2015届中考数学专项复习之《四边形》基础测试(含答案)

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2015年中考一轮复习专题测试卷(五)四边形(含答案)

2015年中考数学一轮复习专题卷(五)四边形（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.多边形的边数增加1时，其内角和将（）A.增加90°B.增加180°C.减少180°D.增加360°2.在四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选2个条件能判断四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A.3种B.4种C. 5种D.6种3.如图，□ABCD中，AB=2BC,AE平分∠DAB,EC=2，则AB= （）A.4B.3C.2D.14.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BCO︰∠OCD=2︰1，AB=3，则BC 的长为（）A.2 D.4第3题ED CBAO第4题D CBA第5题DCBA第8题EDC BA5.如图，AC、BD是菱形ABCD的两条对角线，下列结论不正确的是（）A.△ABC与△ABD的周长相等B.△BCD与△ACD的面积相等C.菱形的周长等于边长的4倍D.菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半6.已知正方形ABCD的对角线BD ABCD的周长为（）A.4B.6C.8D.107.一个多边形截去一个角后所得的多边形内角和为720°，则原多边形的边数是（）A.5或6B.5或7C.6或7D. 5或6或78.如图，在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在AC上，以AB为对角线的所有□ADBE中，DE 的最小值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.59.如图，矩形ABCD 中，AB点E 、F 分别在AB 、CD 上，四边形AECF 为菱形，EF =2FD ,则AD 的长为（） A.1C.D. 210.已知：四边形ABCD 是平行四边形，从下列四个条件：①AB =BC ；②∠ABC =90°；③AC =BD ；④AC ⊥BD 中选取2个条件就能判定四边形ABCD 是正方形的选法共有( )A.3种B.4种C.5种D.6种O F 第9题ED C BAF第12题E DCBA O 第13题EDC BA第14题M FE D CBA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.顺次连接矩形四边的中点所得的四边形是_______________.12.如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在AD 边上的F 点处，AE ︰EB =2︰3,若FC =6，则矩形的宽AB =__________.13.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =6，BD =8，E 为AB 的中点，△OBE 的周长=_________.14.如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、CD 上的点，△BEF 是等边三角形，连接BD 交EF 于点M ，下列结论：①AE =CF ；②∠ABE =15°，③AE =EM ；④EM =FM ；⑤图中共有5个等腰直角三角形.其中正确的结论有______________________（填序号）. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知：如图，在□ABCD 中，E 为AB 上一点，DE 同时平分∠AEC 和∠ADF . 求证：（1）△DEC 是等腰三角形；（2）CF =BE .FDCBA16.如图，四边形ABCD 中，∠A =60°，∠B =∠D =90°，AB =2，CD =1，求四边形ABCD 的面积.60°D CBA四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，F 为BC 的中点，延长AB 至E ，使AB =2BE ，连接EF 、OE . 求证：OE 与BF 互相平分.OD CF EBA18. 如图，在□ABCD 中，∠A =60°，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AB =2AD ,试问：BD 与EF 有怎样的数量关系？请证明你的结论.FEDCBA五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 与斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ，已知∠BAC =30°，EF ⊥AB 于点F ，连接DF .求证：四边形ADFE 是平行四边形.F EDCBA20.已知：如图，BD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别在BC 、AB 上，DE ∥AB ,EF ∥AC ，∠ABC =60°，BD =6，求四边形ADEF 的面积.FD CBA六、（本题满分12分）21.如图，矩形ABCD 中，将△ADF 沿AF 翻折，使点D 落在AC 上的G 点，将△CBE 沿CE 翻折，使点B 落在AC 上的H 点，BC =3，若四边形AECF 是菱形，求这个菱形的面积.H GFEDCB A七、（本题满分12分）22.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，先把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，得到Rt △CDE 再把△ABC 沿射线AC 平移，得到Rt △DFG ，连接BF ， (1)求证：四边形BCDF 是正方形. (2)判断DE 与FG 的关系，并说明理由.GE DC B A八、（本题满分14分）23. 菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF .（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若EF ⊥AB 于点G ，tan ∠GBO =12,求FC ︰CB 的值. G FE DCBA O参考答案1.B2.D3.A4.B5.A6.C7.D8.C9.A 10.B11.菱形 12. 13.9 14.①②④⑤15.证明：（1）∵AB ∥CD ,∴∠AED =∠CDE ，∵∠AED =∠FED ，∴∠FED =∠CDE ，∴CD =CE ，∴△DEC 是等腰三角形（2）由△ADE ≌△FDE (ASA )得AE =FE ，∵AB =CD =CE ，∴BE =CF16.分别延长BC 、AD 交于点E ，则BE =DE S四边形ABCD =S △ABE －S △CDE=112122⨯⨯⨯=17.证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO =CO ，∵F 为BC 中点，∴OF ∥AB ，AB =2OF ，∵AB =2BE ，∴OF =BE ,OF ∥BE ，∴四边形BEFO 为平行四边形，∴OE 与BF 互相平分18. BD ，证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 中点，∴四边形EBCF 为平行四边形，∴EF =BC ，∵AB =2AD ，∴DC =2BC ，∴FC =BC ，∵∠A =∠C =60°，∴△FCB 为等边三角形，∴DF =BF =CF，∴∠DBC =90°，∴tan ∠C =DBBC=,∴DB 19.∵△ABE 为等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB =2AF ，∵Rt △ABC 中，∠BAC =30°，∴AB =2BC ，∴AF =BC ，∴Rt △ABC ≌Rt △EAF (HL )，∴EF =AC ，∵AC =AD ，∴EF =AD ，∵∠DAC =60°，∴∠DAF =∠EF A =90°，∴EF ∥AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形20.∵DE ∥AB ,EF ∥AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∠ABD =∠BDE ,∵∠ABD =∠EBD ，∴∠BDE =∠EBD ，∴BE =DE ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，∵∠ABC =60°，∴DG =BDsin 30°=3，ED =cos30HD=︒，∴S四边形ADEF =DE ×DG =3×21. ∵四边形ABCD 为矩形，∴BC =AD =3，∠DAB =90°，由翻折可得∠DAF =∠GAF ，又∵四边形AECF 上菱形，∴∠GAF =∠HAE ，∴∠DAF =30°，∴AF =cos30ADAE ==︒，∴菱形AECF 的面积=AE ×BC =3=22.（1）由平移得BC =FD ，BC ∥FD ，∴四边形BCDF 是平行四边形，由旋转得∠BCD =90°，∴四边形BCDF 是矩形，又BC =DC ，∴四边形BCDF 是正方形；（2）ED =FG ，ED ⊥FG ,理由：由旋转、平移得AB=ED，AB=FG，∴ED=FG,由旋转得∠ABC=∠EDC，由平移得∠BAC=∠FGD，∵∠BAC+∠ABC=90°,∴∠EDC+∠FGD=90°，∴ED⊥FG 23. (1)由△AEO≌△CFO(AAS)得OE=OF，又OB=OD∴四边形BFDE是平行四边形；（2）设OG=x，∵EF⊥AB，tan∠GBO=12，∴BG=2x，又AC⊥BD，∴△AOG∽△OBG，∴AG=12x，又△AEG∽△BFG，∴EA︰FB=AG︰BG=12x︰x=1︰4，又EA=FC，∴FC︰CB=1︰3。

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图第4题图第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°，在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图第8题图第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ，又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ，又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图第31题图第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求，作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图第6题图第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图第10题图第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图第13题图第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2，又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ，又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ，由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9，解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系；解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。

中考数学复习专项检测：《四边形》基础测试

\（一）选择题（每小题3分，共30分）1．内角和与外角和相等的多边形是……………………………………………………（）（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形【答案】B．2．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是…………………………………（）（A）菱形（B）矩形（C）梯形（D）两条对角线相等的四边形【答案】A．3．观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有…………………………………（）2019-2020年中考数学复习专项检测：《四边形》基础测试【提示】第一个图形不是中心对称图形．【答案】D．4．已知下列四个命题：（1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（2）对角线垂直相等的四边形是菱形；（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（4）四边都相等的四边形是正方形．其中真命题的个数是………………（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）0【提示】（3）正确．【答案】A．5．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于………………………………（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°【答案】C．6．下列命题中的真命题是………………………………………………………………（）（A）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（B）有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形（C）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C．7．如图，DE是△ABC的中位线，若AD＝4，AE＝5，BC＝12，则△ADE的周长是………………………………………………（）（A）7.5 （B）30 （C）15 （D）24【答案】C．8．矩形的边长为10 cm和15 cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为………………………………………………………………………………………（）（A）6 cm和9 cm （B）5 cm和10 cm（C）4 cm和11 cm （D）7 cm和8 cm【提示】长边被分成的两部分之中，有一部分与矩形短边相等．【答案】B．9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有……………………………………………………………………………………（）（A）1对（B）3对（C）2对（D）4对【提示】以AB和CD为对应边的两个三角形．【答案】B．10．菱形周长为20 cm，它的一条对角线长6 cm，则菱形的面积为…………………（）（A）6 （B）12 （C）18 （D）24【提示】若菱形两对角线为a和b，则S菱形＝．【答案】D．（二）填空题（每小题3分，共24分）11．如图，在□ABCD中，则对角线AC、BD相交于O，图中全等的三角形共有____对．【提示】考察以AB、CD为对应边的三角形，有3对全等三角形；抹去AB、CD两边，又有1对全等三角形．【答案】4．12．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形．【提示】360°÷每个外角的度数．【答案】5．13．梯形的上底边长为5，下底边长为9，中位线把梯形分成上、下两部分，则这两部分的面积的比为_______．【提示】先算出中位线的长，然后用梯形面积公式计算．【答案】．14．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，AE＝AD＝2 cm，则这个梯形的中位线长为_____cm．【提示】BC＝6 cm．【答案】4．15．请画出把下列矩形的面积二等分的直线，并填空（一个矩形只画一条直线，不写画法）．在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有_____条，这些直线都必须经过此矩形的_____点．【答案】无数；对称中心（或两条对角线的交点）．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G、H．若AD＝6，BC＝10，则GH的长是______．【答案】2．17．如图，矩形ABCD中，O是两对角线的交点AE⊥BD，垂足为E．若OD＝2 OE，AE＝，则DE的长为______．【提示】OA＝OD＝2 OE，用勾股定理求出OE和OA的长．【答案】3．18．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，□ABCD 的周长为40，则S□ABCD为______．【提示】在□ABCD中，AE·BC＝AF·CD＝S□ABCD，BC＋CD＝20，求BC或CD．【答案】48．（三）证明题（每小题5分，共20分）19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P是AD中点．求证：BP＝PC．【提示】证明△ABP≌△DCP．【答案】在梯形ABCD中，AD∥BC，∵AB＝DC，∴∠A＝∠D．∵P是AD中点，∴AP＝DP．在△ABP和△DCP中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=．，，DPAPDADCAB∴△ABP≌△DCP．∴PB＝PC．20．已知：如图，AD∥BC，ED∥BF，且AF＝CE．求证：四边形ABCD是平行四边形．【提示】证明△ADE≌△CBF，得到AD＝BC即可．【答案】在△ADE和△CBF中，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF．∵ED∥BF，∴∠DEF＝∠BFE．∴∠DEA＝∠BFC．∵AF＝CE，∴AE＝CF．∴△ADE≌△CBF．∴AD＝BC．又AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．21．已知：如图，矩形ABCD中，E、F是AB上的两点，且AF＝BE．求证：∠ADE＝∠BCF．【提示】证明Rt△ADE≌Rt△BCF．【答案】在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．又AF＝BE，∴AF－EF＝BE－EF，即AE＝BF．∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠ADE＝∠BCF．22．证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（要求：画出图形，写出已知、求证、证明．）【提示】作辅助线，构造等腰三角形．【答案】已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C（图（1））．求证：AB＝DC．【证法一】如图（1），过点D作DE∥AB，交BC于E．图（1）∴∠B＝∠1．又∠B＝∠C，∴∠C＝1．∴DE＝DC．又AB∥DE，AD∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，∴AB＝DE．∴AB＝DC．【证法二】如图（2），分别延长BA、CD，交于点E．图（2）∵∠B＝∠C，∴BE＝CE．∵AD∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．∴∠1＝∠2．∴AE＝DE．∴BE－AE＝CE－DE，即AB＝DC．（四）计算题（每小题6分，共12分）23．已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积．【提示】证明BE⊥EC和E为AD中点．【答案】在□ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°．∵∠ABE＝∠EBC，∠BCE＝∠ECD，∴∠EBC＋∠BCE＝（∠ABC＋∠BCD）＝90°．∴∠BEC＝90°．∴BC2＝BE2＋CE2＝122＋52＝132．∴BC＝13．∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC．∴∠AEB＝∠ABE．∴AB＝AE．同理CD＝ED．∵AB＝CD，∴AB＝AE＝CD＝ED＝BC＝6.5．∴□ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2（6．5＋13）＝39．S□ABCD＝2 S△BCE＝2·BE·EC＝12×5＝60．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，BD⊥DC于D，且∠C＝60°，若AD＝5 cm，求梯形的腰长．【提示】求出∠CBD，∠ABD和∠ADC的度数，证明AB＝AD，或者过D点作DE⊥BC于E，CE为下底与上底的差的一半，又是CD的一半，CD又是BC的一半．从中找出CD与AD的关系．【解法一】∵BD⊥CD，∠C＝60°，∴∠CBD＝30°．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ABD＝∠ADB．∴AB＝AD＝5（cm）．【解法二】过D点作DE⊥BC，垂足为E点．∵在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CE＝CD．又CE＝（BC－AD），∴CD＝BC－AD．即BC＝CD＋AD．又在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝BC．∴CD＝2 CD－AD．即CD＝AD＝5（cm）．（五）解答题（每小题7分，共14分）25．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB 长相等，问在E、F移动过程中：（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．【提示】证明△EAH≌△EAB，△FAH≌△FAD．【答案】（1）∠EAF始终等于45°．证明如下：在△EAH和△EAB中，∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°＝∠B．又AH＝AB，AE＝AE，∴Rt△EAH≌Rt△EAB．∴∠EAH＝∠EAB．同理∠HAF＝∠DAF．∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝∠EAB＋∠FAD＝∠BAD＝45°．因此，当EF在移动过程中，∠EAF始终为45°角．（2）△ECF的周长不变．证明如下：∵△EAH≌△EAB，∴EH＝EB．同理FH＝FD．∴△ECF周长＝EC＋CF＋EH＋HF＝EC＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝定长．26．已知：如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．【提示】连结AC和CD，首先利用中位线定理和平行四边形判定定理，证明四边形PQMN为平行四边形，然后证明△AEC≌△DEB，得到AC＝BD，再证明□PQMN为菱形．【答案】四边形PQMN为菱形．证明如下：如图，连结AC、BD．∵PQ为△ABC的中位线，∴PQ AC．同理MNAC．∴MNPQ，∴四边形PQMN为平行四边形．在△AEC和△DEB中，AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，即∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．∴PQ＝AC＝BD＝PN．∴□PQMN为菱形．/35559 8AE7 諧L34666 876A 蝪 5r26267 669B 暛35281 89D1 觑39662 9AEE 髮26182 6646 晆m33495 82D7 苗23588 5C24 尤P。

2015年中考真题《平行四边形及特殊平行四边形》试题及答案

2015年中考真题《平⾏四边形及特殊平⾏四边形》试题及答案2015年中考真题《平⾏四边形及特殊平⾏四边形》试题 2015.12.25⼀、选择题1. （2015四川省绵阳市，7，3分）如图，在四边形ABCD 中，对⾓线AC 、BD 相交于点E ，∠CBD ＝90°，BC＝4，BE ＝ED ＝3，AC ＝10，则四边形ABCD 的⾯积为（）A ．6B ．12C ．20D ．24（7题图）EB ACD2. （2015浙江省衢州市，4，3分）在ABCD 中，已知AD =12cm ，AB =8cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则CE 的长为（）BA 、8cmB 、6cmC 、4cmD 、2cm3. （2015浙江宁波，7，4分）如图，□ABCD 中，E ，F 是对⾓线BD 上的两点，如果添加⼀个条件，使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能为( )A. BE = DFB. BF = DEC. AE= CF D.∠1= ∠24. （2015江西省，第5题，3分）如图，⼩贤为了体验四边形的不稳定性，将四根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个矩形框动框架，观察所架ABCD ，B 与D 两点之间⽤⼀根橡⽪筋．．．拉直固定，然后向右扭得四边形的变化．下⾯判断错误．．的是( ) A ．四边形ABCD 由矩形变为平⾏四边形B ．BD 的长度增⼤C ．四边形ABCD 的⾯积不变D ．四边形ABCD 的周长不变5. （2015四川省⾃贡市，10，4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D ，则B ′D 的最⼩值是（）A．2B ．6 C．2 D ．46. （2015⼭东省青岛市，7，3分）如图，菱形ABCD 的对⾓线AC 、BD 相交于O 点，E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点，连接EF .若，BD=4，则菱形ABCD 的周长为（）A.4B.C. D.287. （2015四川省遂宁市，6，4分）在正⽅形、矩形、菱形、平⾏四边形、等腰梯形中，其中中⼼对称图形的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．58. （2015四川省泸州市）菱形具有⽽平⾏四边形不具有的性质是A.两组对边分别平⾏B.两组对⾓分别相等C.对⾓线互相平分D. 对⾓线互相垂直9. （2015湖南省益阳市，5，5分）如图2，在矩形ABCD 中，对⾓线AC 、BD 交于点O ，以下说法错误．．的是 A ．90ABC ∠=? B ．AC BD =C ．OA OB =D ．OA AD = 10.（2015浙江省湖州市，3，分）如图，AC 是矩形ABCD 的对⾓线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将矩形ABD 按如图所⽰的⽅式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，连结OG 、DG ，若OG ⊥DG ，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成⽴的是( )．A ．CD ＋DF ＝4B ．CD －DF ＝－3 C ．BC ＋AB ＝＋4 D ．BC －AB ＝211. (2015浙江台州，9，4分)如图，在菱形ABCD 中，AB=8，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE=AF ，过点E 作EG ∥AD 交CD 于电G ，过点F 作FH ∥AB 交BC 于电H ，EG 与FH 交于点O ．当四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE 的值为（）A ．6.5B ．6C ．5.5D ．5DG C F O HA EB 第9题图 A BC DE F B'12. （2015浙江省台州市，9，4）如图，在菱形ABCD 中，AB =8，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =AF ，过点E 作EG //AD 交CD 于点G ，过点F 作FH //AB 交BC 于点H ，EG 与FH 交于点O ．当四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE 的值为（）A ．6.5B ．6C ．5.5D ．5O F H E G DCBA13.（2015安徽，8，3分）在四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C ,点E 在边AB 上，∠AED=60°则⼀定有A.∠ADE =20°B.∠ADE =30°C.∠ADE = 12∠ADCD.∠ADE = 13∠ADC 14. （2015安徽，9，3分）如图，矩形ABCD 中，AB = 8,BC =4，点E 在AB 上,点F 在CD 上,点G 、H 在对⾓线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是A.B. C.5D.615. （2015⼭东临沂，12，3分）如图，四边形ABCD 为平⾏四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB 。

四边形基础训练

四边形一、选择题1、用同一种正多边形密铺地面，下列正多边形不能密铺的是（）（A ）正三角形（B ）正方形（C ）正五边形（D ）正六边形 2、下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）3、如图（一）是五个正三角形组成的图形，图中有（）个等腰梯形。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （一） 4、下列说法正确的是（）（A ）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平等四边形（B ）对角线互相垂直的四边形是菱形（C ）对角线相等的四边形是矩形（D ）有三个角是直角的四边形是矩形5、将一个四边形绕着某点旋转90°，能与原图形重合，这个四边形是（）（A ）平行四边形（B ）菱形（C ）正六边形（D ）正方形6、用两个全等的三角形纸片拼成平行四边形，如果三角形的三边互不相等，你能拼出（）种不同的平行四边形。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47、用折纸、剪切的方法得到一个菱形，最少要剪（）刀（设一条线段剪一刀）。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 8、等腰梯形的两底的差等于腰长，则其腰与下底的夹角是（）度。

（A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）75 9、如图（二），平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，则图中相等的线段有（）对。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （二）10、如图（三）是一个中心对称图形（点O 是其对称中心），但它的一部分被纸片遮住，你认为遮住的部分可由（）平移而来。

（三）二、填空题1、平行四边形ABCD 中，AB=24，∠B=45°，BC=10，则平行四边形ABCD 的面积是。

O2、如果一个多边形的每个外角都等于相邻的内角的51，则这个多边形的边数是。

3、如果两个多边形的边数相差2，则其内角和相差，外角和相差。

4、若菱形的对角线长分别是6cm 、8cm ，则其周长是 cm ，面积是 cm 2。

四边形基础测试题及答案

四边形基础测试题及答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-，解得：32x =； ∴32BE =．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．2．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC .若4AB =,6AC =，则BD 的长为（）A ．11B ．10C ．9D ．8 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理先求出BO 的长，再根据平行四边形的性质即可求解.【详解】∵6AC =，∴AO=3，∵AB ⊥AC ，∴BO=2234+=5∴BD=2BO=10，故选B.【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A 5B 6C 7D ．22【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =，∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得()22223BE BE +=，解得2BE =，∴36BC BE ==.故选B.【点睛】此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠DEC=∠ECB ，∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC ，∵AD=2AB ，∴AD=2CD ，∴AE=DE=AB ．∵8AD BC ==，2=AD AB∴AB=4，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．5．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为31故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．正九边形的内角和比外角和多（）A ．720︒B ．900︒C ．1080︒D ．1260︒【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式求出正九边形的内角和，减去外角和360°即可.【详解】∵正九边形的内角和是(92)1801260-⨯=o o，∴1260360-=o o 900︒，故选：B.【点睛】此题考查多边形的内角和公式、外角和，熟记公式是解题的关键.7．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP=x ，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P 在BO 上和P 在OD 上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC 与BD 交于O 点，当P 在BO 上时，∵EF ∥AC ， ∴EF BP AC BO =即43y x =， ∴43y x =；当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483x -+．故选C ．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（）A 29B 34C ．2D 41【答案】D【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE 22AB AE +2254+41PA +PB 的41．故选D ．9．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，求证：12BC AB =．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A ．延长BC 至点D ，使CD BC =，连接ADB ．在ACB ∠中作BCE B ∠=∠，CE 交AB 于点EC ．取AB 的中点P ，连接CPD ．作ACB ∠的平分线CM ，交AB 于点M【答案】D【解析】【分析】分别根据各选项的要求进行证明，推出正确结论，则问题可解.【详解】解：选项A ：如图，由辅助线可知，ABC ADC ≅V ;，则有AB=AD ，再由90ACB ∠=︒，由30BAC ∠=︒，则60B ∠=︒，∴ABD △是等边三角形∴1122BC DB AB ==故选项A 正确；选项B:如图，由辅助线可知，EBD △是等边三角形则60BEC EAC ECA ∠=∠+∠=︒,BE=EC∵30A ∠=︒∴30ECA A ∠=∠=︒∴AE=EC ∴12BC AB =故选项B 正确选项C 如图，有辅助线可知，CP 为直角三角形斜边上的中线∴AP=CP=BP∵30A ∠=︒∴60B ∠=︒∴PBC V 是等边三角形∴12BC BP AB ==综上可知选项D 错误故应选D【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择正确的证明方法是解题的关键．10．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cm C ．125cm D ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC ++=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．11．下列命题中是真命题的是（）A ．多边形的内角和为180°B ．矩形的对角线平分每一组对角C ．全等三角形的对应边相等D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A 进行判定；根据矩形的性质可对B 进行判定；根据全等三角形的性质可对C 进行判定；根据平行线的性质可对D 进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图，在平行四边形ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60B ∠=o ，AB=3，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．2【答案】C【解析】【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=6，AD=6，再根据△ADE 是等边三角形，即可得到△ADE 的周长为6×3=18．【详解】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（）A ．2B ．169C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．14．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ，∴12DH DFHB AB==，12BG BEDG AD==，∴13DH BGBD BD==，∴BG=GH=DH，∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，∴S△AGH：ABCDS平行四边形=1：6，∵E、F分别是边BC、CD的中点,∴12EFBD=,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．15．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB ，∵AB ，∴AE=AD ，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE=DH ，∴AB=BE=AH=HD ，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°， ∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED ，故①正确； ∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB （对顶角相等）， ∴∠OHE=∠AED ，∴OE=OH ，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH ，∴OH=OD ，∴OE=OD=OH ，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD ，又BE=DH ，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH=HF ，HE=DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE 、DF=EH=CE ，CF=CD-DF ，∴BC-CF=（CD+HE ）-（CD-HE ）=2HE ，所以④正确；∵AB=AH ，∠BAE=45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB≠HF ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C ．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质16．已知ABCD Y (AB BC )，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．17．如图，在□ABCD 中，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．下列结论中：①DE ＝DF ；②AG ＝GF ；③AF ＝DF ；④BG ＝GC ；⑤BF ＝EF ，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS 证明△ABF ≌△DEF ，得出对应边相等AF=DF ，BF=EF ，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，即AB ∥CE ，∴∠ABF=∠E ，∵DE=CD ，∴AB=DE ，在△ABF 和△DEF 中，∵===ABF E AFB DFE AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ），∴AF=DF ，BF=EF ；可得③⑤正确，故选：B ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．19．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB ==，故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．20．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.。

中考数学总复习《四边形》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《四边形》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、解答题：1.如图，在▱ABCD中AB=5,AD=3√ 2,∠A=45°．(1)求出对角线BD的长；(2)尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕.(不写作法，保留作图痕迹)2.如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧AE=BD,BE=CD．(1)求证：△ABE≌△BCD；(2)连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形．3.如图，在矩形ABCD中BE⊥AC,DF⊥AC垂足分别为E、F.求证：AF=CE．4.如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；(2)若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．5.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF=CE．6.如图A、D、B、F在一条直线上，DE//CB，BC=DE，AD=BF．(1)求证：△ABC≌△FDE；(2)连接AE、CF，求证四边形AEFC为平行四边形．7.如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．8.操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.连结AN，易知△ABN的形状是______．论证：如图3，若延长MN交BC于点P，试判定△BMP的形状，请说明理由．9.如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF，CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；(2)若□AMCN的面积为4，求□ABCD的面积．10.如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=√ 2AB，小天用该A4纸玩折纸游戏．游戏1折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G.展开后得到图①，发现点F恰为BC 的中点．游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H 处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．11.如图，在□ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．12.如图，在▱ABCD中BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．(1)求证：BE//DG，BE=DG；(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积．13.如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．(1)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形?请说明理由．14.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m(如图)．(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？15.如图，矩形ABCD中AB=4，AD=3点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM=AB；(2)当AE=3√ 2时，求CF的长；(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．16.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．(1)求证：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．17.在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形______“等形点”(填“存在”或“不存在”)；(2)如图在四边形ABCD中边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.已知CD=4√ 2OA=5BC=12连接AC求AC的长；(3)在四边形EFGH中EH//FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”求OF的值．OG18.如图1矩形ABCD中AB=5AD=3将△ABC绕点A旋转到△AB′C′位置设AC′交直线CD于点M．(1)当点B′恰好落在DC边上时求△AB′C′与矩形ABCD重叠部分的面积；(2)如图2当点C B′C′恰好在一直线上时求DM的长度．19.操作：第一步：如图1对折长方形纸片ABCD使AD与BC重合得到折痕EF把纸片展开．第二步：如图2再一次折叠纸片使点A落在EF上的N处并使折痕经过点B得到折痕BM同时得到线段BN.连接AN(1)易知△ABN的形状是______．(2)论证：如图3若延长MN交BC于点P试判定△BMP的形状请说明理由．答案和解析1.【答案】解：(1)如图所示连接BD过D作DH⊥AB于H∵∠A=45°∠AHD=90°∴∠ADH=45°=∠A∴△ADH是等腰直角三角形又∵AD=3√ 2∴AH=DH=3∴BH=AB−AH=5−3=2∴Rt△BDH中BD=√ 32+22=√ 13；(2)如图所示AG即为所求．【解析】(1)连接BD过D作DH⊥AB于H依据等腰直角三角形以及勾股定理即可得到BD的长；(2)以A为圆心AB的长为半径画弧交CD于E；分别以B E为圆心适当的长为半径画弧两弧交于点F；作射线AF交BC于G则AG即为折痕．本题主要考查了平行四边形的性质以及轴对称变换掌握平行四边形的性质以及轴对称的性质是解决问题的关键．2.【答案】证明：(1)∵B是AC的中点∴AB=BC在△ABE与△BCD中{AE=BD BE=CD AB=BC,∴△ABE≌△BCD(SSS)；(2)∵△ABE≌△BCD∴∠ABE=∠BCD∴BE//CD∵BE=CD∴四边形BCDE为平行四边形．【解析】(1)根据线段中点的定义得到AB=BC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠BCD根据平行线的判定定理得到BE//CD根据平行四边形的判定定理即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质平行四边形的判定熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD AB//CD∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC DF⊥AC∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中{∠AEB=∠CFD ∠BAE=∠DCF AB=CD∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF∴AE+EF=CF+EF即AF=CE．【解析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF可得AE=CF即可解决问题．本题考查了全等三角形的判定与性质熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．4.【答案】解：(1)∵点E F G H分别是平行四边形ABCD各边的中点∴AH//CF AH=CF∴四边形AFCH是平行四边形∴AM//CN同理可得四边形AECG是平行四边形∴AN//CM∴四边形AMCN是平行四边形；(2)如图所示连接AC∵H G分别是AD CD的中点∴点N是△ACD的重心∴CN=2HN∴S△ACN=23S△ACH又∵CH是△ACD的中线∴S△ACN=13S△ACD又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线∴S平行四边形AMCN =13S平行四边形ABCD又∵▱AMCN的面积为4∴▱ABCD的面积为12．【解析】(1)依据四边形AFCH是平行四边形可得AM//CN依据四边形AECG是平行四边形可得AN//CM进而得出四边形AMCN是平行四边形；(2)连接AC依据三角形重心的性质即可得到S△ACN=23S△ACH再根据CH是△ACD的中线即可得出S△ACN=13S△ACD进而得到S平行四边形AMCN=13S平行四边形ABCD依据▱AMCN的面积为4即可得出结论．本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形重心性质的运用解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．5.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD AB=CD∵点E F分别是边AB CD的中点∴AE=CF又∵AE//CF∴四边形AECF是平行四边形∴AF=CE．【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质灵活运用平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的性质可得AB//CD AB=CD由中点的定义可得AE=CF即可证四边形AECF是平行四边形进而可证明AF=CE．6.【答案】证明：(1)∵AD=BF∴AD+DB=DB+BF∴AB=FD∵DE//CB∴∠ABC=∠FDE∵BC=DE∴△ABC≌△FDE(SAS)(2)如图：由(1)知△ABC≌△FDE∴∠CAB=∠EFD AC=EF∴AC//EF∴四边形ABCD为平行四边形．【解析】(1)由SAS可证△ABC≌△FDE；(2)结合(1)用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．7.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD AB//CD∴∠ABD=∠CDB在△ABE和△CDF中{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知△ABE≌△CDF∴AE=CF∠AEB=∠CFD∴∠AEF=∠CFE∴AE//CF∵AE=CF AE//CF∴四边形AECF是平行四边形．【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质全等三角形的判定和性质掌握平行四边形的对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD AB//CD根据平行线的性质得到∠ABD=∠CDB利用SAS 证明△ABE≌△CDF；(2)根据全等三角形的性质得到AE=CF∠AEB=∠CFD推出∠AEF=∠CFE根据平行线的判定定理证明AE//CF再根据平行四边形的判定定理证明结论．8.【答案】解：操作：如图2∵直线EF是AB的垂直平分线∴NA=NB由折叠可知BN=AB∠NBM=∠ABM∠BAM=∠BNM=90°∴AB=BN=AN∴△ABN是等边三角形故答案为：等边三角形；论证：△BMP是等边三角形理由如下：如图3∵△ABN是等边三角形∴∠ABN=60°∴∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°∵∠NBP=∠ABP−∠ABN=30°∠BNP=90°∴∠BPM=∠MBP=60°∴△BMP是等边三角形．【解析】本题考查了翻折变换等边三角形的性质矩形的性质直角三角形的性质灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．操作：由折叠的性质可得NA=NB=AB可得△ABN是等边三角形；论证：由直角三角形的性质可求∠BPM=∠MBP=60°可得△BMP是等边三角形．9.【答案】(1)证明：∵点E F G H分别是平行四边形ABCD各边的中点∴AH//CF AH=CF ∴四边形AFCH是平行四边形∴AM//CN同理可得四边形AECG是平行四边形∴AN//CM∴四边形AMCN是平行四边形；(2)解：如图所示连接AC∵H G分别是AD CD的中点∴点N是△ACD的重心∴CN=2HN∴S△ACN=23S△ACH又∵CH是△ACD的中线∴S△ACN=13S△ACD又∵AC是□AMCN和□ABCD的对角线∴S▫AMCN=13S▫ABCD又∵□AMCN的面积为4∴□ABCD的面积为12．10.【答案】(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD∴∠AGB=90°∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=90°∴∠BAG=∠ADB=∠GBF∵AD=√ 2AB设AB=a则AD=√ 2a BD=√ 3a∴sin∠BAG=sin∠ADB即BGAB =ABBD∴BGa=√ 3a解得BG=√ 33a根据勾股定理可得AG=√ 63acos∠GBF=cos∠BAG即BGBF =AGAB∴√ 33aBF=√ 63aa．解得BF=√ 22a∵BC=AD=√ 2a∴BF=12BC∴点F为BC的中点．(2)解：∠AGH=120°理由如下：连接HF如图：由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH BF=HF∴∠FBH=∠FHB∴∠GBH=∠BHF∴BD//HF∴∠DGH=∠GHF 由(1)知AF⊥BD可得AF⊥HF∴∠AGD=90°设AB=a则AD=√ 2a=BC BF=HF=√ 22a∴BG=√ 3 3a∴GF=√ 6 6a在Rt△GFH中tan∠GHF=GFHF=√ 66a√ 22a=√ 33∴∠GHF=30°∵BD//HF∴∠DGH=30°∴∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°．【解析】(1)由折叠的性质可得AF⊥BD根据题意可得∠BAG=∠ADB=∠GBF再设AB=a然后表示出AD BD再由锐角三角函数求出BF即可；(2)由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH BF=HF从而可得出∠GBH=∠BHF进而得到BD//HF∠DGH=∠GHF由(1)知AF⊥BD可得AF⊥HF在Rt△GFH中求出∠GHF的正切值即可解答．本题考查矩形的性质折叠的性质勾股定理锐角三角函数熟练掌握以上知识是解题关键．11.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD AB//CD∴∠ABD=∠CDB在△ABE和△CDF中{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知△ABE≌△CDF∴AE=CF∠AEB=∠CFD∴∠AEF=∠CFE∴AE//CF∵AE=CF AE//CF∴四边形AECF是平行四边形．【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质全等三角形的判定和性质掌握平行四边形的对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD AB//CD根据平行线的性质得到∠ABD=∠CDB利用SAS 证明△ABE≌△CDF；(2)根据全等三角形的性质得到AE=CF∠AEB=∠CFD推出∠AEF=∠CFE根据平行线的判定定理证明AE//CF再根据平行四边形的判定定理证明结论．12.【答案】(1)证明：在▱ABCD中AD//BC∠ABC=∠ADC∴∠DAC=∠BCA AD=BC∵BE DG分别平分∠ABC∠ADC∴∠ADG=∠CBE∵∠DGE=∠DAC+∠ADG∠BEG=∠BCA+∠CBE∴∠DGE=∠BEG∴BE//DG；在△ADG和△CBE中{∠DAG=∠BCE AD=CB∠ADG=∠CBE,∴△ADG≌△CBE(ASA)∴BE=DG；(2)解：过E点作EH⊥BC于H∵BE平分∠ABC EF⊥AB∴EH=EF=6∵▱ABCD的周长为56∴AB+BC=28∴S△ABC=12AB⋅EF+12BC⋅EH=12EF(AB+BC)=12×6×28=84．【解析】本题主要考查平行四边形的性质角平分线的定义与性质三角形的面积全等三角形的判定与性质掌握平行四边形的性质是解题的关键．(1)根据平行四边形的性质可得∠DAC=∠BCA AD=BC由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠DGE=∠BEG进而可证明BE//DG；利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE=DG；(2)过E点作EH⊥BC于H由角平分线的性质可求解EH=EF=6根据平行四边形的性质可求解AB+ BC=28再利用三角形的面积公式计算可求解．13.【答案】(1)AF=12BC．14.【答案】【小题1】解：根据题意知较大矩形的宽为2x m 长为24−x−2x3=(8−x )m∴(x +2x)(8−x)=36 解得x 1=2 x 2=6 又∵0<3x ≤10∴0<x ≤103∴x =2．答：此时x 的值为2；【小题2】设矩形养殖场的总面积是y m 2则y =(x +2x)(8−x)=−3(x −4)2+48 ∵−3<0 对称轴为x =4 ∴当x <4时 y 随x 的增大而增大∵0<x ≤103∴当x =103时 y 取最大值最大值为−3×(103−4)2+48=1403．答：当x =103时矩形养殖场的总面积最大最大值为1403m 2．15.【答案】(1)证明：如图1中作FM ⊥AC 垂足为M∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =90° ∵FM ⊥AC∴∠B=∠AMF=90°由旋转可得∠BAC=∠EAF∴∠BAE=∠MAF 在△ABE和△AMF中{∠B=∠AMF ∠BAE=∠MAF AE=AF∴△ABE≌△AMF∴AB=AM；(2)解：当点E在BC上在Rt△ABE中AB=4AE=3√ 2∴BE=√ AE2−AB2=√ (3√ 2)2−42=√ 2∵△ABE≌△AMF∴AB=AM=4FM=BE=√ 2在Rt△ABC中AB=4BC=3∴AC=√ AB2+BC2=√ 42+32=5∴CM=AC−AM=5−4=1∵∠CMF=90∘∴CF=√ CM2+FM2=√ 12+(√ 2)2=√ 3．当点E在CD上时作FH⊥AC于点H∵AE=AF=3√ 2AD=3由勾股定理易得DE=AD=AH=FH=3∵AC=5∴CH=5−3=2在Rt△CHF中CF=√ FH2+CH2=√ 32+22=√ 13．综上所述CF的值为√ 3或√ 13;(3)解：当点E在BC上时如图2中过点D作DH⊥FM于点H．∵△ABE≌△AMF∴AM=AB=4∵∠AMF=90°∴点F在射线FM上运动当点F与H重合时DF的值最小∵∠CMJ=∠ADC=90°∠MCJ=∠ACD∴△CMJ∽△CDA∴CMCD=MJAD=CJAC ∴14=MJ3=CJ5∴MJ=34CJ=54∴DJ=CD−CJ=4−54=114∵∠CMJ=∠DHJ=90°∠CJM=∠DJH ∴△CMJ∽△DHJ∴CMDH=CJDJ∴1DH=54114∴DH=11 5∴DF的最小值为115．当点E在线段CD上时如图3中将线段AD绕点A顺时针旋转旋转角为∠BAC得到线段AR连接FR过点D作DQ⊥AR于点Q DK⊥FR于点K．∵∠EAF=∠BAC∠DAR=∠BAC∴∠EAF=∠DAR∴∠DAE=∠RAF∵AE=AF AD=AR∴△ADE≌△ARF∴∠ADE=∠ARF=90°∴点F在直线RF上运动当点D与K重合时DF的值最小∵DQ⊥AR DK⊥RF∴∠R=∠DQR=∠DKR=90°∴四边形DKRQ是矩形∴DK=QR∴AQ=AD⋅cos∠BAC=3×45=125∵AR=AD=3∴DK=QR=AR−AQ=3 5∴DF的最小值为35∵35<115∴DF的最小值为35．【解析】本题属于四边形综合题考查了矩形的判定和性质旋转的性质全等三角形的判定和性质解直角三角形等知识解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题属于中考压轴题．(1)作FM⊥AC垂足为M证明△ABE≌△AMF可得结论；(2)分两种情况：当点E在BC上时利用勾股定理求出BE=√ 2利用全等三角形的性质推出AB=AM=4FM=BE=√ 2再利用勾股定理求出CF即可；当点E在CD上时作FH⊥AC于点H易得DE=AD=AH=FH=3在Rt△CHF中利用勾股定理求CF即可；(3)分两种情形：当点E在BC上时过点D作DH⊥FM于点H.证明点F在射线FM上运动当点F与H重合时DH的值最小求出DH即可；当点E在线段CD上时将线段AD绕点A顺时针旋转旋转角为∠BAC得到线段AR连接FR过点D作DQ⊥AR于点Q DK⊥FR于点K.证明△ADE≌△ARF推出∠ADE=∠ARF=90°推出点F在直线RF上运动当点D与K重合时DF的值最小可得结论．16.【答案】解：(1)证明：已知矩形ABCD沿对角线AC折叠则AD=BC=EC∠D=∠B=∠E=90°在△DAF和△ECF中{∠DFA=∠EFC ∠D=∠EDA=EC∴△DAF≌△ECF(AAS)；(2)∵△DAF≌△ECF∴∠DAF=∠ECF=40°∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°∵∠EAC=∠CAB∴∠CAB=25°．【解析】本题考查矩形的性质全等三角形的判定和性质翻折变换等知识解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题属于中考常考题型．(1)根据AAS证明三角形全等即可；(2)利用全等三角形的性质求解即可．17.【答案】解：(1)不存在；(2)作AH⊥BO于H∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”∴△OAB≌△OCD∴AB=CD=4√ 2OA=OC=5∵BC=12∴BO=7设OH=x则BH=7−x由勾股定理得(4√ 2)2−(7−x)2=52−x2解得x=3∴OH=3∴AH=4∴CH=8在Rt△CHA中AC=√ AH2+CH2=√ 42+82=4√ 5；(3)如图∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”∴△OEF≌△OGH∴∠EOF=∠HOG OE=OG∠OGH=∠OEF∵EH//FG∴∠HEO=∠EOF∠EHO=∠HOG∴∠HEO=∠EHO∴OE=OH∴OH=OG∴OE=OF∴OFOG=1．【解析】本题是新定义题主要考查了全等三角形的性质正方形的性质勾股定理平行线的性质等知识理解新定义并能熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．(1)根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD则∠OAB=∠C=90°而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；(2)作AH⊥BO于H由△OAB≌△OCD得AB=CD=4√ 2OA=OC=5设OH=x则BH= 7−x由勾股定理得(4√ 2)2−(7−x)2=52−x2求出x的值再利用勾股定理求出AC的长即可；(3)根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH则∠EOF=∠HOG OE=OG∠OGH=∠OEF再由平行线性质得OE=OH从而推出OE=OH=OG从而解决问题．18.【答案】解：(1)作C′H⊥DC于H如图：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′∴AB′=AB=5B′C′=BC=3∴DB′=√ AB′2−AD2=√ 52−32=4∵∠C′B′H=90°−∠DB′A=∠DAB′∠CHB′=90°=∠D∴△C′HB′∽△B′DA∴C′H DB′=B′C′AB′即C′H4=35∴C′H=125∴S△B′C′MS△AB′M=C′HAD=1253=45∵S△AB′C′=S△B′C′M+S△AB′M=12AB′⋅B′C′=152∴S△AB′M=59S△AB′C′=256；∴△AB′C′与矩形ABCD重叠部分的面积是256；(2)作CN⊥AC′如图：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′∴AB′=AB=5AC′=AC=√ AB2+BC2=√ 34∠AB′C′=∠B=90°=∠AB′C B′C′=BC=3∴CC′=2B′C′=6∵2S△ACC′=CC′⋅AB′=AC′⋅CN∴CN=CC′⋅AB′AC′=√ 34=√ 34∵∠CMN=∠AMD∠CNM=∠ADM=90°∴△CMN∽△AMD∴CNAD=CMAM∴CN 2AD2=CM2AM2即CN2⋅AM2=AD2⋅CM2设DM=x∴(√ 34)2×(x2+32)=32(x+5)2化简得：33x2−170x+25=0解得：x=5(舍去)或x=533答：DM的长度为533．【解析】(1)作C′H⊥DC于H证明△C′HB′∽△B′DA可得C′H4=35C′H=125即得S△B′C′MS△AB′M=C′HAD=125 3=45而S△AB′C′=12AB′⋅B′C′=152故S△AB′M=59S△AB′C′=256；(2)作CN⊥AC′由△ABC绕点A旋转到△AB′C′得AB′=AB=5AC′=AC=√ AB2+BC2=√ 34∠AB′C′=∠B=90°=∠AB′C B′C′=BC=3用面积法可得CN=CC′⋅AB′AC′=√ 34证明△CMN∽△AMD有CNAD =CMAM故C N2⋅AM2=AD2⋅CM2设DM=x故(√ 34)2×(x2+32)=32(x+5)2即可得DM的长度为533．本题考查矩形的性质涉及旋转变换相似三角形的判定与旋转解题的关键是掌握旋转的旋转能熟练应用相似三角形判定定理．19.【答案】(1)等边三角形；(2)△BMP是等边三角形理由如下：如图3∵直线EF是AB的垂直平分线∴NA=NB由折叠可知BN=AB∠NBM=∠ABM∠BAM=∠BNM=90°∴AB=BN=AN∠BNP=90°∴△ABN是等边三角形∴∠ABN=60°∴∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°∵∠NBP=∠ABP−∠ABN=30°∠BNP=90°∴∠BPM=∠MBP=60°∴△BMP是等边三角形．【解析】【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定，矩形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．(1)操作：由折叠的性质可得NA=NB=AB，可得△ABN是等边三角形；(2)论证：由直角三角形的性质可求∠BPM=∠MBP=60°，可得△BMP是等边三角形．【解答】解：(1)△ABN是等边三角形操作：如图2∵直线EF是AB的垂直平分线∴NA=NB由折叠可知：BN=AB∴AB=BN=AN∴△ABN是等边三角形故答案为：等边三角形；(2)论证见答案．。

中考数学一轮复习《四边形》综合复习练习题(含答案)

中考数学一轮复习《四边形》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形 2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A ．0αβ-=B ．0αβ-<C ．0αβ->D ．无法比较α与β的大小3．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°4．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A ．10B ．9C ．8D ．65．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的是（）A ．当ABCD 是矩形时，90BAC ∠=︒B ．当ABCD 是菱形时，AB BC ⊥ C ．当ABCD 是正方形时，AC BD = D ．当ABCD 是菱形时，AB AC =6．如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为（）A ．45︒B ．60︒C ．67.5︒D ．775︒.7．如图，要拧开一个边长为()=6mm a a 的正六边形，扳手张开的开口b 至少为（）A ．43mmB ．63mmC ． 42mmD ． 12mm8．如图，菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，若点G 恰好为CD 边的中点，则AE 的长为（）A ．34B ．214C 3154D ．39．以下说法不正确的是（）A ．平行四边形是抽对称图形B ．矩形对角线相等C ．正方形对角线互相垂直平分D ．菱形四条边相等10．陈师傅应客户要求加工4个长为4cm 、宽为3cm 的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（）A．B．C．D．11．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则AOC∠等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数kyx=（k≠0，x＞0）的图像上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（）A．53B．3-C．3D．53-二、填空题13．如果一个多边形的每一个外角都是60︒，那么这个多边形的边数是_______．14．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且2AE DE=，BD与CE相交于点F，若DEF 的面积是3，则BCF △的面积是______．15．如果正多边形的一个外角是45︒，则这个正多边形的内角和是________︒．16．巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____．17．如图，四边形ABCD 是菱形，42BD =，26AD =，点E 是CD 边上的一动点，过点E 作EF ⊥OC 于点F ，EG ⊥OD 于点G ，连接FG ，则FG 的最小值为_________．18．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于点E ，若4AB =，8BC =，则DE 的长为______．19．已知ABC 中，65A ∠=︒，将B C ∠∠、按照如图所示折叠，若35ADB '∠=︒，则123∠+∠+∠=_____︒．CE ，F 20．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，5为DE的中点．若CEF△的周长为18，则OF的长为______．三、解答题21．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．(1)将表格补充完整．正多边形的边数 3 4 5 6α的度数(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为．(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝．22．如图，在ABCD中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若∠B=60°，BC=8，求ABCD的面积．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．24．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．25．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE = DE.求证：△ABE≌△DCE26．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE＋CG的值为．27．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【现察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为______．(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值______．【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE 的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB=CF•AD．28．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN＝32DM，连接DN．(1)如图1，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM．(2)如图2，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．参考答案1．A2．A3．A4．D5．C6．C7．B8．B9．A10．C11．A12．B13．614．2715．108016．381718．319．265︒20．7221．（1）正多边形每个内角的度数为180(2)n n -． 1803,603n α===； 904,452n α===；正五边形的内角180(52)1085-=，1801085,362n α-===；正五边形的内角180(62)1206-=，1801206,302n α-===．（2）观察（1）中结论，1803,603n == 1804,454n == 1805,365n == 1806,306n == 总结规律，则有180n α=．（3）借助（2）中公式，有180n α=，即18018n= 解得10n =．22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵M 、N 分别是AB 和CD 的中点， ∴AM =BM ，AM ∥CN ，AM =CN ， ∴四边形AMCN 是平行四边形，又∵AC =BC ，AM =BM ，∴CM ⊥AB ，∴∠CMA =90°，∴四边形AMCN 是矩形；（2）解：∵∠B =60°，BC =8，∠BMC =90°， ∴∠BCM =30°，∴Rt △BCM 中，BM =12BC =4，CM∵AC =BC ，CM ⊥AB ，∴AB =2BM =8，∴ABCD 的面积为AB ×CM23．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD ，AB ∥CD ，OB =OD ，OA =OC ， ∴∠ABE =∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE =12OB ，DF =12OD ，∴BE =DF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△CDF (SAS ) ．（2）当AB =12AC 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：当AB =12AC 时，∵AC =2OA ，AC =2AB ，∴AB =OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵EG=AE，∴EG=CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF是矩形．24．（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB =6，AD =10，BC =BF ，∴∠BAF =90°，AD =BC =BF =10，∴AF =8，∴DF =2，设EF =x ，则CE =x ，DE =6-x ，∵∠FDE =90°，∴22+（6-x ）2=x 2，解得，x =103， ∴CE =103， ∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF =103×2=203． 25．解：四边形ABCD 是矩形，AB DC ∴=，90BAD CDA ∠=∠=︒，AE DE =，EAD EDA ∴∠=∠，EAB BAD EAD CDA EDA EDC ∴∠=∠+∠=∠+=∠，在ABE ∆和DCE ∆中，AE DE EAB EDC AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DCE SAS ∴∆∆≌．26．（1）如图，作EM ⊥BC 于M ，EN ⊥CD 于N ，又∠BCD =90°，∴∠MEN ＝90°，∵点E 是正方形ABCD 对角线上的点，∴EM ＝EN ，∵∠DEF ＝90°，∴∠DEN ＝∠MEF ＝90°﹣∠FEN ，∵∠DNE ＝∠FME ＝90°，在△DEN 和△FEM 中，DNE FME EN EMDEN FEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DEN ≌△FEM （ASA ），∴EF ＝DE ，∵四边形DEFG 是矩形，∴矩形DEFG 是正方形；（2）①CE ⊥CG ，理由如下：∵正方形DEFG 和正方形ABCD ，∴DE ＝DG ，AD ＝DC ，∵∠CDG +∠CDE ＝∠ADE +∠CDE ＝90°，∴∠CDG ＝∠ADE ，在△ADE 和△CDG 中，AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴∠DAE ＝∠DCG ，∵∠ACD +∠CAD +∠ADC ＝180°，∠ADC ＝90°，∴∠ACG ＝∠ACD +∠DCG ＝∠ACD +∠CAD ＝90°， ∴CE ⊥CG ；②由①知，△ADE ≌△CDG ，∴AE ＝CG ，∴CE +CG ＝CE +AE ＝ACAB＝2，故答案为：2.27.（1）解：设DE与CF的交点为G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，在△AED与△DFC中，A FDCCFD AEDAD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE=CF，∴DECF=1，故答案为：1；（2）解：如图，设DB与CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠EDC=90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC=90°，∴∠CDG +∠ECD =90°，∠ADB +∠CDG =90°，∴∠ECD =∠ADB ，∵∠CDE =∠A ，∴△DEC ∽△ABD ， ∴47CE DC BD AD ==，故答案为：47；（3）证明：如图，过点C 作CH ⊥AF 交AF 的延长线于点H ，∵CG ⊥EG ，∴∠G =∠H =∠A =∠B =90°，∴四边形ABCH 为矩形，∴AB =CH ，∠FCH +∠CFH =∠DFG +∠FDG =90°，∴∠FCH =∠FDG =∠ADE ，∠A =∠H =90°，∴△AED ∽△HFC ，∴DE AD CF CH =， ∴DE AD CF AB=， ∴DE •AB =CF •AD ．28．（1）①证明：∵四边形ABCD 是矩形，DM ⊥MN ∴∠A ＝∠DMN ＝90°∵AB ＝6，AD ＝4，MN ＝32DM ∴23AD DM AB MN == ∴△ABD ∽△MND ．②证明：∵四边形ABCD 是矩形，DM ⊥MN ∴∠ABC ＝∠DMN ＝90°∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°由①得△ABD ∽△MND∴∠ABD ＝∠DNM又∵∠MEB ＝∠DEN∴△MBE ∽△DNE ∴ME BE DE NE = ∴ME DE BE NE= 又∠MED ＝∠BEN∴△DME ∽△NBE∴∠NBE ＝∠DME ＝90°∴∠CBN ＋∠CBD ＝90°又∠ABD ＋∠CBD ＝90°，∠ABD ＝∠DNM ∴∠CBN ＝∠DNM ．（2）如图②，过点N 作NF ⊥AB 于点F ，连接AC ，AN ∴∠NF A ＝90°∵四边形ABCD 是矩形，AD ＝4，AB ＝6 ∴∠A ＝∠ABC ＝90°，BC ＝AD ＝4∴23BC AB =，∠ADM ＋∠AMD ＝90° ∵AM ＝4BM ，AB ＝6∴42455AM AB ＝＝又DM ⊥MN∴∠AMD ＋∠FMN ＝90° ∴∠ADM ＝∠FMN∴△ADM ∽△FMN ∴AD AM DM MF FN MN== 又MN ＝32DM ∴24425=3DM MF FN MN == ∴MF ＝6，FN ＝365∴AF ＝AM ＋MF ＝2454655+= ∴23NF AF = ∴NF BC AF AB = ∵∠ABC ＝∠AFN ＝90° ∴△ABC ∽△AFN∴∠BAC ＝∠F AN∴A ，C ，N 三点在同一条直线．。

2015人教华师版八年级数学下册四边形测试卷(答案)

八年级数学四边形测试题（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空：（每小题2分，共24分）1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。

2、如图⑴已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。

3、在平行四边形ABCD 中，∠C ＝∠B+∠D,则∠A ＝＿＿＿，∠D ＝＿＿＿。

4、一个平行四边形的周长为70cm ，两边的差是10cm ，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm 。

5、已知菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm 。

6、菱形ABCD 中，∠A ＝60o，对角线BD 长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm 。

7、如果一个正方形的对角线长为8、如图2矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o,AB ＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。

9、如图3,等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，BC ＝8，AB ＝6，AD ＝5则△CDE 周长＿＿＿。

10、正方形的对称轴有＿＿＿条11、如图4，BD 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿12、要从一张长为40cm ，宽为20cm 的矩形纸片中，剪出长为18cm ，宽为12cm 的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。

二、选择题：（每小题3分，共18分）13、在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（）A 、1：2：3：4B 、1：2：2：1C 、2：2：1：1D 、2：1：2：1 14、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角线互相平分且相等 15、下列命题中的假命题是（）A 、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B 、对角线相等的四边形是等腰梯形C 、等腰梯形是轴对称图形D 、等腰梯形的对角线相等16、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（） A 、AO ＝OC ，OB ＝OD B 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD C 、AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD D 、AO ＝OC ＝OB ＝OD 17、给出下列四个命题⑴一组对边平行的四边形是平行四边形 ⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。

中考数学总复习《四边形》专项测试卷带答案

中考数学总复习《四边形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________时间：45分钟满分：80分一、选择题(每题4分，共32分)1．下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是()A．对角线互相平分B．一组对边平行且相等C．两组对边分别平行D．一组对边平行，另一组对边相等2．如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，若DE＝3，则AC的长为() A．6 B．5 C．4 D．3(第2题)(第3题)3．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为()A．40° B．50° C．60° D．70°4．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10，AD ＝6，则OB的长是()A．113 B．4 C．2 13 D．8(第4题)(第5题)5．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，点F为对角线AC上一点，当∠CBF＝22.5°时，AF 的长是()A．4 cm B．(4 2－4)cmC．2 5 cm D.113cm6．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是() A．(－1，3) B．(－1，2) C．(－2，3) D．(－2，4)(第6题)(第7题)7．如图，两张宽为3的矩形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是()A.92B．3 3 C.9 32D．6 38．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个(第8题)二、填空题(每题4分，共16分)9．在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为________．10．如图，在正方形ABCD内，作等边三角形ADE，连接BD，BE则∠DBE＝______°.11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，P为斜边AB上一动点，过点P分别作PE∥BC交AC于点E，作PF∥AC交BC于点F，则EF的最小值为________．(第11题)(第12题)12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上的点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得到△EC′F，连接AC′，当BE＝________时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．三、解答题(共32分)13．(14分) 如图，点E，A，D，C在同一直线上，四边形ABDF是平行四边形，EF∥BC.求证：EF＝BC.14．(18分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE∥BC，O是AC的中点，连接DO并延长，交AE于点E，连接CE.(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝60°，AC＝4，求AE的长；(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？并说明理由．参考答案一、1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】B二、9.【答案】2110.【答案】3011.【答案】601312.【答案】78或43三、13.【答案】证明：∵四边形ABDF 是平行四边形 ∴AB ＝DF ，AB ∥DF ，∴∠BAC ＝∠FDE .∵EF ∥BC ，∴∠E ＝∠C .∴△ABC ≌△DFE ，∴EF ＝BC .14．【答案】(1)证明：∵O 是AC 的中点，∴AO ＝CO . ∵AE ∥BC ，∴∠AEO ＝∠CDO ，∠EAO ＝∠DCO ∴△AOE ≌△COD ，∴AE ＝CD .∵AE ∥CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线∴AD ⊥BC, ∴∠ADC ＝90°，∴四边形ADCE 是矩形．(2)解：∵四边形ADCE 是矩形，AC ＝4∴AC ＝DE ＝4，OA ＝OE ＝OD ＝OC ，∴OA ＝OE ＝2. ∵∠AOE ＝60°，∴△AOE 是等边三角形∴AE ＝OA ＝OE ＝2.(3)解：当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形．理由：当∠BAC＝90°时，△ABC是等腰直角三角形∵AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝12BC由(1)知四边形ADCE是矩形，∴四边形ADCE是正方形．。

中考2015年中考数学真题分类汇编多边形与平行四边形

多边形与平行四边形一．选择题1.（2015，广东）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形答案：A.分析：平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。

60，则这个正多边形是2.（2015，湖北孝感）已知一个正多边形的每个外角等于A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形考点：多边形内角与外角．.分析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．解答：设所求正n边形边数为n，则60°•n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选B．点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．3．（2015•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB 的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．4．（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．5．（2015•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．（2015•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．7．（2015•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．（2015•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．9．（2015•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．10．（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．11．（2015•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．12．（2015•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．13．（2015•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．14．（2015•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ 面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．15．（2015•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．16．（2015•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．17．（2015•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．18．（2015•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．19．（2015•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．二．填空题1. （2015广东）正五边形的外角和等于（度）.【答案】360.【解析】n边形的外角和都等于360度。

中考数学总复习：四边形综合复习--巩固练习题及答案(基础).doc

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】中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．下列说法中，正确的是( )．A．等腰梯形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相垂直且相等2．如图，在中，于且是一元二次方程x2+x-2=0 的根，则的周长为（）.A．4+2B．4+22C．8+22D．2+23.如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）.A．B．C．D．4.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.（2015•蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形C．正三角形和正六边形D．正五边形和正十边形6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝15°，则∠A′BD的度数为（）．A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第6题二、填空题7.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度.8. 矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为_________平方单位．9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．10.如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是__________________.11.如图，若△ABC的边AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和的最大值为________.12.（2014秋•隆化县校级期中）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE的长为．三、解答题13. 如图，过正方形ABCD的顶点作，且作，又．求证：．14. (2014春•武侯区期末）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求∠CBD的度数．15.（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．16（2011•营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）【答案与解析】一．选择题1．【答案】D．2．【答案】B.【解析】解方程x2+x-2=0得：x1=-2，x2=1，∵AE=EB=EC=a，a是一元二次方程x2+x-2=0的一个根，∴a=1，即AE=BE=CE=1， ∵AE ⊥BC ， ∴∠AEB=90°，∴由勾股定理得：AB=22112+=，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=2，AD=BC=1+1=2，∴平行四边形ABCD 的周长是2（2+2）=4+22，故选B ．3．【答案】A. 4．【答案】B ．【解析】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B ． 5．【答案】B.【解析】A 、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；B 、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；C 、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；D 、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．故选：B ． 6．【答案】D.【解析】∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ， ∴∠C=90°，∵∠A ′BC=15°，∴∠DA ′B=∠A ′BC+∠C=15°+90°=105°，由折叠的性质可得：∠A=∠DA ′B=105°，∠ABD=∠A ′BD ，∵AD ∥BC ，∴∠ABC=180°-∠A=75°，∴∠A ′BD=2ABC A BC'∠-∠=30°．二．填空题7．【答案】30.8．【答案】64.9．【答案】20.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．故答案为：20．10．【答案】.11.【答案】9.【解析】把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，根据旋转的性质和正方形的性质有A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，得到S△CHF=S△BCH'=S△ABC，同理：S△BDG=S△AEM=S△ABC，所以S阴影部分面积=3S△ABC=3×12AB×AC×sin∠BAC，即当AB⊥AC时，S△ABC最大值为：12×2×3=3，即可得到三个阴影部分的面积之和的最大值．12．【答案】1.【解析】∵△ABC等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°﹣90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°﹣45°=15°∴∠CDB=180°﹣135°﹣15°=30°，∠BDE=60°﹣30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD∴△BCD≌△BED∴BE=CB=×sin45°=1∴BE=1．三.综合题13．【解析】提示：易证菱形AEFC，∠AEB=∠ACF,设正方形边长为1，则，，做CG ⊥AC,BG ∥AC ，即得等腰Rt △CBG, 等腰Rt △CBG 中，故∠CFG=30°∴ ∠ACF=30°，∠FCB=15° ∴14．【解析】（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；又∵AM 丄BC （已知）， ∴AM⊥AD；∵CN 丄AD （已知）， ∴AM∥CN， ∴AE∥CF；又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC （平行四边形的对边相等），在△ADE 和△CBF 中，90DAE BCF AD CB ADE FBC ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△CBF（ASA ），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），∴四边形AECF 为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；（2）如图，连接AC 交BF 于点0，当AECF 为菱形时，则AC 与EF 互相垂直平分，∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分）， ∴AC 与BD 互相垂直平分，∴▱ABCD 是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）， ∴AB=BC（菱形的邻边相等）；∵M 是BC 的中点，AM 丄BC （已知）， ∴△ABM≌△CAM，∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）， ∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC=60°，∠CBD=30°.15.【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ， ∴∠1=∠ACD ， ∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．16.【解析】（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．（2）解：（1）中的结论成立．①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，又PC=PC，∴△PDC≌△PBC，∴PD=PB，∵PE=PD，∴PE=PB，②：由①，得△PDC≌△PBC，∴∠PDC=∠PBC．（7分）又∵PE=PD，∴∠PDE=∠PED．∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，∴PE⊥PB．（3）解：如图所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

四边形测试题及答案

四边形测试题及答案# 四边形测试题及答案题目1：定义题题目：请定义什么是四边形，并列举出四边形的三种基本类型。

答案：四边形是由四条直线段依次首尾相连围成的平面图形。

四边形的三种基本类型包括：平行四边形、矩形和梯形。

题目2：计算题题目：给定一个平行四边形，其两组对边分别长为10cm和6cm，求其周长。

答案：平行四边形的周长等于两组对边之和的两倍。

因此，周长= 2 ×(10cm + 6cm) = 32cm。

题目3：判断题题目：所有的矩形都是平行四边形。

答案：正确。

矩形是特殊的平行四边形，其四个角都是直角。

题目4：应用题题目：一个梯形的上底长为3cm，下底长为7cm，高为4cm，求其面积。

答案：梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高÷ 2面积= (3cm + 7cm) × 4cm ÷ 2 = 20cm²。

题目5：选择题题目：下列哪个选项不是四边形的特性？A. 内角和为360度B. 对边平行C. 对角线相等D. 有四条边答案：C. 对角线相等。

不是所有四边形的对角线都相等，只有矩形和正方形的对角线相等。

题目6：解析题题目：解释为什么正方形既是矩形也是菱形。

答案：正方形是特殊的四边形，其四条边都相等，且四个角都是直角。

由于四个角都是直角，它满足矩形的定义；由于四条边相等，它也满足菱形的定义。

因此，正方形既是矩形也是菱形。

题目7：证明题题目：证明平行四边形的对角线互相平分。

答案：在平行四边形ABCD中，设对角线AC和BD相交于点E。

由于AB平行于CD，根据平行线的性质，三角形ABC与三角形ADC全等（SAS），因此BE = EC。

同理，三角形ABD与三角形CBD全等，因此AE = ED。

这证明了平行四边形的对角线互相平分。

题目8：填空题题目：如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么这个四边形是________。

答案：正方形。

当四边形的对角线互相垂直且相等时，它是一个正方形。

广东省各市2015年中考数学试题分类汇编专题11 四边形问题

专题11：四边形问题1. （2015年广东梅州3分）下列命题正确的是【】A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【答案】D.【考点】特殊四边形的判定.【分析】根据特殊四边形的判定对各选项逐一作出判断：A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形也可能性是梯形，故本选项错误；B. 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项错误；C. 对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确. 故选D.2. （2015年广东佛山3分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为202m 的矩形空地，则原正方形空地的边长是【】A. 7mB. 8mC. 9mD. 10m 【答案】A.【考点】一元二次方程的应用（几何问题）. 【分析】设原正方形空地的边长是xm ，根据题意，得()()3220x x --=，化简，得25140x x --=，解得127,2x x ==- （不合题意，舍去）.∴原正方形空地的边长是7m .故选A.3. （2015年广东佛山3分）下列给出5个命题： ①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ②六边形的内角和等于720°； ③相等的圆心角所对的弧相等；④顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形； ⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等. 其中正确命题的个数是【】A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】A.【考点】命题和定理；正方形的判定；多边形内角和定理；圆周角定理；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定；三角形的内心性质.【分析】根据相关知识对各选项进行分析，判作出断：①对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，命题不正确.②根据多边形内角和公式，得六边形的内角和等于()62180720-⨯︒=︒，命题正确. ③同圆或等圆满中，相等的圆心角所对的弧才相等，命题不正确.④根据三角形中位线定理、菱形的性质和矩形的判定可知：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，命题正确.⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，命题不正确. 其中正确命题的个数是2个. 故选A.4. （2015年广东广州3分）下列命题中，真命题的个数有【】 ①对角线互相平分的四边形是平行四边形 ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B.【考点】真假命题的判定；平行四边形的判定.【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一分析作出判断：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题是真命题；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，命题是真命题；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，命题是假命题. 故选B.5. （2015年广东深圳3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG FDG ∆∆≌；②2GB AG =；③GDE BEF ∆∆∽；④725BEF S ∆=.在以上4个结论中，正确的有【】A. 1B. 2C.3D. 4 【答案】C.【考点】折叠问题；正方形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理.【分析】由折叠和正方形的性质可知，0,90DF DC DA DFC C ==∠=∠= ，∴090DFG A ∠=∠=.又∵DG DG =，∴()ADG FDG HL ∆∆≌. 故结论①正确.∵正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，∴6BE EC EF ===. 设AG FG x ==，则6,12EG x BG x =+=- ，在Rt BEG ∆中，由勾股定理，得222EG BE BG =+，即()()222662x x +=+-，解得，4x =.∴4,8AG GF BG === .∴2GB AG =. 故结论②正确. ∵6BE EF ==，∴BEF ∆是等腰三角形.易知GDE ∆不是等腰三角形，∴GDE ∆和BEF ∆不相似. 故结论③错误. ∵11682422BEG S BE BG ∆=⋅⋅=⋅⋅=， ∴67224105BEFBEG EF S S EG ∆∆=⋅=⋅=.故结论④正确. 综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个. 故选C.6. （2015年广东3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为【】A.6B.7C. 8D. 9 【答案】D.【考点】正方形的性质；扇形的计算.【分析】∵扇形DAB 的弧长»DB等于正方形两边长的和6+=BC CD ，扇形DAB 的半径为正方形的边长3， ∴16392=⋅⋅=扇形DAB S . 或由变形前后面积不变得：339==⨯=正方形扇形ABCD DAB S S . 故选D.7. （2015年广东汕尾4分）下列命题正确的是【】A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【答案】D.【考点】特殊四边形的判定.【分析】根据特殊四边形的判定对各选项逐一作出判断：A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形也可能性是梯形，故本选项错误；B. 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项错误；C. 对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确. 故选D.8. （2015年广东汕尾4分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为【】A. 5 D. 5【答案】B.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接,AF CE ，设AC 与EF 相交于点O .则根据折叠和矩形的性质得，四边形AECF 是菱形，∴AE CE =.∵04290AB BC B ==∠=，，，∴AC ==∴AO =设AE CE x ==，则4BE x =-.∵222CE BE BC =+，∴()22242x x =-+，得52x =.∴在Rt AOE ∆中，2OE ===.∴EF =. 故选B.1. （2015年广东梅州3分）如图，在□ABCD 中，BE 平分∠ABC ，BC = 6，DE = 2，则□ABCD 周长等于 ▲ .【答案】20.【考点】平行四边形的性质；平行的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定. 【分析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,//AD BC AD BC = .∴AEB EBC ∠=∠.∵BC = 6，DE = 2，∴6,4AD AE == .∵BE 平分∠ABC ，即ABE EBC ∠=∠.∴AEB ABE ∠=∠.∴4AB AE ==. ∴□ABCD 周长等于()220AB BC +=.2. （2015年广东梅州3分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为 ▲ ..【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接,AF CE ，设AC 与EF 相交于点O .则根据折叠和矩形的性质得，四边形AECF 是菱形，∴AE CE =.∵04290AB BC B ==∠=，，，∴AC ==∴AO =设AE CE x ==，则4BE x =-.∵222CE BE BC =+，∴()22242x x =-+，得52x =.∴在Rt AOE ∆中，OE ===.∴EF =.3. （2015年广东佛山3分）如图，在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，AC =BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D 、E 、F 在三角形的边上）.则此正方形的面积是 ▲ .【答案】25.【考点】等腰直角三角形的判定和性质；正方形的性质.【分析】∵在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，AC =，∴AB =BC =10，45A ∠=︒.∵四边形BDEF 是正方形，∴AEF ∆是等腰直角三角形. ∴5BF EF AF ===.∴此正方形的面积25.4. （2015年广东4分）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，则对角线AC 的长是 ▲ .【答案】6.【考点】菱形的性质；等边三角形的判定和性质. 【分析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =B C =6.∵∠ABC =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC =AB =B C =6.5. （2015年广东汕尾5分）如图，在□ABCD 中，BE 平分∠ABC ，BC = 6，DE = 2，则□ABCD 周长等于 ▲ .【答案】20.【考点】平行四边形的性质；平行的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定. 【分析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,//AD BC AD BC = .∴AEB EBC ∠=∠.∵BC = 6，DE = 2，∴6,4AD AE == .∵BE 平分∠ABC ，即ABE EBC ∠=∠.∴AEB ABE ∠=∠.∴4AB AE ==. ∴□ABCD 周长等于()220AB BC +=.1. （2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线1y k x =和2y k x =与反比例函数1y x=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时1k 和2k 之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设()()()112221,,,,0P x y Q x y x x >> 是函数1y x=图象上的任意两点，12122,2y y a b x x +==+ ，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD 可能是矩形，此时121k k =，理由如下：当四边形ABCD 是矩形时，OA =OB .联立11y k x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴A ⎛.同理，B ⎛. ∵22121211OA k OB k k k =+=+，， ∴121211k k k k +=+，得()21121 10k k k k ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. ∵210k k -≠， ∴12110k k -=. ∴121k k =. ∴四边形ABCD 可以是矩形，此时121k k =. （3）>a b .理由如下：∵()()()()2212121212121212121212124211122222x x x x x x y y a b x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+-=-=+-== ⎪++++⎝⎭. ∵x 2 > x 1 > 0，∴()212>0x x -，()12122>0x x x x +.∴()()2121212>02x x x x x x -+.∴>a b . 【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有,OA OC OB OD == ，所以，四边形ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点A 、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA =OB ，即22OA OB =，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.2. （2015年广东佛山11分）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 是AD 上的点，且AE EF FD ==. 连结BE 、BF ，使它们分别与AO 相交于点G 、H .（1）求 : EG BG 的值；（2）求证：AG OG =；（3）设 ,AG a GH b HO c ===，，求 : : a b c 的值.【答案】解：（1）∵AE EF FD ==，∴13AE AD =. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC .∴AEG CBG ∆∆∽.∴13EG AE BG AD ==，即1: 3EG BG =.（2）证明：由（1）AEG CBG ∆∆∽，∴13AG CG =. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC =. ∴2CG AO AG =-. ∴123AG AO AG =-，即12AG AO =.∴AG OG =.（3）如答图，过点F 作//FM AC 交BD 于点M ，∵AE EF FD ==，∴13DM DF DO DA ==.∴16DM BD =，56BM BD =. ∵12BO BD =.∴35BO BM =.∵//FM AC ，∴BOH BMF ∆∆∽.∴35HO BO FM BM ==，即35HO FM =. ∵//FM AC ，∴DFM DAO ∆∆∽.∴13FM DF AO DA ==，即13FM AO =.∴33115535HO FM AO AO ==⋅=.由（2）得12AG AO =，∴1132510GH AO AG HO AO AO AO AO =--=--=.∵ ,AG a GH b HO c ===，， ∴131532: : : : : : 5 : 3 : 22105101010a b c AO AO AO ===. 【考点】平行四边形的综合题；平行四边形的性质；平行的性质；相似三角形的判定和性质；数形结合思想的应用.【分析】（1）由平行四边形对边平行的性质可得AEG CBG ∆∆∽，从而得出结果.（2）由（1）AEG CBG ∆∆∽得到13AG CG =，从而根据平行四边形对角线互相平分的性质得出结论. （3）作辅助线“过点F 作//FM AC 交BD 于点M ”，构造两组相似三角形BOH BMF ∆∆∽和BOH BMF ∆∆∽，通过相似三角形对应边成比例的性质，求出AG GH HO 、、与AO 的关系即可求得 : : a b c 的值.3. （2015年广东广州9分）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD ，CD 上，且AE DF =，连接BE ，AF .求证：BE AF =.【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴0,90AD AB D EAB =∠=∠= .又∵AE DF =，∴()EAB FDA SAS ∆∆≌. ∴BE AF =.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定和性质.【分析】要证BE AF =，只要证它们是全等三角形的对应边即可，而要证EAB FDA ∆∆≌，一方面，已知AE DF =，另一方面，由四边形ABCD 是正方形可得0,90AD AB D EAB =∠=∠= ，从而构成全等三角形的SAS 而得证.4. （2015年广东广州14分）如图，四边形OMTN 中，OM =ON ，TM =TN ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD 中，已知AB =AD =5，BC =CD ，BC >AB ，BD ，AC 为对角线，BD =8；①是否存在一个圆使得A ，B ，C ，D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由； ②过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，BF 交AC 于点E ，连接DE . 当四边形ABED 为菱形时，求点F 到AB 的距离.【答案】解：（1）筝形的对角线互相垂直. 证明如下：如答图1，连接,MN OT ，在OMT ∆和ONT ∆中，∵OM ONTM TN OT OT =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()OMT ONT SSS ∆∆≌.∴MOT NOT ∠=∠. 又∵OM =ON ，∴OT MN ⊥，即筝形的对角线互相垂直. （2）存在.由（1）知，AC BD ⊥，设,AC BD 相交于点M ，如答图2， ∵AB =AD =5， BD =8，∴4BM =.∴4AM ==. ∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴0180ABC ADC ∠+∠=. 又∵ABC ADC ∆∆≌，∴090ABC ADC ∠=∠=. ∴AC 即为所求圆的直径.∵090,ABC AMB BAC MAB ∠=∠=∠=∠ ，∴BAC MAB ∆∆∽.∴AB AM AC AB =，即535AC =，解得253AC =.∴圆的半径为256.（3）∵四边形ABED 为菱形，∴5AB AD BE DE ====.∴03,4,,90AM ME BM MD BD AE BME ====⊥∠= .又∵0,90BF CD BFD ⊥∠= .∴090BME BFD ∠=∠=又∵MBE FBD ∠=∠，∴BME BFD ∆∆∽. ∴BE EM BD DF =，即538DF =，解得245DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得222EF DE DF =-，∴75EF ==.∴325BF =. ∵//AB DE ，∴ABF DEF ∠=∠.如答图3，过点F 作FG AB ⊥于点G ，则FG 就是点F 到AB 的距离.∵090BGF EFD ∠=∠=，∴BGF EFD ∆∆∽.∴BF FG DE DF =，即3252455FG =，解得768125FG =. ∴点F 到AB 的距离为768125.【考点】新定义；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）筝形的对角线互相垂直，利用SSS 证明OMT ONT ∆∆≌得到MOT NOT ∠=∠，从而根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论.（2）根据垂径定理和勾股定理求出AM 的长，证明BAC MAB ∆∆∽，由对应边成比例列式求解即可.（3）证明BME BFD ∆∆∽，求出245DF =，应用勾股定理求出75EF =，得到325BF =，作辅助线“过点F 作FG AB ⊥于点G ”构造相似三角形BGF EFD ∆∆∽，由对应边成比例列式求得FG 的长， FG 就是点F 到AB 的距离.5. （2015年广东7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG . （1）求证：△ABG ≌△AFG ；（2）求BG 的长.【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠D =90°，AD =AB .由折叠的性质可知，AD =AF ，∠AFE =∠D =90°，∴∠AFG =90°，AB =AF . ∴∠AFG =∠B .又∵AG =AG ，∴△ABG ≌△AFG （HL ）. （2）∵△ABG ≌△AFG ，∴BG =FG .设BG =FG =x ，则GC =6-x ,∵E 为CD 的中点，∴CF =EF =DE =3，∴EG =3+x ，在∆Rt CEG 中，由勾股定理，得2223(6)(3)+-=+x x ，解得2=x ， ∴BG =2.【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据正方形和折叠对称的性质，应用HL 即可证明△ABG ≌△AFG （HL ）.（2）根据全等三角形的性质，得到BG =FG ，设BG =FG =x ，将GC 和EG 用x 的代数式表示，从而在∆Rt CEG 中应用勾股定理列方程求解即可.6. （2015年广东9分）⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过»BC的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG ， CP ，P B.（1）如题图1；若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；（2）如题图2，在DG 上取一点k ，使DK =DP ，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形；（3）如题图3，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥A B.【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是»BC的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°.∵D为OP的中点，∴OD=1122=OP OB.∴cos∠BOD=12=ODOB. ∴∠BOD=60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB.∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°.（2）证明：由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK.∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.∴四边形AGCK是平行四边形.（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD.∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH.又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）.∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥A B.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用SAS 证明△OBD ≌△HOP 而得到∠OHP =∠ODB =90°，即PH ⊥A B.7. （2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线1y k x =和2y k x =与反比例函数1y x=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时1k 和2k 之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设()()()112221,,,,0P x y Q x y x x >> 是函数1y x=图象上的任意两点，12122,2y y a b x x +==+ ，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD 可能是矩形，此时121k k =，理由如下：当四边形ABCD 是矩形时，OA =OB .联立11y k x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴A ⎛.同理，B ⎛. ∵22121211OA k OB k k k =+=+，， ∴121211k k k k +=+，得()21121 10k k k k ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. ∵210k k -≠， ∴12110k k -=. ∴121k k =.∴四边形ABCD 可以是矩形，此时121k k =. （3）>a b .理由如下：∵()()()()2212121212121212121212124211122222x x x x x x y y a b x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+-=-=+-== ⎪++++⎝⎭. ∵x 2 > x 1 > 0，∴()212>0x x -，()12122>0x x x x +.∴()()2121212>02x x x x x x -+.∴>a b .【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有,OA OC OB OD == ，所以，四边形ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点A 、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA =OB ，即22OA OB =，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.8. （2015年广东珠海6分）如图，在平行四边形ABCD 中，<AB BC ．（1）利用尺规作图，在BC 边上确定点E ，使点E 到边,AB AD 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若8,5BC CD == ，则CE = ▲ ．【答案】解：（1）作图如下，点E 即为所求：（2）由作图可知，BAEEAD ??，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC . ∴BEA EAD ??.∴BAE BEA ??.∴AB BE =.∵8,5BC CD == ，∴5BE AB CD ===.∴3CE =.【考点】尺规作图；角平分线的性质；平行四边形的性质；平行的性质；等腰三角形的判定.【分析】（1）由角平分线的性质知，到边,AB AD 的距离相等的点在BAD Ð的角平分线，因此，作BAD Ð的角平分线交BC 边于点E ，则点E 即为所求.（2）判定ABE D 是等腰三角形，即可由平行四边形对边相等的性质求解.。

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\（一）选择题（每小题3分，共30分）1．内角和与外角和相等的多边形是……………………………………………………（）（A ）三角形（B ）四边形（C ）五边形（D ）六边形【答案】B ． 2．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是…………………………………（）（A ）菱形（B ）矩形（C ）梯形（D ）两条对角线相等的四边形【答案】A ．3．观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有…………………………………（）（A ）2个（B ）1个（C ）4个（D ）3个【提示】第一个图形不是中心对称图形．【答案】D ．4．已知下列四个命题：（1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（2）对角线垂直相等的四边形是菱形；（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（4）四边都相等的四边形是正方形．其中真命题的个数是………………（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0【提示】（3）正确．【答案】A ． 5．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于………………………………（）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°【答案】C ．6．下列命题中的真命题是………………………………………………………………（）（A ）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（B ）有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形（C ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（D ）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C ．7．如图，DE 是△ABC 的中位线，若AD ＝4，AE ＝5，BC ＝12，则△ADE 的周长是………………………………………………（）（A ）7.5 （B ）30 （C ）15 （D ）24【答案】C ．8．矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为………………………………………………………………………………………（）（A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm【提示】长边被分成的两部分之中，有一部分与矩形短边相等．【答案】B ． 9．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有……………………………………………………………………………………（）（A ）1对（B ）3对（C ）2对（D ）4对【提示】以AB 和CD 为对应边的两个三角形．【答案】B ．10．菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为…………………（）（A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24 【提示】若菱形两对角线为a 和b ，则S 菱形＝2ab ．【答案】D ．（二）填空题（每小题3分，共24分）11．如图，在□ABCD 中，则对角线AC 、BD 相交于O ，图中全等的三角形共有____对．【提示】考察以AB 、CD 为对应边的三角形，有3对全等三角形；抹去AB 、CD 两边，又有1对全等三角形．【答案】4．12．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形．【提示】360°÷每个外角的度数．【答案】5．13．梯形的上底边长为5，下底边长为9，中位线把梯形分成上、下两部分，则这两部分的面积的比为_______．【提示】先算出中位线的长，然后用梯形面积公式计算．【答案】43．14．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝AD ＝2 cm ，则这个梯形的中位线长为_____cm ．【提示】BC ＝6 cm ．【答案】4．15．请画出把下列矩形的面积二等分的直线，并填空（一个矩形只画一条直线，不写画法）．在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有_____条，这些直线都必须经过此矩形的_____点．【答案】无数；对称中心（或两条对角线的交点）．16．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ．若AD ＝6，BC ＝10，则GH 的长是______．【答案】2．17．如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点AE ⊥BD ，垂足为E ．若OD ＝2 OE ，AE ＝3，则DE 的长为______．【提示】OA ＝OD ＝2 OE ，用勾股定理求出OE 和OA 的长．【答案】3．18．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE ＝4，AF ＝6，□ABCD的周长为40，则S □ABCD 为______．【提示】在□ABCD 中，AE ·BC ＝AF ·CD ＝S □ABCD ，BC ＋CD ＝20，求BC 或CD ．【答案】48．（三）证明题（每小题5分，共20分）19．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，P 是AD 中点．求证：BP ＝PC ．【提示】证明△ABP ≌△DCP ．【答案】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∵ AB ＝DC ， ∴ ∠A ＝∠D ． ∵ P 是AD 中点， ∴ AP ＝DP ．在△ABP 和△DCP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=．，，DP AP D A DC AB ∴ △ABP ≌△DCP ． ∴ PB ＝PC ．20．已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF ＝CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【提示】证明△ADE ≌△CBF ，得到AD ＝BC 即可．【答案】在△ADE 和△CBF 中，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAE ＝∠BCF ． ∵ ED ∥BF ，∴ ∠DEF ＝∠BFE ． ∴ ∠DEA ＝∠BFC ． ∵ AF ＝CE ， ∴ AE ＝CF ．∴ △ADE ≌△CBF ． ∴ AD ＝BC ．又 AD ∥BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形．21．已知：如图，矩形ABCD 中，E 、F 是AB 上的两点，且AF ＝BE ．求证：∠ADE ＝∠BCF ．【提示】证明Rt△ADE≌Rt△BCF．【答案】在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．又AF＝BE，∴AF－EF＝BE－EF，即AE＝BF．∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠ADE＝∠BCF．22．证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（要求：画出图形，写出已知、求证、证明．）【提示】作辅助线，构造等腰三角形．【答案】已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C（图（1））．求证：AB＝DC．【证法一】如图（1），过点D作DE∥AB，交BC于E．图（1）∴∠B＝∠1．又∠B＝∠C，∴∠C＝1．∴DE＝DC．又AB∥DE，AD∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，∴AB＝DE．∴AB＝DC．【证法二】如图（2），分别延长BA、CD，交于点E．图（2）∵∠B＝∠C，∴BE＝CE．∵AD∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．∴∠1＝∠2．∴AE＝DE．∴BE－AE＝CE－DE，即AB＝DC．（四）计算题（每小题6分，共12分）23．已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积．【提示】证明BE⊥EC和E为AD中点．【答案】在□ABCD 中，∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＋∠BCD ＝180°．∵ ∠ABE ＝∠EBC ，∠BCE ＝∠ECD ，∴ ∠EBC ＋∠BCE ＝21（∠ABC ＋∠BCD ）＝90°．∴ ∠BEC ＝90°．∴ BC 2＝BE 2＋CE 2＝122＋52＝132． ∴ BC ＝13． ∵ AD ∥BC ，∴ ∠AEB ＝∠EBC ． ∴ ∠AEB ＝∠ABE ． ∴ AB ＝AE ．同理 CD ＝ED ． ∵ AB ＝CD ， ∴ AB ＝AE ＝CD ＝ED ＝21BC ＝6.5． ∴ □ABCD 的周长＝2（AB ＋BC ）＝2（6．5＋13）＝39． S □ABCD ＝2 S △BCE ＝2·21BE ·EC ＝12×5＝60．24．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，BD ⊥DC 于D ，且∠C ＝60°，若AD ＝5 cm ，求梯形的腰长．【提示】求出∠CBD ，∠ABD 和∠ADC 的度数，证明AB ＝AD ，或者过D 点作DE ⊥BC 于E ，CE 为下底与上底的差的一半，又是CD 的一半，CD 又是BC 的一半．从中找出CD 与AD 的关系．【解法一】∵ BD ⊥CD ，∠C ＝60°，∴ ∠CBD ＝30°．在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠C ＝60°， ∴ ∠ABD ＝∠CBD ＝30°． ∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADB ＝∠CBD ． ∴ ∠ABD ＝∠ADB ． ∴ AB ＝AD ＝5（cm ）．【解法二】过D 点作DE ⊥BC ，垂足为E 点．∵ 在Rt △CDE 中，∠CDE ＝30°，∴ CE ＝21CD ．又 CE ＝21（BC －AD ），∴ CD ＝BC －AD ．即 BC ＝CD ＋AD ．又在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°， ∴ CD ＝21BC ． ∴ CD ＝2 CD －AD ．即 CD ＝AD ＝5（cm ）．（五）解答题（每小题7分，共14分）25．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中：（1）∠EAF 的大小是否有变化？请说明理由．（2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由．【提示】证明△EAH ≌△EAB ，△FAH ≌△FAD ．【答案】（1）∠EAF 始终等于45°．证明如下：在△EAH 和△EAB 中，∵ AH ⊥EF ，∴ ∠AHE ＝90°＝∠B ．又 AH ＝AB ，AE ＝AE ，∴ Rt △EAH ≌Rt △EAB ． ∴ ∠EAH ＝∠EAB ．同理 ∠HAF ＝∠DAF ．∴ ∠EAF ＝∠EAH ＋∠FAH＝∠EAB ＋∠FAD＝21∠BAD ＝45°．因此，当EF 在移动过程中，∠EAF 始终为45°角．（2）△ECF 的周长不变．证明如下： ∵ △EAH ≌△EAB ， ∴ EH ＝EB ．同理 FH ＝FD ．∴△ECF 周长＝EC ＋CF ＋EH ＋HF＝EC ＋CF ＋BE ＋DF ＝BC ＋CD ＝定长．26．已知：如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．【提示】连结AC 和CD ，首先利用中位线定理和平行四边形判定定理，证明四边形PQMN 为平行四边形，然后证明△AEC ≌△DEB ，得到AC ＝BD ，再证明□PQMN 为菱形．【答案】四边形PQMN 为菱形．证明如下：如图，连结AC 、BD ．∵ PQ为△ABC 的中位线，∴ PQ21AC ．同理 MN 21AC ．∴ MN PQ ，∴ 四边形PQMN 为平行四边形．在△AEC 和△DEB 中，AE ＝DE ，EC ＝EB ，∠AED ＝60°＝∠CEB ，即 ∠AEC ＝∠DEB ． ∴ △AEC ≌△DEB ． ∴ AC ＝BD ． ∴ PQ ＝21AC ＝21BD ＝PN ． ∴ □PQMN 为菱形．。