第三章应变状态
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第三章 应变状态理论
ε x ε y ε z ε xy ε yz ε zx
则相对位移张量（非对称） 则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转 动张量。 动张量。
2010-11-10 19
3.3 转轴时应变分量的变换
设在坐标轴oxyz下，物体内某一点的 个应 下 物体内某一点的6个应 设在坐标轴 变分量为 εx ,ε y ,εz ,γ xy,γ yz,γ zx 。现使坐标轴旋 转一个角度，新老坐标的关系为： 转一个角度，新老坐标的关系为： x y z
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
v z w x u y
ω ω 称为转动分量。 称为转动矢量， 这里的ω 称为转动矢量，而ω x， y ， z 称为转动分量。 由此，可将相对位移张量分解为两个张量： 由此，可将相对位移张量分解为两个张量：
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
x
+ε
y
+εz)
则体应变为
V * −V θ = = εx +εy +εz V
2010-11-10 27
又可表示为： 又可表示为：
∂u ∂v ∂w θ = + + ∂ x ∂ y ∂z
对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形 后必须保持其整体性和连续性，即物体既不开裂，又 不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不 协调的。
2010-11-10 30
εij应变张量各分量满足的应变协调条件： 应变张量各分量满足的应变协调条件：
2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
第三章应变理论课件
Venant）1797年生于法国，
1886年逝世。1825年毕业于
巴黎桥梁公路学校，后从事
工程设计工作，1837年回该
校任教，1868年当选为法国
科学院院士。在弹性力学、
塑性力学、流体力学等方面
做出了贡献。他的力作用的
局部思想被称为“圣维南原 理”。
圣维南
（A.J.Saint-Venant）
§3-5 变形协调方程
§3-3 转动张量
如图4设过点 从物体中任意取出
一微元线段 。若令点 的坐标
为
，则点 的坐标为
变形后， 变成 的位移为
。令点 的位移为
于是
图4
, 则点
§3-3 转动张量
§3-3 转动张量
其中
若令
则
表示位移矢量 的旋度，
则分别表示物体
内微元体绕相应的坐标轴的旋转分量，而
则代
表微元体的刚性转角。
§3-3 转动张量
应变协调方程的物理意义： ➢ 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满
足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连 续体，其间将产生缝隙或出现相互嵌入现象。 ➢ 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一 定的关系。 注：应变协调方程是变形连续的必要和充分条件！
例题
例1. 设物体变形时产生的应变分量为
在略去二阶及更高阶的微量以后简化为 线段 的正应变是
（3）
§3-2 小应变张量（几何方程）
由于位移是微小的， 方向的位移所引起的线段 的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段
的正应变是 （4）
求出线段 与 之间的直角改变，也就是剪应 变 ，用位移分量来表示。
§3-2 小应变张量（几何方程）
第三章-应变分析
3－4 体积应变
单元体的体积： dVdxdydz
变形后，体积： dV'(dxxdx)(dyydy)(dzzdz)
dxdy(d1z )(1 )(1 )
x
y
z
dxdy(d1z )
x
y
z
则，体积应变：
d' V d V d
x(1 d y d z) d
x
y
z
x d y d z
dV
d xd yd zx y z
Man◇ ._Ha!n.℡ɡ1rl。 ゜ eVer ㄨ 、 Give up沸 点 soon startˊ Sorry -aesar 凯 撒 Julietˋ Ａ m , 七 分 醒 ▌SakitIf- ExpectΜ elod y丶 低 声 、 saybetrayeiove 均 My、
queen哀 伤 之 后 After sad□ Yinkuimy、 zyO° Myへ Loveヽ ρuzzledPoison丶
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变 物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位 置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。
M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'）
点的位移为MM'
z
u = x'- x = u（x，y，z）
v = y'- y = v（x，y，z）
w = z’- z = w（x，y，z）
变形后：
m'点的坐标为( x+u，y+v）
a '点的坐标为( x+dx+u+微分增量，y+v +微分增量）
b '点的坐标为 ( x+u+微分增量，y+dy+v +微分增量）
第三章应变分析
八面体线应变 八面体切应变
五、应变偏张量和应变球张量
六、等效应变
取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。
等效应力的特点
1)等效应力是一个不变量； 2)等效应力没有特定的作用面； 3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。 4) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩) 应力σ1 ，即
6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
第三章应变分析
2020年4月23日星期四
c) 理想剪切 d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短
1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
纯变形
设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
a 点位移分量为u,v, 则由前 式得出b,c点的位移增量为 ：
简记为
即小应变几何方程
例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为 ：
u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3 v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3 w=(10-0.1xyz)×10-3 求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、 主应变、八面体应变、等效应变
五、应变偏张量和应变球张量
六、等效应变
取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。
等效应力的特点
1)等效应力是一个不变量； 2)等效应力没有特定的作用面； 3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。 4) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩) 应力σ1 ，即
6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
第三章应变分析
2020年4月23日星期四
c) 理想剪切 d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短
1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
纯变形
设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
a 点位移分量为u,v, 则由前 式得出b,c点的位移增量为 ：
简记为
即小应变几何方程
例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为 ：
u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3 v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3 w=(10-0.1xyz)×10-3 求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、 主应变、八面体应变、等效应变
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
高等材料力学课件第三章-应变状态
应变与变形
1 变与变形的关系
应变是描述物体形变程度的量，而变形是指物体由于受力而发生的形状改变。
2 应变分量与应力分量的关系
应变和应力是密切相关的，通过应变和应力之间的关系可以对材料的力学性质进行分析。
3 应变表面与应力表面的关系
应变表面和应力表面是描述物体应变和应力分布情况的图形，它们是密切相关的。
总结
1 本章主要内容回顾
本章我们深入学习了材料力学中的应变状态，包括应变概念、应变矩阵、平面应变状态 和空间应变状态等。
2 应变概念和应变矩阵的关系
应变概念是研究物体形变程度的基本概念，而应变矩阵是用于描述物体应变状态的重要 工具。
3 平面应变状态和空间应变状态的区别和联系
平面应变状态是指物体在平面内发生的应变情况，而空间应变状态是指物体在三维空间 内发生的应变情况。
高等材料力学课件第三章 变状态
欢迎来到本课件第三章，我们将深入探讨材料力学中的应变状态。了解应变 概念、应变矩阵、平面应变状态和空间应变状态等重要内容。
应变概念
1 应变定义
应变是描述物体在受到力 作用后形变程度的量，可 分为线性应变和非线性应 变。
2 应变率
应变率是指物体单位时间 内的形变速率，可以用来 描述物体的变形速度。
3 应变分量
应变分量是指在应变矩阵 中表示物体变形情况的各 个分量，分为正应变和剪 应变。
应变矩阵
1 应变矩阵的表示
应变矩阵是用矩阵形式表示物体各个方向上的应变分量。
2 应变矩阵的性质
应变矩阵具有可逆性、对称性和线性性等特点，这些性质在材料的力学分析中起到重要 的作用。
3 应变矩阵的运算
应变矩阵可以进行加法、减法和乘法等基本运算，这些运算可以用于分析和计算材料的 应变状态。
连续介质力学第三章(分析“应力”文档)共110张PPT
一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为 应变张量，用表示，即：
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
高弹第三章应变状态(1)
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 •
主应变—— 应变主轴方向的正应变
主应变确定 ——应变主轴方向变形
1 1 (ε x − ε )l + γ xy m + γ xz n = 0 2 2 1 1 γ xyl + (ε y − ε )m + + γ yz n = 0 2 2 1 1 γ xz l + γ yz m + (ε z − ε )n = 0 2 2
1 γ xy 2 1 γ xz 2 dx 1 γ yz dy 2 dz εz
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv = ω z dw − ω y − ωz 0 εx ω y dx 1 − ω x dy + γ yx dz 2 0 Leabharlann 1 γ 2 zx c
x
b
c
o
P
u
P’
A
∂u u + dx ∂x
A’’
x
v
B
∂v v + dy ∂y
α
β
∂v v + dx ∂x
A’
B’’
∂u u + dy ∂y
B’
y
PA的正应变 PA的正应变:
∂u u + dx − u ∂u ∂x εx = = dx ∂x
同理线段PB的正应变为： 同理线段PB的正应变为： PB的正应变为
弹性力学_第三章 应变
的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
直，相应的应变称为主应变 。
剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变
主应变和应变张量不变量
qNi li
ij ij l j 0
主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
3
(
x
y
z
)
2
[
x
y
y z
z
x
(
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
31
1 2
(
3
1
)
max
பைடு நூலகம்
1 2
(1
3
)
应变张量分解和应变偏量不变量
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
直，相应的应变称为主应变 。
剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变
主应变和应变张量不变量
qNi li
ij ij l j 0
主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
3
(
x
y
z
)
2
[
x
y
y z
z
x
(
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
31
1 2
(
3
1
)
max
பைடு நூலகம்
1 2
(1
3
)
应变张量分解和应变偏量不变量
弹性力学第3章—应变
Siui, j S j = 0
S是任意线段，因此上式成立的条件是S各分量的系数为零，即
ui , j + u j ,i = 0
因此刚体位移所对应的相对位移张量是反对称张量，反之亦成立
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
1.拉压应变（线应变）
应变张量反映了物体的变形，因此变形导致的线段矢量 变化量为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
γ 1 = ± (ε 2 − ε 3 )
γ 2 = ± (ε1 − ε 3 )
1 1 ui , j = ( ui , j + u j ,i ) + ( ui , j − u j ,i ) 2 2
即
ui , j = ε ij + ωij
对称部分称为应变张量，反映物体的变形
1 ε ij = ( ui , j + u j ,i ) 2 反对称部分称为转动张量，反映物体的刚体位移
1 ωij = ( ui , j − u j ,i ) 2
3.1 变形与应变的概念
微线段的刚体位移:
刚体位移时，矢量在位移前后的长度（模）相等
S′ =
(Si + δSi )(Si + δSi ) =
δSi = ui , j S j
Si Si = S
化简并略去高阶小量后得到 2SiδSi = 0 联合右式 得到 展开后，即为
2 2 2 2 2 2 2 u1,1S12 + u2,2 S2 + u3,3S3 + ( u1,2 + u2,1 ) S12 S2 + ( u2,3 + u3,2 ) S2 S3 + ( u3,1 + u1,3 ) S3 S1 = 0
第三章应变状态理论
w y
v z
mn
u z
w x
ln
v x
u y
lm
可写成： r xl2 ym2 zn2 g yzmn g zxln g xylm
表明：如知物体内某点的6个应变分量，即可求得过该点的任
切应变xyyzzx六个应变分量我们从物体中取出x方向上长dx的线段pa变形后dxdxpa的正应变在小变形时是由x方向的位移所引起的因此pa正应变为pa的转角为dxdx我们从物体中取出y方向上长dy的线段pb变形后为pbb点y方向的位移为x方向上的位移为pb的正应变在小变形时是由y方向的位移所引起的因此pb正应变为线段pa的转角是线段pb的转角是于是直角apb的改变量为这样平面上一点的变形我们用该点x方向上的正应变y方向上的正应变和xy方向构成的直角的变化切应力来描述称为应变分同样空间一点的变形我们用该点xyz方向上的正应变和xyyzzx方向构成的直角的变化切应变来描述
dy
w
w
1 2
y
1 2
x
0
dz
1 2
g
zx
1 2
g
yz
dz
z
x
ij
1 2
g
xy
1 2
g
xy
y
1 2 1 2
g g
zx yz
11 21
12 22
v
v
1 2
g
xydy
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
点的应变状态、体积不变条件资料ppt课件
第三章 金属塑性变形的力学基础
应变分析
河南科技大学材料学院
位移及其分量
位移：变形体内任一 点变形前后的直线距离
位移分量：在坐标系中， 一点的位移矢量在三个坐 标轴上的投影称为该点的
位移分量。用u，v，w或ui
表示。
位移场：变形体内不同点 的位移分量不同。根据连续 性基本假设，位移或分量应是 坐标的连续函数，而且一般 都有连续的二阶偏导数。
两棱边所夹直角的变化量。
同理有： φyz, φzx
显然： yx xy ,yz zy ,xz zx
r ry
tanyx yx
应变及其分量
棱边PA在x方向的线应变：
同理：
y z
ry
ry rz rz
x
rx rx
应变及其分量
u u(x, y, z) v v(x, y, z) w w(x, y, z)
即 ui ui (x, y, z)
变形体内无限接近两点的位移分量间的关系
设M
ui M1 (x+u,y+v,z+w)
(x位,y移,z分)量：ui ui (x, y, z)
M
ui ui
M1'((xx++ddxx,+yu++d△y,uz,+yd+zd)y+v+△v,z+dz+w+△w)
l
2l
ln 2l ln 2 69%; ln l ln 1 69%
l
2l 2
点的应变状态与应变张量
任意方向上的应变
设任意点a(x,y,z)的应变分量：
应变分析
河南科技大学材料学院
位移及其分量
位移：变形体内任一 点变形前后的直线距离
位移分量：在坐标系中， 一点的位移矢量在三个坐 标轴上的投影称为该点的
位移分量。用u，v，w或ui
表示。
位移场：变形体内不同点 的位移分量不同。根据连续 性基本假设，位移或分量应是 坐标的连续函数，而且一般 都有连续的二阶偏导数。
两棱边所夹直角的变化量。
同理有： φyz, φzx
显然： yx xy ,yz zy ,xz zx
r ry
tanyx yx
应变及其分量
棱边PA在x方向的线应变：
同理：
y z
ry
ry rz rz
x
rx rx
应变及其分量
u u(x, y, z) v v(x, y, z) w w(x, y, z)
即 ui ui (x, y, z)
变形体内无限接近两点的位移分量间的关系
设M
ui M1 (x+u,y+v,z+w)
(x位,y移,z分)量：ui ui (x, y, z)
M
ui ui
M1'((xx++ddxx,+yu++d△y,uz,+yd+zd)y+v+△v,z+dz+w+△w)
l
2l
ln 2l ln 2 69%; ln l ln 1 69%
l
2l 2
点的应变状态与应变张量
任意方向上的应变
设任意点a(x,y,z)的应变分量：
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
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l，m，n齐次线性方程组
非零解的条件为方程系
数行列式的值为零
x
1 yx 2 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 0 2
应变状态特征方程
展开 J1 J 2 J 3 0
3 2
z
§3.2 主应变4
应变不变量
x 1 yz y y 2 y z x z 1 yz z y 2 z
回代
x 1 ( xy z ) y x 2 x 1 ( xz y ) y x 2 1 1 ( xz y ) ( xy z ) y 2 z 2 y 1 ( yz x ) z y 2 y 1 ( xy z ) x y 2 1 1 ( xy z ) ( yz x ) z 2 x 2 z 1 ( xz y ) x z 2 z 1 ( yz x ) y z 2 1 1 ( yz x ) ( xz y ) x 2 y 2
对x求一阶偏导数，则
yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
§3.3 应变协调5
2 y
x 2 2 x y xy
2
2 xy
•应变协调方程
•——圣维南
2 2 2 z y yz 2 2 y z yz
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv z dw y z 0 x y dx 1 x dy yx 2 0 dz 1 zx 2
x x x d x dx dy dz x y z
轮换x , y, z，可得du， dv和dy，dz
§3.3 应变协调8
如通过积分，计算出
u u0 v v0 w w0
0 x P0 P
x dx ( xy z )dy ( xz y )dz
y z 1 xz xy ( ) 2 y z y z 1 u w v u [ ( ) ( ) 2 y z x z x y x 1 w v ( ) 2 x y z x
x 1 xz xy ( ) x 2 y z
• ——弹性体一点体积的改变量 • 引入体积应变有助于
•
简化公式
§3.3 应变协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元
体变形的约束
§3.3 应变协调2
• 例3-1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0, 求其位移。 • 解： u 3 2
第三章 应 变
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析
位移的单值连续性质
目录 §3.1 §3.2 §3.3 变形与应变概念 主应变与主应变方向 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素 ——载荷或温度变化 • 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式
• 刚体位移：物体变协调3
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
2 y x v u 2 ( ) 2 x y xy x y xy
2 2
§3.2 主应变5
•应力张量——应变张量
公式比较
•应力不变量——应变不变量
•主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性
类似
•各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的
§3.2 主应变6
• 体积应变
u v w x y z .
V * V x y z V
1 1 ( xy z )dx y dy ( yz x )dz 2 2 1 1 ( xz y )dx ( yz x )dy x dz 2 2 x x x dx dy dz x y z y x dx y y dy y z dz
1 2
1 2
P0 P
P0 P
x y
0 y
P0 P
P0 P
保证单值连 续的条件是 积分与积分 路径无关
z z0
P0 P
z z z dx dy dz x y z
是单值连续的，则问题可证。
§3.3 应变协调9
根据格林公式
主应变—— 应变主轴方向的正应变
§3.2 主应变3
主应变确定 ——应变主轴方向变形
1 1 ( x )l xy m xz n 0 2 2 1 1 xy l ( y )m yz n 0 2 2 1 1 xz l yz m ( z )n 0 2 2
2 xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
§3.3 应变协调4
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
§3.3 应变协调11
§3.1 变形4
• 几何方程——位移导数表示的应变
• 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形
• 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动 • 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产 生变形。
§3.1 变形5
转动矢量描述微分单元体的刚性转动 转动分量
yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
§3.3 应变协调6
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
2 2 2 z y yz 2 2 yz y z
2 y yz xyz xy ( )2 y x y z xz
•同理讨论y，z的单值连续条件，可得其它4 式——变形协调方程。 •由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连 续的必要和充分条件。
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
v u xy f ' ( y) g ' ( x) xy x y
•显然，该应变没有对应的位移。
•如果通过几何方程求解位移，则六个应变分 量必须满足一定的条件。
• 应变张量
x 1 ij yx 2 1 zx 2
§3.2 主应变2
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为
一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 •
x (
1 w v ), 2 y z
y (
1 u w 1 v u ) , z ( ) 2 z x 2 x y
1 xy 2 1 xz 2 dx 1 yz dy 2 dz z
§3.1 变形3
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u x x v u xy x y v y y w z z
yz
w v y z
zx
u w z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零 微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
§3.3 应变协调10
回代到第四式
x
0 x P0 P
1 xz xy 1 yz y z 1 yz ( )dx ( )dy ( )dz 2 y z 2 y z y 2 z
x单值连续的必要与充分条件是
1 xz xy 1 yz y ( ) ( ) 2 y y z x 2 y z z 1 yz 1 yz y ( ) ( ) y y 2 z z 2 y z
J1 ii x y z 1 2 2 2 J 2 x y y x z x ( xy yz zx ) 4 J 3 ij
第一，第二和第 三应变不变量
• 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐 标变换不影响应变状态是确定的。 • 应变不变量就是应变状态性质的表现
§3.3 应变协调7
•证明 —— 应变协调方程是变形连续的 必要和 充分条件。 •变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。 •目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。 •利用位移和转动分量的全微分，则
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
y
1 zy 2
x
刚体转动 变形位移增量 位移增量 微分单元体的刚性转动与协调相关