多元函数求最值
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多元函数求最值(范围)问题
主备人:刘美良
知识要点:1.;2,22
22
2
b a ab ab b a +≤
≥+()R b a ac bc ab c b a ∈++≥++,,222 2.2
2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≥+b a ab ab b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≥
++R b a b
a b a ,,41
1 3.22112
2
2b a b a ab b
a +≤+≤≤+。 推广:
n
a a a n a a a a a a a a a n
n
n
n n n
2
2
212212121111ΛΛΛΛ++≤++≤≤++()0>i
a
4. 若d c b a ,,,是实数,则2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+,当且仅当bc ad =时,等号成立。
一般形式:设n a a a a ,...,,,321,n b b b b ,...,,,321是实数,则
222112
222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++,当且仅当
0=i b [来]),...,2,1(n i =或存在一个数k ,使得i i kb a =),...,2,1(n i =时,等号成立。
推论:
(1)当121n b b b ===L 时,柯西不等式即为2222
1212()()n n n a a a a a a ++≥++L L ,若
i a R +
∈(1,2,i n =L )
12n
a a a n
+++≥L ,此即上面提到的平方平均≥算术平均。 (2)当1i i
b a =
(1,2,i n =L )时,有222
212222
12111()()n n a a a n a a a ++++≥L L 。 当,i i a b R +∈(1,2,i n =L ),则
(
)212121
2n n n a a a b b b b b b ⎛⎫
+++++≥ ⎪⎝⎭L L L
(3)权方和不等式:()y x b a y b x a ++≥+2
22;()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥+222
2b a b a
一、 基本不等式法
(1)若正实数,x y 满足,则x y +的最大值为____4_______. (2)已知,x y 为正实数,且23x y +=,则
3x y
xy +的最小值为_____________,
的最大值为_____________.5
2
(3)已知,a b 为正实数,且2a b +=,则2241
a b a b +++的最小值为_____4________. (4).若,12,0,0=+>>b a b a 则)4(22
2b a ab s +-=的最大值是 .
处理双变元问题的两种常见思路:一是减元;一是换元;另处,基本不等式,”1”的代换.
解: 换元-----)4(22
2b a ab s +-==()ab ab ab b a ab 4124222
+-=++-.
设,ab t =则,4
20≤
1 24122-≤ +-=t t s 减元:,21a b -=()[] 1242222+--+-=a a a a s ,a a +-2 2Θ取得最大值时 a a -22恰好取得最小值.所以当4 1= a . 1的代换:a b b a ab b a 224,22122 2≥+≥=+ (5)已知,,x y z 为正实数,且222 2x y z ++=,yz +的最大值为 _______. 变式:若12 22=++z y x ,则yz xy -的最小值___ 2 2 ______ (6).实数y x ,满足2222 2 =+-y xy x ,则2 22y x +(7)已知三角形三边长c b a ,,成等差数列,且842 22=++c b a ,则实数a 的取值范围为 62≤ (1)若实数y x ,满足032 2=--y x x ,则2 y x +的取值范围为___[0,)+∞______. (2)设实数y x ,满足322=++y xy x ,则2 2y xy x +-的取值范围为___[1,9]__. (3)已知实数,x y 满足2330xy x y ++-=.① 若,x y R ∈,则x y +的取值范围是 (,11][1,)-∞-⋃+∞__② 若,x y 为正实数,则x y +的取值范围是 ___3(1,)2 __________. 三、 判别式法 (1)设实数y x ,满足3242 2 =++xy y x ,则x 的取值范围是 ,y 的取值范围是 ,y x 2+的取值范围是 . .[-1,1],[-2,2], [ (2)若实数a b c 、、满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则a 的最大值为 . (3)设实数y x ,满足132 2 =+-y xy x ,则y x 2-的取值范围是 [ . 五、 配方法 (1)已知y x ,为实数,则3222652 2 +-++-=y x y xy x z 的最小值为 .2 (2)若,x y R ∈,设2 2 23M x xy y x y =-+-+,则M 的最小值是 . 六、 数形结合法 (1)设实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x ,则y x -2的最大值是 . (2)已知22x y += y 的最小值是 .8 5 改为:已知P 是抛物线x y 42 =上的点,则()()x y x --+-2 223的最大值是 解:转化为到焦点的距离即可求解。 (3)已知实数c b a ,,满足条件c b a b c a +≤+≤-+≤12 22,120,则 c b a 222-的最小值是 ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡--2175,41 课后作业:多变元的最值问题 1.已知0,0a b > >,则 11 a b ++ )