第三章应变状态
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x 1 yz y y 2 y z x z 1 yz z y 2 z
回代
x 1 ( xy z ) y x 2 x 1 ( xz y ) y x 2 1 1 ( xz y ) ( xy z ) y 2 z 2 y 1 ( yz x ) z y 2 y 1 ( xy z ) x y 2 1 1 ( xy z ) ( yz x ) z 2 x 2 z 1 ( xz y ) x z 2 z 1 ( yz x ) y z 2 1 1 ( yz x ) ( xz y ) x 2 y 2
第三章 应 变
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析
位移的单值连续性质
目录 §3.1 §3.2 §3.3 变形与应变概念 主应变与主应变方向 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素 ——载荷或温度变化 • 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
§3.3 应变协调7
•证明 —— 应变协调方程是变形连续的 必要和 充分条件。 •变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。 •目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。 •利用位移和转动分量的全微分，则
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
y
1 zy 2
x
刚体转动 变形位移增量 位移增量 微分单元体的刚性转动与协调相关
§3.2 主应变与主应变方向
• 变形通过应变描述 • 应变状态—— 坐标变换时，应变分 量随坐标转动而变化。 • 应变分量的转轴公式
i ' j ' nii ' n jj ' ij
1 1 xy xz 2 2 11 12 13 1 y yz 21 22 23 2 1 31 32 33 zy z 2
J1 ii x y z 1 2 2 2 J 2 x y y x z x ( xy yz zx ) 4 J 3 ij
第一，第二和第 三应变不变量
• 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐 标变换不影响应变状态是确定的。 • 应变不变量就是应变状态性质的表现
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
§3.1 变形2
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
1 1 ( xy z )dx y dy ( yz x )dz 2 2 1 1 ( xz y )dx ( yz x )dy x dz 2 2 x x x dx dy dz x y z y x dx y y dy y z dz
§3.1 变形4
• 几何方程——位移导数表示的应变
• 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形
• 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动 • 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产 生变形。
§3.1 变形5
转动矢量描述微分单元体的刚性转动 转动分量
主应变—— 应变主轴方向的正应变
§3.2 主应变3
主应变确定 ——应变主轴方向变形
1 1 ( x )l xy m xz n 0 2 2 1 1 xy l ( y )m yz n 0 2 2 1 1 xz l yz m ( z )n 0 2 2
2 2 2 z y yz 2 2 yz y z
2 y yz xyz xy ( )2 y x y z xz
•同理讨论y，z的单值连续条件，可得其它4 式——变形协调方程。 •由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连 续的必要和充分条件。
l，m，n齐次线性方程组
非零解的条件为方程系
数行列式的值为零
x
1 yx 2 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 0 2
应变状态特征方程
展开 J1 J 2 J 3 0
3 2
z
§3.2 主应变4
应变不变量
§3.3 应变协调11
§3.1 变形3
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u x x v u xy x y v y y w z z
yz
w v y z
zx
u w z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零 微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
2 xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
§3.3 应变协调4
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
v u xy f ' ( y) g ' ( x) xy x y
•显然，该应变没有对应的位移。
•如果通过几何方程求解位移，则六个应变分 量必须满足一定的条件。
§3.2 主应变5
•应力张量——应变张量
公式比较
•应力不变量——应变不变量
•主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性
类似
•各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的
§3.2 主应变6
• 体积应变
u v w x y z .
V * V x y z V
§3.3 应变协调3
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
2 y x v u 2 ( ) 2 x y xy x y xy
2 2
（Saint Venant）方程 2 x 2 z 2 xz 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz
2 y xz yz xy ( )2 y x y z xz
yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
§3.3 应变协调6
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
对x求一阶偏导数，则
yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
§3.3 应变协调5
2 y
x 2 2 x y xy
2
2 xy
•应变协调方程
•——圣维南
2 2 2 z y yz 2 2 y z yz
§3.3 应变协调10
回代到第四式
x
0 x P0 P
1 xz xy 1 yz y z 1 yz ( )dx ( )dy ( )dz 2 y z 2 y z y 2 z
x单值连续的必要与充分条件是
1 xz xy 1 yz y ( ) ( ) 2 y y z x 2 y z z 1 yz 1 yz y ( ) ( ) y y 2 z z 2 y z
1 2
1 2
P0 P
P0 P
x y
0 y
P0 P
P0 P
保证单值连 续的条件是 积分与积分 路径无关
z z0
P0 P
z z z dx dy dz x y z
是单值连续的，则问题可证。
§3.3 应变协调9
根据格林公式
x x x d x dx dy dz x y z
轮换x , y, z，可得du， dv和dy，dz
§3.3 应变协调8
如通过积分，计算出
u u0 v v0 w w0
0 x P0 P
x dx ( xy z )dy ( xz y )dz
• ——弹性体一点体积的改变量 • 引入体积应变有助于
•
简化公式
§3.3 应变协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元
体变形的约束
§3.3 应变协调2
• 例3-1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0, 求其位移。 • 解： u 3 2
• 应变张量
x 1 ij yx 2 1 zx 2
§3.2 主应变2
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为
一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应wk.baidu.com主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 •
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv z dw y z 0 x y dx 1 x dy yx 2 0 dz 1 zx 2
x (
1 w v ), 2 y z
y (
1 u w 1 v u ) , z ( ) 2 z x 2 x y
1 xy 2 1 xz 2 dx 1 yz dy 2 dz z
y z 1 xz xy ( ) 2 y z y z 1 u w v u [ ( ) ( ) 2 y z x z x y x 1 w v ( ) 2 x y z x
x 1 xz xy ( ) x 2 y z
回代
x 1 ( xy z ) y x 2 x 1 ( xz y ) y x 2 1 1 ( xz y ) ( xy z ) y 2 z 2 y 1 ( yz x ) z y 2 y 1 ( xy z ) x y 2 1 1 ( xy z ) ( yz x ) z 2 x 2 z 1 ( xz y ) x z 2 z 1 ( yz x ) y z 2 1 1 ( yz x ) ( xz y ) x 2 y 2
第三章 应 变
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析
位移的单值连续性质
目录 §3.1 §3.2 §3.3 变形与应变概念 主应变与主应变方向 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素 ——载荷或温度变化 • 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
§3.3 应变协调7
•证明 —— 应变协调方程是变形连续的 必要和 充分条件。 •变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。 •目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。 •利用位移和转动分量的全微分，则
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
y
1 zy 2
x
刚体转动 变形位移增量 位移增量 微分单元体的刚性转动与协调相关
§3.2 主应变与主应变方向
• 变形通过应变描述 • 应变状态—— 坐标变换时，应变分 量随坐标转动而变化。 • 应变分量的转轴公式
i ' j ' nii ' n jj ' ij
1 1 xy xz 2 2 11 12 13 1 y yz 21 22 23 2 1 31 32 33 zy z 2
J1 ii x y z 1 2 2 2 J 2 x y y x z x ( xy yz zx ) 4 J 3 ij
第一，第二和第 三应变不变量
• 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐 标变换不影响应变状态是确定的。 • 应变不变量就是应变状态性质的表现
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
§3.1 变形2
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
1 1 ( xy z )dx y dy ( yz x )dz 2 2 1 1 ( xz y )dx ( yz x )dy x dz 2 2 x x x dx dy dz x y z y x dx y y dy y z dz
§3.1 变形4
• 几何方程——位移导数表示的应变
• 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形
• 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动 • 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产 生变形。
§3.1 变形5
转动矢量描述微分单元体的刚性转动 转动分量
主应变—— 应变主轴方向的正应变
§3.2 主应变3
主应变确定 ——应变主轴方向变形
1 1 ( x )l xy m xz n 0 2 2 1 1 xy l ( y )m yz n 0 2 2 1 1 xz l yz m ( z )n 0 2 2
2 2 2 z y yz 2 2 yz y z
2 y yz xyz xy ( )2 y x y z xz
•同理讨论y，z的单值连续条件，可得其它4 式——变形协调方程。 •由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连 续的必要和充分条件。
l，m，n齐次线性方程组
非零解的条件为方程系
数行列式的值为零
x
1 yx 2 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 0 2
应变状态特征方程
展开 J1 J 2 J 3 0
3 2
z
§3.2 主应变4
应变不变量
§3.3 应变协调11
§3.1 变形3
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u x x v u xy x y v y y w z z
yz
w v y z
zx
u w z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零 微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
2 xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
§3.3 应变协调4
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
v u xy f ' ( y) g ' ( x) xy x y
•显然，该应变没有对应的位移。
•如果通过几何方程求解位移，则六个应变分 量必须满足一定的条件。
§3.2 主应变5
•应力张量——应变张量
公式比较
•应力不变量——应变不变量
•主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性
类似
•各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的
§3.2 主应变6
• 体积应变
u v w x y z .
V * V x y z V
§3.3 应变协调3
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
2 y x v u 2 ( ) 2 x y xy x y xy
2 2
（Saint Venant）方程 2 x 2 z 2 xz 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz
2 y xz yz xy ( )2 y x y z xz
yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
§3.3 应变协调6
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
对x求一阶偏导数，则
yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
§3.3 应变协调5
2 y
x 2 2 x y xy
2
2 xy
•应变协调方程
•——圣维南
2 2 2 z y yz 2 2 y z yz
§3.3 应变协调10
回代到第四式
x
0 x P0 P
1 xz xy 1 yz y z 1 yz ( )dx ( )dy ( )dz 2 y z 2 y z y 2 z
x单值连续的必要与充分条件是
1 xz xy 1 yz y ( ) ( ) 2 y y z x 2 y z z 1 yz 1 yz y ( ) ( ) y y 2 z z 2 y z
1 2
1 2
P0 P
P0 P
x y
0 y
P0 P
P0 P
保证单值连 续的条件是 积分与积分 路径无关
z z0
P0 P
z z z dx dy dz x y z
是单值连续的，则问题可证。
§3.3 应变协调9
根据格林公式
x x x d x dx dy dz x y z
轮换x , y, z，可得du， dv和dy，dz
§3.3 应变协调8
如通过积分，计算出
u u0 v v0 w w0
0 x P0 P
x dx ( xy z )dy ( xz y )dz
• ——弹性体一点体积的改变量 • 引入体积应变有助于
•
简化公式
§3.3 应变协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元
体变形的约束
§3.3 应变协调2
• 例3-1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0, 求其位移。 • 解： u 3 2
• 应变张量
x 1 ij yx 2 1 zx 2
§3.2 主应变2
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为
一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应wk.baidu.com主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 •
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv z dw y z 0 x y dx 1 x dy yx 2 0 dz 1 zx 2
x (
1 w v ), 2 y z
y (
1 u w 1 v u ) , z ( ) 2 z x 2 x y
1 xy 2 1 xz 2 dx 1 yz dy 2 dz z
y z 1 xz xy ( ) 2 y z y z 1 u w v u [ ( ) ( ) 2 y z x z x y x 1 w v ( ) 2 x y z x
x 1 xz xy ( ) x 2 y z