-=与三个坐标面的交线方程.8. 将下列直线方程化为标准式方程：(1)240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩ (2)35,28.x z y z =-⎧⎨=-⎩9. (1) 求点(1,3,2)-到平面32610x y z +--=的距离；(2) 求两平行平面326350,326560x y z x y z +--=+--=间的距离;(3) 求平行于平面221x y z +-=且与其距离为2的平面；(4) 证明：两平行平面120,0Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=之间的距离是d =10. 求下面各组平面的夹角, 并判断它们是否平行或垂直？(1) 1x z +=,1y z -=;(2) 86210x y z --+-=,430x y z +-=;(3) 26310x y z -+-=,3450x y z --+=;(4) 236120x y z -+-=,2270x y z ++-=.11. 求下面各组直线的夹角，并判断它们是否平行？相交？或异面？在相交情况下求出它们的交点：(1) 1451:243x y z L -+-==-，221:132x y z L -+==； (2) 111:214x y z L --==，222:123x y z L ++==； (3) 1:6,19,3L x t y t z t =-=+=-，2:12,43,L x s y s z s =+=-=；(4) 1:1,2,3L x t y t z t =+=-=，2:2,12,4L x s y s z s =-=+=+.12. 求下面各组直线与平面的夹角，并判断它们是否平行？垂直？相交？在相交情况下求出它们的交点：(1) 34:273x y z L ++==--, :42230x y z ∏---=; (2) :327x y z L ==-, :32731x y z ∏-+=; (3) 223:314x y z L -+-==-, :3x y z ∏++=; (4) 221:312x y z L +-+==,:23380x y z ∏++-=. 13. (1) 求过点(3,2,1)--且垂直于直线11413x y z -+==-的平面; (2) 求点(1,0,1)-到直线51132x y z --==-的距离；(3) 求点(2,3,1)在直线722123x y z +++==上的投影. (4) 求点(3,1,1)--在平面23300x y z ++-=上的投影.14. 证明两直线11112x y z +-==和12134x y z +-==是异面直线，并求它们之间的距离,公垂线方程,及公垂线与两直线的交点.15. 求直线1010x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面0x y z ++=上的投影直线方程. 16. 求过两平面0,20x y z x y z +-=++=的交线l 的两个互相垂直的平面，其中一个平面过点(0,1,1)A -.17. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点(3,2,1)--和直线31212x y z --==. (2) 过点(1,2,3)--，且和两直线25346x y z --==-及21122x y z +-==平行; (3) 过两平行直线31212x y z --==，11212x y z +-==; (4) 包含直线10230x z y z --=⎧⎨+-=⎩且与平面21x y z +-=垂直; (5) 过Ox 轴，且与平面y x =成π3的角度; (6) 过两平面50,40x y z x z ++=-+=的交线，且与平面48120x y z --+=的夹角为π4. 18. 求满足下列条件的直线方程：(1) 在平面1x y z ++=上, 且与直线1,1y z ==-垂直相交;(2) 过点(1,0,4)-,且平行于平面34100x y z -+-=，又与直线13312x y z +-==相交; (3) 过点(1,2,1)，且与直线2x y z ==-相交，又垂直于直线11321x y z -+==； 19. 一动点与两定点(2,2,1)，(1,3,4)等距离，求此动点轨迹的方程.。

空间解析几何与向量代数三

高等数学（ B ）—向量代数与空间解析几何练习题及解答1、已知 M 11,2,3 ， M 2 0,1, 2 ，M 1M 2 的坐标式？ M 1M 2 ？与 M 1M 2 平行的单位向量？方向余弦？[解]：1） M 1M 20 1,1 2, 2 31,1,5M 1M 2 21 222)1 5 273） cosx 2 x 1 1,cosy 2 y 1 1,cosz 2 z 1 5M 1M 227 M 1M 227M 1M 2274）与 M 1M 2 平行的单位向量为：cos ,cos ,cos1 , 1 , 5 。

272727x 1y z 1 x y 1z 2 2、设直线n4与直线1平行，求 n,m 。

2m3[解 ] ： s 12,n,4 , s 2 m,1,3 ，因为两直线平行，r m 1 n 1 p 1 2 n 4 4 3 所以 l 1 / /l 2s 1 / / s 2s 1s 2。

m 2n 2 p 2n, m2m 1 333Ax y 2z 1 与平面： 3x y z3垂直，求 A 。

、已知平面：[解 ] ： n 1A,1, 2 , n 2 3, 1,1 ，因为两平面垂直，所以12n 1 n 2 n 1 n 2 0 A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 2 0 A 3 1 1 210 A14、已知平面x 1 y z 1 : x By 3z 1 0 与直线4垂直，求 B ， m 。

m6[ 解 ]： n 1,B, 3 , s m,4,6 ，因为垂直，所以有n/ / s n s 0m4 6 。

1BB2, m 235、求由 a 1,2,3 , b 1,2,4 为邻边组成的平行四边形的面积。

[ 解] ：由两向量叉积的几何意义知：以a ，b 为邻边组成的平行四边行的面积S a bi j k86, 43,222,7,4a b 123，因为124故 S a b22269 。

7426、求以A x1, y1, z1, B x2, y2, z2, C x3 , y3, z3为顶点的三角形面积。

(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

[专升本类试卷]专升本高等数学二(向量代数与空间解析几何)模拟试卷2.doc

[专升本类试卷]专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷2一、选择题1 设a、b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于( )（A）（B）（C）1（D）a．b2 设有单位向量a0，它同时与b=3i+j+4k，c=i+k垂直，则a0为 ( )（A）（B）i+j—k（C）（D）i－j+k3 在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴的正向夹角分别为45°和60°，则向量a与Oy轴正向夹角为 ( )（A）30°（B）45°（C）60°（D）60°或120°4 若两个非零向量a与b满足｜a+b｜=｜a｜+｜b｜，则 ( ) （A）a与b平行（B）a与b垂直（C）a与b平行且同向（D）a与b平行且反向5 直线 ( )（A）过原点且与y轴垂直（B）不过原点但与y轴垂直（C）过原点且与y轴平行（D）不过原点但与y轴平行6 平面2x+3y+4z+4=0与平面2x－3y+4z－4=0的位置关系是 ( ) （A）相交且垂直（B）相交但不重合，不垂直（C）平行（D）重合7 已知三平面的方程分别为π1：x－5y+2z+1=0，π2：3x－2y+3z+1=0，π3：4x+2y+3z－9=0，则必有 ( )（A）π1与π2平行（B）π1与π2垂直（C）π2与π3平行（D）π1与π3垂直8 平面π1：x－4y+z－2=0和平面π2：2x－2y－z－5=0的夹角为 ( )9 设球面方程为(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为 ( ) （A）(一1，2，一3)，2（B）(一1，2，一3)，4（C）(1，一2，3)，2（D）(1，一2，3)，410 方程一=z在空间解析几何中表示 ( )（A）双曲抛物面（B）双叶双曲面（C）单叶双曲面（D）旋转抛物面11 方程(z－a)2=x2+y2表示 ( )（A）xOz面内曲线(z－a)2=x2绕y轴旋转而成（B）xOz面内直线z－a=x绕z轴旋转而成（C）yOz面内直线z－a=y绕y轴旋转而成（D）yOz面内曲线(z－a)2=y2绕x轴旋转而成12 下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是 ( ) （A）=y2（B）z2—1=（C）（D）x2＋y2一2x=0二、填空题13 向量a=3i+4j－k的模｜a｜=________．14 在空间直角坐标系中，以点A(0，一4，1)，B(一1，一3，1)，C(2，一4，0)为顶点的△ABC的面积为________．15 (a×b)2＋(a．b)2=________．16 过点P(4，1，一1)且与点P和原点的连线垂直的平面方程为_________．17 通过Oz轴，且与已知平面π：2x+y一－7=0垂直的平面方程为________．18 直线=z与平面x+2y+2z=5的交点坐标是________．19 点P(3，7，5)关于平面π：2x一6y+3z+42=0对称的点P'的坐标为________．20 求垂直于向量a=｛2，2，1｝与b=｛4，5，3｝的单位向量．21 若｜a｜=3，｜b｜=4，且向量a、b垂直，求｜(a+b)×(a一b)｜．22 设平面π通过点M(2，3，一5)，且与已知平面x—y+z=1垂直，又与直线平行，求平面π的方程．23 求过点A(－1，0，4)且平行于平面π：3x一4y＋z－10=0，又与直线L0：相交的直线方程．24 求直线与平面x—y+z=0的夹角．25 求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y一3z+5=0的平面方程．26 求点(一1，2，0)在平面x+2y－z+1=0的投影点坐标．27 求直线L：绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．。

高等数学下章节自测题(不含答案)

( x, y)→(0,1)
x2 + ( y −1)2
∫ 4、 F (x, y) =
xy sin t 0 1+ t 2 dt
，则
∂2F ∂x2
|(0,2) =
5、
u
=
(
x
)
1 z
在
(1,1,1)
的梯度为
y
二、解下列各题（每题 10 分，共 40 分）
3 / 18
1、设
z
=
x
x
y
，求
∂z ∂x
,
∂z ∂y
Σ
C、 − 3 π B、0 C、 3 π
2
2
D、 2 π
3
4、曲面 Σ 是上半球面：x2 + y2 + z2 = 1，Σ1 是 Σ 在第一卦限部分，则( )
7 / 18
C、 ∫∫ xds = 4∫∫ xds
Σ
Σ1
C、 ∫∫ zds = 4∫∫ zds
Σ
Σ1
B、 ∫∫ yds = 4∫∫ yds
Σ
Σ1
D、 ∫∫ xyzds = 4∫∫ xyzds
Σ
Σ1
5、设
f
有连续导数，I
=
∫∫
Σ
1 y
f
( x )dydz y
+
1 x
f
( x )dzdx + y
zdxdy
其中 Σ
是曲面
y = x2 + z2, y = 8 − x2 − z2 所围立体表面外侧，则 I = ( )
A、 4π B、8π
2、设
x2
+
z2
=
yϕ (

高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课

A12

B12

C
2 1
A22

B
2 2

C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos

2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析：向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解：由已知条件得
3

3

1 3
易得
1

4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。此时向量为

(完整版)高等数学空间解析几何练习

向量代数与空间解析几何第一部分向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。

(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。

3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。

4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。

5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。

6．已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。

向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。

2。

向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。

3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1．设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求：（1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2．设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3．利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。

(完整版)向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第七章空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线312141:1+=+=-z y x l 与⎩⎨⎧=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A.4π B. 3π C. 2πD. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13- B.13 C. 23- D. 237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)8.方程22222x y z a b+=表示的是 [ B ]A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C. 椭球面D. 球面9. 已知a ϖ={0, 3, 4}, b ϖ={2, 1, -2},则=b proj a ϖρ[ C ]A. 3B.31-C. -1D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =• B. 222()a b a b ⨯=⨯C. 22()()a b a b •=⨯D. 2222()()a b a b a b •+⨯=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，则1l 与2l 的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++= B.221x y z ++= C.21x y z ++= D.221x y z ++=15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 CA.2a a a = B. 2()a a b a b ••= C. 2()a b b ab ••= D. 222()a b a b =•16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20B. C.10D.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4πB. ,a b 夹角34πC. ,a b 夹角可能34π或4π D.以上都不对19.已知||1=a，||=b ¶(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1(B) 1+ (C) 2(D) 20.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。

高等数学(同济大学第五版)第七章空间解析几何与向量代数()

习题7-11. 设u =a −b +2c , v =−a +3b −c . 试用a 、b 、c 表示2u −3v .解 2u −3v =2(a −b +2c )−3(−a +3b −c )=2a −2b +4c +3a −9b +3c =5a −11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; ,→→→OA OB AB −=→→→OD OC DC −=而, ,→→OA OC −=→→OB OD −=所以.→→→→→→AB OA OB OB OA DC −=−=+−=这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD ,从而四边形ABCD 是平行四边形.3. 把ΔABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把各分点与点A 连接. 试以、表示向量、、A 3、A4.→c =AB →a =BC →A D 1→A D 2→D D →解 →→→a c 5111−−=−=BD BA A D , →→→a c 5222−−=−=BD BA A D , →→→a c 5333−−=−=BD BA A D , →→→a c 5444−−=−=BD BA A D . 4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, −1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.→→21M M 212M M −→)2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21−−=−−=M M )4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221−=−−−=−M M 解 , .→ 5. 求平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量.解 11)6(76||222=−++=a ,平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量为6 ,7 ,6(1−=a 111111||a 或)6 ,7 ,6(1−−=−a 111111||a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？A (1, −2, 3);B (2, 3, −4);C (2, −3, −4);D (−2, −3, 1).解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0, −1, 0).解在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ).在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ).A 在xOy 面上,B 在yOz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上.8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , −c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(−a , b , c ); 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , −b , c ).(2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , −b , −c ); 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(−a , b , −c ); 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(−a , −b , c ).(3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(−a , −b , −c ).9. 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0, 0)、(0, y 0, z 0)和(x 0, 0, z 0). 在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y 0, 0)和(0, 0, z 0).10. 过点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y 0, z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0).11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标.解因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为)0 ,0 ,2(a −, )0 ,0 ,2(a , )0 ,2 ,0(a −, )0 ,2 ,0(a , ) ,0 ,22(a a −, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a −, ) ,22 ,0(a a . 12. 求点M (4, −3, 5)到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+−=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, −3, 0)之间的距离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=−+=z d .13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, −2, −2)和C (0, 5, 1)等距离的点.解设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则,→2222)2()1(3||−+−+=z y PA ,→2222)2()2(4||++++=z y PB .→222)1()5(||−+−=z y PC 由题意, 有, →→→222||||||PC PB PA ==即 ⎩⎨⎧−+−=++++−+−=−+−+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y =1, z =−2, 故所求点为(0, 1, −2).14. 试证明以三点A (4, 1, 9)、B (10, −1, 6)、C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解因为→7)96()11()410(||222=−+−−+−=AB ,→7)93()14()42(||222=−+−+−=AC ,→27)63()14()102(||222=−+++−=BC ,所以, .→→→222||||||AC AB BC +=→→||||AC AB = 因此ΔABC 是等腰直角三角形.15. 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角. →21M M 解 →)1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21−=−−−=M M ;→21)2()1(||22221=++−=M M ;21cos −=α, 22cos =β, 21cos =γ; 32πα=, 43 πβ=, 3πγ=. 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0; (2)cos β=1; (3)cos α=cos β=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 (1)当cos α=0时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos β=1时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos α=cos β=0时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.17. 设向量r 的模是4, 它与轴u 的夹角是60°, 求r 在轴u 上的投影.解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u . 18. 一向量的终点在点B (2, −1, 7), 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4, −4, 7. 求这向量的起点A 的坐标.解设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得,⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−774142z y x 解得x =−2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (−2, 3, 0).19. 设m =3i +5j +8k , n =2i −4j −7k 和p =5i +j −4k . 求向量a =4m +3n −p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为a =4m +3n −p =4(3i +5j +8k )+3(2i −4j −7k )−(5i +j −4k )=13i +7j +15k ,所以a =4m +3n −p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .习题7−21. 设a =3i −j −2k , b =i +2j −k , 求(1)a ⋅b 及a ×b ; (2)(−2a )⋅3b 及a ×2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3×1+(−1)×2+(−2)×(−1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=−−−=×. (2)(−2a )⋅3b =−6a ⋅b = −6×3=−18,a ×2b =2(a ×b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0, 于是 23)111(21)(21−=++−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . 3. 已知M 1(1, −1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量.→21M M →32M M 解 , . →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21−=−+−=M M →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32−=−−−=M M →→k j i k j i n 446 220 1423221−−=−−=×=M M M M , 172161636||=++=n ,)223(171)446(1721k j i k j i e −−±=−−±=为所求向量. 4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).解F =(0, 0, −100×9. 8)=(0, 0, −980), . →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21−−=−−−==M M S W =F ⋅S =(0, 0, −980)⋅(−2, 3, −6)=5880(焦耳).5. 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与成角θ→1OP 1的力F 1作用着; 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与成角θ→2OP 1的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|⋅sin θ1−x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6. 求向量a =(4, −3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影.解2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=×+×−×=⋅−++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b .7. 设a =(3, 5, −2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直? 解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ),λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,即−2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa +μb 与z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证明设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则, .→→OA OB −=→→||||OA OC = 因为,→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=−=+⋅−=−⋅−=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC 所以, ∠C =90°.→→BC AC ⊥ 9. 设已知向量a =2i −3j +k , b =i −j +3k 和c =i −2j , 计算: (1)(a ⋅b )c −(a ⋅c )b ; (2)(a +b )×(b +c );(3)(a ×b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2×1+(−3)×(−1)+1×3=8, a ⋅c =2×1+(−3)×(−2)=8,(a ⋅b )c −(a ⋅c )b =8c −8b =8(c −b )=8[(i −2j )−(i −j +3k )]=−8j −24k .(2)a +b =3i −4j +4k , b +c =2i −3j +3k ,k j k j i c b b a −−=−−=+×+332443)()(. (3)k j i k j i b a +−−=−−=×58311132, (a ×b )⋅c =−8×1+(−5)×(−2)+1×0=2.10. 已知, , 求ΔOAB 的面积.→j i 3+=OA →k j 3+=OB 解根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是ΔOAB 的面积为→→||OB OA ×→OA →OB →→|21OB OA S ×=.因为→→k j i k j i +−−==×33310301OB OA , →→191)3()3(||223=+−+−=×OB OA , 所以三角形ΔOAB 的面积为→→1921|21=×=OB OA S . 12. 试用向量证明不等式:||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数, 并指出等号成立的条件.解设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则有,||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++, 其中当=1时, 即a 与b 平行是等号成立.) ,cos(^b a习题7−31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.解设动点为M (x , y , z ), 依题意有(x −2)2+(y −3)2+(z −1)2=(x −4)2+(y −5)2+(z −6)2,即 4x +4y +10z −63=0.2. 建立以点(1, 3, −2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程.解球的半径14)2(31222=−++=R ,球面方程为(x −1)2+(y −3)2+(z +2)2=14,即 x 2+y 2+z 2−2x −6y +4z =0.3. 方程x 2+y 2+z 2−2x +4y +2z =0表示什么曲面?解由已知方程得(x 2−2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,即 2222)6()1()2()1(=++++−z y x ,所以此方程表示以(1, −2, −1)为球心, 以6为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？解设点(x , y , z )满足题意, 依题意有21)4()3()2(222222=−+−+−++z y x z y x , 化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34 ,1 ,32(−−−为球心, 以2932为半径的球面. 5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x .6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2−9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2−9y 2−9z 2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2+4z 2−9y 2=36.8. 画出下列方程所表示的曲面:(1)222)2()2(a y a x =+−;(2)19422=+−y x ;(3)14922=+z x ;(4)y 2−z =0;(5)z =2−x 2.9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:析几何中, x =2表示平行于y 轴的一条直线; 在空间解析几何中, x =2表示一析几何中, y =x +1表示一条斜率是1, 在y 轴上的截距也是1的直线; 在空几何中, x 2+y 2=4表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, 几何中, x 2−y 2=1表示双曲线; 在空间解析几何中, x 2−y 2=1表示母线平行旋转曲面是怎样形成的:(1)x =2;解在平面解张平行于yOz 面的平面.(2)y =x +1;解在平面解间解析几何中，y =x +1表示一张平行于z 轴的平面.(3)x 2+y 2=4;解在平面解析x 2+y 2=4表示母线平行于z 轴, 准线为x 2+y 2=4的圆柱面.(4)x 2−y 2=1.解在平面解析于z 轴的双曲面.10. 说明下列 (1)1222=++z y x ; 994 解这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的. (2)122=+−z y ; 42x 这是xOy 面上的双曲线1422=−y x 解绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线142=+−z y 绕y 轴旋转一周而形 z 1面上的双曲线x 2−y 2=12成的. (3)x 2−y 2−2=; 解这是xOy 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的双曲线而形成的.a )2=x 2绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线而形成的.( (3x 2−z 2=1绕x 轴旋转一周 (4)(z −a )2=x 2+y 2 .解这是zOx 面上的曲线(z −(z −a )2=y 2绕z 轴旋转一周 11. 画出下列方程所表示的曲面:(1)4x 2+y 2−z 2=4;2)x 2−y 2−4z 2=4; )94322y x z +=.习题7−41. 画出下列曲线在第一卦限内的图形:(1 (2)⎩⎨⎧==21y x ;)⎩⎨⎧=−−−=0422y x y x z ;(3) =+222az x .2. 下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形:⎩⎨⎧=+222a yx 指出(1)⎧+=15x y ; ⎩⎨−=32x y 解在平面解析几何中, 表示直线y =5x +1与y =2x −3的交点⎩⎨⎧−=+=3215x y x y )317 ,34(−−; 在空间解析几何中, 表示平面y =5x +1与y =2x −3的交线, 它表示过点⎩⎨⎧−=+=3215x y x y )0 ,317 ,34(−−, 并且行于z 轴.(2)⎪⎩⎪⎨⎧22y x ==+3194y . 解在平面解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y =3的交线. 3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线的柱面方程. 解把方程组中的x 消去得方程3y 2−z 2=16, 这就是母线平行于x 轴且通过曲线y z x z y 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于y 轴且通过曲线y z x z y 的柱面方程. 4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.行于z 轴, 准线为=0z 列曲线的一般方程化为参数方程:(1; ⎩⎨⎧=−+=++0162222222y z x z y x ⎩⎨⎧=−+=++0162222222x ⎩⎨⎧=−+=++0162222222x 解由x +z =1得z =1−x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2−2x +y 2=8, 这是母线平球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为⎧=+−82222y x x . ⎩⎨ 5. 将下)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222解将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2=9, 即13)23(2222=+z x . 令t x cos 23=, 则z =3sin t . 故所求参数方程为t x cos 23=, t y cos 23=, z =3sin t . (2). ⎩⎨⎧==+++−04)1()1(222z z y x 解将z =0代入(x −1)2+y 2+(z +1)2=4得(x −1)2+y 2=3.令t x cos 31+=, 则t y sin 3=,于是所求参数方程为t x cos 31+=, t y sin 3=, z =0.6. 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 解由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为. ⎩⎨⎧==+0222z a y x 由第三个方程得bz =θ代入第一个方程得 b z a x cos =, 即ax b z arccos =, 于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y a x b z . 由第三个方程得bz =θ代入第二个方程得 b z a y sin =, 即ay b z arcsin =, 于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==a y b z x arcsin 0. 7. 求上半球2220y x a z −−≤≤与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax , 它含在半球2220y x a z −−≤≤在xOy 面上的投影x 2+y 2≤a 2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax . 为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影, 由圆柱面方程x 2+y 2=ax 得y 2=ax −x 2, 代入半球面方程222y x a z −−=, 得ax a z −=2(0≤x ≤a ), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为ax a z −≤≤20(0≤x ≤a ), 即z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a , z ≥0.8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4. 令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.习题7−51. 求过点(3, 0, −1)且与平面3x −7y +5z −12=0平行的平面方程.解所求平面的法线向量为n =(3, −7, 5), 所求平面的方程为3(x −3)−7(y −0)+5(z +1)=0, 即3x −7y +5z −4=0.2. 求过点M 0(2, 9, −6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解所求平面的法线向量为n =(2, 9, −6), 所求平面的方程为2(x −2)+9(y −9)−6(z −6)=0, 即2x +9y −6z −121=0.3. 求过(1, 1, −1)、(−2, −2, 2)、(1, −1, 2)三点的平面方程.解 n 1=(1, −1, 2)−(1, 1, −1)=(0, −2, 3), n 1=(1, −1, 2)−(−2, −2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为k j i k j i n n n 69301332021++−=−=×=, 所求平面的方程为−3(x −1)+9(y −1)+6(z +1)=0, 即x −3y −2z =0.4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面:(1)x =0;解 x =0是yOz 平面.(2)3y −1=0;解 3y −1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,31 ,0(. (3)2x −3y −6=0;解 2x −3y −6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和−2.(4)03=−y x ;解 03=−y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为33. (5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.(6)x −2z =0;解 x −2z =0是通过y 轴的平面.(7)6x +5−z =0.解 6x +5−z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x −2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦.解此平面的法线向量为n =(2, −2, 1).此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+−+=⋅⋅==i n i n i n α; 此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^−=+−+−=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+−+=⋅⋅==k n k n k n γ. 6. 一平面过点(1, 0, −1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, −1, 0), 试求这平面方程. 解所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112−+=−=×=, 所求平面的方程为(x −1)+(y −0)−3(z +1)=0, 即x +y −3z −4=0.7. 求三平面x +3y +z =1, 2x −y −z =0, −x +2y +2z =3的交点.解解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−−=++3220213z y x z y x z y x 得x =1, y =−1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, −1, 3).8. 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx 面且经过点(2, −5, 3);解所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为0⋅(x −2)−5(y +5)+0⋅(z −3)=0, 即y =−5.(2)通过z 轴和点(−3, 1, −2);解所求平面可设为Ax +By =0.因为点(−3, 1, −2)在此平面上, 所以−3A +B =0,将B =3A 代入所设方程得Ax +3Ay =0,所以所求的平面的方程为x +3y =0,(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, −2)和(5, 1, 7).解所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, −2)和(5, 1, 7)都在所求平面上,所以向量n 1=(5, 1, 7)−(4, 0, −2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即b +9c =0, b =−9c ,于是 n =(0, −9c , c )=−c (0, 9, −1).所求平面的方程为9(y −0)−(z +2)=0, 即9y −z −2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z −10=0的距离.解点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z −10=0的距离为1221|1012221|222=++−×+×+=d .习题7−61. 求过点(4, −1, 3)且平行于直线51123−==−z y x 的直线方程. 解所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为531124−=+=−z y x . 2. 求过两点M 1(3, −2, 1)和M 2(−1, 0, 2)的直线方程.解所求直线的方向向量为s =(−1, 0, 2)−(3, −2, 1)=(−4, 2, 1), 所求的直线方程为112243−=+=−−x y x . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线. ⎩⎨⎧=++=+−421z y x z y x 解平面x −y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, −1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++−=−=×=. 在方程组中, 令y =0, 得, 解得x =3, z =−2. 于是点(3, 0, −2)为所求直线上的点.⎩⎨⎧=++=+−421z y x z y x ⎩⎨⎧=+=+421z x z x 所求直线的对称式方程为32123+==−−z y x ; 参数方程为x =3−2t , y =t , z =−2+3t .4. 求过点(2, 0, −3)且与直线垂直的平面方程. ⎩⎨⎧=+−+=−+−012530742z y x z y x 解所求平面的法线向量n 可取为直线的方向向量, 即 ⎩⎨⎧=+−+=−+−012530742z y x z y x k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++−=−−=−×−=. 所平面的方程为−16(x −2)+14(y −0)+11(z +3)=0, 即16x −14y −11z −65=0.5. 求直线与直线的夹角的余弦. ⎩⎨⎧=+−=−+−02309335z y x z y x ⎩⎨⎧=−++=+−+0188302322z y x z y x 解直线与的方向向量分别为 ⎩⎨⎧=+−=−+−02309335z y x z y x ⎩⎨⎧=−++=+−+0188302322z y x z y xk j i k j i s −+=−−=431233351, k j i k j i s 105101831222+−=−=. 两直线之间的夹角的余弦为010)5(10)1(4310)1()5(4103||||) ,cos(2222222121^21=+−+−++×−+−×+×=⋅×=s s s s s s . 6. 证明直线与直线平行. ⎩⎨⎧=++−=−+7272z y x z y x ⎩⎨⎧=−−=−+028363z y x z y x 解直线与的方向向量分别为 ⎩⎨⎧=++−=−+7272z y x z y x ⎩⎨⎧=−−=−+028363z y x z y x k j i k j i s 531121211++=−−=, k j i k j i s 15391123632−−−=−−−=. 因为s 2=−3s 1, 所以这两个直线是平行的.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y −3z =2平行的直线方程.解因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, −3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即k j i k j i s ++−=−=32310201. 所求直线的方程为14322−=−=−z y x . 8. 求过点(3, 1, −2)且通过直线12354z y x =+=−的平面方程. 解所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=−的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, −2)和(4, −3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, −3, 0)−(3, 1, −2)=(1, −4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n 229824112521−−=−=×=. 所求平面的方程为8(x −3)−9(y −1)−22(z +2)=0, 即8x −9y −22z −59=0.9. 求直线与平面x −y −z +1=0的夹角. ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x解直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x )2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i k j i s −+=−+=−−=−−×=, 平面x −y −z +1=0的法线向量为n =(1, −1, −1).因为s ⋅n =2×1+4×(−1)+(−2)×(−1)=0,所以s ⊥n , 从而直线与平面x −y −z +1=0的夹角为0. ⎩⎨⎧=−−=++003z y x z y x 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)37423z y x =−+=−+和4x −2y −2z =3; 解所给直线的方向向量为s =(−2, −7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, −2, −2).因为s ⋅n =(−2)×4+(−7)×(−2)+3×(−2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(−3, −4, 0)不满足平面方程4x −2y −2z =3, 所以所给直线不在所给平面上.(2)723z y x =−=和3x −2y +7z =8; 解所给直线的方向向量为s =(3, −2, 7), 所给平面的法线向量为n =(3, −2, 7). 因为s =n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.(3)431232−−=+=−z y x 和x +y +z =3. 解所给直线的方向向量为s =(3, 1, −4), 所给平面的法线向量为n =(1, 1, 1).因为s ⋅n =3×1+1×1+(−4)×1=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, −2, 3)满足平面方程x +y +z =3, 所以所给直线在所给平面上.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线和 ⎩⎨⎧=−+−=+−+01012z y x z y x ⎩⎨⎧=+−=+−002z y x z y x 平行的平面的方程.解直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−+−=+−+01012z y x z y x k j i k j i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1−−=−−=−×−=, 直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=+−=+−002z y x z y xk j k j i s −−=−−=−×−=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1. 所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n −+−=−−−−=×=11032121, 所求平面的方程为−(x −1)+(y −2)−(z −1)=0, 即x −y +z =0.12. 求点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影.解平面的法线向量为n =(1, 2, −1). 过点(−1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211−=−=+z y x . 将此方程化为参数方程x =−1+t , y =2+2t , z =−t , 代入平面方程x +2y −z +1=0中, 得(−1+t )+2(2+2t )−(−t )+1=0, 解得32−=t . 再将32−=t 代入直线的参数方程, 得35−=x , 32=y , 32=z . 于是点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影为点32 ,32 ,25(−. 13. 求点P (3, −1, 2)到直线的距离. ⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x 解直线的方向向量为 ⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x k j k j i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(−−=−−=−×−=. 过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为−3(y +1)−3(z −2)=0, 即y +z −1=0.解线性方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=−+=−+−=+−+0104201z y z y x z y x 得x =1, 21−=y , 23=z . 点P (3, −1, 2)到直线的距离就是点P (3, −1, 2)与点⎩⎨⎧=−+−=+−+04201z y x z y x )23 ,21 ,1(−间的距离, 即 23)32()11()13(22=−++−+−=d .14. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ×=M M d . 解设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量, 根据向量积的几何意义, 以和为邻边的平行四边形的面积为 →MN =s →M M 0→MN ,→→→||||00s ×=×M M MN M M 又以和为邻边的平行四边形的面积为. 因此→M M 0→MN →||||s ⋅=⋅d MN d , →||||0s s ×=⋅M M d →||||0s s ×=M M d . 15. 求直线在平面4x −y +z =1上的投影直线的方程. ⎩⎨⎧=−−−=+−0923042z y x z y x 解过直线的平面束方程为 ⎩⎨⎧=−−−=+−0923042z y x z y x (2+3λ)x +(−4−λ)y +(1−2λ)z −9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 −1, 1)⋅(2+3λ, −4−λ, 1−2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(−1)⋅(−4−λ)+1⋅(1−2λ)=0. 解之得1113−=λ. 将1113−=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y −37z −117=0.故投影直线的方程为. ⎩⎨⎧=−−+=+−011737311714z y x z y x 16. 画出下列各曲面所围成的立体图形:(1)x =0, y =0, z =0, x =2, y =1, 3x +4y +2z −12=0;4y z =; (2)x =0, z =0, x =1, y =2, (3)z =0, z =3, x −y =0,03=−y x , x 2+y 2=1(在第一卦限内);2, y 2+z 2=R 2(在第一卦限内).(4)x =0, y =0, z =0, x 2+y 2=R总习题七1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ] 坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量的坐标为___________.→OM 解 M (x −x 0, y −y 0, z −z 0), .→) , ,(z y x OM = 提示: 自由向量与起点无关, 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变.(2)设数λ1、λ2、λ3不全为0, 使λ1a +λ2b +λ3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解共面.(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, −1, 10), c =b −λa , 且a ⊥c , 则λ=____________.解3.提示: 因为a ⊥c , 所以a ⋅c =0.又因为由a ⋅c =a ⋅b −λa ⋅a =2×4+1×(−1)+2×10−λ(22+12+22)=27−9λ, 所以λ=3.(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =____________. 解 23−. 提示: 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21−=++−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . (5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ×b +b ×c +c ×a |=____________.解36.提示: c =−(a +b ),a ×b +b ×c +c ×a =a ×b −b ×(a +b )−(a +b )×a =a ×b −b ×a −b ×a =3a ×b ,|a ×b +b ×c +c ×a |=3|a ×b |=3|a |⋅|b |=3⋅3⋅4=36.2. 在y 轴上求与点A (1, −3, 7)和点B (5, 7, −5)等距离的点.解设所求点为M (0, y , 0), 则有12+(y +3)2+72=52+(y −7)2+(−5)2,即 (y +3)2=(y −7)2,解得y =2, 所求的点为M (0, 2, 0).3. 已知ΔABC 的顶点为A (3,2,−1)、B (5,−4,7)和C (−1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度. 解线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(−=+−−+. 所求中线的长度为 30)23()11()14(222=−+−−++=d .4. 设ΔABC 的三边、、, 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、→a =BC →b =CA →c =ABb 、c 表示→AD 、、, 并证明→BE →CF.→→→0=++CF BE AD 解 →→→a c 21+=+=BD AB AD , →→→b a 21+=+=CE BC BE , →→→c b 21+=+=AF CA CF . →→→0=+−=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD 5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明设D , E 分别为AB , AC 的中点, 则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE −=−=, ,→→→→→AB AC AC BA BC −=+=所以 →→BC DE 21=, 从而DE //BC , 且||21||BC DE =. 6. 设|a +b |=|a −b |, a =(3, −5, 8), b =(−1, 1, z ), 求z .解a +b =(2, −4, 8+z ), a −b =(4, −6, 8−z ). 因为|a +b |=|a −b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z −+−+=++−+, 解得z =1.7. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a −b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a −b |2=(a −b )⋅(a −b )=|a |2+|b |2−2a ⋅b =|a |2+|b |2−2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=−+=π. 设向量a +b 与a −b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅−=−⋅+−=−⋅+−⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.8. 设a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b , 求 .) ,(^b a 解因为a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b ,所以 (a +3b )⋅(7a −5b )=0, (a −4b )⋅(7a −2b )=0,即 7|a |2+16a ⋅b −15|b |2 =0, 7|a |2−30a ⋅b +8|b |2 =0,又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a . 9. 设a =(2, −1, −2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时最小？并求出此最小值. ) ,(^b a 解 2^2321||||) ,cos(z z +−=⋅⋅=b a b a b a . 因为当2) ,(0^π<<b a 时, 为单调减函数. 求的最小值也就是求) ,cos(^b a ) ,(^b a 22321)(z zz f +−=的最大值.令0)2(431)(2/32=+−−⋅=′z z z f , 得z =−4. 当z =−4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10. 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )×(a −3b )=−3a ×b +2b ×a =5b ×a .以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=×=−×+b a a b a b b a b a . 11. 设a =(2, −3, 1), b =(1, −2, 3), c =(2, 1, 2), 向量r 满足r ⊥a , r ⊥b , Prj c r =14, 求r . 解设r =(x , y , z ).因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r ⋅a =0, r ⋅b =0, 即2x −3y +z =0, x −2y +3z =0.又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , 即 2x +y +2z =42.解线性方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=++=+−=+−4222032032z y x z y x z y x 得x =14, y =10, z =2, 所以r =(14, 10, 2).另解因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r 与k j i k j i b a −−−=−−=×57321132平行, 故可设r =λ(7, 5, 1). 又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , r ⋅c =42, 即 λ(7×2+5×1+1×2)=42, λ=2,所以r =(14, 10, 2).12. 设a =(−1, 3, 2), b =(2, −3, −4), c =(−3, 12, 6), 证明三向量a 、b 、c 共面, 并用a 和b 表示c .证明向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ×b )⋅c =0. 因为k i k j i b a 36432231−−=−−−=×, (a ×b )⋅c =(−6)×(−3)+0×12+(−3)×6=0,所以向量a 、b 、c 共面.设c =λa +μb , 则有(−λ+2μ, 3λ−3μ, 2λ−4μ)=(−3, 12, 6),即有方程组,⎪⎩⎪⎨⎧=−=−−=+−642123332μλμλμλ解之得λ=5, μ=1, 所以c =5a +b .13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, −1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解根据题意, 有222)2()1()1(||−+++−=z y x z ,或 z 2=(x −1)2+(y +1)2+(z −2)2,化简得(x −1)2+(y +1)2=4(z −1),这就是点M 的轨迹方程.14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z =2x 2, 旋转轴为z 轴.(2)136936222=++z y x ; 解旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x , 旋转轴为y 轴. (3)z 2=3(x 2+y 2);解旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3=, 旋转轴为z 轴.(4)144222=−−z y x . 解旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=−y x , 旋转轴为x 轴.15. 求通过点A (3, 0, 0)和B (0, 0, 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程. 解设所求平面的法线向量为n =(a , b , c )., xOy 面的法线向量为k =(0, 0, 1).→)1 ,0 ,3(−=BA 按要求有, →0=⋅BA n 3cos ||||π=⋅⋅k n k n , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=−2103222c b a c c a ,解之得c =3a , a b 26±=. 于是所求的平面的方程为0326)3(=+±−z y x ,即 3326=++z y x , 或3326=+−z y x .16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, −1, 1)到直线的垂线, 求此平面方程.⎩⎨⎧==+−001x z y 解直线的方向向量为s =(0, 1, −1)×(1, 0, 0)=(0, −1, −1). ⎩⎨⎧==+−001x z y 设点(1, −1, 1)到直线的垂线交于点(x ⎩⎨⎧==+−001x z y 0, y 0, z 0). 因为点(x 0, y 0, z 0)在直线⎩⎨⎧==+−001x z y 上, 所以(x 0, y 0, z 0)=(0, y 0, y 0+1). 于是, 垂线的方向向量为 s 1=(−1, y 0+1, y 0).显然有s ⋅s 1=0, 即−y 0−1−y 0=0, 210−=y . 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001−−=+−=y y s . 所求平面的法线向量可取为j i k j i k s k n −−=−+−×=×=21)2121(1, 所求平面的方程为0)1()1(21=+−−−y x , 即x +2y +1=017. 求过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x −4y +z −10=0, 又与直线21311z y x =−=+相交的直线的方程.解过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x −4y +z −10=0的平面的方程为3(x +1)−4(y −0)+(z −4)=0, 即3x −4y +z −1=0.将直线21311z y x =−=+化为参数方程x =−1+t , y =3+t , z =2t , 代入平面方程3x −4y +z −1=0, 得3(−1+t )−4(3+t )+2t −1=0,解得t =16. 于是平面3x −4y +z −1=0与直线21311z y x =−=+的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标.所求直线的方向向量为s =(15, 19, 32)−(−1, 0, 4)=(16, 19, 28),所求直线的方程为28419161−==+z y x . 18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使ΔABC 的面积最小. 解设所求的点为C (0, 0, z ), 则, .→) ,0 ,1(z AC −=→)1 ,2 ,0(−−=z BC 因为 →→k j i k j i 2)1(212001+−+=−−−=×z z z z BC AC , 所以ΔABC 的面积为→→4)1(421|2122+−+=×=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+−+−+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 19. 求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程. ⎩⎨⎧−+−=−−=2222)1()1(2y x z y x z 解在xOy 面上的投影曲线方程为, 即. ⎩⎨⎧=−−=−+−02)1()1(2222z y x y x ⎩⎨⎧=+=+022z y x y x 在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=−−−±+−=0)12()1(222y z x x z , 即. ⎩⎨⎧==+−−++002342222y z x z xz x 在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=−+−−−±=0)1()12(222x y z y z , 即. ⎩⎨⎧==+−−++002342222x z y z yz y 20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 解锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为, 即, ⎩⎨⎧=+=0222z y x x ⎩⎨⎧==+−01)1(22z y x 所以, 立体在xOy 面上的投影为. ⎩⎨⎧=≤+−01)1(22z y x 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+−01)22(222x y z , 所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+−01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为和⎩⎨⎧==0||y x z ⎩⎨⎧==02y x z , 所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x . 21. 画出下列各曲面所围立体的图形:1224===z y x ; (1)抛物柱面2y 2=x , 平面z =0及 0及x +y =1;(2)抛物柱面x 2=1−z , 平面y =0, z =(3)圆锥面22z y x +=2−x −y =及旋转抛物面z 22;(y 2=x , 平面z =0及x =1.4)旋转抛物面x 2+y 2=z , 柱面。

试题集：向量代数与空间解析几何

1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。

2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。

3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。

4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。

5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。

6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。

7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。

8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。

高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册

第七章空间解析几何第一节作业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）；（B ）（-2,-3,-1）；（C ）（2,-3,-1）；（D ）（-2,-3,1）答：（） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（）二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。

第二节作业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第三节作业一、选择题（单选）：已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（）二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。

.{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第四节作业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量答：（）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321同时垂直的单位向量求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ..,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第五节作业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36（C）4X2-9(y2+z2)=36; (D) 4x2-9y2=36.答：（）2. 方程y2+z2-4x+8=0表示：（A）单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。

(完整版)向量代数与空间解析几何练习题

第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是( ）（A ）直线； (B ）线段； (C ）圆； (D) 球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ）（A)a 与b 的内积等于零; (B)a 与b 的外积等于零;（C)对任意向量c 有混合积0)(=abc ； (D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313，则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ；（B ）若O 为原点，且a OA =，则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++;（D ）向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为（ )（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 18 ； (D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是（ )(A ）||||a a -=；（B ）||||||b a b a +>+；（C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； (D ） ||||||b a b a ⨯≥⋅．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，q AN =，则BC =_______________,CD =__________________．2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A （0，0，2），B(8，0，0），C(0，8，6），则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等，则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=，则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A ， )4,7,1(B , )0,8,2(C ，则=⋅AC AB _____________________;=⨯BA BC ____________________；ABC ∆的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c ，并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a ，求||||b a ⋅．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A ，求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线，且满足3=⋅x a ，求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ， b , c , 具有相同的模，且两两所成的角相等，若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和，求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A ， )1,4,2(-B , )3,2,0(-C ， )3,0,2(--D ，(1) 求以AB ， AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥BCD A -的体积．(3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．习题4。

高等数学第七章空间解析几何与向量代数试题[1]

(一)选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（）A ）B ）C ） 6D ）9532. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（）A ） B C ） D ）13811815818. 设求是：（）,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r a b ⨯r r A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k9. 设⊿的顶点为，求三角形的面积是：（ ABC (3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -）A ）B ）C ）D ）33623643210. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．填空题(1) a ∙b = （公式）(2) a ·b = （计算）(3).=⨯b a r r (4)][c b a r r r =(5) 平面的点法式方程是(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=(7) 坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是：yoz 0),(=z y f z (8) 已知两点与，与向量方向一致的单位向量= 。

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第五章向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念例1 在平行四边形ABCD 中，设>____AB ＝a ，>____AD ＝b 。

试用a 和b 表示向量>____MA 、>____MB 、>____MC 和>____MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以 a ＋b ＝>____AC ＝2>____AM即－（a ＋b ）＝2>____MA于是 >____MA ＝21-（a ＋b ）。

因为>____MC ＝－>____MA ，所以21____=>MC （a ＋b ）.图5－8又因－a ＋b ＝>____BD ＝2>____MD ，所以>____MD ＝21（b －a ）.由于>____MB ＝－>____MD ，>____MB ＝21（a －b ）.例2 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v 。

设n 为垂直于S 的单位向量（图5－11（a ）），计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P （液体得密度为ρ）.（a ）（b ）图5－11解该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v 与n 的夹角θ，所以这柱体的高为| v |cos θ,体积为 A | v |cos θ=A v ·n .从而，单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量为P=ρ A v ·n . 例3 设ABC ∆的三条边分别是a 、b 、c (图5－15)，试用向量运算证明正弦定理CcB b A a sin sin sin ==证明注意到CB =CA +AB ,故有CB ⨯CA =(CA+AB) ⨯CA =CA ⨯CA+AB ⨯CA =AB ⨯CA =AB ⨯(CB+BA) =AB ⨯CB 图5－15于是得到 CB ⨯CA =AB ⨯CA =AB ⨯CB 从而 |CB ⨯CA |=|AB ⨯CA | =|AB ⨯CB | 即 ab sin C ＝cb sin A ＝ca sin B 所以CcB b A a sin sin sin == 5.2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A (4,1,7)、B (-3,5,0)，在y 轴上求一点M ，使得|MA |=|MB |. 解因为点在y 轴上，故设其坐标为)0,,0(y M ，则由两点间的距离公式，有222222)00()5()03()07()1()04(-+-+--=-+-+-y y解得4-=y ，故所求点为)0,4,0(-M例2 求证以)3,2,5()2,1,7()1,3,4(321M M M 、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解因为6)31()23()54(||6)23()12()75(||14)12()31()47(||222213222232222221=-+-+-==-+-+-==-+-+-=M M M M M M 所以||||1332M M M M =，即△321M M M 为等腰三角形.5.2.2 向量运算的坐标表示例3 设有点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M ，求向量21M M 的坐标表示式。

解由于1221OM OM M M -=，而),,(1111z y x OM =，),,(2222z y x OM =，于是),,(),,(),,(12121211122212z z y y x x z y x z y x OM OM ---=-=-即 ),,(12121221z z y y x x M M ---=例4 已知两点A （4，0，5）和B （7，1，3），求与>____AB 方向相同的单位向量e .解因为>____AB ＝>____OB –>____OA ＝（7，1，3）－（4，0，5）＝（3，1,–2），所以 >____AB ＝14)2(13222=-++，于是e )2,1,3(141||-==→-→-AB AB .例5 求解以向量为未知元的线性方程组⎩⎨⎧=-=-b y x ay x 2335 其中a ＝（2,1,2），b =(-1,1,-2).解解此方程组得x=2a –3b , y =3a –5b以a ，b 代入，即得 x =2(2,1,2)–3(–1,1,–2)=(7,–1,10) y =3(2,1,2)–5(–1,1,–2)=(11,–2,16).例6 已知两点A ),,(111z y x 和B ),,(222z y x 以及实数1-≠λ，在直线AB 上求点M ，使>____AM λ=>____MB .解如图7－13所示.由于>____AM ＝>____OM –>____OA ，>____MB ＝>____OB –>____OM ，因此 >____OM –>____OA λ=（>____OB –>____OM ），从而>____OM λ+=11（>____OA λ+>____OB ）.以>____OA 、>____OB 的坐标（即点A 、点B 的坐标）代入图7－13>____OM ⎪⎭⎫⎝⎛++++++=λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x 本例中的点M 称为定比分点，特别地当1=λ时，得线段AB 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x M .例7 已知两点)2,2,2(1M 和)0,3,1(2M ，计算向量>____21M M 的模、方向余弦和方向角.解 >____21M M ＝（1–2, 3–2,0–2）=(–1, 1,–2);|>____21M M |=222)2(1)1(-++-=24211==++;22cos ,21cos ,21cos -==-=γβα;43,3,32πγπβπα===. 例8 已知三点M ( 1, 1, 1)、A ( 2, 2, 1)和B ( 2, 1, 2), 求∠AMB .解作向量→MA ，→MB ，则∠AMB 为向量→MA 与→MB 的夹角. 这时→MA =( 1, 1, 0)，→MB =( 1, 0, 1)，从而→MA •→MB =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1;|→MA |=2011222=++;→MB =2101222=++.从而cos ∠AMB =21221||||==⋅→→→→MB MA MBMA , 由此得 ∠AMB ＝3π.例9 设立方体得一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求→OA 在方向OM 上的投影→→OA prj OM.解如图5－21所示，记∠MOA ＝ϕ，有31||||cos ==OM OA ϕ，于是→→OA prj O M＝→OA 3cos a=ϕ.图5－21例10 设a ＝（2，1，－1），b ＝（1，－1，2），计算a ⨯b.解a ⨯b ＝k j i kj i35211112--=--. 例11 已知三角形ABC 的顶点分别是A （1，2，3）、B （3，4，5）、和C （2，4，7），求三角形ABC 的面积.解由向量积对于，可知三角形ABC 的面积||21sin ||||21→→→→⨯=∠=∆AC AB A AC AB S ABC由于||→AB ＝（2，2，2）， ||→AC ＝（1，2，4），因此,-AC AB k j i kj i26421222+==⨯→→4于是.142)6(421264|21222=+-+=+=∆k j i -S ABC 例12 设刚体以等角速度ω绕l 轴旋转，计算刚体上一点M 的线速度.解刚体绕l 轴旋转时，我们可以用在l 轴上的一个向量ω表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住l 轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是ω的方向（图5－22）. 图5－22设点M 到旋转轴l 轴上任取一点O 做向量r ＝→OM ，并以θ表示ω与r 的夹角，那么 a =| r |sin θ.设线速度为v ，那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v 的大小为| v |=|ω| a =|ω|| r |sin θ;v 的方向垂直于通过点M 的与l 轴的平面，即v 垂直于ω与r ；又v 的指向是使ω、r 、v 符合右手规则，因此有v =ω⨯r .例13 已知不在一平面上的四点：A （111,,z y x ）、B （222,,z y x ）、C （333,,z y x ）、 D （444,,z y x ）. 求四面体ABCD 的体积.解由立体几何知道，四面体的体积T V 等于以向量→AB 、→AC 和→AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一. 因而T V =.|][|61→→→AD AC AB由于→AB =),,(121212z z y y x x ---, →AC =),,(131313z z y y x x ---,→AD =),,(141414z z y y x x ---所以T V =14141413131312121261z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------± 上式中符号的选择必须和行列式的符号一致. 5.3 空间的平面与直线 5.3.1 平面例1 已知空间两点)1,2,1(1-M 和)2,1,3(2-M ，求经过点1M 且与直线21M M 垂直的平面方程。

解显然21M M 就是平面的一个法向量)3,3,2()12,21,13(21-=+---=M M由点法式方程可得所求平面的方程为0)1(3)2(3)1(2=++---z y x即07332=++-z y x例2 求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面的方程。

解先找出这平面的法线向量n . 由于向量n 与向量→21M M 、→31M M 都垂直，而→21M M ＝（－3，4，－6），→31M M ＝（－2，3，－1），所以可取它们的向量积为n ：n ＝→21M M ⨯→31M M ＝132643----kj i ＝14i ＋9j －k ,根据平面的点法式方程（1），得所求平面的方程为14(x －2)＋9(y ＋1)－(z －4)＝0，即 14x ＋9y －z －15＝0.例3 设一平面与x ，y ，z 轴的交点依次为P (a ，0，0)、Q (0，b ，0)、R (0，0，c )三点（图5－24），求这平面的方程（其中a ≠0，b ≠0，c ≠0）. 解设所求的平面的方程为Ax+By+C z+D =0.因P (a ，0，0)、Q (0，b ，0)、R (0，0，c )三点都在平面上，所以点P 、Q 、R 的坐标都满足方程（2）；即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA得cD C b D B a D A -=-=-=,,. 以此代入（2）并除以D （D ≠0），便得所求的平面方程为图5－24 1=++czb y a x(5)方程（5）叫做平面的截距式方程，而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距. 例4 因平面通过z 轴及点（1，2，－3）的平面方程。