(暑期一日一练)2020中考数学复习 第8课时 一元二次方程的根与系数的关系(无答案)

第8课时 一元二次方程的根与系数的关系

【课前展练】

1．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）

Ａ．有两个相等的实数根

Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根

Ｄ．没有实数根 2. 若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = .

3.若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .

4.设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 12

11x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 5.已知αβ，为方程2420x x ++=的二实根，则=---24732

βαα ． 6．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数;当m ＝ 时，两根互为相反数.

【要点提示】

熟练掌握一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式(ac b 42-=∆)与方程根的关

系，能正确判断所给方程的根的存在性。熟练掌握一元二次方 )0(02≠=++a c bx ax 两实数

根21、x x 与系数的关系，会求一元二次方程两根的对称代数式的值, 会根据根的特点求字母系数的值, 能根椐两根构造一元二次方程。

【考点梳理】

考点一：一元二次方程根的判别式：

关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .

（2）ac b 42

-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .

（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 考点二： 一元二次方程根与系数的关系

若关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么

=+21x x ，=⋅21x x .

【典型例题】

例1: 下列命题：

对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠

① 若0a b c ++=，则240b ac -≥；

② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；

③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；

④ 若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.

其中正确的是（ ）

Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．

例2:当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等； （2）有一根为0； （3）两根互为倒数.

例3:菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272

=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .

例4:已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根12,x x .（1）求k 的取值范围； （2）若12121x x x x +=-，求k 的值；

例5：（湖南怀化）如图，已知二次函数22)(m k m x y -++=的图象与x 轴相交于两个不同的点

1(0)A x ，、2(0)B x ，，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．

（1）求P ⊙与y 轴的另一个交点D 的坐标；（2）如果AB 恰好为P ⊙的直径，且ABC △的面积等于5，求m 和k 的值．

【小结】在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题. 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件. 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042

≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.