弹性力学与有限元法习题集..73页PPT
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弹性力学边值问题及有限元法(PPT)
（2）在边界上给定位移——位移边界条件
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
弹性力学有限元法.ppt
2021/3/11
13
在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj）， （xm，ym）。
2021/3/11
14
对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每 个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自 由度： ui , vi ,u j , v j ,um , vm 。
u x
K
矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性
变化的。
u kx2 mx
(kx2 mx) x
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
2021/3/11
7
4. 多面体单元
2021/3/11
8
5. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系 恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。
任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位 移将按抛物线变化，而不是线性变化。
2021/3/11
2
（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和
物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。
节点载荷和节点位移之间的关系式为：
Fe Kee
K e 为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元 上的力。
2021/3/11
元位移模式。
u(x, v(x,
y) y)
Ni
(x, 0
y)
0 N j (x, y) Ni (x, y) 0
0 Nm (x, y) N j (x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
u Ne
2021/3/11
18
有限元习题及答案ppt课件
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
弹性力学与有限元法习题集
（2）采用矩阵形式，便于编制计算机程序； （3）有较强的灵活性和适用性。
2019/7/29
slide4
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第二章习题与答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？
2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？ 3. 虚功原理内容？
2019/7/29
slide5
答案 返回
4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？ 5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？
slide29
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4.题答案
解：
1 xi 1 Sijm 2 1 x j
1 xm
yi 1 4 1
1
yj
1 2
7
7 13.5
ym
11 4
2019/7/29
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5.题答案
1
Ni (x, y)x i N j (x, y)x j N m (x, y)x m 2 A [(ai x i a j x j am ym ) (bi x i b j x j bm x m )x
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
2019/7/29
slide6
答案 返回
7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
应力分量表达式为， x
q 4a 3
x3 y
2xy3
6 5
a
y2)
Y 0
y
y
y
dy dx
( xy
2019/7/29
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第二章习题与答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？
2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？ 3. 虚功原理内容？
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4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？ 5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？
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4.题答案
解：
1 xi 1 Sijm 2 1 x j
1 xm
yi 1 4 1
1
yj
1 2
7
7 13.5
ym
11 4
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5.题答案
1
Ni (x, y)x i N j (x, y)x j N m (x, y)x m 2 A [(ai x i a j x j am ym ) (bi x i b j x j bm x m )x
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
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7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
应力分量表达式为， x
q 4a 3
x3 y
2xy3
6 5
a
y2)
Y 0
y
y
y
dy dx
( xy
有限元教程 弹性力学基础知识——虚功原理与弹性力学两类平面问题PPT课件
求：主动力FA与FB之间的关系。
解: 给虚位移 rA, rB ,
Fi ri 0
FA rA FB rB 0
由
rB cos rA sin
(
rA
,
rB
在
A
,B
连线上投影相等)
即 FA FB tan
第4页/共35页
一、虚位移原理回顾
理论力学中的虚位移原理回顾
虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
y
y
v
y
yz
w
y
dxdydz
yx
y
u
y
y
v
yz
y
w dxdydz
zx
u
z
yz
v
z
z
w
z
dxdydz
zx
z
u
zy
z
v
z
z
w
dxdydz
bx udxdydz by vdxdydz bz wdxdydz 高阶小量
进一步整理，合并同类项，利用微元体平衡方程，得
1. 平面应力问题
几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板 外力特征：
面力只作用于板的边缘上，方向平 行于板面且不沿厚度变化
体力平行于板面且不沿厚度变化
第18页/共35页
三、弹性力学的两类平面问题
1. 平面应力问题
应力特征：
由于薄板两表面上没有垂直和平行于板 面的外力，所以板面上各点均有：
( z )z t 0， ( zx)z t 0， ( zy )z t 0
无限小的位移称为虚位移 .只与约束条件有关.
虚位移
r , x,
等
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
弹性力学与有限元法习题集
（2）采用矩阵形式，便于编制计算机程序； （3）有较强的灵活性和适用性。
2019/7/29
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第二章习题与答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？
2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？ 3. 虚功原理内容？
2019/7/29
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4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？ 5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？
6. “在应用有限元求解弹性力学平面问题时，单元划分得越小 越好” ，这句话对吗？试说明理由。
2019/7/29
slide18
答案 返回
7. 试证明平面三角形三结点单元的位移模式：
ux, y a1 a2 x a3 y vx, y a4 a5 x a6 y
含有刚体位移状态。
2019/7/29
slide23
答案 返回
15. 如图所示单元，在jm边上作用有线性分布的水平载荷， 试求其等效结点载荷。单元的厚度为1cm。
2019/7/29
slide24
答案 返回
16. 如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试 单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。
2019/7/29
2
xy
，
y
qx
y3 4a3
3y 4a
1 2
xy
q 8a 3
3x 2
a2 y2
1 a4 y 4 6 a2 y 2
5
5
试检验这些应力公式是否满足变形协调方程 ？
2019/7/29
2019/7/29
slide4
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第二章习题与答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？
2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？ 3. 虚功原理内容？
2019/7/29
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4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？ 5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？
6. “在应用有限元求解弹性力学平面问题时，单元划分得越小 越好” ，这句话对吗？试说明理由。
2019/7/29
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7. 试证明平面三角形三结点单元的位移模式：
ux, y a1 a2 x a3 y vx, y a4 a5 x a6 y
含有刚体位移状态。
2019/7/29
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15. 如图所示单元，在jm边上作用有线性分布的水平载荷， 试求其等效结点载荷。单元的厚度为1cm。
2019/7/29
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16. 如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试 单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。
2019/7/29
2
xy
，
y
qx
y3 4a3
3y 4a
1 2
xy
q 8a 3
3x 2
a2 y2
1 a4 y 4 6 a2 y 2
5
5
试检验这些应力公式是否满足变形协调方程 ？
2019/7/29
弹性力学ppt课件
弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧目录•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。
研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。
应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。
应变物体上某一点在外力作用下的位置变化。
位移应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。
关系应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。
适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。
对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。
02弹性力学分析方法与技巧0102建立弹性力学基本方程根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。
选择适当的坐标系和坐标…针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。
求解基本方程采用分离变量法、积分变换法、复变函数法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变的解析表达式。
确定边界条件和初始条件根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。
验证解析解的正确性通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。
030405解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，通过节点连接各单元，建立单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解节点位移和单元应力。
弹性力学与有限元法1ppt课件
➢ 稳态分析 忽略时间效应。
➢ 瞬态分析 确定以时间为函数的温度等。 可模拟相变（融化及凝固）。
熨斗的瞬态热分析
28
本课程涉及到的高等数学及线性代数知识
1、泰勒级数
如果函数 f(x) 在点x0的某邻域内具有各阶导数 f ' (x), f '' (x),L , f (n) (x),L ，则可以将 f(x) 按照 泰勒级数展开为
应力种类
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
应力水平/MPa 限制值/MPa
41.12
167×1.5＝250.5
73.81
167×3.0＝511
评定结果 通过 通过
路径2
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
48.43 163.5
167×1.5＝250.5 167×3.0＝511
通过 通过
路径3
一次局部薄膜应 力
个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐
标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。
B
y
40
第一章 绪论
弹性力学的基本方法
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几 何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求 解，最后利用边界条件确定解中的常数。
按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A PA dx, PBz dy, PC dz y
x
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
38
第一章 绪论
➢ 瞬态分析 确定以时间为函数的温度等。 可模拟相变（融化及凝固）。
熨斗的瞬态热分析
28
本课程涉及到的高等数学及线性代数知识
1、泰勒级数
如果函数 f(x) 在点x0的某邻域内具有各阶导数 f ' (x), f '' (x),L , f (n) (x),L ，则可以将 f(x) 按照 泰勒级数展开为
应力种类
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
应力水平/MPa 限制值/MPa
41.12
167×1.5＝250.5
73.81
167×3.0＝511
评定结果 通过 通过
路径2
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
48.43 163.5
167×1.5＝250.5 167×3.0＝511
通过 通过
路径3
一次局部薄膜应 力
个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐
标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。
B
y
40
第一章 绪论
弹性力学的基本方法
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几 何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求 解，最后利用边界条件确定解中的常数。
按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A PA dx, PBz dy, PC dz y
x
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
38
第一章 绪论
弹性力学与有限元分析.ppt
上式建立了单元中任意一点的位移与节点位移的关系，
即通过单元节点位移 e 插值求出单元中任一点位移
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 N i在节点 i处的值为1，而在其余两个节点 处的值为0。
2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
差太大，即单元划分中不应出现过大的钝角或过 小的锐角，否则，计算误差较大。 在应力较大和应力集中的区域，单元应划分细一 些，以提高精度。 如果边界上有集中力作用，则该点应被划分为点。
单元的大小和数目应根据精度要求来确定，在保证
精度的前提下，力求采用较少的单元。
当物体的厚度有突变或物体由不同材料组成时，不 要把厚度不同或材料不同的区域划分在统一单元。
x y xy
且它们只是
x, y 的函数，与 z 无关。工程实际中，炮
筒、桥梁支座的柱形辊轴等都可简化为平面应变问题。
所以无论是平面应力问题还是平面应变问题，都只 需研究3个应力分量 x ,y ,xy，3个应变分量 x , y , xy
2个位移分量 U和 V。
四、单元划分
单元划分是有限元分析的基本前提，也是有限元 法解题的重要步骤。常用的单元类型有： 杆单元 平面单元 轴对称单元
空间单元 对平面问题，一般采用三角形单元，此时单元划
分应注意以下问题：
任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角
形单元的顶点，而不能是其内点。
三角形单元的3条边长（或3个顶角）之间不应相
x y xy
x y xy
弹性力学及有限元法chapter7精品PPT课件
e
i
j
m
v
j
w j
u
m
i
m
p
vm
wm
j y
u
p
x
vp
w p
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-2-1 位移函数
单元内任一点的位移 {f}假定为座标的线性函数
u
f
v
N
e
w
u 1 2x3y 4z v 5 6x7 y 8z w9 10x 11y 12z
节点i, j, m及 p的坐标分别为(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xm,ym,zm) 及 (xp,yp,zp)，把它们代入上式的第一式，得出各节点在x方 向的位移
第七章 空间问题和空间轴对称问题
ui 1 2 xi 3 yi 4 zi u j 1 2x j 3 y j 4z j um 1 2 xm 3 ym 4 zm up 1 2xp 3 yp 4zp
解方程组，求得 1,2,3,4，代入第一式，整理后得到
u N iu i N ju j N m u m N p u p
其中
Ni 61 Vaibixciydiz
N j 6 1 Vajbjxcjydjz
Nm61 Vambmxcmydmz
Np61 Vapbpxcpydpz
称为形函数，其系数是
第七章 空间问题和空间轴对称问题
xj yj zj ai xm ym zm
xp yp zp
1 xj zj ci 1 xm zm
同样，可以得到
vNivi Njvj NmvmNpvp wNiwi Njwj NmwmNpwp
单元内任一点的位移可以写成如下形式：
f N 0 i N 0 i 0 0