第二章 光纤传输机理的光线理论分析—2

点Q度量的光线轨迹的长度;r代 表光线轨迹上某一点A的位置矢 量;ds是光线轨迹上的一微分线 段; is 为光射线在A点处切线 方向的单位矢量。
图2.6 非均匀介质中光线轨迹分析
由图2. 6所示，根据 is 的定义应有
dr is ds
（2.41）
另一方面，根据光程函数的物理概念，光线方向的单位矢量 亦应为光程(位相)函数梯度方向的单位矢量:
d ds
dr d 2r 0 n ds 0或 2 ds
由上式可解出
dr n =ct ds
最终的解为矢量线性方程:
（2.50）
r s a + b
（2.51）
式中，a,b为常数基矢量。上式表明，解为一矢量直线方程，该 直线是沿着基矢a的方向，并通过r=b端点的一条直线(如图2. 7 所示)。图中表明，在各向同性的均匀介质中，由位置矢量r的 矢径端点轨迹构成的光线为一条直线。
( V0e
2
jk0
) k ( V0e
2
jk0
) 0
(2.30)
对(2. 30)式左端首项进行拉普拉斯二阶微分运算，应有
jk0 jk0 2 2 2 2 2( V0e jk0 ) V0 k ( ) jk e V e 0 0 0
④在各向同性、渐变折射率介质中，程函方程是一个代表本 地平面波传输时位相变化的偏微分方程。其物理意义表示:介 质中各点的本地平面波(基波)的最大位相变化与该点的折射 率成正比，光射线即代表本地平面波的法线，由于等位相的 波阵面是弯曲的，因而光线的轨迹也是弯曲的;而在各向同性、 均匀的介质中，本地平面波即为真正的平面波，因而光射线 即垂直于平面波的法线应为直线。
图2.7 均匀介质中光线轨迹分析
(2)直角坐标分量形式的光线微分方程 在直角坐标系中，光线微分方程(2.47)式的各标量方程形式为
d x方向分量： ds d y方向分量： ds d z方向分量： ds
n n n
dx n ds x dy n ds y dz n ds x
dn 0 dr
将上述关系式代人(2. 58)式，则有
d ds d ds d ds
②
将(2. 52)式进行适当的运算变换，并将(2.55)式、(2.56)式、 (2.57)式代人，则可依次得到一般情况下圆柱坐标系的三个分 z)所组成的光线微分方程: 量(r、、
2
dr d n n ds nr ds r d 2 d n 分量： nr ds ds d dz n z分量： n ds ds z
将(2.46)式代人(2.45)式，则有
d ds
dr n(r) ds n(r)
（2.47）
上式即为矢量形式的光线微分方程，它是一个以r为变量的二 阶微分方程。其特点是以位置矢量r=r(s)来描述光线轨迹，因 而它是求解非均匀介质中光线轨迹的基本公式。然而，上式的 严格求解仍是困难的，在很多实际应用中，常需要一个近似的 光线微分方程。为此，需导出近轴光线微分方程。
2. 2. 2光线微分方程(射线方程)
程函方程是射线光学的基础方程，它给出了明确的物理 概念，但尚不能确定光射线的具体轨迹。为此，需进一步 导出光线微分方程，进而在给定的坐标系与起始条件下， 求解光线微分方程，即可得到光射线的具体轨迹。
1.光线微分方程的建立 (1)矢量形式的光线微分方程 根据位置矢量r,建立沿光线轨迹度量的矢量微分形式的距离方程。 设在各向同性非均匀介质中(如图2. 6所示)，S为从光线某一起
d r分量： ds
①
②
（2.58）
③
上式适用于介质折射率分布函数为 n n(r ,,z ) 的一般情况。 实际上，对介质折射率分布非均匀的圆柱光纤(如渐变折射率 光纤)，其折射率的分布规律一般遵循:折射率的分布与z无关， 即在垂直于光纤轴线的任意截面均与光纤端面的折射率分布一 致，因而 ;折射率分布亦与方位角 无关,即过光轴的任 n 0 意子午面内其折射率分布均相同，因而 。最终光纤中折 z n 0 射率的分布实际上只与r有关，即 。
1.程函方程的导出 从亥姆霍兹方程(1.40)式出发，对电场矢量E应有
E k E 0
2 2
对于E的任意直角坐标分量(以符号形式v表示)，应有标量形 式亥姆霍兹方程:
V k V 0
2 2
设其试探解为
V V0(r) e
jk
V0(r) e
jk0(x ,y , z)
jk 0( nr )
④
同时，折射率n对x、y的偏微分可以变换为如下形式:
n n r n n n sin cos x r x x r r n n r n n n cos sin y r y y r r
V0(r) e
jk0( r )
V0(x ,y ,z ) e
(2.29)
式中， r r(x ,y ,z ) 为表示位置的矢量; (r) (x ,y ,z ) nr r表示光程，也是位相函数。它是位置的实标量函数，表示光 射线的位相特性，又称“光程函数”。
将(2. 29)式代人上述标量波动方程，应有
grad (r) (r) (r) is n(r) grad (r) (r)
（2.42）
联立上两式，应有
dr (r) n(r) ds
（2.43）
上式是用光程函数甲来确定光线轨迹的，而为建立一个以n(r)与 r所表示的光线轨迹方程，需引入如下的数学变换取代全微分算 d 符 ds 。
2 (r) n (r)
2
（2.36）
上式也可以直角坐标形式表为
2 2 2 ( ) ( ) ( ) n 2(x ,y ,z ) （2.37） x y z
将(2. 36)式两端做开方变换，则有
(r ) n(r )
（2.38）
或以直角坐标形式表示沿法线方向的位相梯度为
dqi d dx dx dx dr i 3 垐 垐 垐 = 噲 ds i ds qi ds x ds y ds z ds
Hale Waihona Puke Baidu
对(2.43)式两端同取对s的微分，则有
d d dr (r) n(r) ds ds ds
d 2 2 2 grad ( ) ( ) ( ) dn x y z
上述(2. 36)式与(2. 38)式即为程函方程。
（2.39）
2.程函方程的讨论 ①程函方程的物理意义:非均匀介质中各点(M)的位相函数 (r) 的梯度(即最大位相变化) (r)与该点的折射率成正比。换言 之，介质中折射率的分布情况决定了各点位相函数的梯度。 ②程函方程是几何光学(光线光学)的基本方程，它是在几何 光学近似条件下[即 0、光频 (k ) ]得到的反映光 波电磁场的近似规律。上述分析表明，在几何光学近似的范围 内，光场可用单一的实标量函数—光程函数 (r) 来表征，此函 数仅由折射率分布函数n(r)和适当的边界条件即可完全确定。
2. 2光线理论的基本方程
2. 2. 1非均匀介质中的光线理论-程函方程
运用光线理论研究折射率是位置函数 n(r ) n(x ,y ,z ) 的非均 匀介质中光的传播规律时，可以采用从亥姆霍兹方程导出的一 种近似的波动方程来表示光线的轨迹。在这种方程中，将表示 光的波面位相的实标量函数称为“光程函数”(eikonal)，而将其 方程称为“程函方程”。因此，程函方程是代表光射线位相特 性的方程。
j 2k0 V0e jk0
(2.31)
将(2. 31)式代人(2. 30)式，并约去共同因子 e jk0 整理，则得到
V0k02( )2 2V0 k 2V0 j V0k02 2k0V0 0
(2.32) 上式可等价转化为如下的实部方程和虚部方程，并可得到标量 微分方程的精确解:
运用程函方程及(2.44)式变换等式左端
d dr (r) (r) (r) ((r)) ds ds n(r) 2 2 1 1 1 1 (r) n(r) n(r) 2 n(r) 2 1 2n(r) n(r) n(r) （2.46） 2n(r)
又x、y相对于s的全微分分别为
①
（2.56）
②
dx x r x r cos sin ds r s s s s dy y r y r sin cos ds r s s s s
①
（2.57）
①
②
（2.52）
③
(3)圆柱坐标系中的光线微分方程 对于圆柱光纤，其标量形式的光线微分方程更适用圆柱坐 标系。为将直角坐标系形式的光线微分方程转换为圆柱坐标 系形式的光线微分方程，首先需建立坐标转换方程。如图2. 8 所示，两组坐标系间应有如下变换关系:
x r cos y r sin
当光线轨迹相对于z轴的角度很小时，即在近轴条件下，通常 取ds dz,且n(r) n1 （ n 1 为光轴上的折射率)，代人(2.47)式则 有
d dz
最终有
dr n1 dz n(r)
（2.48）
d r 1 n(r) 2 n1 dz
2
（2.49）
此即矢量形式近轴的光线微分方程，又称“近轴光线方程”。 矢量光线微分方程式(2.47)的特点是，方程中只有折射率分 布作为:的函数。对非均匀介质，显然n(r) 0 ，因而解出的 光线轨迹即由r矢量端点构成的轨迹应为弯曲的;特别地，在均 匀介质中，由于n=ct, n 0 ，因而代人(2.47)式将有
第2章 光纤传输机理的光线理论分析
研究分析光波导的传光机理有两种方法:波动理论方法即求 解波动方程，进行模式分析，这种方法可获得精确的解析或 数值结果;光线理论方法即将光视为射线，利用光线的反射、 折射原理解释光在光纤中的传播规律与物理现象。本章将介 绍的光线理论分析方法具有物理图像简明、直观的优点，目 前仍是分析研究光波导中传输规律与特性的一种重要手段。
x y
2 2
①
②
（2.53）
r
图2.8 坐标变换关系
①
y arctan( ) x
②
（2.54）
为完成变换，同时给出
r x r y x y
x2 y2 x cos x r sin sin
①
②
（2.55）
③
r cos r
V0k02( )2 2V0 k 2V0
实部方程 虚部方程
（2.33） （2.34）
V0k02 2k0V0
为获得(2. 33)式简化的几何光学近似解，将其变换为如下形式:
( )2
2V0
Vk
2 0 0
k 2V0 2 n2 k0V0
2
（2.35）
k 上式中， 0 0 ，在几何光学近似条件下，可视 0 0 ， 即上式左端第二项应 0 。因而（2.35）式应为
③等位相面(即几何波面，亦即波前)由下式决定，它决定了场 的分布形状:
(r) (x ,y ,z ) ct
（2.40）
程函方程中 的方向是与等位相面垂直的，它代表了光波各 等位面传播的方向，因而也就代表了光射线的方向。因而，在 几何光学近似的范围内，程函方程即决定了光波在光波导中的 传播。所以程函方程又可视为微分波动方程的特征线方程。