第四章 流体流动基本原理

dA——控制体任意微元面积 ρ——流体密度 v——流体速度矢量 n——微元面外法线单位矢量 θ——流体速度矢量与微元面 外法线单位矢量的夹角
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v n dA
4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体净输出的质量流量 ＝输出控制体的质量流量－输入控制体的质量流量
qm1 A1 v n dA,

v n dA v2 x qm 2 v1x qm1 A
1
y、z方向动量的净输出流量有类似表达式。
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4.3 动量守恒积分方程（续）
以平均速度表示的动量守恒方程为
Fx v2 x qm2 v1x qm1 t CV vx dV
Fy v2 y qm 2 v1 y qm1 t CV vy dV
2
R v1R vmax 2v1
2 2
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目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
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4.3 动量守恒积分方程
一、控制体系统的动量守恒方程
根据牛顿第二运动定律，对于质量为m、速度为v
的运动系统，其动量mv随时间的变化率就等于作用 于该系统的诸力之矢量和，即
设控制体进出口截面上流体的平均速度分别为v1和v2，
其x、y、z方向的分速度分别为 v1x、v1y、v1z和v2 x、v2 y、v2 z，
qm1、qm2表示进、出口截面的质 量流量
则x方向动量的净输出流量为
v v CS x n dA v2 x
A2
v n dA v1x
4
4.1
一、系统与控制体（续）
z
II
概述（续）
z v n
I II '
n v
III
o x
y
x
o
y
t时刻
t+△t时刻
系统 控制体
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4.1
概述（续）
二、输运公式 ——将拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换 为按欧拉法去计算的公式
系统所占有 的空间体积 t时刻 t+△t时刻
II+I II+III
CS v ndA
A2 v n dA
A1 v n dA qm2 qm1
质量守恒方程
mCV qm 2 qm1 0 t
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4.2 质量守恒积分方程（续）
1、稳态流动系统的质量守恒方程
——亦称定常流动，流动参量不随时间变化的流动，即 mCV 0 t 守恒方程简化为
控制体所占有 的空间体积
II+I
II+I
m t mI t mI I
m t t mII
t
t t
mI II
t t
6
4.1
系统的质量变化率为
概述（续）
mII t t mI II t t mI t mI I t m t t m t dm lim lim t 0 t 0 t t dt 系统 mII t t mI II t t mI t mI I t mI t t mI t t lim t 0 t mI II t t mII mI t t mII mI t mI t t lim lim lim t 0 t t 0 t 0 t t
根据质量守恒原理，对于质量为m的系统，其质量守恒方程为
dm ＝0 dt 系统
输出控制体的质量流量 －输入控制体的质量流 量＋控制体内的质量变 化率 0
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4.2 质量守恒积分方程（续）
质量通量 ——流体流过单位面积的质量 流量，单位kg/（m2s） v cos v n 质量流量 ——单位时间内流体流过微元面 dA的质量，单位kg/s
截面2-2上，流动方向与截面外法线之间的夹角θ＝0°， v n dA v2 dA 控制体净输出的质量流量
CS v n dA A2 v n dA A1 v n dA A2 v2 dA A1 v1dA vmax 2
系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分 组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加 上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
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目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
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4.2 质量守恒积分方程
一、控制体系统的质量守恒方程
动量流量
——流体不断经过控制面，其输入或输出控制体的动
量只能以单位时间的动量即动量流量来计。 动量流量＝速度×质量流量
质量流量： dqm v n dA 单位时间内流过控制体面积的流体的质量，单位kg/s。

动量流量：v dqm v v n dA
流体流过微元面积dA的动量流量，单位kg· m/s2，矢量，其方
控制体内的 质量变化率
输出控制体的 输入控制体的 ＋ － 质量流量 质量流量
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4.1 概述（续） 输运公式
对控制体所包括的流体系统，其质量变化率可表述为：
dm 量－输入控制体的质量 流量＋控制体内的质量 变化率 ＝输出控制体的质量流 dt 系统
控制体净输出的质量流 量
系统动量mv和能量E的变化率可表述为：
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4.3 动量守恒积分方程（续）
控制体净输出的动量流量
＝输出控制体的动量流量－输入控制体的动量流量
控制体净输出的动量流 量＝ CS v v n dA
控制体内的动量变化率
控制体内的动量变化率 ＝ v dV t CV
动量守恒分方程
F CS v v n dA t CV v dV
Fz v2 z qm 2 v1z qm1 t CV vz dV
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4.3 动量守恒积分方程（续）
2、稳态流动系统的动量方程
稳态流动时，流体参数与流动参量均与时间无关，控
制体动量随时间的变化率为0，故动量守恒方程简化为
F v F v
x
2 x m2
q v1xqm1
qm1 qm2 1v1 A1 2v2 A2
即流体输入与输出控制体的质量流量必然相等。 2、不可压缩流体的稳态流动 不可压缩流体ρ＝constant
守恒方程简化为
v1 A1 v2 A2
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即流体输入与输出控制体的体积流量相等。
4.2 质量守恒积分方程（续）
例4-1 圆管层流的最大速度 不可压缩流体在半径为R的圆管内作层流流动。已知进口截面 1-1上，速度v1均匀分布，在截面2-2上，速度v2的分布为
向与速度矢量v的方向相同。
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4.3 动量守恒积分方程（续）
质量流量 v n dA 的正负
Байду номын сангаас
动量流量 v v n dA 的输出输入性质
若 v n dA 0，则 v v n dA 表示输出控制体的动量流量 若 v n dA 0，则 v v n dA 表示输入控制体的动量流量
dm 量－输入控制体的动量 流量＋控制体内的动量 变化率 ＝输出控制体的动量流 dt 系统
控制体净输出的动量流 量
dE 量－输入控制体的能量 流量＋控制体内的能量 变化率 ＝输出控制体的能量流 dt 系统
控制体净输出的能量流 量
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4.1 概述（续）
输运公式物理意义：
A1——控制面上流体的输入面 A2——控制面上流体的输出面
qm1——流体输入控制体的质量流量 qm1 A1 v n dA qm2——流体输出控制体的质量流量 qm 2 A v n dA 2 mcv——控制体内的瞬时总质量
控制体净输出的质量流量
r2 v v2 vmax 1 ， max 为截面2-2上的最大速度。试确定 2 R
与 v1 之间的关系。 vmax
解： 取1-1、2-2截面之间的管段空间为控制体。
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4.2 质量守恒积分方程（续）
截面1-1上，流动方向与截面外法线之间的夹角θ＝180°， v n dA v1dA
R 0
r2 vmax 2 2 2 1 rdr v R R v R 1 1 R2 2
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4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体内充满不可压缩流体，其总质量不随时间变化，即
dV 0 t CV
守恒方程简化为
vmax
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4.3 动量守恒积分方程（续）
对于直角坐标系，用
Fx , Fy , Fz 和vx , v y , vz
分别表示矢量F和速度矢量v在x、y、z方向的分量，则
F v v n dA v x dV x CS x t CV Fy CS vy v n dA t CV vy dV Fz CS vz v n dA t CV vz dV
其中：
F
x
作用于控制体系统诸力 在x方向的分力之和
vx dV＝速度为v、质量为dV的微元流体所具有的 x方向的动量
vx v n dA＝速度为v的流体通过微元面 dA时其x方向动量的输出或输入 流量
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4.3 动量守恒积分方程（续）
二、动量守恒方程的简化形式 1、以平均速度表示的动量方程
始终包含确定的流体质点 有确定的质量，质量不变 系统的表面常常是不断变形的
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4.1 概述（续）
2、控制体 ——具有确定位置和体积形状的流场空间，欧拉法研 究流体运动的研究对象。 控制面——控制体的表面 特点 控制面上不仅有力的作用和能量的交换，而且还有 质量的交换。 一旦选定后，其形状和位置就固定不变
qm2
A2 v n dA
控制体净输出的质量流 量＝ CS v n dA
积分>0，输出控制体的质量流量大于输入流量
积分<0，输出控制体的质量流量小于输入流量
积分＝0，输出控制体的质量流量等于输入流量
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4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体内的质量变化率
y
2 y m2
q v1y qm1 q v1z qm1
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F v
z
2 z m2
4.3 动量守恒积分方程（续）
例4-4 管道弯头的受力分析
流体稳态流动，经过位于x-y平面的弯头，弯头进口截面面 积为A1，流体速度v1与x轴平行，出口截面面积为A2，速度v2与 x轴夹角为β。试确定流体对弯头的作用力。 解： 取1、2截面之间的管道空间为控制体
dmv F dt 系统
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4.3 动量守恒积分方程（续）
对于流动系统，以控制体为对象研究其动量守恒时，
根据输运公式动量守恒方程表述为
作用于控制体 系统诸力之矢量和 输出控制体 的动量流量 输入控制体 的动量流量
控制体内的 动量变化率
控制体净输出的 动量流量
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4.3 动量守恒积分方程（续）
第四章 流体流动的守恒原理
目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
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4.1 概述
一、系统与控制体 1、系统 ——一团确定不变的物质集合，拉格朗日法研究流体 运动的研究对象。 外界——系统以外的物质 边界——系统与外界的分界面 特点
——控制体内的瞬时总质量对时间的求导
控制体内的质量变化率 ＝ dV t CV
质量守恒方程
控制体净输出的质量流量＋控制体内的质量变化率＝0
即
CS v n dA t CV dV 0
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4.2 质量守恒积分方程（续）
二、质量守恒方程的特殊形式