双曲线中点弦 存在

双曲线中的中点弦

一道课后作业题的教学所思

绵阳南山中学 青树国

在双曲线的教学过程中,经常会遇到对中点弦所在直线的存在性的探究。题目有时解是存在的,有时虽然计算出来直线方程但经检验又必须舍去，而且有时检验的计算量又很大。这部分的技巧学生掌握起来难度较大,题目丢分现象比较普遍。在此我通过对课后习题的讲解和反思总结情况形成了一个猜想,用来判断双曲线弦的中点位置,能迅速帮助学生判断中点所在的位置是否合理,在此和大家一起分享与交流。

一、课本习题再现

普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人民教育出版社

A 版）第二章第三节课后习题

B 组第4题：已知双曲线12

2

2

=-y x ,过

点)1,1(P 能否作一条直线l ,与双曲线交于A 、B 两点,且点P 是线段AB 的中点?这是一探索性问题，通过对作业的批改，绝大多数学生有对探索性问题的解决办法即：假设——推理——验证——下结论。具体来说普遍采用了以下两法。

法一：（设而不求）假设能作这样的直线l ，通过作图可知：直线

l 的斜率显然，设其为k ，从而直线的方程为：)1(1-=-x k y 即：

1+-=k kx y ，联立直线和双曲线的方程并消去未知数y 可得

032)1(2)2(222=-+--+-k k x k k x k 。（*）设),(11y x A 、

),(22y x B 由题意可知1x 、2x 是方程（*）的两个根。故022≠-k 且0)32)(2(4)1(42222>+--+-=∆k k k k k ，

由题意可知：22)

1(22

21=---

=+k

k k x x ，解之得2=k ，带入判别式知0<∆，故2=k 应舍去，所以假设不成立即由题意不能作出这样的直线。

法二：（点差法）假设能作这样的直线l ，并设),(11y x A 、),(22y x B 由

题意可知A 、B 在双曲线上，所以12212

1

=-y x ①12

2

22

2=-y x ②，由①-②

得2)

(22

1212121=++=--=

y y x x x x y y k l ，所以直线l 的方程为：)1(21-=-x y 即12-=x y 带入双曲线方程得03422=+-x x ，032416<⨯⨯-=∆所以假设

不成立，这样的直线不存在。

二、提出问题

以上两法在学生的作业中普遍存在，但更多的学生最后都忘记了对判别式的检验，从而导致结论的错误。既然学生易漏掉最后的检验，那为什么我们不能结合图形首先判断中点弦是否存在呢？而且很多

时候判别式的计算量太大也不便于计算，如：双曲线14

92

2=-y x 中的被

点)1,2(P 平分的弦所在的直线方程是（ ）A.798=-y x ，B.2598=+y x ， C.694=+y x ，D.不存在。本题学生极易错选A 答案，通过检验判别式答案应选D

三、解决问题

如图：双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域

由线性规划的知识可知：

当00 ,P x y （） 在区域Ⅰ内时，有22

002201x y a b

<-<；当00 ,P x y （） 在区

域Ⅱ内时，有2200220x y a b -<；当00 ,P x y （） 在区域Ⅲ内时，有22

00221x y a b

-> ．

利用上述结论，可以证明：

当00 ,P x y （） 在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、

Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：

设双曲线22

221x y a b

-= 的弦AB 两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，中点

为00 ,P x y （），则1202x x x += ，1202

y y

y +=，运用点差法得出AB 的斜率

2

02

0x b k y a =①令直线AB 的方程为()00y y k x x -=- ，即00y kx kx y =-+② 把②代入22

221x y a b

-= ，整理得()()()222222222000020b a k x ka y kx x a y kx a b ------=，

()()()2

22222222000024ka y kx b a k a y kx a b ⎡⎤⎡⎤∆=-------⎣⎦⎣⎦

()22222

004a b y kx b a k ⎡⎤=-+-⎣⎦③把①代入③，整理得

222222000022222041x y x y a b y a b a b ⎛⎫⎛⎫∆=--- ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

， 双曲线渐近线方程为：b

y x a =±，①若00 ,P x y （） 在Ⅱ内有00b y x a

>±，

平方得22

2

002b y x a >，2200220x y a b

⇒-<，这时0∆> ，中点弦存在。②若

00 ,P x y （） 在Ⅲ区域内有00b y x a <±，平方得22

2002b y x a

<，双曲线上横坐

标为0x 的点纵坐标为：y =，显然有0y y >，即22

0y y >

成立，22

2

0021x b y a ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭

，化简得2200221x y a b ->，这时0∆> ，则中点弦

存在。③若00 ,P x y （） 在Ⅰ区域内有00b y x a <±，平方得22

2002b y x a

<，双

曲线上纵坐标为0y 的点横坐标为：x =，显然有0x x >，

即2

2

0x x > 成立，22

2

0021y a x b ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭

，化简得2200221x y a b -<，再由

22

2002b y x a <2200220x y a b ⇒->则22002201x y a b

<-< ，这时0∆< ，中点弦不存在。

上述证明方法对计算能力要求太高，建议不给学生证明。在教学中我们可对作业题给出的P 点作更改，然后利用几何画板演示得出结论。最后再利用此结论来解决上述作业题，学生变得心应手了。