椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题专题

椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题

1.过椭圆C ：x 24＋y 2

＝1的上顶点A 作斜

率分别为1和－1的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 与y 轴交点的坐标是________．

2．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为________．

3．如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2

＝1的上、

下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B 的直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N.当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是________．

4．已知椭圆C ：x 24＋y 2

2＝1的上顶点为

A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．

5．已知椭圆x 236＋y 2

4＝1上一点M(32，

2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．

6．如图，已知椭圆E 1方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝

1(a ＞b ＞0)，圆E 2方程为x 2＋y 2＝a 2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k 1的直线的l 1与椭圆E 1和圆E 2分别相交于B ，C.设D 为圆E 2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k 2，当k 1k 2＝b 2

a

2时，直线BD 过定点________．

7.已知椭圆x 23＋y 2

2＝1，过点P(1，1)分别作斜

率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．若k 1＋k 1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．

8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的

离心率为

6

3

，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k(x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2＋EA →·AB →

为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

1．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35. 解析：由直线AM ，AN

分别和椭圆方程联立，即可求得M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8

5，－35和

N 坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫8

5，－35，进而可

求得MN 直线方程y ＝－3

5，

然后求得MN 与y 轴交点的坐标⎝

⎛⎭⎪⎫0，－35. 2．答案：－9. 解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．

将y ＝kx ＋b 代入9x 2

＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2

＋2kbx ＋b 2

－m 2

＝0，故x M ＝x 1＋x 2

2

＝

－

kb k 2

＋9

，易得y M ＝

9b

k 2＋9

，从而k OM ·k ＝－9. 3

．

答

案

：

()0，－2±23.

解析：设点P (x 0，y 0)，

直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，易得k 1k 2＝

y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 02－1

x 02

＝ －1

4

.所以AP 的方程为y ＝k 1x ＋1，BP 的方程为y

＝k 2x －1＝－1

4k 1

x －1，所以

M ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

－3

k 1，－2，N (4k 1，－2)，则以MN 为直径的圆

的方程为⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋3k 1(x －4k 1)＋(y ＋2)2＝0.即x 2＋y 2

＋

⎝ ⎛⎭

⎪⎫3k 1－4k 1x ＋4y －8＝0，所以

⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝0x 2＋y 2＋4y －8＝0.所以MN 为直径的圆过定点

(0，－2±23)． 4．答案：x 225＋y 2

16＝1.

解析：设动点M (x ，y )，由题意

（x －3）2

＋y 2

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

253－x ＝3

5，化简得

x 2

25

＋

y 2

16

＝1，所以动

点M 的轨迹方程是x 225＋y 2

16＝

1.

5．答案：1

3.

解析：设直线MA 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为－k ，联立直线MA 与椭圆方程：

⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32k

x 236＋y 2

4

＝1，整理得(9k 2

＋1)x 2

＋182

k (1－3k )x ＋162k 2－108k －18＝0，得x 1＝182（3k 2－k ）

9k 2

＋1

－32， 所

以x 2＝

182（3k 2＋k ）

9k 2

＋1

－ 32，整理得x 2－x 1＝362k 9k 2

＋1，x 2＋x 1＝1082k

2

9k 2＋1

－6 2.

又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 2＋2－32k )＝－k (x 2＋x 1)＋62k .

＝－108k 3

9k 2＋1＋122k ＝122k 9k 2

＋1，所以k AB ＝y 2－y 1

x 2－x 1＝122k 9k 2

＋1

362k 9k 2

＋1

＝1

3为定值． 6．答案：直线BD 过定点(a ，0)．

解法1由⎩⎪

⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a

2＋y

2b

2＝1，得x 2－a 2

a 2

＋k 12（x ＋a ）2b 2＝0，所以x

＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）

b 2＋a 2k 12

，

因为x B ≠－a ，所以x B ＝

a （

b 2－k 12a 2）

b 2＋a 2k 12

，则y B ＝k 1(x B

＋a )＝2ab 2

k 1

b 2＋a 2k 1

2.

由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2

，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a )2＝0，得x

＝－a ，或x ＝a （1－k 22）

1＋k 22

，同理，得x D ＝a （1－k 22）

1＋k 2

2

，y D ＝2ak 21＋k 22，当

k 1k 2＝b 2

a 2

时，x B ＝

a ⎝

⎛⎭⎪⎫b 2－b 4

a 2k 22

b 2

＋b 4a

2k 2

2

＝

a （a 2－

b 2k 22）

a 2＋

b 2k 22

，y B ＝