第四章 杆件的变形计算

第四章杆件的变形计算

杆件在载荷作用下都将发生变形，过大的变形将影响杆件的正常使用，必须加以限制，而有时又希望杆件能有较大的变形，以起缓冲作用，如弹簧等，因此必须计算杆件的变形。本章具体讨论了拉伸（压缩）、扭转、弯曲三种情况的杆件变形计算。

第一节拉（压）杆的轴向变形

直杆在沿其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向相应变细或变粗，如图4-1所示。设杆原长l，宽b，在力F作用下产生变形，变形后长l1，宽b1。则杆件在轴线方向的伸长为

纵向应变为

根据虎克定律和拉（压）杆横截面正应力公式，可以得到

（4-1）

上式表明，杆的轴向变形值与轴力F N及杆长l成正比，与材料的杨氏模量及杆的横截面面积成反比。因此EA称为拉（压）杆的抗拉（压）刚度，EA值越大，杆件刚度越大，在一定外力作用下单位长度变形量就越小。

另一方面，横向变形,横向应变。通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉（压）杆的纵向应变与横向应变之间存在如下比例关系：

(4-2a)

或=-（4-2b）

式中比例常数称为泊松比。弹性模量E、泊松比及切变模量G均是材料的弹性常数，可由实验测得。对于各向同性材料，可以证明这三个弹性常数之间存在下列关系：

（4-3）

材料的值小于0.5，表4-1列出几种常见金属材料的E和的值。

例4-1 阶梯形直杆受轴力如图4-2，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2 , 段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量为E=200GPa。试求该杆总伸长量。

解（1）求AB、BC段轴力

F NAB=40kN（拉），F NBC=-20kN（压）

（2）求AB、BC段伸长量

AB段

BC段

由以上计算可以看出，AB段是伸长，而BC段是缩短。

（3）AC杆总伸长

AC杆计算结果为负，说明AC杆是缩短而不是伸长。

例4-2 图示桁架，钢杆AC横截面面积A1=960mm ，弹性模量E1=200GPa。木杆BC横截面，杨氏模量E2=10GPa 。求铰节点C的位移。

图4-3

解（1）求AC、CB两杆的轴力。取铰C为研究对象，受力如图4-3 所示，根据平衡方程可得

解得

（2）求AC、BC两杆的变形。根据公式(4-1)得

（伸长）

（缩短）（3）求C点位移。两杆变形前铰节于C点，变形后仍应铰节，根据这个关系可以建立起所谓的变形协调方程（相容方程），从而求得C点的位移。首先假想将铰拆开，则AC杆C 点伸长至C1,成为AC1，BC杆C点缩短至C2，成为BC2。分别以A点和B点为圆心，AC1和BC2为半径作弧，其交点即为变形后C点的位置。因为变形很小，故可近似用C1和C2处圆弧的切线来代替圆弧，得到交点C3,作为变形后C点的位置（图4-3a）。将变形情况放大成图4-3c所示，从图中可以看出：

C点水平位移

C点竖向位移

最后C点位移为

该题若采用精确求解，则C点水平位移为，竖向位移为

，与用切线代替圆弧的近似计算结果非常相近。

第二节圆轴的扭转变形与相对扭转角

在圆轴扭转时，由第三章第三节知，各横截面绕轴线作相对转动，相距为dx的两个相邻截面间有相对转角，且由公式(d)得

（4-4）

令（4-5）

上式称为单位长度扭转角，用来表示扭转变形的大小，其单位是rad/m。当GI P越大，则越小，故GI P称为圆轴的抗扭刚度。

在一段轴上，对式（4-4）积分，可得两端相对扭转角

（4-6）

当为常量时，上式为

（4-7）

例4-3 某机器传动轴AC如图4-4所示，已知轴材料的切变模量G=80GPa，轴直径

d=45mm。求AB、BC及AC间相对扭转角。

解（1）内力分析

AB段 M X1=-120Nm

BC段 M X2=80Nm

（2）变形分析

由上可见，在解此类扭矩分段变化的相对扭转角问题时，可将每一段杆的两端相对扭转角分别求出，然后相加，便得轴的两端面相对扭转角。相加时，应根据扭矩符号判断每一段上相对扭转角的符号。在本题中，取与M X同符号。

当轴的截面为矩形时，两端相对扭转角的计算公式为

(4-7)

式中GI P=G hb3也称为轴的抗扭强度。其中是与比值h/b有关的系数，可由表3-1查得。

第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程

一、梁的变形

当梁在平面内弯曲时，梁的轴线从原来沿x轴方向的直线变成一条在xy平面内的连续、光滑的曲线，该曲线称为梁的挠曲线。横截面形心沿竖向位移，称为该截面的挠度，而截面法向方向与x轴的夹角称为该截面的转角。如图4-5所示。

图中是截面形心C点的竖向位移，一般可表为x的函数=f(x)，这一关系式称为挠曲线方程，而C点水平位移量在细长梁小变形时忽略不计。

图中C点处截面的转角也可表示为x的函数=f1(x)，由于梁的变形一般很小，这时也很小，则，挠曲线与转角之间近似有

（4-8）

它表明，挠曲线的斜率近似等于截面的转角。

在图4-5 所示坐标系中，挠度向上为正，向下为负。转角规定为截面法线与x轴夹角逆时针为正，顺时针为负，即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角为正。

二、挠曲线近似微分方程

由第三章第五节公式（f）知，在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为：

（4-9）

由于M为常数，对于等截面梁，抗弯刚度EI Z为常数时，曲率半径为常数，其挠曲线为一段圆弧。当截面上同时存在剪力F Q与弯矩M时，显然这两项内力对梁的变形均有影响。研究表明，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力F Q对梁的变形影响可以忽略不计，公式（4-9）仍可适用，但由于弯矩不再是常量，上式变为：

（a）

由微分学可知，（b）

当梁小变形时，很小，，从而，代入式（a）式，得

（c）

按弯矩的符号规定，当，梁的上部受压，下部受拉，挠曲线上凹，由微分学知，在图4-6所示坐标下，为正；当，梁的下部受压，上部受拉，挠曲线下凹，为负。

综上所述，式（c）可以写为：

（4-10）

这就是梁的挠曲线近似微分方程。

第四节用积分法求梁的弯曲变形

将式（4-10）积分一次，就得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程。对等直梁，EI Z