实数和二次根式的基本概念

一．实数的基本概念

1．无理数的概念：

（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.

（2）解读：

1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.

2）无理数的常见类型：

①具有特定意义的数。如π等；

②具有特定结构的无限小数，如0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；

③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？？？

3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.

2．实数的概念及分类：

（1）定义：有理数和无理数统称为实数.

（2）分类：

①按定义分：

⎧⎧

⎨

⎪

⎨⎩

⎪

⎩

整数

有理数

实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数

知识点睛

实数、二次根式的基本概念

②按性质分：0⎧⎧⎨⎪

⎩⎪

⎪

⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数

（3）实数的性质：

①相反数：a 与b 互为相反数0a b ⇔+=.

②绝对值：,0

0,0,0

a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

或,0,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,0,0a a a a a >⎧=⎨-≤⎩

（4）实数和数轴上的点是一一对应的.

π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。

（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。 （6）实数中非负数的四种形式及其性质：

形式：①0a ≥；②2

0a ≥；③0a ≥（0a ≥）；④a 中0a ≥.

性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

（7）实数中无理数的常见类型：

①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； ②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等；

③看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.023*******…….

（一）根据实数的定义解题：

【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数? －0.313 131…， π， －81 ， 23， 327-， 3.14， 0.4829， 1.020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），39-， 30.5--. 【例2】在实数0120.1235，，

，中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【拓展】22π29 3.140.614140.1001000100001

7

-，，，，，，这7个实数中，无理数的个数

是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例3】下面有四个命题：

①有理数与无理数之和是无理数． ②有理数与无理数之积是无理数． ③无理数与无理数之和是无理数． ④无理数与无理数之积是无理数．

请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。

【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( )

(8)实数包括有限小数和无限小数.( )

（二）实数的绝对值：

【例5】求下列各数的相反数及绝对值： (1)364- (2)π-3

【例6】已知一个数的绝对值是3，求这个数. 【拓展】｜x ｜=｜－π｜，求x 的值。 【例7】若01<

b ，b ，b ，

1

b 这四个数有下列关系（ ） A.

b b b b 21

<<<

B.

b b b b 21<<

<

C. 1

2

b b b b <<<

D.

b b b b <

<<1

2

【例8】比较下列各组数的大小： (1)7和3 (2)

21x +和2x

二．二次根式的概念

1. 二次根式的定义：形如a （a≥0）的式子叫做二次根式

2. 二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号“

”。

第二，被开方数是正数或0。

第三，二次根式a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根。 3.性质

(1)2)(a =a （a≥0）．

(2)2(0)

(0)

a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

a a =2（a≥0） a a -=2（a ＜0）

(3)ab =a ·b （a≥0，b≥0） a ·b ＝ab （a≥0，b≥0） (4)

a b =a

b

（a≥0，b>0） a b

=a b （a≥0，b>0）

【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。

【例2】当x 取怎样的实数时①1x +；②2x -；③3x --；④22x +在实数范围内有意义

【拓展1】x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 (1) 23x +； (2)

321x -； (3) 2

1x

- 【拓展2】x 取何值时，下列各式有意义？

(1) 36x -； (2) 2

5x x +-； (3)

(

)

1

12

x -+-

【拓展3】x 取何值时，下列格式有意义： (1)

2x -； (2) 31x -； (3)

29

x

x + 3. 最简二次根式

二次根式a （0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简 二次根式：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3)分母中不含二次根式。

二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？ (1)

23a b (2)

32

ab

(3) 22x y + (4) a b -（a ＞b ） (5) 5 (6)8xy

【例2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（ ）．

16x -，22a b +，22ab ，0.5ab ,

3a ，4

b

,24x ，244x x -+． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【例3】在下列二次根式

22211025312232322

a a a a

b m x a b x a b +-++，

，，，，，，，，，中，最简二次 根式有____________________。 【练习】下列根式2231

28252

xy ab xy x y -，，

，，，中式最简二次根式的有（ ）