圆锥曲线中的最值和取值范围

2

解得X"或…泞，则AM k28k2 -6

3 4k2

=1 k2

12

3 4k2

因为AM _AN，所以圆锥曲线中的最值和范围

圆锥曲线是高考数学压轴题之一，是有效区分学生层次不可或缺的一个题型，能否解

决圆锥曲线问题，对提高学生的数学成绩某种程度上至关重要。回顾几年高考中的圆锥曲线

试题，其核心问题大概有两大类型，一是定值、定点、存在性问题，二是最值和范围问题。

本文就第二问题进行归纳和分析。

最值和范围一般有两个求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显几何意义时可

利用几何性质结合图形直观求解；二是代数方法，选择适当变量，建立函数模型，按照求最值的方法求解，求最值方法中：利用基本不等式、函数单调性、分离常数、配方法等是常用方法。对目标函数的的整理和恰当变形是难点。所涉及的量有斜率、面积、离心率、线段长度等。

一.近几年高考试题回顾。

X y2

1.(2017全国2)已知椭圆E: 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k 0)的

t 3

直线交E于A, M两点，点N在E上，MA丄NA. (I)当t =4 , AM| | AN时，求△ AMN

的面积；(II)当2 AM二AN时，求k的取值范围•

2 2

X y

【解析】⑴当t =4时，椭圆E的方程为 1 , A点坐标为-2 , 0,

4 3

则直线AM的方程为y =k X • 2 .

'2 2

£ I 二1

联立 4 3 " 并整理得， 3 4k2 x2 16k2x 16k2 -1^0

y -k X 2

厂匚2 12

厂〒2 12

因为 AM 二 AN , k 0，所以 1 k

FTk^

= 1 k

3I 7^，

k

整理得k -1 4k —k ・4产0 , 4k 2_k ・4=0无实根，所以k

.

⑵直线AM 的方程为y 二k x • ..t ,

r 2

2

x y

1

联立 t 3

并整理得，3 tk 2 x 2 2x t 2k ^3^-0 y =k （X + JT ）

解得 3 2 ::: k ::: 2 .

2.(2015高考真题山东理21 )在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线C:x 2=2py (p 0) 的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过 M,F,0三点的圆的圆心为 Q ,

点Q 到抛物线C 的准线的距离为 3 .

［来源学科网］

(I)求抛物线 C 的方程；(n)是否存在点 M , 4

使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由； (川)若点M 的横坐标为 2 ,直线l : ^kx 4与抛物线C 有两个不同的交点 A, B , l 与 圆Q 有两个不同的交点 D, E ，求当g 乞k 乞2时，|AB|2J DE|2的最小值 分析：(I )由题意，OF 为圆Q 的弦，y^— , ••• yQ — = 3 =

o

抛物线方程x 2 =2y

4 2 4

1 2

所以△ AMN 的面积为| AM | =

144 79

解得 ^-F 或x =曲昇，

3 +tk 2

所以 AM

2

3 tk

2

6 t

AN = 1 亠 k 2

—―—

"k E 所以

3k 」

k

因为

2 AM | | AN 所以 2

T k

6

・口隹，整理得，

k

3 tk

2

t 6k -3k t

3

k -2

因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以

t 3，即

1 k —

2 k3_2 ：：

(n)设存在点

2

X

。

2

又取FM 中点N^0 , X °4^)，由垂径定理知 FM _QN ,

所以 FM QN =(X o , 2^)(-产,弓)=0二 X o =』2，所以存在 M (、2 , 1).

2 4X o 4

f x i +X 2 = 2k

设 A(X i ， y i )，B(X ?，y 2)，则有，

_ 1

X 1X 2 :

所以，I AB|2=(1 k 2)[(X 1 X 2)2 -4X 1X 2] =(1 k 2)(4k 2 2).

2

|AB|2 |DE ：(1 k 2)(4k 2 2)

6k 2 * 曽忌(新心2)

记 f (x) =4x 2+6x +严+習 1^x (寸兰 x 兰4)，

f'(x) =8x 6-25

— 6-孕 0，所以 f(x)在[1，4] 上单增，

8 (1+x)2 8 4

所以当X *，f (X)取得最小值f min (X )= f © =号， 所以当k=*时，|AB|2+|DE|2取得最小值 号.

2

3 (2016年浙江高考)如图，设椭圆 务• y 2 =1 (a > 1 )

a

(I )求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用 a 、k 表示)； (II )若任意以点

A (0,1 )为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点，求椭圆离心率的取

k MQ

X 0 1 ~2 一4

X o —

X Q

X o 1

--- 十-----

2 4X o

圆心Q 到直线 所以,

|DE |2 = 4(r 2 —d 2) =4 27 - k 32 27+2k 2 8(1 k 2).

又联立

x 2=2y _ y

=kX 4 一

八2心=0，

=Xo =■

(川)依题MC .2, 1),圆心

^kX 4的距离为