第二章分解因式
第2章 因式分解测试题(含答案)-
第二章 因式分解测试题一、选择题:(每小题3分,共36分)1.下列各式自左到右的变形属于因式分解的是 ( ) A.m(a+b+c)=ma+mb+mc; B.22111()()x x x y y y-=+- C.22x y -+4x+4=(x+y)(x-y)+4(x+1); D.22112(2)(2)22a b a b a b -+=-+- 2.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 ( ) ①22x y + ②22x y - ③22x y -+ ④22x y -- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.2()x y --(y-x)的因式分解的结果是 ( )A.(y-x)(x-y)B.(x-y)(x-y-1);C.(y-x)(y-x+1)D.(y-x)(y-x-1)4.下列各题中,因式分解正确的是 ( )①2244(2)x x x -+=-;②2229124(32)a ab b a -+=-; ③3(1)(1)y y y y y -=+-; ④22221()a ab b a b ++-=+ A.①②③ B.①③ C.① D.②④5.下列各式:①224x xy y ++;②24(2)481x y x y ++++; ③42223612x x y y -+; ④2216249x xy y --,其中可以运用完全平方公式分解因式的是 ( )A.①②B.③④C.①③ C.②④6.对于多项式2133a -的因式分解,下列说法或结果不正确的是 ( ) A.不能分解 B.113()()33a a +-C.1(31)(31)3a a +-D.1()(31)3a a +-7.多项式3231812a b ab c -各项的公因式是 ( ) A.2ab B.3abc C.336a b D.26ab8.下列说法:①多项式乘法是把几个整式相乘,化成一个多式项; ②因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式;③因式分解正好与整式的乘法相反.其中正确的说法是 (C)A.①B.②C.①②D.①②③9.当a+b 的值为3时,代数式2a+2b+1的值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.810.如果多项式2x -mx+35分解因式为(x-5)(x-7),则m 的值为( ) A.2 B.-2 C.12 D.811.若1124n n a a -+--的公因式是M,则M 等于 ( ) A.12n a - B.2n a - C.12n a -- D.12n a +- 12.已知x 为任意有理数,则多项式x-1-214x 的值为 ( ) A.一定为负数 B.不可能为正数C.一定为正数D.可能为正数,负数或零 二、填空题:(每小题3分,共24分)13.分解因式24x -9=_______________________.14.三项式92x +( )+42y 是完全平方式,则括号中的项是____________.15.分解因式:-7ab-14abx+49aby=____________________.16.请你写出一个三项式,使它能先提公因式,再运用公式来分解,你编写的三项是______________,分解因式的结果是______________. 17.观察下列各式,2×4=23-1,3×5=24-1,4×6=25-1,…,10×12=211-1,…,将你猜想的规律用只含一个字母的式子来表示出来__________________. 18.已知x-y=2,22x y -=6,则x+y= ___________.19.2x +2(m-3)x+16是完全平方式,则m=________________.20.在圆环中,外圆半径R=9.45cm,内圆半径r=8.45cm,则圆环的面积为(π=3.14_________________. 三、解答题:(共60分) 21.(20分)分解因式:(1)3a -a (2)2x -2x-3; (3)22441m n n -+- (4)ma-mb+2a-2b22.(6分)已知221204x x xy y -+-+=,求x 、y 的值.23.(6分)利用公式计算:223434(113)(86)1138627777++⨯⨯.24.(8分)在一块边长为acm 的正方形报纸四角,各剪去一个边长为b(b<2acm)的正方形,利用因式分解计算,当a=13.2,b=3.4时剩余部分的面积.25.(8分)求证:当n 为整数时,两个连续奇数的平方差22(21)(21)n n +--是8 的倍数.26.(12分)按下列程序计算,把答案写在表格内,然后看看有什么规律,想想为什么会有这个规律? x x x x →→+→÷→-→平方答案 (1)(2)你发现的规律是 不论x 取何值时,输出的结果为1. (3)简要的证明你发现的规律.答案：一、DBDBA,ADCCC,CB 二、13．(2x+3)(2x-3) 14．±12xy15．-7ab(1+2x-7y)16．322x x x -+(不惟一)，2(1)x x - (不惟一). 17．n(n+2)=2(1)n +-1. 18．319．7或-1. 20．56.206c 2m .三、21．(1)a(a+1)(a-1) (2)(x-3)(x+1) (3)(m-2n+1)(m+2n-1) (4)( m+2)(a-b) 22．x=2,y=4. 23．40000 24．128c 2m .25．22(21)(21)n n +--=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,∴能被8整除.26．(2x +x)÷x-x=x(x+1)÷x-x=x+1-x=1.。
第二章 2.1.3 因式分解 (1)新
3ab(a + b) − a − b
7c(x − y) − x + y
3
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走，留 1 把门守； 全家都搬走， 把门守； 提负要变号，变形看奇偶。 提负要变号，变形看奇偶。
例2
请把下列各式因式分解
(1)16a 2 − 1
2
(2) 3a + 6a = 3a (a + 2) (3) x 2 − 4 + 3x = ( x + 2)( x − 2) + 3 x (4) x 2 − 4 + 3x = ( x + 4)( x − 1) (5) x − 4 = ( x + 2)( x − 2)
2
(6) x − 4 = ( x + 2)( x − 2) 1 1 2 2 (7 ) x + 2 + 2 = ( x + ) x x
合作学习
把下列各式因式分解
(1)a 4 − 81
(2)4 x y − 9 xy
3 2 3
(3)3ax + 6axy + 3ay
2
注意: 注意:
（1）因式分解要彻底，直到不能分解为止。 因式分解要彻底，直到不能分解为止。 彻底 （2）通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 提取公因式法
2ab
(3a − 2a2b2 −1 )
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走， 把门守。 全家都搬走，留 1 把门守。
例1
将下列各式分解因式： 将下列各式分解因式：
北师大版数学八年级下第二章、因式分解复习讲义(三)分组分解法
2013年八年级下第二章、因式分解复习讲义（三）1.5、分组分解法第一部分、知识要点【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
第二部分、典例分析例1：分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++变式训练1-1：选择题：对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）（A ）mp np n m +++)22( （B ）)2()2(mp n np m +++（C ）)()22(np mp n m +++ （D ）np mp n m +++)22(变式训练1-2：分解因式：（1）x xy y x 21372-+- （2）)15)(3()3()3(531552223--=---=+--x x x x x x x x例2：（1）分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+（2）分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---变式训练2-1：分解因式（1）y y x x 3922--- （2）yz z y x 2222---变式训练2-2：分解因式：m n m nn 222141()-+-+ 解：m n m nn 222141()-+-+ =-+-+=++---=+--=-+++-+m n m m n n m n m n m m n n m n m n m n m n m n m n 222222222241212111()()()()()()例3：把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ）A a aB a aC a aD a a .().().().()222222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
因式分解2
因 式 分 解（2） 利用公式法一、利用公式分解因式：1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22 注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x 典型例题：1、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。
2、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。
3、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4.4、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4.5、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
第二章《因式分解》测试题(魏英霞).doc
八年级数学（下）第二章《因式分解》课时训练（魏英霞）2.1分解因式【考点演练】1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(1)、bx ax b a x -=-)( (2)、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- （3)、)1)(1(12-+=-x x x （4)、c b a x c bx ax ++=++)( （5).12a 2b =3a ·4ab ( 6).(x +3）（x －3）=x 2－9(7).4x 2+8x －1=4x （x +2）－1 (8).21ax －21ay =21a （x －y ） (9). (a +3)(a -3)=a 2-9 (10).x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 (11).x 2+1=x (x +x1) (12)、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22422、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________. 2.2提公因式法【考点演练】1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。
2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） （A ）ab 3- （B ）223b a - （C ）b a 23- （D ）333b a - 3、下列各式分解正确的是（ ）A.)34(391222xy xyz y x xyz -=- B.)1(333322+-=+-a a y y ay y aC.)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D.)5(522a ab b ab b a +=-+4、下列各式的因式分解中正确的是（ ） (A) -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )(B)9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) （C) 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) (D)21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A ．22)()(y x x y -=-B ．)(b a b a +-=-- C.33)()(a b b a --=- D.)(n m n m +-=+- 6、 m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A). (a -2)(m 2+m ) (B). (a -2)(m 2-m ) (C). m (a -2)(m -1) (D). m (a -2)(m+1) 7、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ）A 、()()p p a +-21 B 、()()p p a --21 C 、()()11--p a p D 、()()11+-p a p8、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 ; 9、若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是 9、把下列各式分解因式（1）222axy y x a - （2）5335y x y x +- （3）23)(10)(5x y y x -+-（4）)3()3(2a a -+- （5）c ab ab abc 249714+-- （6）228168ay axy ax-+-（7）32)(12)(18b a b a b ---； （8）mn(m －n)－m(n －m) （9）a 2(x -y )+b 2(y -x )2.3运用公式法—平方差公式 【考点演练】1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是____________________。
第二章因式分解
第二章因式分解一、選擇題（）1.下列多項式中何者含有2x＋3的因式(1)2x3＋3 (2)4x2－9 (3)6x2－11x＋3 (4)2x2＋x＋3（）2.下列何者是2x2－11x－21的因式？(1)(x－6) (2)(x＋7) (3)(2x－3) (4)(2x ＋3)（）3.下列何者為甲×丙＋乙×丙的因式(1)甲＋乙×丙(2)甲＋乙(3)甲＋丙(4)丙＋乙。
（）4.下列各式中，何者不是x2－4的因式？(1)x＋2 (2)x－2 (3)x2－4 (4)x2。
（）5.a2－b2的因式不可能是下列那一個？(1)a2＋b2 (2)a＋b (3)a－b (4)a2－b2。
（）6.下列何者錯誤？(1)(-a＋b)2＝a2－2ab＋b2 (2)(a－b)(a＋b)＝a2－b2 (3)(a －b)2＝a2－2ab－b2 (4)(4＋3)2＝42＋8×3＋32。
（）7.下列各式中，何者是2x2－11x－21的因式？ (1)2x－3 (2)x＋7 (3)x－7 (4)2x ＋7。
（）8.下列何者為2x2＋3x＋1與4x2－4x－3的公因式？(1)x＋1 (2)x＋2 (3)2x－3 (4)2x＋1。
（）9.因式分解（a＋2)2－3(a＋2)＝(1)(a＋2)(a－3) (2)(a＋2)(a＋3) (3)(a＋2)(a ＋1) (4)(a＋2)(a－1)。
（）10.下列何者正確？(1)a2－b2＝(a－b)2 (2)a2－2ab＋b2＝(a＋b)(a－b) (3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 (4)a2＋b2＝(a＋b)(a－b)。
（）11.因式分解9x2－1＝(1)(9x＋1)(9x－1) (2)(3x－1)2 (3)(3x＋1)(3x－1) (4)(9x－1)2。
（）12.若5x2－7x－6＝(5x＋a)(x＋b)，則(1)a＝-3 (2)b＝-2 (3)ab＝6 (4)a＋b ＝5。
初等数学研究代数部分第二章多项式的因式分解
初等数学研究代数部分第二章多项式的因式分解多项式因式分解是代数学中的重要内容，它主要研究如何将一个多项式表达式分解成多个较简单的因子的乘积形式。
因式分解在数学中有广泛的应用，它可以帮助我们简化计算、解决方程、求解多项式的根等问题。
本文将介绍多项式因式分解的基本概念、方法和例题。
一、多项式因式分解的基本概念1.1多项式的定义多项式是由常数和变量的乘积相加减而成的代数式，形如f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0，其中an, an-1, ..., a2, a1, a0为常数，n为非负整数，x为变量，称为多项式的系数、次数和未知数。
1.2因式的定义如果一个多项式f(x)除以一次或多次的多项式g(x)得到一个除法式时，那么g(x)称为f(x)的因式，也可以说f(x)被g(x)整除。
多项式的因式分解是将一个多项式表示成若干个因子的乘积形式。
如果一个多项式无法再进行因式分解，我们称其为不可约多项式。
二、多项式因式分解的方法2.1公因式提取如果一个多项式的各项有一个公因子，我们可以提取出来，从而将多项式分解成若干个因子的乘积形式。
例如，多项式6x3+9x2可以提取公因式3x2，得到3x2(2x+3)。
2.2平方差公式平方差公式是一种常用的因式分解方法，它可以将形如a2-b2的多项式分解成(a+b)(a-b)形式。
例如，多项式x2-4可以分解成(x+2)(x-2)。
2.3完全平方公式完全平方公式是一种将二次多项式分解的方法，它可以将形如a2 + 2ab + b2的多项式分解成(a + b)2形式。
例如，多项式x2 + 4x + 4可以分解成(x + 2)22.4完全立方公式完全立方公式是一种将立方多项式分解的方法，它可以将形如a3 + 3a2b + 3ab2 + b3的多项式分解成(a + b)3形式。
例如，多项式x3 + 3x2 + 3x + 1可以分解成(x + 1)32.5因式分解公式除了上述方法外，还有一些常用的因式分解公式，例如二次多项式的因式分解公式、差二次多项式的因式分解公式等。
初等数学研究 代数部分 第二章 多项式的 因式分解
f (x1, x2 , , xi , , x j , , xn ) f (x1, x2, , x j , , xi , , xn ) ，
则称这个多项式是交代式．
比如 x y ， x2 y2 ， x3 y3 ，都是交代式．
交代式一定含有因式
(xi xj ) ．
1i jn
例 5 分解因式 x4 ( y z) y4 (z x) z4 (x y) ． 解 这是一个三元五次齐次交代式，则必有因式(x y)( y z)(z 3B) 0 ， f (1,1,1) 3A B 4 ．
解得 A 1， B 1，
∴ f (a,b, c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) ．
特别地，若 a b c 0 ，则 a3 b3 c3 3abc ．
例 3 分解因式 x4 y4 (x y)4 ．
补充：多项式的结构 拉格朗日插值公式 设 f (x) 为次数不超过n 的多项式， xi 互不相同，
i 1, 2, , n 1 ，且 f (xi ) yi ，则
f
(x)
y1
(x x2 )(x x3) (x1 x2 )(x1 x3 )
(x xn1) (x1 xn1)
y2
(x x1)(x x3 ) (x2 x1)(x2 x3 )
2[(x y)2 xy]2
2 (x2 xy y2 )2 ．
例4
已知 x1 x2
x3
0 ，求证
x15
x25 5
x35
x13
x23 3
x33
x12
x22 2
x32
分析 由 x1 x2 x3 0 ，得 x13 x23 x33 3x1x2 x3 以及
x12 x22 x32 (x1 x2 x3 )2 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2(x1x2 x2 x3 x3x1)
分解因式
3、情感目标：通过让学生自己去探索和发现，激 发学生学好数学的兴趣，使学生在积极参与过程 中培养创造性思维及个性的心理特征，尽可能让 学生体会到成功 。
三
教法分析与学法指导
教法分析： 由于本节课内容较简单，为了
充分调动学生学习的积极性，变被动学习为主动学 习，使课堂教学生动、有趣、高效，本节课我将采 用自主探索、启发引导、合作交流、反馈测试展开 教学，并采用计算机辅助课堂教学，激励学生积极 参与、观察、发现其知识的内在联系，使每个学生 都能积极思维，这样一方面可以激发学生学习的兴 趣，提高学生的学习效率，另一方面拓展学生的思 维空间，培养学生用创造性思维去学会学习。
人 数 平 均 分 10 分 以 上 20 分 题 号 正 确 率
一 二 三 四
课堂小结
1 什么是分解因式？
2 分解因式与整是乘法有什么关系？
3 有关分解因式概念的几个注意问题
(二)测试题 1、填空题(5分)
式子x² +ax+bx+ab=(x+a)(x+b)自左向右变形称为_______,自右向 左变形称为_____。
所以整式乘法和分解因式是两种_____变形。 2、选择题(5分) （1）下列各式从左到右的变形，是分解因式的是：
(A)(2x-5)(2x+5)=4x² -25 (B)xy-x=x(y-1/x)
（二）、新课讲解
有了分解因数还不够，根据学生旧有的知识， 引领学生来完成“做一做”，要让学生在做中学， 让学生渗透整式乘法与分解因式的互逆关系，从 而引出分解因式的概念。课件
（三）、巩固练习
课件
通过以上环节，学生在头脑中已经建 立了分式因解的概念。概念的掌握，要通 过实际去做，具体去用，才能形成技能。 （四）、课堂小结
第二章因式分解复习题
322281224yxyyx+--()()2216yxyx--+a a-3第二章因式分解复习（编号：复02）知识点回顾1、因式分解的定义；把一个多项式化成几个整式的的形式。
2、因式分解与整式乘法的关系：。
根据箭头指向写出属于什么变形。
3、因式分解的方法；（1）提公因式法，如：ma+mb+mc= 。
（2）公式法，平方差公式：。
完全平方公式：。
一、课堂练习（A 组题）1、下列从左到右是因式分解的是（）A. x(a－b)=ax－bxB. x2－1+y2=(x－1)(x+1)+y2C. x2－1=(x+1)(x－1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、下列因式分解中，正确的是（）A．3m2－6m=m(3m－6) B．a2b+ab+a=a(ab+b)C．－x2+2xy－y2=－(x－y)2D．x2+y2=(x+y)23、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）A、42+-m B、22yx--C、122-yx D、()()22amam+--4.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=( )A.3B.-5C.7.D.7或-15、若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=6、把下列各式因式分解.(1) (2)(3)（4）4p(1-q)3+2(q -1)2二、课堂练习（B组题）3、因式分解（1）（2）)(2)(3xyyxa---（3）（4）（5）4.已知x－y=1,xy=2，5、利用因式分解说明：求x3y－2x2y2+xy3的值. 127636-能被140整除。
6.计算：(1)（－2）101＋（－2）100 (1)32004＋32003课后作业1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（）A、()224168-=+-xxx B、()()103252-+=-+xxxxC、xxxxx6)3)(3(692+-+=+-D、()()()()2332-+=+-xxxx32232ab b a b a ++22==+ab b a2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22)(b a -+；B 、mn m 2052-；C 、22y x --，D 、92+-x ；3、若x 2－8x+m 是完全平方式,则m= .4、若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a= .5、223,1,x y xy x y +=-=+=则 6、因式分解（1） （2） （3）（4） 21222++x x （5）(m+n)2－6(m+n)+9（6）4x 2－(y+z)2 （7）7.8、已知 求 的值.9、10、 11、（4）你能根据所学知识找到上面算式的简便运算吗?请你利用你找到的简便方法计算下式:()y x y x m +--2。
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分解因式1.把下列各式因式分解d(a-by ^2a2(b-a)2 -2ab(b-a)2兀 + y = 32、不解方程组一「求代数式（2兀+ y）（2x —3y） + 3x（2x + y）的值。
[5x - 3y = -23、分解因式(1) 18x3y2-2x3(2) (x2-6x)2+18(x2-6x)+814、分解因式(1) 2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b5、证明：8I7 -279 -913能被45整除。
一、选择题1.下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）・A. a （a—b） =a2—ab；B・ a2—2a+l=a （a—2） +1C. X2—x=x (x—1)；D. x2—1= (x+-)(X-y x y )‘丄）y2.把下列各式分解因式正确的是（）A. x y2—x2y=x (y2—xy)；B. 9xyz—6 x2y2= =3xyz (3—2xy)C. 3 a2x—6bx+3x=3x (a2—2b)：1 , 1D. — x v2+ — x 2V=- XV (x+y)2 " 2 .23. -6x n-3x2n分解因式正确的是（）A・ 3 (-2x n-x2n) B・-3x“ (2-x n) C・一3 (2x n+x2n) D・-3x“ (x"+2)4、—6xyz4-3xy2—9x2y 的公因式是()A. —3xB. 3xzC. 3yzD. —3xy5、把多项式(3a—4b) (7a-8b) + (lla-12b) (8b-7a)分解因式的结果是()A・ 8 (7a~8b) (a-b) ;B. 2 (7a-8b) 2 :C. 8 (7a-8b) (b-a) :D. -2 (7a-8b)6.把(x-y) 2- (y-x)分解因式为()A・(x—y) (x—y—1) B・(y—x) (x—y—1) C・(y—x) (y—x—1) D. (y—x) (y—x+1) 7.下列各个分解因式中正确的是()A. 1 Oab 2c4-6ac24-2ac=2ac (5b24-3c)B. (a—b) 3— (b—a) 2= (a—b) 2 (a—b+1)C.x (b+c—B) —y (a—b—c) —a+b—c= (b+c—a) (x+y—1)D.(a—2b) (3a+b) —5 (2b—a) 2= (a—2b) (lib—2a)8.若a+b=4,则a2+2ab+b2的值是()A. 8B. 16C. 29、下列各式中不能用平方差公式分解的是（）A. ~a2+b2B. -x2-y2C. 49x2y2-z2D. 16m4-25n210、•下列各式中能用完全平方公式分解的是（）①x?-4x+4; ®6X2+3X+1 ;③ 4X2-4X+1 ;④ x2+4xy+2y2; @9x2-20xy+16y2A.①® B•①(§)IK分解因式3X2-3X4的结果是（）A. 3 (x+y2) (x-y2)B. 3 (x+y2) (x+y) (x-y)C. 3 (x-y2)2D. 3 (x-y)2(x+y)2 12、若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为( )A・2 B.4 C. 2y2 D. 4y213•若X2+2 (m-3) x+16,是一个完全平方式，那么m应为( )A. -5B.3C.7D.7 或-1%1.填空题1 •分解因式：/w3~4m= _________ •2.如果a+b=l（b ab=21,则a2b+ab2的值为 ____________ .3.将x"-y"分解因式的结果为（x2+j2）（x+j）（x-j）,则H的值为4•若a/+24j+/F (ZMT3) \ 则沪_____ , b= ______ , nr ______5.分解因式x2-4y2= __________________ ; ma2+2ma+m= _______ _6.分解因式2x3y+8x2y2+8xy3 _____________7・已知X2—y2=69, x+y=3,则x—y= _______8. _________________________________ 把a2b+b3-2ab2分解因式的结果是9> 一个长方形的面积是（*2—9） 2米，其长为（X+3）米，用含有x的整式表示它的宽为_米・10.分解因式：a3—ab2= _______三、计算题1>把下列各式分解因式：(1) 15X (a—b) 2—3y (b—a) ; (2) (a—3) 2— (2a—6)⑶；(4) fl1 "2a a A + flA a . (5) -6ah2 .⑹-6a^^l5ab2-9ac2 . (7) «(x-y)-»+^ . (8) j a+4^ -4^y ；⑼z a Gi-A)+4(i-fl) ；(w) <^ + 4)8-15?2、分解因式：(X2+4)2-16X2.3、分解因式(1) 16x2y2z2-9; (2) 81 (a+b)2-4(a-b)24.己知a4-b=-4, ab=2,求多项式4a2b+4ab2-4a-4b 的值。
《提公因式法》分解因式PPT课件3
____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______ (2) ma+mb+mc=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
从 数字系数 和 字母及其指分数别进行考虑。
1.定系数:公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 2.定字母:公因式中的字母取各项相同的字母， 3.定指数: 相同字母的指数取其次数最低的。
例: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式。
因为
系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
3a2 3a a 9ab 3a 3b
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
例2 把9x2－6xy+3xz分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
课件《因式分解》[实用版]_人教版2
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1.到目前为止，我们已经学过哪些解一元二 次方程的方法？
主要有：估算法、直接开平方法、配方法、公式法等。
用因式分解认法识求一解元一二元次二方次程方程
温故而知新
2.解下列方程
①. x22x150
②. x(x3)x3
用因式分解认法识求一解元一二元次二方次程方程
课题导入：
新知探索
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
用因式分解法求解一元二次方程
解得, x 1= 0 , x2=
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
由方程 ，得
二看字母（找相同字母的最低次幂）。
（1）
（2）
x(5x4)0
x0 ， 或 5x40 .
∴
x1 = 0,
x2
4 5
用因式分解法求解一元二次方程
（2）原方程可变形为
x(x2)(x2)0
(x2)(x1)0
x 2 0 ， 或 x 1 0 .
∴
x1 2，x2 1.
新知探索
体现了一种什么 样的数学思想？
提问：1.例1主要用到了因式分解中的什么方法？ 提公因式法
5x + 1 = ±1.
2. 解下列方程： 用因式分解法求解一元二次方程
适合运用因式分解法
；
三化-----方程化为两个一元一次方程;
用因式分解法求解一元二次方程
(1)(3x2) 4(3x2) 主要有：估算法、直接开平方法、配方法、公式法等。 2
第二章分解因式精选复习题
二、提公因式法分解因式（一） 公因式：①系数取最大公约数；②相同字母取最低次幕。
（二） 提取公因式的方法：每项都从左到右寻找，先考虑系数 （取最大公约数，第一项若是负数则需提取负号,提取负号后各项要变号）、再到字母（把每项都有的相同字母提取出来，以最低次幕为准） （三） 练习：+…+ x （x +1）2004，则需应用上述方法._2n⑶ 分解因式：1+x +x （x +1）+x （x +1） +…+ x （x +1） （n 为正整数）。
三、运用公式分解因式 （一）（平方差公式：a2b 2 （a b ）（a b ）特点：左边：①有二项；②符号相反；③两项均为完全平方项。
右边：左边平方项底数的和与差的积。
第二章分解因式精选复习题一、分解因式的概念 （一）概念：把一个多项式化成几个整式的积的 形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
易错点注意：1、被分解的代数式（等式的左边）是多项式； 结果是积的形式；4、结果的因式必须分解彻底。
2、 （和差化积） 分解后的因式（等式的右边）是整式；3、（二）例： 1、下列由左到右的变形, 哪一个是分解因式 A 、(a b)(a b) a 2 b 2 B 、x 24y 4 (xy)(x y) 4(y 1)C 、 (a b)2 2(a b ) (a1)2 D 、x 2 5-) x2、 3、4、 3 x 2 x8 已知 已知 求证25 x 5'4能被24整除。
x 2x 22 x2008的值。
x 4的值。
（三）练习 1、 对于m+2m+2当 2、 对于-m+2m+2,当m= m=时，它有最小值为 时，它有最大值为1、 已知 a + b = 13, ab = 40,求 a 2b ab 2的值。
2、 已知(a b)225,ab 6， 求代数式3a 2b 6ab 218b 6的值。
3、 利用因式分解说明 320004 31999 10 31998 能被 7 整除。
因式分解经典讲义(精)
第二章 分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。
3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。
（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。
（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。
4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________ （2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用 【例1】分解因式：（1）3241626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+（3）2()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--解析：（1）题先提一个“-”号，再提公因式2m ；（2）题的公因式为y z +；（3）题的公因式为()x x y +； （4）题的公因式为78a b -。
答案：（1）22(2813)m m m --+； （2）()(23)y z x +-；（3）2()xy x y -+； （4）22(78)a b -。
北师版九年级数学 2.4用因式分解法求解一元二次方程(学习、上课课件)
方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次
方程的方法称为因式分解法.
体现了转化思想.
感悟新知
知1－讲
2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，
即若ab= 0，则a=0 或b=0.
达到降次的目的.
感悟新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知1－讲
3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化
易错：千万不能 将方程两边同时
除以(x－5) ，否
则方程会漏掉
x=5 这一根.
感悟新知
2-1. 解下列方程：
知2－练
①(x－2)2=5，② x2－2x＋1=0，③ x2＋ 2 x－3=0. 适当的方法为( A ) A. ①直接开平方法，② 因式分解法， ③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，② 公式法， ③ 因式分解法
方程的解
x1=0，x2=－b x1=a，x2=－a
x1=x2= a x1=－p，x2=－q
感悟新知
特别解读 ★用因式分解法解一元二次方程的关键：
知1－讲
1.将方程的右边化为0;
2.熟练掌握多项式因式分解的方法;
3.方程两边不能同时除以含有未知数的相同整式.
★常用的因式分解的方法：
1.提公因式法：ma＋mb＋mc=m(a＋b＋c)；
∴ x =－182±×2 332=－9±2 83.
∴ x1=－9＋2 83，x2=－9－2 83.
感悟新知
知2－练
(4)(x－5)2=2(x－5).
解：(因式分解法)移项，得(x－5)2－2(x－5)=0，
初中数学《提公因式法》教案
初中数学《提公因式法》教案第二章分解因式2．提公因式法（二）总体说明本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．一、学生知识状况分析学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：学生对于本节课采用的观察、对比、讨论等方法非常熟悉，他们有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，因此，本课时的教学目标是：知识与技能：（1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程．（2）会用提取公因式法进行因式分解．数学能力：（1）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．（2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．情感与态度：通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：练一练——想一想——做一做——试一试——议一议——反馈练习——学生反思．第一环节练一练活动内容：把下列各式因式分解：（1）am+an （2）a2b–5ab（3）m2n+mn2–mn （4）–2x2y+4xy2–2xy活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．注意事项：切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤，最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，让学生真正理解是第一位的．第二环节想一想活动内容：因式分解：a（x–3）+2 b（x–3）活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x¬–3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x¬–3），并能顺利地进行因式分解．第三环节做一做活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：（1）2–a= （a–2）（2）y–x= （x–y）（3）b+a= （a+b）（4）（b–a）2= （a–b）2[来源:学科网ZXXK]（5）–m–n= （m+n）（6）–s2+t2= （s2–t2）活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．注意事项：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“¬–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．第四环节试一试活动内容：将下列各式因式分解：（1）a（x–y）+b（y–x）（2）3（m–n）3–6（n–m）2活动目的：进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．第五环节反馈练习活动内容：1、填一填：（1）3+a= （a+3）（2）1–x= （x–1）（3）（m–n）2= （n–m）2（4）–m2+2n2= （m2–2n2）2、把下列各式因式分解：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3 a（x–y）–（x–y）（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）a（m–2）+b（2–m）（5）2（y–x）2+3（x–y）（6）mn（m–n）–m（n–m）2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：由于新教材删除了添括号一节的教学，学生对于第1题第（4）小题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．第六环节议一议活动内容：把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)•(b－a－c)分解因式．活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．注意事项：通过讨论，学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式(a－b＋c)．第七环节学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，了解类比等数学思想方法．巩固练习：课本第52页习题2．3第1，2题．思考题：课本第53页习题2．3第3题（给学有余力的同学做）．四、教学反思对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．。
第二章-因式分解单元测试题
第二章 因式分解 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）(A)(a +3)(a -3)=a 2-9 (B)x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 (C)a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ）(A)-a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) (B)9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) (C)3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) (D)21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1)4.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +45.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D)13292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）(A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 47.下列分解因式错误的是（ ）(A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y ) (C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)28.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 29.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ）(A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数二、填空题11.分解因式：m 3-4m = .12.已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 .13.将x n -y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x +y )(x -y )，则n 的值为 .14.若ax 2+24x +b =(mx -3)2，则a = ，b = ，m = . (第15题图)15.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 .三、(每小题6分，共24分)16.分解因式：(1)-4x 3+16x 2-26x (2)21a 2(x -2a )2-41a (2a -x )3（3）56x 3yz+14x 2y 2z －21xy 2z 2 (4)mn(m －n)－m(n －m)17.分解因式：(1) 4xy –(x 2-4y 2) (2)-41(2a -b )2+4(a -21b )218.分解因式：(1)-3ma 3+6ma 2-12ma (2) a 2(x -y )+b 2(y -x )19、分解因式（1）23)(10)(5x y y x -+-； （2）32)(12)(18b a b a b ---； （3）)(6)(4)(2a x c x a b a x a ---+-；20.分解因式：(1)21ax 2y 2+2axy +2a (2)(x 2-6x )2+18(x 2-6x )+81 (3) –2x 2n -4x n21．将下列各式分解因式：（1）2294n m -； （2）22)(16)(9n m n m --+； （3）4416n m -；22．分解因式（1）25)(10)(2++++y x y x ； （2）4224817216b b a a +-；23.用简便方法计算：(1)57.6×1.6+28.8×36.8-14.4×80 (2)39×37-13×34 （3）．13.731175.231178.193117⨯-⨯+⨯24．试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍。
专题2 分解因式
专题02分解因式 本专题在初中、高中扮演的角色因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备.因此，它起到了初、高中承上启下的作用.分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题中的应用较多，在几何学中同样有应用.用十字相乘法分解因式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘法写出的因式漏写字母.因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++. 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即 21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 典型考题【典型例题】 阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想.. 请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.（1）；（2）（1）法一：,法二：,（2）.或.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．（1）（2）；（3）（4）.解：；； ；．故答案为：(1)(2)；(3)(4).【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.(1) (x+2)(x ＋4)；(2) x ＝4或x ＝－1.(1)原式=(x+2)(x ＋4)；(2)x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)＝0，所以x －4＝0或x ＋1＝0，即x ＝4或x ＝－1. 高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
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第二章分解因式
§2.1 分解因式
【自学检测】
一、请你说一说什么叫分解因式，它与整式的乘法有什么关系？
二、计算下列各式
(1) (a+b)(a－b)=_______. (2) (a+b)2=________.
(3) 8y(y+1)=________. (4) a(x+y+1)=________.
根据上面的算式填空：
(5) a2－b2=_______. (6) a2+2ab+b2=_______.
(7) 8y2+8y=_______. (8) ax+ay+a =_______.
三、请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式.
(1) x2－2=(x+1)(x－1)－1
(2) (x－3)(x+2)=x2－x+6
(3) 3m2n－6mn=3mn(m－2)
(4) ma+mb+mc=m(a+b)+mc
(5) a2－4ab+4b2=(a－2b)2
【课堂检测】
一、下列从左到右的变形，是分解因式的为( )
A.x 2－x =x (x －1)
B.a (a －b )=a 2－ab
C.(a +3)(a －3)=a 2－9
D.x 2－2x +1=x (x －2)+1
二、连一连：
a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a －
b ) 9a 2－1 (a +3)2 a 2－ab
(a －2)2
三、计算.
（1）－84×125+125×67+5×25 (2)8
1
9.5811.194)
4191(360⨯
+⨯-⨯
(3)2
8999899789982
22
-+ (4)(－2)1999+21998
(5)9993－999能被998整除吗？能被998和1000整除吗？为什么？
(6)对于任意自然数n，2n+4－2n能被15整除吗？为什么？
(7)求代数式ma+mb+mc的值，其中m=－25.6,a=53.2,b=66.4,c=－19.6.
(8)已知公式V=IR1+IR2+IR3，当R1=22.8，R2=31.5，R3=33.7，I=2.5，求V的值.
§2.2提公因式法
【自学检测】
1.完成下列填空:
1)、多项式ab+bc各项相同的因式是_______________。
2)、 _________________________________________叫公因式。
3)、多项式2×2+6×3中各项的公因式是什么_______________。
4)、 ______________________________________叫提公因式法。
2. 11×13-11×6+11×2 你是如何计算的？
3.多项式2x2 y+6x 3y 2 中各项的公因式是什么？你认为一个多项式的公因式是什么？
在师的引导下由学生归纳出结论：
（1）系数
取
；
（2）字母
取
；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的是这个多项式的公因式。
4.当多项式第一项的系数为负数时怎么办？
5.提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
【课堂检测】
1.将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac （2）x 2+4x （3）mb +nb–b 2.以下各多项式的公因式是什么？
（1）
3a3-6a2+12a （2）2a2b-8ab2-16ab
（3）15ab2+5a2²b+5ab （4）-3x2+6xy-x
3.将下列各式分解因式：
（1）
3x+6 (2) 7x2-21x
(3) 8a3b2-12ab2+ab (4)
-24x3-12x2+28x
（5）a(x-3)+2b(x-3) （6）3a2（x-y）3-4b2(y-x)2
4.思考题：
（1）817-279-913能否被45整除
（2）（-2）2002+（-2）2001
（3） 已知a+b=5 ， ab=4 ，求; ab 2+a 2b-a-b 的值
§2.3运用公式法（一）
【自学检测】
公式： ()()b a b a -+=__________ ()()b a b a b a -+=-22 以上各等式左边是多项式,右边是几个因式的____的形式,这种分解因式的方法叫做运用公式法 把下列各式分解因式
(1) ()()2224222-+=-=-x x x x (2) ()()()()______________16222=-=-x (3) ()()()()______________9222=-=-y (4) ()()()()______________1222=-=-a
(5) 2251b - (6) 224y x -
(7) 229
1
x a - (8) 362+-m
(9) 1362-n (10) 2294y x -
【课堂检测】
1. 下列各式能不能写成平方差的形式(能的画“√”，并写成平方差的形式，不能的画“×”)
（1）642+x （ ）； （2）224y x -- （ ） （3）42169y x - （ ）； （4）2694
1n x +-
（ ） （5）()229y x --- （ ）； （6）()()229y x -+- （ ） （7）()229y x -- （ ） （8）()()229y x --- （ ）
2.把下列各式分解因式
（1）()()22q x p x +-+ （2）()()22b a b a +--
（3）22)(n m n ++— （4）22)(4Z y x +-
（5）()224a c b +-- （6）()()2223n m n m --+
（7）()()22c b a c b a -+-++ （8）2428y y -
（9）()()2282
1
y b a x b a --- （10） 41a -
（11）())(43
b a b a +-+ （12）()2222
)(y x y x y x -+-
§2.3运用公式法（二）
【自学检测】
公式：()2222b a b ab a +=++ ()2222b a b ab a -=+- 1.下列各式是不是完全平方式：
（1）442+-a a （2）2244y x x ++
（3）2224b ab a ++ （4）22b ab a +-
（5）962--x x （6）25.02++a a
（7）49142++x x （8）()9)(62
++-+n m n m
2.把下列各式分解因式。
（1）–4xy –4x 2–4y 2 （2）3ab 2+6a 2b+3a 3；
（3）(s+t)2–10(s+t)+25 （4）0.25a 2b 2–abc+c 2。
（5）(s+t)2–18(s+t)+81 （6）–10mn –25n 2–m 2。
【课堂检测】
1．把下列各式分解因式：
（1）x 2y –6xy+9y ； （2）2x 3y 2–16x 2y+32x ；
（3）16x 5+8x 3y 2+xy 4； （4）(a 2+3a)2 –(a –1)2。
（5）2239156ac ab a -+- （6）()22
2164x x -+
2．先分解因式，再求值：
（1）223444b a b a a +- 其中a =8,b =-2
（2）()222
224b a b a -+ 其中a =-3.5,b =1.5
3. 已知x 2－y 2=69，x+y=3，求x －y 的值
4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边长，且b 2+2ab=c 2+2ac ，试判断△ABC 的形状．
5．在边长为179m 的正方形农田里，修建一个边长为21m 的正方形建筑，问所剩农田为多少平方米？
6. 如果k x x +-62 是一个完全平方式，求k 的值？。