椭圆的简单几何性质-课时作业

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椭圆的简单几何性质
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·安阳高二检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
2.(2013·汝阳高二检测)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
3.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于( )
A. B. C. D.
4. (2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P 是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.设椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在( )
A.圆x2+y2=2上
B.圆x2+y2=2内
C.圆x2+y2=2外
D.以上三种情况都有可能
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为.
7.(2013·沧州高二检测)椭圆的焦点在y轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4,短轴长为8,则椭圆的标准方程为.
8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
10.已知椭圆+=1(a>b>0),若椭圆的离心率e满足≤e≤,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围.
11.(能力挑战题)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
答案解析
1.【解析】选B.由条件知2a+2c=2×2b,
∴a+c=2b,从而(a+c)2=4b2=4(a2-c2),
解得e==.
2.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在x轴上,且解得a=5,b=4,∴方程为+=1.
【变式备选】(2013·北京高二检测)离心率为,且过点(4,0)的椭圆的标准方程是( )
A.+=1
B.+=1或+=1
C.x2+4y2=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.由条件知,(4,0)为椭圆的一个顶点.
若a=4且=,则b2=4,方程为+=1.
若b=4且=,则a2=64,方程为+=1.
3.【解析】选B.∵椭圆的焦点在x轴上,且e=,
∴=,解得m=.
【举一反三】若把题中“焦点在x轴上”去掉,结果会怎样?
【解析】当椭圆焦点在x轴上时,由=得m=.
当椭圆焦点在y轴上时,由=得m=.
∴m的值是或.
4.【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将PF1,PF2用半焦距c表示出来,然后借助椭圆的定义,可得a,c的关系,从而得离心率.
【解析】选D.因为PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
所以PF2=2ctan 30°=c,PF1= c.
又PF 1+PF2=2c=2a,所以c
==,
a
即椭圆的离心率为.
5.【解题指南】判断点P(x1,x2)与圆的位置关系,就是判断点P与圆心(0,0)的距
离与半径的大小关系,利用根与系数的关系表示成关于离心率的关系式,再判断位置关系.
【解析】选B.由题意e==,
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=+
=+1=2-=<2,
∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.
6.【解析】由条件可知m>0,方程可化为x2+=1.
∵椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,
∴2=2×2×1,
解得m=.
答案:
7.【解析】由条件知,=且2b=8,
解得a2=25,b2=16.
又∵椭圆的焦点在y轴上,
∴所求的椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
8.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出. 【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3(1-),因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),
所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3(1-)=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的
对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6. 答案:6
【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.
9.【解题指南】解决本题的关键是确定m的值,应先将椭圆方程化为标准形式,根据分母的大小确定焦点的位置.用m表示a,b,c,再由e=求出m的值.
【解析】椭圆方程可化为+=1,
∵m-=>0,
∴m>,即a2=m,b2=,c==.
由e=得=,∴m=1.
∴椭圆的标准方程为x2+=1.
∴a=1,b=,c=.
∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为(-,0),(,0);
四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),(0,-),
(0,).
10.【解题指南】由+=2把b2用a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a的范围.
【解析】由+=2得b2=①,
∴e2===1-,
又∵≤e≤,∴≤1-≤,
结合①b2=可得≤≤,
∴≤a2≤,≤a≤,即≤2a≤,
故长轴长的取值范围是[,].
11.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·()2
=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).
∴≥,即e≥.
又0<e<1,∴e的取值范围是[,1).
(2)由(1)知mn=b2,
∴=mnsin60°=b2,
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
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