勾股定理反证法
勾股定理的逆证明过程
勾股定理的逆证明过程勾股定理大家都知道，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那它的逆定理呢？就是如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形就是直角三角形。
今天咱们就来好好唠唠这个逆定理的证明过程。
咱们先从一个三角形说起，假设有个三角形，它的三条边分别是a、b、c，而且呢，满足a² + b² = c²。
那咱们怎么证明这个三角形是直角三角形呢？咱们可以用一个很巧妙的方法。
咱们先构造一个直角三角形，让这个直角三角形的两条直角边分别等于a和b。
那根据勾股定理，这个构造出来的直角三角形的斜边就应该是根号下(a² + b²)，可咱们前面已经知道a² + b² = c²了，所以这个斜边就等于c。
这时候咱们就可以把原来的那个三角形和咱们构造出来的这个直角三角形放在一起比一比。
你看啊，这两个三角形，它们有两条边是完全相等的，就是a和b。
然后斜边也相等，都是c。
那根据三角形全等的判定方法，三边对应相等的两个三角形全等。
所以呀，原来的那个三角形和咱们构造出来的这个直角三角形就是全等的。
既然是全等的，那原来的那个三角形肯定也是直角三角形啊，因为咱们构造出来的那个就是直角三角形嘛。
这就好像是两个人，穿着一模一样的衣服，长得也一模一样，那其中一个是医生，另一个肯定也是医生呀，因为他们完全一样嘛。
再从另一个角度来看。
咱们可以把这个三角形放在坐标平面上。
假设这个三角形的三个顶点分别是A、B、C，坐标咱们可以随便设。
然后根据两点间距离公式，咱们可以算出AB²、BC²和AC²。
如果正好满足AB² + BC² = AC²，那咱们就可以通过向量的方法来证明角B是直角。
咱们可以把向量AB和向量BC表示出来，然后计算它们的点积。
如果点积等于0，那就说明这两个向量是垂直的，那角B就是直角了。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明欧几里德是古典数学的代表人物，他提出的勾股定理被认为是数学史上最重要的定理之一。
勾股定理，即给定直角三角形的两条直角边a，b，其斜边的平方等于两边的平方和，即：a2+b2=c2。
今天，我们将为读者介绍十种证明勾股定理的方法。
第一种是利用重心法证明。
当定义等腰三角形ABC时，在线段AB上定义重心G。
将线段AG视为一直角三角形，AG和BG就构成直角三角形。
易知三角形AGC也是直角三角形，三角形ABC也就是一个等腰直角三角形，AG和BC就是一组等腰三角形。
易得：a2+b2=AC2+BC2，即：a2+b2=c2。
第二种是利用反证法证明。
假设勾股定理不成立，即a2+b2≠c2，那么，就会得到一条不等式：a2+b2>c2或a2+b2<c2。
因为a、b都是非负的，再加上c也是非负的，所以，有：a2>0、b2>0、c2>0，从而：a2+b2>0，由此可以得出矛盾：a2+b2>c2，但是c2>0。
这与原假设矛盾，则勾股定理成立。
第三是利用余弦定理证明。
设等腰三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=a2+c2-2ac cosB，c2=a2+b2-2ab cosC，将三式相加，可得到：2a2+2b2=2c2，从而证明勾股定理。
第四是利用边缘法证明。
由边缘定理可知，在等腰三角形ABC 中：a2=b2=c2=2S2，其中S为ABC的面积。
令α、β、γ分别为三角形ABC的内角，及对应的外接圆的半径，令ΔO为三角形ABC的外切圆，则有：α+β+γ=180°，易知：a2+b2+c2=2(α2+β2+γ2)=2R2=c2，可以证明出勾股定理。
第五种是利用角和弧法证明。
在等腰三角形ABC中，用圆弧a 表示两边a和b的连接的圆弧，一条弧的长度是直径乘以圆心角的度数，即可推得：c2=a2+2aR-b2，将c2的左边加上b2，右边减去b2，即可得到：c2=a2+b2，从而证明出勾股定理。
数学八年级上册《勾股定理-反证法》课件
矛盾．
B
C
假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C
．
小结： 反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得
出矛盾→肯定原结论正确
例3 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：如图，两条相交直线a，b.
a
● A'
●
求证：a与b只有一个交点.
A
b
分析：想从已知条件“两条相交直线a，b”出发，经过推
理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a 是整数，故a是奇数.
不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
像这样的证明方法叫“反证法”.
典例精析
例1 写出下列各结论的反面：
（1）a∥b；
a不平行于b
（b是正数； （4）a⊥b.
b是0或负数 a不垂直于b
例2 在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.
证明：假设 ∠B ＝ ∠C，
A
勾股定理的证明方法和相关故事
04
勾股定理的故事和传说
毕达哥拉斯与勾股定理的故事
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学 家，被认为是勾股定理的创始人。传说他 通过观察铁匠铺打铁的声音，发现了音符 与数的关系，进一步推导出勾股定理。
毕达哥拉斯学派认为，数是万物的本原， 自然界的秩序和原理都可以用数来解释。 他们通过大量的实践和证明，不断完善勾 股定理，并将其广泛应用于各个领域。
勾股定理的推广和变种
勾股定理的推广包括勾股定理的逆定理、勾股定理的推广 形式等。这些推广形式可以用于解决更广泛的问题，如确 定三角形的形状、计算三角形的面积等。
勾股定理的变种包括勾股定理的特殊形式、勾股定理的变 形等。这些变种形式可以用于解决一些特殊问题，如确定 特殊三角形的各边长度、计算特殊三角形的面积等。
证明方法基于数论和音乐理论，将数 学与哲学、音乐相结合，展现了毕达 哥拉斯学派的独特思想。
赵爽证明方法
赵爽是中国古代数学家，他在《周髀算经》中给出了勾股定理的证明，使用了“ 出入相补”原理。
赵爽的证明方法简单易懂，适合初学者理解，对中国古代数学的发展产生了重要 影响。
反证法证明方法
反证法是一种间接证明方法，通过否定结论来推导出矛盾， 从而证明原命题成立。
使用反证法证明勾股定理时，首先假设三角形不是直角三角 形，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
03
勾股定理的应用和推广
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理在平面几何中有着广 泛的应用，如确定直角三角形 各边的长度、计算直角三角形 的面积等。
在三维几何中，勾股定理可以 用于确定空间直角三角形的各 边长度，以及计算其体积和表 面积。
《几何原本》对后世的数学发展 产生了深远的影响，成为数学教
勾股定理.反证法(优质课)获奖课件
13.5.2 线段垂直平分线
新 知 梳 理
► 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的__ 距离相等 __．
►
知识点二
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
垂直平分线 到线段两端__ 距离相等 __的点在线段的__ __上．
13.5.2 线段垂直平分线
► 知识点三 三角形三边的垂直平分线交于一点，且 到三个顶点的距离相等
14.1.3 反证法
新 知 梳 理
► 知识点一 反证法的定义 反面出发，引出矛盾 从命题结论的____ ____，从而证明命题的成 立，这种证明方法叫反证法． ► 知识点二 反证法证明命题的一般步骤 反证法是同学们新接触的一种间接证明的方法，其主要步 骤是： (1)假设结论的 反面 是正确的； (2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
14.1.3 反证法
[归纳总结] 原则上来说，当直接证明问题有困难时考 虑采用反证法．一般地，当求证的结论出现“最(至) 多”“最(至)少”“不(相等、平行、垂直、相交)” ，就需要 运用反证法． 其次， 证明一个数是无理数通常也采用反证法．
13.5.2 线段垂直平分线
13.5.2 线段垂直平分线
14.1.3 反证法
[归纳总结] 注意： 用反证法证明时， 由于要假设待证命题 的结论不成立，就必须考虑结论的反面可能出现的所有情况， 如果结论的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况，就 足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那 么就必须把所有的情况全部列出来，并且一一推出矛盾后，才 能肯定原结论是正确的．
14.1.3 反证法
14.1.3 反证法
证明勾股定理的三种方法
证明勾股定理的三种方法
勾股定理，又称“三角形关系”，指的是一个直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和，也就是一个三边长a,b,c的直角三角形，若其中有一边的长度c是斜边，则有a^2 + b^2 = c^2.勾股定理是数学上最有名的定理之一，在很多地方有着广泛的应用，其证明方法也有许多种。
本文将介绍证明勾股定理的三种方法，即几何证明、反证法和平方展开法。
首先，介绍一种几何证明法。
几何法是把直角三角形抽象成一个直线和一个垂线，其中垂线的长度等于斜边的长度，将垂线的中点拉出直线的同侧，得到一个直角三角形，以此证明勾股定理。
显然，由新得到的直角三角形中，斜边的长度加上刚拉出的垂线的长度等于两个直角边的长度的和，即c + b = a，从而可以得出a^2 + b^2 = c^2。
其次，介绍反证法。
反证法是先假设勾股定理不成立，即a^2 + b^2 != c^2，然后推演出矛盾，从而证明勾股定理是正确的。
如果勾股定理不成立，则说明c > a + b，那么就有c > a，c > b，即斜边比两个直角边都要长，但这与直角三角形的定义矛盾，即没有一个直角三角形能满足该条件，因此a^2 + b^2 = c^2成立。
最后，介绍平方展开法。
由于a^2 + b^2 = (a + b)^2，即将直角边平方和展开得到的表达式，并令c = a + b，由勾股定理的定义可得，c^2 = a^2 + b^2，即证明勾股定理。
综上所述，通过以上三种方法可以很容易地证明勾股定理，它无论从几何证明上，还是从反证法和平方展开法上来说，都是极为明确
的。
这也表明，勾股定理的证明具有极强的科学价值，从古代中国以来，一直是数学史上的重要课题。
勾股定理141勾股定理4反证法课件42
知1－讲
知1－练
1 求证:在一个三角形中，如果两条边不相等，那 么它们所对的角也不相等.
2 假设命题结论的
成立，经过正确的
________，引出________，因此说明假设不成立，
从而证明
成立，这样的证明方法叫
________；其思维方法是________．
知1－练
3 反证法的一般步骤： (1)假设命题的________不成立； (2)从提出的假设出发，结合已知条件，根据已学过 的定义、定理、基本事实推出与已知条件或已学 过的定义、定理、基本事实等相______的结果； (3)由________判定假设不成立，从而肯定原命题的 结论正确．
少”“至多”等肯定或否定的表述时，若直接证明 较困难，可考虑用反证法，而对于文字的表述题， 可先转化为数学语言表述，再用反证法证明；(2)分 析例题结论反面时，要做到不重复、不遗漏，如本 例中的“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”， 而“不是锐角”有两层意思：是直角、是钝角，因 此可分为两类：直角、钝角．
我们同样可以用反证法证明它是一个真命题.
知1－讲
例1 求证:两条直线相交只有一个交点. 已知:两条相交直线l1与l2. 求证: l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出 发，经过 推理，得出结论“ l1与l2只有一个交点”是很困 难的，因此可以考虑用反证法.
勾股逆定理的证明方法
勾股逆定理的证明方法一、引言勾股定理是初中数学中最基础的定理之一，指的是直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和。
而勾股逆定理则是指，如果一个三元组(a,b,c)满足a²+b²=c²，那么这个三元组就可以构成一个直角三角形。
本文将介绍证明勾股逆定理的几种方法。
二、几何证明法1. 图形法：画出一个以a,b,c为边长的三角形，在c边上作高h，则有：a²=h²+(c-b)²b²=h²+(c-a)²将两式相加得：a²+b²=2h²+2c²-2ac-2bc+2ab又因为a²+b²=c²，所以有：c²=2h²+2c²-2ac-2bc+2ab化简可得：h=(a+b-c)/2即可证明(a,b,c)可以构成一个直角三角形。
2. 面积法：假设以a,b,c为边长的三角形面积为S，则有：S=1/2 * a * h = 1/2 * b * h = 1/2 * c * h其中h为以c为底边的高。
将上式代入可得：S=1/4 * sqrt[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]又因为S=1/2 * ab/2 = 1/4 * c * sqrt(a²+b²)，所以有：c²=a²+b²即可证明(a,b,c)可以构成一个直角三角形。
三、代数证明法1. 平方差分法：将c²-a²-b²代入(a,b,c)的条件，得：c²-a²-b²+2ab-2ab=0移项整理可得：(c+a-b)(c-a+b)=2ab因为a,b,c都是正整数，所以(c+a-b)和(c-a+b)都是正整数。
而且它们的积等于2ab，因此它们中必有一个是偶数。
不妨设(c+a-b)为偶数，则有：c+a-b=2mc-a+b=2n其中m,n均为正整数，且mn=ab。
勾股定理逆定理八种证明方法
勾股定理逆定理八种证明方法本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。
过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。
斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。
勾股定理逆定理的证明方法
勾股定理逆定理的证明方法证明勾股定理逆定理勾股定理逆定理是指：给定任意正整数a，b，c，如果a^2+b^2=c^2，则a，b，c三者互为正整数的勾股数。
证明勾股定理逆定理，可以采用反证法。
假设a，b，c三者不是正整数，即a，b，c至少有一个不是正整数。
首先，假设a不是正整数，则a可能是负数或者零。
如果a是负数，则a^2是负数，而b^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此a不可能是负数。
如果a是零，则a^2也是零，而b^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此a也不可能是零。
其次，假设b不是正整数，则b可能是负数或者零。
如果b是负数，则b^2是负数，而a^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此b不可能是负数。
如果b是零，则b^2也是零，而a^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此b也不可能是零。
最后，假设c不是正整数，则c可能是负数或者零。
如果c是负数，则c^2是负数，而a^2和b^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此c不可能是负数。
如果c是零，则c^2也是零，而a^2和b^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此c也不可能是零。
由以上分析可知，a，b，c三者不可能同时不是正整数，因此a，b，c三者必须同时是正整数，这就是勾股定理逆定理的证明。
综上所述，可以得出结论：给定任意正整数a，b，c，如果a^2+b^2=c^2，则a，b，c三者互为正整数的勾股数。
勾股定理的500种证明方法
勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。
它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。
2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。
我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。
将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。
再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。
最后，化简为a² + b² = a² + b²。
我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。
3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。
然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。
接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。
我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。
根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。
我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。
4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。
5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。
然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。
6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。
7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。
以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。
勾股定理证明反证明法
勾股定理证明反证明法反证法是一种常用的数学证明方法，它的核心思想是通过假设命题不成立，从而推出一个矛盾的结论，进而证明命题的正确性。
在数学中，反证法可以应用于各种定理的证明过程中，而勾股定理是其中一个经典的例子。
勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在约公元前500年左右发现的，它表明：在直角三角形中，三条边的平方之和等于斜边的平方。
这个定理在数学中有着广泛的应用，涉及到几何学、物理学以及工程学等领域。
我们来看一下如何使用反证法证明勾股定理。
假设存在一个直角三角形ABC，其中AB、BC和AC分别表示三条边，满足AB² + BC² ≠ AC²。
根据反证法的思想，我们假设勾股定理不成立，即三条边的平方之和不等于斜边的平方。
根据勾股定理的条件，可以得到AB² + BC² = AC²。
接下来，我们通过推理来得出矛盾的结论，从而证明假设的错误。
我们假设AC² - AB² = BC²。
根据这个假设，我们可以得到以下推论：AC² - AB² = BC²AC² - AB² + AB² = BC² + AB²AC² = BC² + AB²进一步，我们将假设的条件带入到推论中，得到：AC² = AC²这个推论表明，AC的平方等于AC的平方，这是一个显然成立的等式。
根据这个等式，我们可以得出结论：假设AB² + BC² ≠ AC²是错误的。
因此，我们通过反证法证明了勾股定理的正确性。
在这个证明过程中，我们假设了勾股定理不成立，然后通过推理得到一个矛盾的结论，从而证明了假设的错误。
反证法作为一种常用的证明方法，可以帮助数学家们在研究中发现新的定理和推论。
它的思想简单直观，但在实际应用中需要注意逻辑的严密性和推理的合理性。
勾股定理逆定理怎么证
勾股定理逆定理怎么证
法一：作一直角三角形使其两直角边与三角形ABC的两条较短边相等，可得这两个三角形全等（SAS）三角形ABC为直角三角形。
法二：a平方+b平方=c平方，所以a平方+b平方-c平方=0=cosC，根据余弦定理，即得角C=90度。
勾股定律又称勾股弦定理、勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。
它是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是数形结合的纽带之一。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，故称之为勾股定理。
意义
1．勾股定理的证明是论证几何的发端；
2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；
3．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；
4．勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；
5．勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值。
这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。
1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。
反证勾股定理
反证勾股定理勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是初中数学中最基础的定理之一。
然而，这个看似简单的定理却有着深刻的数学内涵和广泛的应用场景。
在本文中，我们将介绍如何从反证法的角度出发来证明勾股定理。
反证法，顾名思义，是一种通过反向推理来证明某个命题的方法。
这种方法的基本思想是：假设所要证明的命题不成立，然后找出这种假设所导致的矛盾，进而推断所要证明的命题必定成立。
下面我们将通过反证法来证明勾股定理。
首先，让我们回忆一下勾股定理的内容：对于任意一组三角形的三条边a、b、c（其中c为斜边），满足a² + b² = c²。
我们假设这个定理不成立，也就是说，存在一组三角形，它的三条边a、b、c不能满足勾股定理。
那么，我们可以列出以下两个无序数对：(a,b)和(a,c)根据反证法的思想，我们需要假设这两个数对中至少有一个是勾股数，即满足a² + b² = c²或a² + c² = b²。
假设(a,b)是勾股数，则有：a² + b² = c²根据此式，我们可以知道c必须满足以下条件：c > ac > b而我们又可以将原始三角形的边长表示为c = a + k和c = b + m（其中k和m均为正整数）。
将这个式子代入a² + b² = c²中，得到：a² + b² = (a + k)² + (b + m)²展开式子并合并同类项，得到：a² + b² = a² + 2ak + k² + b² + 2bm + m²这个式子还可以进一步简化为：2ab = 2ak + 2bm + k² + m²因为a和b都是正整数，所以a和b的乘积必须是偶数。
但是右边的式子中，k²和m²必须都是奇数，所以它们的和一定是偶数。
勾股定理20种证明方法
勾股定理20种证明方法勾股定理是中国古代数学中的一个重要定理，也被称为勾股三角形定理，它是指直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理的发现和证明有很多方法，下面我们来看看20种不同的证明方法。
1. 几何方法：这是最常见的证明方法，可以通过绘制直角三角形，然后运用几何知识来证明。
2. 代数方法：可以通过代数运算来证明，将直角三角形的三边长度表示为变量，然后通过代数运算得出结论。
3. 物理方法：可以利用物理学知识，比如平面几何法，来证明勾股定理。
4. 数学归纳法：可以运用数学归纳法来证明勾股定理，将直角三角形的边长依次递增，然后证明其中一个等式成立，推导出其他情况。
5. 解析几何法：可以通过解析几何的方法，利用坐标系和直线方程来证明勾股定理。
6. 函数法：可以通过函数图像和函数性质来证明勾股定理。
7. 同余定理方法：可以通过同余定理来证明勾股定理。
8. 三角函数方法：可以运用三角函数的性质和公式来证明勾股定理。
9. 相似三角形方法：可以通过相似三角形的性质来证明勾股定理。
10. 斜率方法：可以运用直线的斜率来证明勾股定理。
11. 反证法：可以通过反证法来证明勾股定理，假设直角三角形的三边不符合勾股定理，然后推导出矛盾。
12. 三角形面积法：可以通过计算直角三角形的面积来证明勾股定理。
13. 欧拉定理法：可以通过欧拉定理来证明勾股定理。
14. 空间几何法：可以将直角三角形的顶点放置在空间中，运用空间几何知识来证明勾股定理。
15. 弦与切线相交定理：可以利用弦与切线相交的性质来证明勾股定理。
16. 数列方法：可以通过构造数列，运用数列的性质来证明勾股定理。
17. 微积分方法：可以通过微积分的知识来证明勾股定理。
18. 统计方法：可以通过统计实验来证明勾股定理，比如通过大量的直角三角形数据验证勾股定理成立。
19. 推广方法：可以通过勾股定理的推广形式来证明勾股定理，比如勾股定理的逆定理。
20. 全等三角形法：可以通过全等三角形的性质来证明勾股定理。
反勾股定理的证明
反勾股定理的证明一、介绍反勾股定理是三角学中最重要的定理之一，也被称为勾股定理的逆定理。
定理表述如下：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边平方的和。
在本文中，我们将使用几种不同的方法来证明反勾股定理。
以此展示数学证明的多样性和美妙之处。
二、几何证明在这种方法中，我们通过几何图形构建来证明反勾股定理。
2.1 构建1.绘制一个直角三角形，并标记直角顶点为C。
2.以直角边为底，绘制一个正方形ABCD。
这样，直角边就成为正方形两条对角线的一部分。
3.连接正方形ABCD的对角线AC和BC。
2.2 证明1.观察直角三角形中的两个小三角形ABC和ACD。
2.根据正方形的性质，我们知道AB = AC = CD。
3.根据小三角形ABC的相似关系，我们可以得出AB/BC = BC/AC。
4.通过交叉相乘得到AB^2 = BC^2。
5.同样地，根据小三角形ACD的相似关系，我们可以得出AC/BC = BC/CD。
6.通过交叉相乘得到AC^2 = BC^2。
7.综上所述，我们可以得出AB^2 + AC^2 = 2(BC^2)。
8.但是，由于AB = CD，所以AB^2 + AC^2 = BC^2 + BC^2 = 2(BC^2)。
9.因此，我们得出结论：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边平方的和。
三、代数证明在这种方法中，我们使用代数运算和数学恒等式来证明反勾股定理。
假设直角三角形的两个边分别为a和b，斜边为c。
3.2 证明1.根据勾股定理，我们可以得到a^2 + b^2 = c^2。
2.运用代数运算，我们可以得到a^2 = c^2 - b^2。
3.经过调整和简化，我们得到a^2 = (c + b)(c - b)。
4.同样地，我们可以得到b^2 = (c + a)(c - a)。
5.对于直角三角形来说，a和b都大于零，因此我们可以得出结论：c + b >a，c - b > a，c + a > b，c - a > b。
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证明这个命题是真命题可用反证法．其步骤为：假设___∠__C__＝__9_0_°，根据
___勾__股__定__理，一定有___A__C_2_＋__B_C_2_＝__A，B但2 这与已知____A__C_2_＋__B_C__2≠__A__B相2 矛 盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
知识点一：反证法的概念及步骤 1．命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．假定AB∥EF D．假定AB不平行于EF
5．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”．下面写出了用于证明这
个命题过程中的四个推理步骤：
①∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②∴∠B<90°；
③假设∠B≥90°；
④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
10．用反证法证明： (1)一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交； 解：
(1)已知：如图，直线a∥b，直线l与直线a相交．
求证：直线l与直线b也相交． 证明：假设直线l与直线b不相交，则l∥b.∵a∥b，∴a∥l，与直线l与a 相交相矛盾，∴假设不成立，∴直线l与直线b也相交
(2)已知△ABC，求证：在内角∠A，∠B，∠C这三个角中至少有两个锐角 ．
解：有错误．证明：假设AC＝BC，∴∠A＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝45°，与∠A≠45°相矛盾，∴AC≠BC
8．用反证法证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角时， 假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，令∠A＝∠B＝90°，则得出的结论与
勾股定理反证法
2020/8/19
1反．面反证法：反证法是一种重要的证明方法，其步骤为：(1)先假设结论
的______是正确的；(2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定
相矛盾
正确
义或已知条件________；(3)说明假设不成立，进而得出原结论________．
练习1.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，要
这与_______矛盾，故_______不成立．
已知
假设
∴___________________．
l1与l2不平行
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠B≠∠A， ∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法；若有错误，请予以 纠正．
这四个步骤正确的顺序应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是( )
A．①②③④ B．③④②①
C
C．③④①② D．④③①②
知识点二：用反证法证明
6．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内
角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°.
求证：l1与l2不平行．
证明：假设l1___∥_l2，则∠1＋∠2____＝180°，
13．(阿凡题 1072051)如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的 平分线，AM是BC边上的中线．求证：点M不在线段CD上．
解：假设PB＝PC.∵AB＝AC，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC(S.S.S.)， ∴∠APB＝∠APC.这与已知∠APB≠∠APC相矛盾，∴假设不成立，故
PB≠PC
12．如图，在△ABC中，AB＞AC.求证：∠C＞∠B.
解：(用反证法)∵∠C和∠B的关系有三种，①∠C＞∠B；②∠C＝∠B；③ ∠C＜∠B.(1)假设∠C＝∠B，则由“等角对等边”，可知AB＝AC，与已知条 件AB＞AC相矛盾，∴假设错误；(2)假设∠C＜∠B，在AC上取一点D，使 ∠DBC＝∠C，∴BD＝CD，因此AC＝AD＋CD＝AD＋BD＞AB，与已知条 件AB＞AC相矛盾，∴假设错误．综上可知，∠C＞∠B
B ______相矛盾( ) A．已知 B．三角形的内角和等于180° C．直角三角形的定义 D．垂直公理
9．如图，求证：在同一平面内过直线l外一点A，只能作一条直线垂直 于l. 证明：假设过直线l外一点A，可以作直线AB，AC垂直于l，垂足分别为 点B，C，那么∠A＋∠ABC＋∠ACB____180°，这与 ＞ _三__角__形__的__内__角__和__等__于__1_8_0_°____矛盾，∴____假__设__不__成__立__，∴结论成立．
解：(2)证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角，其他两个是钝 角或直角，不妨设0°＜∠A＜90°，90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜ 180°，∴∠B＋∠C＋∠A＞90°＋90°＋0°＝180°，这与三角形的内
角和为180°相矛盾，∴三角形中至少有两个锐角
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC. 求证：PB≠PC.
B A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b
C
3．用反证法证明命题“在一个三角两形条中边，所如对果的两角条相边等不相等，那么它们所 对的角也不相等”的结论的反面是______________________．
4．用反证法来证明命题：已知AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF.证明 的第一步是( B )