双曲线中点弦 存在
直线与双曲线 点差法与中点弦
直线与双曲线点差法与中点弦一、切线类型：1、双曲线内、原点：0条；2、双曲线上、渐近线（非原点）上：1条；3、双曲线外非渐近线上：2条双曲线与渐近线之间：与一支两切线两渐近线之间：与两支各一条切线二、直线与双曲线的位置关系：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条、细分如下：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域②③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑥：即过原点，无切线，无与渐近线平行类比：双曲线中点弦存在性的探讨规律：点差法求中点弦方程时，椭圆、抛物线内的点为中点中点弦方程不用检验，中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．当在区域Ⅰ内时，有；当在区域Ⅱ内时，有．当在区域Ⅲ内时，有．利用上述结论，可以证明：当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：设双曲线的弦两端点为，，中点为，则，．运用点差法得出的斜率．①令直线的方程为即．②把②代入，整理得．．③把①代入③，整理得．若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（ D ）（A）（B）（C）（D）不存在分析：将及联立得．此时，，则选（D）．若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．-------------------------------------------------------------------------------------点差法求双曲线的中点弦方程时产生增根的原因分析。
双曲线中点弦公式推导过程
双曲线中点弦公式推导过程1. 双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上一个重要的几何图形，它有许多重要的性质。
双曲线的一般方程通常可以写成x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1其中a和b是双曲线的参数，通常分别代表横轴和纵轴上的半轴长度。
双曲线还有等价的参数方程和极坐标方程，但在推导中点弦公式时，我们将主要使用一般方程。
双曲线上的点(x, y)满足上述方程，而且即使a和b相同，也需要注意双曲线有两个分支。
这些分支通常被称为“右侧分支”和“左侧分支”，它们分别在x轴的正半轴和负半轴上展开。
这是因为双曲线是非闭合曲线，所以它会延伸至无穷远。
2. 双曲线上的中点弦接下来，我们将讨论双曲线上的中点弦。
给定双曲线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过以下步骤讨论其中点弦的性质。
首先，我们需要找到这两个点的中点M。
中点M的坐标可以表示为[(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]接下来，我们考虑中点M与点A和点B之间的连线。
这条线段被称为弦，而中点M恰好是这条弦的中点。
由于中点弦的性质，它与弦上的任意一点C的距离都等于MC的长度。
3. 推导双曲线中点弦公式为了推导双曲线中点弦公式，我们可以使用代数和几何的方法。
我们需要查找双曲线上任意两点的中点坐标，然后推导出与这两点中点弦相关的方程。
我们可以假设双曲线的一般方程为x²/a² - y²/b² = 1然后，我们可以选择双曲线上任意两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，并找到它们的中点M。
得到中点坐标后，我们可以结合双曲线的方程和中点弦的性质，得到我们需要的中点弦方程。
这个过程可能会有些复杂，因为我们需要考虑双曲线的参数a和b，并将中点坐标代入双曲线方程中。
在推导中点弦公式时，需要注意到双曲线行为的非对称性，因此需要分别计算右侧分支和左侧分支的中点弦。
双曲线的中点弦的存在定理
双曲线的中点弦的存在定理双曲线是一种重要而有趣的数学曲线。
在我们探索双曲线的性质时，中点弦的存在定理是一个关键性的概念。
中点弦的存在定理表明，对于任意一条双曲线上的两点，我们总能通过连接这两点的线段，找到一条与该线段平行的双曲线的弦，并且该弦的中点就是原始双曲线上这两点的中点。
为了更好地理解这个定理，让我们以一个有趣的例子来说明它的应用。
假设我们有一条双曲线，它的两个焦点分别为A和B。
现在我们要找到这个双曲线上一点P与A、B点构成的线段的中点的对应的弦。
首先，我们连接点A和B，得到线段AB。
然后，我们画一条与线段AB平行的直线，并将这条直线延长，使其与双曲线相交于两个点C 和D。
根据中点弦的存在定理，我们知道线段CD就是我们要找的双曲线上与线段AB的中点对应的弦。
此外，由于线段CD与线段AB平行，我们可以得出线段AB与线段CD的中点是重合的。
这个例子展示了中点弦的存在定理的应用。
通过连接双曲线两点的线段，并找到与之平行的双曲线的弦，我们可以找到双曲线上任意两点的中点。
这个定理在几何学和数学分析中有广泛的应用。
它不仅可以用于计算双曲线上两点之间的距离，还可以用于证明双曲线的对称性和其他性质。
对于学习和研究双曲线的人来说，中点弦的存在定理是一个非常重要的工具。
它允许我们通过连接双曲线上的两点来发现更多关于曲线的性质，并帮助我们更好地理解双曲线的几何特征。
总之，中点弦的存在定理为我们探究双曲线提供了一个有力的工具。
通过连接双曲线上的两点并找到与之平行的弦，我们可以找到双曲线上这两点的中点，并进一步探索曲线的性质。
无论是在几何学还是数学分析中，中点弦的存在定理都是一个重要的概念，并具有广泛的应用价值。
双曲线的中点弦的存在定理
双曲线的中点弦的存在定理双曲线是数学中的一种重要曲线，具有许多有趣且值得研究的性质。
其中一个重要的性质就是中点弦的存在定理。
这个定理为我们提供了一种方法来确定双曲线上的中点，并使我们能够更好地理解双曲线的几何特征。
首先，让我们来了解一下什么是双曲线。
双曲线是平面上的一个曲线，其定义方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$是正实数。
双曲线的形状类似于一个开口的弧，具有两个分支。
在这两个分支之间存在一个对称轴，我们称之为中心轴。
现在，我们来介绍中点弦的概念。
中点弦是指双曲线上的两个点，并且这两个点分别在双曲线的两个分支上。
这两个点的连线称为中点弦。
我们要证明的是，对于给定的双曲线，总是存在一个中点弦。
为了证明中点弦的存在定理，我们需要运用一些数学知识和技巧。
首先，我们先选取双曲线上的两个点$P$和$Q$。
我们将这两个点的连线称为弦。
根据双曲线的定义方程，我们可以得到点$P$和点$Q$在双曲线上的坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$。
由于$P$和$Q$在双曲线上，它们满足方程$\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$和$\frac{x_2^2}{a^2} - \frac{y_2^2}{b^2} = 1$。
我们可以设中点弦的中点为$M$，坐标为$(x_M, y_M)$。
由于$M$是$P$和$Q$连线的中点，我们可以得到$x_M = \frac{x_1 +x_2}{2}$和$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$。
现在，我们来证明中点弦的存在。
假设$P$和$Q$不在同一条直线上，也即$x_1 \neq x_2$。
这意味着中点弦的中点$M$的横坐标$x_M$是一个确定的值，不会造成问题。
接下来，我们需要证明中点弦的纵坐标$y_M$是否存在。
我们可以通过将$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$代入双曲线的定义方程中，得到$\frac{x_M^2}{a^2} - \frac{y_M^2}{b^2} = 1$。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦定理是几何学中的重要定理之一，它是由著名的欧拉在18世纪提出的。
它的定义是：两个双曲线的棱的交点连成直线，如果该直线与另一对双曲线的棱的交点融合，则称为双曲线中点弦结论。
双曲线中点弦定理可以用向量的方法描述，即：设$\triangle PQR $ 为双曲线$C_1$和$C_2$交于点$Q$ 所围成的三角形，则
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RQ}$ 。
由双曲线中点弦定理，可以得出其推论：
1、如果双曲线$C_1$和$C_2$ 的棱形成一个平行四边形，则沿着平行四边形轮廓线的每一条棱可以找到一对双曲线的棱的交点。
且这两点构成的直线，又能够与另一对双曲线棱的交点融合。
2、两个双曲线$C_1$和$C_2$ 的棱两两形成的角必定为45°
3、设双曲线$C_1$ 和$C_2$有N对棱，则两对棱形成的角必定为45° · (N-1)°.
以上总结出双曲线中点弦定理的三条推论，然而双曲线中点弦定理还有更多用处：
（1）双曲线中点弦定理可以用来研究椭圆、双曲线上的几何问题；
（2）双曲线中点弦定理可以用来求解全等图形，如两个椭圆形成的四边形如何形成；
（3）双曲线中点弦定理可以用来寻找椭圆、双曲线上点的位置。
实际上，双曲线中点弦定理可以发现或解释许多在几何学中见到的特殊现象，所以它是几何学中一个重要的定理。
它的推论可以帮助我们更好的理解双曲线的特点，而它的其他用处也能够展示出双曲线中点弦定理在几何学中的重要性。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论
双曲线是几何学中一类特殊的曲线，与椭圆、圆等曲线相比，双曲线的几何性质较为复杂，其中一个重要结论就是点弦结论，它被广泛应用于各类理论分析和数学运算中。
双曲线中点弦结论是16世纪哥白尼发现的一个重要定理，其原
理是：一个双曲线上任意一点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，形成一条直线，则这条直线必然能够在双曲线上切出另一点。
简言之就是：任意一个双曲线上的点都可以成另一点，形成弦的线段，因此双曲线的每一点都可以通过另一个点来表示。
以双曲线方程及经典点弦结论为例，双曲线的定义式如下：
x2/a2 - y2/b2 = 1
其中a、b分别是该双曲线的两个焦距，可以根据该公式判断出
双曲线的位置、类型甚至结构，并进而得出结论。
双曲线点弦定理指出：任意一个双曲线上的点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，则该线段必然也在双曲线上，而不是该双曲线的对称轴或附近的曲线上。
此外，每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，这意味着双曲线上的每个点都可以通过另一个点来描述，这就是双曲线中点弦结论。
点弦结论在几何学中有重要应用，它可以用来解决不少复杂的几何问题，例如：双曲线的对称性、对称轴及其他特性，还有双曲线上任意点的位置及线段的位置等等。
此外，双曲线点弦定理也可以用来求解其他几何形状的面积等问
题，可以用来求解自然界的复杂现象，例如：地球的重力场、电磁场等；也可以用于物理学、力学等物理知识的求解过程。
总之，双曲线中点弦定理是一种重要且有效的定理，其主要原理是可以将双曲线上的任意一点，通过另一点相连而形成弦的线段，并且每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，此定理具有较强的实用性，有着广泛的应用前景。
在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索
在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索(浙江省宁波市鄞州中学数学组315101)黄富眷直线和圆锥曲线的位置关系,是解析几何中最主要的题型,这类问题涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点,弦长等.解决的方法往往采用数形结合思想,"设而不求"的方法和韦达定理.其中椭圆,双曲线,抛物线的中点弦存在性问题是相当常见的.由于椭圆和抛物线的弦的中点必在曲线的内部因此相对较简单,而双曲线的弦的中点可以在曲线的内部和外部,所以双曲线的中点弦存在性问题就值得我们去探索.例己知双曲线方程.一Y.===2.(1)求以P(2,1)为中点的双曲线弦所在的直线方程.(2)过点Q(1,1)能否作直线z,使Z与所给的双曲线交于A,B两点,且点Q是弦AB的中点?这样的直线z如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.解:(1)设以P(2,1)为中点的弦两端点为A(x,Y),B(x.,Y.)两点,由于A,B在双曲线上,则有2x;一Yi=1,2z;一Y;===1,两式相减得2(1+2)(l—2)一(1+Y2)(l—Y2)=0,由已知:l+2===4,Y1+Y2=2,又据对称性知思路:这个花圃分为6个部分,但6个部分不是只有一公共点的,不能应用前述的思路和方法.若将第1部分视为一点,则转化为上述的问题.于是我们分为两大步进行:第一步:确定第1部分的栽种方法,可以从4种颜色的花中任选一种,有4种方法.第二步:确定第2,3,4,5,6这5个部分的栽种方法,按要求只能从余下的3种颜色的花中选取. 现将第一部分视为一点,形成只有一个公共点的5 个部分的情形.分别考察一区域被分成3,4,5个小区域的情形,各小区域均只有一公共点(如图6),设它们的栽种方法分别是口3,口4,口5.≠.,所以丛二丝一4.即AB一4.所求中点Xl—2弦所在直线方程为:4x—一7=O.在解析几何中,在处理涉及弦中点的问题时,我们常用点差法思想.严格地说,求出的这个直线方程只是满足了必要性,因为我们假定过P点的直线与双曲线交于A,B两点,因此还必须验证充分性,即所求的直线确实与双曲线有两个交点.为此只要将直线方程与双曲线方程联立消(或),得△>0,就可断言充分性成立.事实上,从2-2. 一1.=7>2,也可判定P(2,1)在双曲线内部(即含焦点的区域).所以用点差法,就必须以直线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法.在利用韦达定理时,必须讨论一元二次方程的二次系数和判别式..(2)可假定直线z存在,采用(1)的方法求出l的方程为2x—Y一1=0,联立方程组O2一.2—1』:__,消Y,得2x一4x+30,lZx—Y—l—UA:(一4)一4?2—38<0,无实根.因此直线z与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线z不存在.幽6可以得到:口3—3×2×1=6,一3×2一口3—18,口5=3×2'～一30.即第2,3,4,5,6这5个部分不同的栽种方法有3O种.由以上两步,6个部分不同的栽种方法有4×30—120种.-o0∞年0月上半月划剥一引刈●,通过这个例题清楚地表明了以某一定点为中点的双曲线的弦的存在性问题若用点差法的思想来处理的话,可能会造成错解.所以一般地,还是采用直线与双曲线联立方程组,消元后通过一元二次方程的系数和判别式来判断直线中点弦的存在性.另外从上面的例题中可以看出,以某一定点为中点的双曲线的弦并不一定存在.显然与这个定点的坐标有关,因此在对双曲线中点弦存在性问题的探索中,笔者发现其实通过对定点所在位置的判定,可以很快地确定双曲线中点弦是否存在及弦所在直线的条数.问题已知:双曲线一=1和坐标平面上任一点P(x.,Y o),过点P能否作直线z,使z与所给的双曲线交于A,B两点,且点P是弦AB的中点?这样的z如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.解:(f)当直线l与轴垂直时,由于双曲线的对称性可知,显然只有当P(x.,O).且IoI>a时,以点P(x.,O)为中点的弦AB所在直线Z是唯一存在.(ii)当点P就在原点O上,此时可设直线Z方程为Y—,代入双曲线方程得(一a2k.)一￡0a2b=0,当k.<时,△>o,所以存在以原点为中点的弦AB,交点在左右支上,这样弦AB所在直线l有无数条.斜率为k<__O-.(iii)当直线l与轴不垂直时,且定点不在原点时,设直线Z的斜率为k,所以过点P(x.,Y.), (.≠O)的直线方程可设为:Y=忌(—.)+y..联立方程frazyZ口,消去后,整理得:IY一尼L—Xo十Y o(62一a2k)一2a.k(yo—kxo)—a.(o一.o)一a.62=0(*)若b一ak=0时,则直线l与双曲线的渐近线平行,所以不可能有弦AB.所以b一a2k.≠0, 此时,由于点P是弦AB的中点,所以有=2一裴①对于(*)的判别式A=4a'k.(一kx.).+4(b一a2k)[(一kx.).+62]-a.==:墅4a'k(o—kxo)一4a'k(o—kxo)一4a'bk+4ba(o一.o)十4ab'=4口b2Uyo—kxo).+b一a2k]②把①式代入②式得:△一(口z一62z5)(口.一6zz3一a2bz)aY o从而可得:(1)当一>1,即625一aY3>a2b.点在双曲线的内部(即含焦点的区域)时,如图1阴影区域,此时△>0,所以存在以点P为中点的弦AB,两个交点在同支上,并且这样的直线z是唯一的,斜率为忌=麓.\y/\/i:iii!iiiiiiiii!ili!iiiiii~,/慧^\/冀--|_:/,/q\\I:0.:,\\≮0,,\图ly\_.:/\=曹--/\多//\\\:.'\\.¨.\图2(2)当蔓az一<o,即3一口y'o<o<,如图2阴影区域时,此时△>0,所以存在以点P为中点的弦AB,两个交点分别在左右支上, L2..并且直线z也是唯一的,斜率为k=.(3)当o<一<1,即0<623一azY5<azb,如图3区域时,此时△<0,所以不存在以点P为中点的弦AB.(4)当一一o,即y.图3X:一a2Y5=0时,点P在渐近线上(非原点),此L2时△=0;而此时斜率kU,XO=Y o,赢线l即为aY o0渐近线,不可能与双曲线相切,从而矛盾,所以不存在以点P为中点的弦AB.综上所述,我们可以通过对定点P坐标与双曲线方程分析,及定点与双曲线的所在区域,位置的分析判定,使双曲线中以某个定点为中点的弦的存在性问题探索变得非常的容易和清晰,从而彻底地解决了这个存在性问题的讨论.-000年0丹上半月洲.刘_j『。
双曲线的中点弦什么时候存在
首先不妨把双曲线所在的平面区域分成以下几个部分:
７５
周刊
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
则 有 :x２ １－y２２１ ＝１,x２２－y２２２ ＝１,两 式 相 减 ,得 :
(x１
＋x２)(x１
－x２)－
(y１
＋y２)(y１ ２
－y２)＝０
因为 P(１,２)为 AB 中点,从而x１＋x２＝２,y１＋y２＝４,
所
以
kAB
＝xy１１
－y２ －x２
＝２(yx１１＋＋yx２２
) ＝１,
故 所 求 直 线 方 程 为 y－２＝x－１,即 x－y＋１＝０.
至此,我们利用“点 差 法 ”解 决 了 双 曲 线 的 中 点 弦 问 题,
为了验证所求的直线x－y＋１＝０ 是 否 是 满 足 条 件 的 直 线, 我们将该直线方程和已知双曲线方程联立成方程组
{x２
y２ －２
双曲线的弦长及中点弦问题课件高二上学期数学人教A版选择性
B
y M.
AO
x
课堂小结
双曲线弦长问题 联立
得到一元二次方程
求交点坐标，两点间距离公式 |AB| ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
弦长公式
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2
AB
1
1 2 k
y1
y2
1
1 k
2
y1 y2 2 4 y1 y2
=k
点斜式求直线方程
练习巩固
变式 设 A、B 双曲线 x2－y2＝1 上的两点，AB 中点为 M(1,2)．求： 2
(1)直线 AB 的方程；
练习巩固
变式 设 A、B 双曲线 x2－y22＝1 上的两点，AB 中点为 M(1,2)．求：
(1)直线 AB 的方程；(2)△ OAB 的面积(O 为坐标原点)．
1① ，① ②,得
1②
x12
4
x22
y12
2
y22
0.
整理得 y1 y2 x1 x2
1 2
x1 y1
x2 y2
，即k
AB
1 2
xM yM
1. 2
∴直线AB的方程为y 1 1 ( x 1),即x 2 y 1 0. 2
y
.M
A
BO
x
小结巩固 点差法
点
双曲线中点弦问题
差 作差得
|AB | 4 2,且x1 x2 2m,x1x2 m2 2.
由弦长公式可得 2 (2m)2 4(m2 2)=4 2. 解得m 1.
例题讲解
例2
练习巩固
例3
解: (点差法) 设A( x1, y1 ),B( x2 , y2 ),则有
专题 以双曲线为情境的中点弦问题(解析版)高考数学专题复习
05 以双曲线为情境的中点弦问题典例分析一、求中点弦所在直线的方程1．已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的离心率为2，过点(3,3)P 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且点P 恰好是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y --=B ．290x y +-=C ．360x y --=D ．60x y +-=【答案】C 【解析】【分析】运用点差法即可求解【详解】由已知得21a =，又2c e a ==，222c a b =+，可得23b =.则双曲线C 的方程为2213y x -=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()2222121203y y x x ---=，即()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=. 又因为点P 恰好是弦AB 的中点，所以126x x +=，126y y +=，所以直线AB 的斜率为()1212121233x x y y x x y y +-==-+，所以直线AB 的方程为33(3)y x -=-，即360x y --=.经检验满足题意2．已知直线:0l x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值是________. 【答案】±1【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得AB 中点M 点坐标，代入圆的方程，即可求得m 的值．【详解】设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(M x ，0)y ，由22012x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式△0)>，122x x m +=，1202x x x m +∴==，002y x m m =+=，点0(M x ，0)y 在圆225x y +=上，则22(2)5m m +=，故1m =±.3．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【答案】210x y --=【分析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：()()()()1212121212x x x x y y y y -+=+-，结合中点坐标公式求得直线MN 的斜率，再利用点斜式即可求直线方程． 【详解】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-，因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-， 所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．4．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C 所截得的弦长为12.(1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为()5,3M ，求直线AB 的方程. 【答案】(1)221412x y -=；(2)522y x =-【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得C 的方程.（2）结合点差法求得直线AB 的斜率，从而求得直线AB 的方程.【解析】(1)因为C 的离心率为2，所以2212b a+=，可得223b a =.将22x a b =+22221x y a b -=可得2b y a =±，由题设26b a =.解得2a =，212b =，23b =C 的方程为221412x y -=. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，则22111412x y -=，22221412x y -=.因此222212120412x x y y ---=，即()()()()121212120412x x x x y y y y +-+--=.因为线段AB 的中点为()5,3M ，所以1210xx +=，126y y +=，从而12125y y x x -=-，于是直线AB 的方程是522y x =-. 二、求中点弦所在直线的斜率1．直线l 交双曲线 2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB 的中点，则l 的斜率为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】【分析】设出点A ，B 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率，再验证作答.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因点A ，B 在双曲线 2214x y -=上，则221114x y -=，222214x y -=，两式相减得：121212121()(0)()()4x x x x y y y y +--+-=，因P 为AB 中点，则128x x +=，122y y +=，于是得2121y y x x --＝1，即直线l 的斜率为1，此时，直线l 的方程为：3y x =-，由22344y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：2324400x x -+=，2244340960∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线 2214x y -=交于两点，所以直线l 的斜率为1. 2．直线l 与双曲线2212x y -=的同一支相交于,A B 两点，线段AB 的中点在直线2y x =上，则直线AB 的斜率为（ ）A ．4B ．2C ．12D ．14【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，设出,A B 两点坐标，使用点差法，带入双曲线方程作差，化简即可完成求解. 【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，由已知，,A B 两点在双曲线上，所以{x 122−y 12=1x222−y 22=1，两式做差可得01212121201··2AB y y y y y k x x x x x -+==-+，点00(,)M x y 在直线2y x =上，所以002y x =，代入上式可得14AB k =，故直线AB 的斜率为14. 3．已知双曲线2213y x -=，过点()2,1P 作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为________． 【答案】6【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线AB 的斜率.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即121242x x y y +=⎧⎨+=⎩，由已知条件可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两个等式作差得()2222121203y y x x ---=，即()()()()121212123y y y y x x x x +-+-=，即()()1212243y y x x --=， 所以，直线AB 的斜率为12126AB y y k x x -==-. 4．已知双曲线M 与椭圆22:15x N y +=有相同的焦点，且M 与圆22:1C x y +=相切．(1)求M 的虚轴长．(2)是否存在直线l ，使得l 与M 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为()4,6P ？若存在，求l 的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】(1)3(2)存在，2 【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.【解析】(1)因为椭圆22:15x N y +=的焦点坐标为()2,0±，所以可设M 的方程为()2222104x y a a a -=>-．因为M 与圆22:1C x y +=相切，所以1a =，则2243b a =-=，故M 的虚轴长223b =(2)由（1）知，M 的方程为2213yx -=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()1212121203y y y y x x x x -+-+-=，假设存在直线l 满足题意．则12128,12,x x y y +=⎧⎨+=⎩所以12122AB y y k x x -==-，因此l 的方程为220x y --=，代入M 的方程，整理得2870x x -+=，0∆>，l 与M 相交，故存在直线l 满足题意，且l 的斜率为2． 三、求中点弦的弦长1．已知点A ，B 在双曲线223x y -=上，线段AB 的中点为()1,2M ，则AB =（ ）A ．25B ．45C ．10D ．10【答案】C 【解析】【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到直线AB 的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.【详解】不妨设11(,)A x y ，22(,)B x y ，从而22113x y -=，22223x y -=，由两式相减可得，12121212()()(()0)x x x x y y y y -+--+=，又因为线段AB 的中点为()1,2M ，从而122x x +=，124y y +=，故121212y y x x -=-，即直线AB 的斜率为12，直线AB 的方程为：12(1)2y x -=-，即1322y x =+，将1322y x =+代入223x y -=可得，2270x x --=，从而122x x +=，127x x =-，故22121212151()|()41022AB x x x x x x =+-=+-= 2．已知双曲线22:22C x y -=，过点(1,2)P 的直线l 与双曲线C 交于M ､N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长|MN |等于（ ）A 42B 33C ．3D ．2【答案】D【分析】设直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k 值，利用弦长公式求解即可.【详解】由题设，直线l 的斜率必存在，设过(1,2)P 的直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线：224(2)2(2)(46)0k x k k x k k -+---+=设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(2)22P k k x x x k -+=-=-，所以22(2)22k k k--=-，，则122x x +=，123x x =-.弦长|MN |2212121()4241242k x x x x =++-=+= 3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率6e =，且双曲线C 过点()2,1P ． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:1l y kx =-与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为2-，求线段AB 的长． 【答案】(1)2212x y -=；(2)15【分析】（1）设双曲线C ：()222210,0x y a b a b=>>，根据题意可得62cea、222c a b =+、2222211a b -=，解方程组求得,a b 的值即可得双曲线C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线方程，可求出124x x +=-，再由2120Δ0k ⎧-≠⎨>⎩可得k 的值，由弦长公式即可得线段AB 的长.【解析】(1)设双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，由题意可得：22222226211c e a c a b a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：222,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22121x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()2212440k x kx -+-=，因为l 与C 有两个交点，所以2120-≠k 且()22216161216160k k k ∆=+-=->，解得：21k <且212k ≠， 所以11k -<<且2≠k ①，由根与系数的关系可得：122412k x x k +=--，122412x x k -=- 又因为AB 中点的横坐标为2-， 所以24412kk -=--，即2210k k +-=，解得：1k =-或12k =②，结合①②可知12k =， 此时1:12l y x =-，1224412k x x k +=-=--，1224812x x k =-=--， 所以()22221212121511()44322152AB k x x x x x ⎛⎫=+-++--+ ⎪⎝⎭AB 的长为15四、求双曲线的方程1．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为()4,7N --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22111113663x y -=D ．22111116336x y -=【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的方程，并设出双曲线E 的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答. 【详解】直线l 的方程为：0(7)(3)3(4)y x --=⋅---，即3y x =-，设双曲线E 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，由222231y x x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得：222222()6(9)0b a x a x a b -+-+=， ()()()422222222Δ3649490a a a bb a b ba=--+=+->，因弦AB 的中点为()4,7N --，于是得22234a b a-=--，即2247a b =，而229a b +=，解得223663,1111a b ==，满足0∆>，所以双曲线E 的方程为22136631111x y -=，即22111113663x y -=. 2．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q ．当2PF PQ +的最小值为6时，1F Q 的中点在双曲线C 上，则C 的方程为（ ）A ．222x y -= B ．224x y -=C ．22116y x -=D ．22124x y -=【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义21||||2PF PF a -=得到21122PF PQ PF PQ a FQ a +=++≥+，再利用焦点到渐近线的距离为b 求得26b a +=，设出渐近线方程求得1F Q 的中点坐标代入双曲线方程联解求得a b 、的解.【详解】212PF PF a -=，211||||22PF PQ PF PQ a FQ a ∴+=++≥+，又()1,0F c =-，2,0F c ，双曲线的渐近线方程为：by x a =±，即0bx ay ±=，∴22bc bc b c a b±==+， 即1FQ 的最小值为b ，即26b a +=，不妨设直线OQ 为：b y x a =，1F Q OQ ⊥，∴点()1,0F c -，2(,)a ab Q c c--，1F Q 的中点为22(,)22a c ab c c +--，将其代入双曲线C 的方程，得：2222222()144a c a a c c +-=，即22222221144a c a a cc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=， 解得：2c a ，又26b a +=，222+=a b c ，2a b ∴==，故双曲线C 的方程为224x y -=．3．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(3,0)F -的直线与双曲线交,M N 两点，且线段MN 的中点坐标为(3,6)，则双曲线方程是_______________. 【答案】22136x y -= 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，可得126x x +=，1212y y +=，将,M N 两点坐标代入双曲线方程，两式相减整理可得2121212122MNy y x b k x y x x y a-+-+==⨯，利用已知点的坐标求出直线MN 的斜率，即可得2a 与2b 的关系，结合2229c a b =+=即可得2a 、2b 的值，进而可得双曲线方程.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得：2222121222x x y a b y =--， 所以()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，因为点(3,6)是线段MN 的中点，所以126xx +=，1212y y +=，所以222212122221126122MNy y x b b b k x y y a x x a a -+-+==⨯=⨯=，因为()60133MN k -==--，所以2212b a =，即222b a =， 因为222239c a b a =+==，所以23a =，26b =，所以双曲线方程是22136x y -=， 五、中点弦与双曲线的离心率交汇12的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2C 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D ．3【答案】C【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+.因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y .因为12122AB y y k x x -==-0022OPy k x ==22222a ，224b a=，故2215b e a =+ 2．过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b 相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________. 6【分析】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为12，即可求出双曲线Γ的离心率． 【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b -=①，2222221x y a b-=②，M 是线段AB 的中点，∴1212x x +=，1212y y +=，直线AB 的方程是1(1)12y x =-+，12121()2y y x x ∴-=-，过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得22221212220x x y y a b ---=，即()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+-===--+，2216c b e a a ∴==+ 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点()2,1M -为弦PQ 的中点，且//PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则2e =______． 21+【分析】解法一，利用点差法，结合1212y y bx x c-=--，以及12124,2x x y y +=-+=，变形得到22a bc =，再转化为关于,a c 的齐次方程，求解2e ；解法二，设直线()12y k x -=+，bk c=-，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于,a c 的齐次方程，求解2e . 【详解】解法一：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则PQBF bk k c==-．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，，两式相减，得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=-+．因为PQ 的中点为()2,1M -，所以124x x +=-，122y y +=，又1212PQ y y bk x x c -==--，所以2242b b c a --=，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得221e +=解法二 ：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则BF bk c=-．设直线PQ 的方程为()12y k x -=+，即21y kx k =++，代入双曲线方程，得()()()222222222221210b a k x a k k x a k a b --+-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，结合()2,1M -为PQ 的中点，得()2122222214a k k x xb a k ++==--．又BF bk k c ==-，所以222222144b b b a b a c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得221e +．方法点拨1：对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.2：对于中点弦问题可采用点差法求出直线的斜率，设()11,A x y ，()22,B x y 为弦端点坐标，()00,P x y 为AB 的中点，直线AB 的斜率为k ，若椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，则2020b x k a y =-，若椭圆方程为22221y x a b+=()0a b >>，则2020a x k b y =-，若双曲线方程为22221x y a b-=()0a b >>，则2020b x k a y =，若双曲线方程为22221y x a b-=()0a b >>，则2020a x k b y =. 巩固练习1．已知点A ，B 是双曲线22:123x y C -=上的两点，线段AB 的中点是()3,2M ，则直线AB 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．49D ．94【答案】D 【解析】【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222123123x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121223x x x x y y y y +-+-=，即()()12126423x x y y --=，∴121294AB y y k x x -==-. 2．已知双曲线221164x y -=，以点()5,1P -为中点的弦所在的直线方程为（ ）A ．45210x y +-=B ．54210x y +-=C ．240x y --=D ．240x y +-=【答案】B 【分析】利用点差法可求得弦所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】设弦的两个端点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，则1212102x x y y +=⎧⎨+=-⎩，则2211222211641164x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212416y y y y x x x x -+-+=，所以，弦所在直线的斜率()()1212121245164x x y y k x x y y +-===--+， 故所求直线方程为()5514y x =---，即54210x y +-=. 3．已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】A 【解析】【分析】依据点差法即可求得a b 、的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=，则22620a b-=，即22=3a b ，则3a b则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为3a b ±=4．已知双曲线2212y x -=，过点()1,1P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，则能使点P 为线段AB 中点的直线l 的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先假设存在这样的直线l ，分斜率存在和斜率不存在设出直线l 的方程，当斜率k 存在时，与双曲线方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则0∆>，32k <，又根据M 是线段AB 的中点，则21A B x x +=，由此求出2k =与32k <矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点M 的直线不满足条件，故符合条件的直线l 不存在. 【详解】设过点(1,1)M 的直线方程为(1)1y k x =-+或1x =，①当斜率存在时有22(1)112y k x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(2)(22)230k x k k x k k -+--+-=(*)．当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：2222(22)4(2)(23)0k k k k k ∆=----+->，即32k <又方程(*)的两个不同的根是两交点A 、B 的横坐标，21222()2k k x x k -∴+=--又(1,1)M 为线段AB 的中点，∴1212x x +=，即222()22k k k --=-，2k ∴=，使22k -≠0但使∆<0，因此当2k =时，方程①无实数解． 故过点(1,1)m 与双曲线交于两点A 、B 且M 为线段AB 中点的直线不存在． ②当1x =时，经过点M 的直线不满足条件. 综上，符合条件的直线l 不存在．5．已知点A ，B 在双曲线224x y -=上，线段AB 的中点()3,1M ，则AB =（ ）A 2B ．2C 5D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先根据中点弦定理求出直线AB 的斜率，然后求出直线AB 的方程，联立后利用弦长公式求解AB 的长.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则可得方程组：2211222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：()()()()12121212x x x x y y y y +-=+-，即121212121y y y y x x x x +-⋅=+-，其中因为AB 的中点为()3,1M ，故121213y y x x +=+，故12123y y x x -=-，即直线AB 的斜率为3，故直线AB 的方程为：()133y x -=-，联立()221334y x x y ⎧-=-⎨-=⎩，解得：2212170x x -+=，由韦达定理得：126x x +=，12172x x =，则()221212145AB k x x x x =++-=6．过点(1,1)A 作直线l 与双曲线2212y x -=交于P ，Q 两点，且使得A 是PQ 的中点，直线l 方程为（ ） A ．210x y --= B ．2x +y -3=0 C ．x =1 D ．不存在【答案】D 【解析】【分析】设出点P ，Q 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率并求出其方程，再将直线l 与双曲线方程联立验证即可得解.【详解】设点1122(,),(,)P x y Q x y ，因点(1,1)A 是PQ 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，从而有221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，即12122()()0x x y y ---=，于是得直线l 的斜率为12122y y x x --=， 直线l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22430x x -+=，此时2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，即方程组222122y x x y =-⎧⎨-=⎩无解，所以直线l 不存在. 7．（多选题）过M （1，1）作斜率为2的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A 、B 两点，若M 是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）A ．b <aB ．渐近线方程为y =±2xC ．离心率3eD ．b >a【答案】CD【分析】根据M （1，1）是AB 的中点，且斜率为2，利用点差法求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b ---=，化简得2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，因为M （1，1）是AB 的中点，所以222b a=，即2b a =所以b a >，渐近线方程为2y x =，离心率为2213c b e a a=+=8．（多选题）已知双曲线C ：()22210y x a a-=>，其上、下焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点．过双曲线上一点()00,M x y 作直线l ，分别与双曲线的渐近线交于P ，Q 两点，且点M 为PQ 中点，则下列说法正确的是（ ）A ．若l y ⊥轴，则2PQ =．B ．若点M 的坐标为()1,2，则直线l 的斜率为14C ．直线PQ 的方程为0021y yx x a-=． D 5，则三角形OPQ 的面积为2． 【答案】ACD【分析】利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.【详解】若l y ⊥轴，则直线l 过双曲线的顶点，()0,M a ±，双曲线的渐近线方程为y ax =±，易得P ，Q 两点的横坐标为±1 ，∴2PQ =，即A 正确；若点M 的坐标为()1,2，则2a =2220-=y x ，设()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法：2222112220,20y x y x -=-=，两式作差可得，2222121222y y x x -=-，即222212121212121222,2y y x xy y x x x x y y -+-=-=-+∴1212l k =⨯=，即B 错误；若()00,M x y ，利用点差法同样可得220121212120l a x y y x x k a x x y y y -+===-+，∴直线PQ 的方程为()20000a x y y x x y -=- ，即00222200y y y a x x a x -=-，002222200y y a x x y a x a -=-=，∴0021y y x x a -=，故C 正确；5，则双曲线方程为2214y x -=，∴渐近线方程为2y x =±，设()()1122,2,,2P x x Q x x -，∴122112122OPQS x y x y x x =-= ，联立方程00142y yx x y x⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 可得10022x y x =- ，同理可得20022x y x -=+，∴12220000022882222244OPQSx x y x y x y x -==⋅===-+-， 9．（多选题）曲线C ：221ax by +=（0ab ≠）与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为k ，以下结论正确的是（ ） A ．若3k =3a b = B ．若3k =3a b =-3C ．若0k >，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，则0k < 【答案】AD【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得ak b=，再依次判断每个选项即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12121y y x x -=--，线段AB 的中点为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()()()()121212120a x x x x b y y y y +-++-=，则12121212y y x xa x xb y y -+=-⋅-+，由题意可知121222y y k x x +=+，即1212y y k x x +=+，则有11a b k -=-⋅，即a k b=，对A ，若3k =则3a b =故A 正确；对B ，若3k =则3a b =-故B 错误；对C ，若0k >，则0ak b=>，当1k ≠时，且0,0a b >>时，曲线是椭圆，否则曲线是圆或不存在，故C 错误；对D ，若C 为双曲线，则0ab <，此时0ak b=<，故D 正确. 10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，且C 的焦点到渐近线的距离为1，直线1y k x m =+与C 交于P ，Q 两点，M 为弦PQ 的中点，若(OM O 为坐标原点）的斜率为2k ，1214k k =，则下列结论正确的是____________①4a =； ②C 5； ③若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2；④若12PF F △的面积为2512PF F △为钝角三角形 【答案】②④ 【解析】 【分析】由已知可得2214b a =，可求a ，e ，从而判断①②，求出∴12PF F 的面积可判断③，设0(P x ，0)y ，利用面积求出点P 的坐标，再求边长，求出21cos PF F ∠可判断④．【详解】设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，可得2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，由题意可得12112y y k x x -=-，且1212(,)22x x y y M ++，12212y y k x x +=+，2122b k k a∴=，1214k k =，∴2214b a =，2251b e a ∴=+②正确；C 的焦点到渐近线的距离为1，设()2,0F c 到渐近线0bx ay -=的距离为d ，则221d b a b===+，即1b =，2a ∴=，故①错误，145c ∴+若12PF PF ⊥，不妨设P 在右支上，2212||||20PF PF +=，又12||||4PF PF -=，12||||2PF PF ∴⋅=， 则12PF F △的面积为12121||||12PF F SPF PF =⋅=，故③不正确；设0(P x ，0)y ，12012||252PF F S c y =⨯⨯=0||2y ∴=， 将0||2y =代入双曲线2214x y -=，得2020x =，0||5x =，根据双曲线的对称性，不妨取点P 的坐标为5，2)，221||(255)27PF ∴++，222||(255)23PF =-+，21cos 02325PF F ∠<⨯⨯，21PF F ∴∠为钝角，∴12PF F △为钝角三角形．故④正确．11．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______． 【答案】2 【解析】【分析】设1122(,),(,)B x y D x y ，代入双曲线方程，利用点差法，可求得223b a=，代入离心率公式，即可得答案.【详解】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a =，所以C 的离心率2212be a+.12．已知双曲线2212y x -=上存在两点,M N 关于直线y x b =-+对称，且MN 的中点在抛物线23y x =上，则实数b 的值为________． 【答案】0或94【解析】【分析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，由点差法可得0MN y k x ；通过,M N 两点关于直线y x b =-+对称，可得1MN k =，求出E 的坐标，代入抛物线方程求解即可．【详解】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 由点差法可得212121211()()()()2x x x x y y y y -+=-+，即212121212y y y y x x x x -+⋅=-+①，显然12x x ≠，又因为12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩②，代②入①可得02MN y k x ⋅=；由,M N 两点关于直线y x b =-+对称，可得1MN k =，所以002y x =，又因为00y x b =-+，所以2(,)33b b E ，代入抛物线方程得24393b b=⨯，解得0b =或94b =．13．已知P ，Q 为曲线22:14x C y -=上的两点，线段PQ 的中点为()3,1M ，则直线PQ 的斜率为（ ）A ．–3B ．34-C ．34D ．3【答案】C 【解析】【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，代入双曲线方程相减可得直线斜率．【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -+--+=，所以121212122334()4214PQ y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯⨯．此时直线方程为31(3)4y x -=-，3544y x =-，代入双曲线方程有：2235()1444x x --=，整理得241605x x -+=，4116364055∆=-⨯=>，直线与双曲线相交于两点，又12623x x +==⨯，M 是PQ 中点，满足题意．14．已知斜率为1的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D ．3【答案】A 【解析】【分析】利用点差法可求得22b a 的值，结合221b e a=+C 的离心率的值.【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+．因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y ． 因为12121AB y y k x x -==-，002==OP yk x ，所以2212b a =，故222b a =，故222222213c c a b b e a a a a +===+． 15．已知点()13,0F ，)23,0F ，动点M 满足122MF MF -=.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)直线l 与点M 的轨迹交于A ，B 两点，若弦AB 的中点坐标为()2,1，求直线l 的方程. 【答案】(1)2212y x -=；(2)470x y --=【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；（2）根据点差法求解并检验即可得答案. 【解析】(1)根据双曲线的定义得动点M 的轨迹是以()13,0F -，()23,0F 为焦点，实轴长为2的双曲线，22,3a c ==2221,2a b c a ==-=，所以动点M 的轨迹方程2212y x -=(2) 设()()1122,,,A x y B x y ，则221112-=y x ，222212-=y x ，所以2222121222y y x x -=-，即()()()()121212122y y y y x x x x +-+-=，所以()121212122AB x x y y k x x y y +-==-+， 因为弦AB 的中点坐标为()2,1，所以12124,2x x y y +=+=， 所以()1212121224AB x x y y k x x y y +-===-+所以直线l 的方程为()142y x -=-，即470x y --=. 联立方程2212470y x x y ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得21456510x x -+=，此时256414515630∆=-⨯⨯=⨯>，124x x +=， 满足题意.所以直线l 的方程为470x y --=16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，离心率3e =22(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点()1,1P 能否作直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2212y x -=；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据离心率及虚轴长即可求解；（2）运用点差法求解，但是要注意检验. 【解析】(1)3ce a==222b =3c a ∴=，2b =222c a b =+，2232a a ∴=+．21a ∴=． ∴双曲线C 的标准方程为2212y x -=．(2)假设以定点(11)P ，为中点的弦存在， 设以定点(11)P ，为中点的弦的端点坐标为11(,)A x y ，2212(),()B x y x x ≠， 可得122x x +=，122y y +=．由A ，B 在双曲线上，可得：221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减可得以定点(11)P ，为中点的弦所在的直线斜率为：211221122()2y y x x k x x y y -+===-+， 则以定点(11)P ，为中点的弦所在的直线方程为12(1)y x -=-．即为21y x =-， 代入双曲线的方程可得22430x x -+=，由2(4)42380<∆=--⨯⨯=-，所以不存在这样的直线l ． 17．已知抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线y t =（0t <）上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 (1)求C 的方程；(2)设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于A ，B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得M 为AB 的中点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)24x y =；(2)存在，1-，理由见解析. 【分析】（1）根据PQF △的面积可求出等边三角形的边长为4，再由60OFQ PQF ∠=∠=，cos60p OF PQ ==⋅求出p 的值即可得C 的方程；（2）设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0,Q x t ，可得0OQ t k x =，由导数的几何意义可得012l k x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，由点差法可得12l OMk k ⋅=-，01OM k x =-，因此可求出1t =-即可. 【解析】(1)设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQF △为等边三角形时，其面积为43所以21si πn 4323PQ ⨯=4PQ =，即4PQ PF FQ ===，由抛物线定义可知，y=t 为抛物线的准线，由题意可知60OFQ PQF ∠=∠=，所以12cos60422p OF FQ ==⋅=⨯=，所以C 的方程24x y =； (2)设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P 在动直线y t =上的投影()0,Q x t ，当00x ≠时，0OQ t k x =，由214y x =可得12y x '=，所以切线l 的斜率为012l k x =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22221212042x x y y --+=， 所以()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，整理可得：1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+，即12l OM k k ⋅=-， 所以01122OM x k ⋅=-，可得01OM k x =-，又因为0OQ OM t k k x ==，所以当1t =-时，01OQ OM k k x ==-，此时,,O M Q 三点共线，满足M 为AB 的中点，综上，存在t ，使得点M 为AB 的中点恒成立，1t =-.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>经过点(2,3)，一条渐近线的倾斜角为60︒.(1)求双曲线的标准方程；(2)若斜率为(0)k k ≠的直线l 与双曲线E 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的中垂线与y 轴交于点(0,4)，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2213y x -=；(2)(,2)(3,0)3)(2,)-∞-⋃⋃⋃+∞. 【分析】(1)根据给定条件列出关于a ，b 的方程求解即可作答.(2)设出直线l 的方程，联立直线l 与双曲线E 的方程消去y ，借助韦达定理及判别式列式计算作答. 【解析】(1)依题意，双曲线E 的渐近线方程为by x a =±，因一条渐近线的倾斜角为60︒，即3b a= 由双曲线E 经过点(2,3)，得22231a b -=，解得1a =，3b =E 的方程为2213y x -=. (2)设直线l 的方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2233y kx mx y =+⎧⎨-=⎩消去y 并整理得222(3)230k x kmx m ----=，230k -≠， 22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+-+=+->，即223m k >-，则12223km x x k +=-，212233m x x k +=-，12122226()2233km my y k x x m k m k k +=++=⋅+=--，于是得线段MN 中点为2(3km k -，23)3m k -，因此，线段MN 的垂直平分线的方程为2231()33m kmy x k k k -=----，而线段MN 的垂直平分线过点(0,4)， 从而有22314()33m km k k k-=----，化简得23m k =-，代入223m k >-得：242963k k k -+>-， 解得2k >或2k <-，或33k <<0k ≠，所以k 的取值范围为(,2)(3,0)3)(2,)-∞-⋃-⋃⋃+∞. 19．中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点()2,3A ；②该曲线的渐近线与圆22840x x y -++=相切；③点P 在该双曲线上，1F 、2F 为该双曲线的焦点，当点P 的纵坐标为32时，恰好12PF PF ⊥.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于1Q 、2Q 两点，且Q 是弦12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)条件选择见解析，双曲线E 的标准方程为2213y x -=；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）选①：利用双曲线的定义求出2a 的值，结合c 的值可求得b 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程； 选②：求出3ba=2c a =，结合已知条件可得出a 、b 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程； 选③：利用双曲线的定义和勾股定理可得出2122PF PF b ⋅=，然后利用三角形的面积公式可求得2b 的值，结合c 的值可求得a 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程.（2）假设满足条件的直线l 存在，设点()111,Q x y 、()222,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，可得出直线l 的方程，再将直线l 与双曲线E 的方程联立，计算∆，即可得出结论. 【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为()222210x y a b a b-=>>.选①：由题意可知，双曲线E 的两个焦点分别为()12,0F -、()22,0F ， 由双曲线的定义可得221224332a AF AF =-+=，则1a =，故223b c a -所以，双曲线E 的标准方程为2213y x -=. 选②：圆22840x x y -++=的标准方程为()22412x y -+=，圆心为()4,0，半径为23双曲线E 的渐近线方程为by x a=±24231b ab a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭3b a =即3b a =，因为2222c a b a +=，则1a =，3b = 因此，双曲线E 的标准方程为2213y x -=.选③：由勾股定理可得2222212121212416242PF PF c PF PF PF PF a PF PF +===-+⋅=+⋅，所以，()2221222PF PF c a b ⋅=-=，则122121134222F PF S PF PF b =⋅==⨯⨯△，则3b =故221a c b =-=， 所以，双曲线E 的标准方程为2213y x -=.(2)假设满足条件的直线l 存在，设点()111,Q x y 、()222,Q x y ，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由题意可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()121212123y y y y x x x x -+-+=， 所以，直线l 的斜率为12123y y k x x -==-，所以，直线l 的方程为()131y x -=-，即32y x =-. 联立223213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得261270x x -+=，2124670∆=-⨯⨯<，因此，直线l 不存在.20．已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线22122:1(0)x y C y a b +=≤和曲线22222:1(0)x y C y a b -=>组成，其中点F 1，F 2为曲线C 1所在圆锥曲线的焦点，点F 3，F 4为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点，F 2（2，0），F 4（6，0）.(1)求曲线Γ的方程；(2)如图，作直线l 平行于曲线C 2的渐近线，交曲线C 1于点A ，B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线C 2的另一条渐近线上.【答案】(1)221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得到2222364a b a b ⎧+=⎨-=⎩，再解方程组即可.（2）不妨令直线l 平行于渐近线25y =，设25:)l y x m =-，(25)m ≥，联立2225)1,2016y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得到2222200x mx m -+-=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，得到02m x =，05y =，0025y x =，即可证明中点M 在另一条渐近线25y =上. 【解析】(1)2(2,0)F ，4(6,0)F ，2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩，则曲线Γ的方程为：221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>. (2) 由题意曲线C 2的渐近线为：25y =，不妨令直线l 平行于渐近线25y x =， 设25:)l y x m =-，(5)m ≥，由2225)1,2016y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222200x mx m -+-=， ()2248200m m ∴∆=-->，解得：210210m -<<所以有25210m <设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则12x x m +=，212202m x x -=，02mx ∴=，05y =，0025y ∴=，即中点M 在另一条渐近线25y =上.。
双曲线中点弦存在性的探讨
双曲线中点弦存在性的探讨
求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：
（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．
（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．
无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：
利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．
当在区域Ⅰ内时，有
．
当在区域Ⅱ内时，有
．
当在区域Ⅲ内时，有．
利用上述结论，可以证明：
当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：
设双曲线的弦两端点为，，中点为
，则，．
运用点差法得出的斜率．①
令直线的方程为，
即．②
把②代入，整理得
．
．③
把①代入③，整理得．
若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；
若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．
例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（）
（A）（B）
（C）（D）不存在
分析将及联立得．此时，，则选（D）．
若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．。
双曲线的中点弦的存在定理
双曲线的中点弦的存在定理双曲线是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
双曲线的中点弦的存在定理是双曲线理论中的一个重要结果，它描述了双曲线上任意两点之间必定存在一条过双曲线中点的弦。
要理解双曲线的中点弦的存在定理，首先我们需要了解什么是双曲线。
双曲线是平面上的一条曲线，它与两个给定直线（称为渐近线）有特殊的关系。
它的定义是，对于给定直线的两个焦点F1和F2，以及到这两个焦点的距离之差的绝对值的和为常数的所有点P，这些点所形成的集合就构成了双曲线。
双曲线的形状类似于一个打开的椭圆，其中心称为双曲线的顶点。
在双曲线上取任意两点A和B，为了证明双曲线的中点弦的存在定理，我们需要先找到这两点的中点M。
双曲线的中点弦是指过点M的直线。
假设点A和B分别位于双曲线上，我们可以通过计算它们的横坐标和纵坐标的平均值来得到它们的中点M的坐标。
双曲线的方程一般可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是双曲线的两个参数。
假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，那么点M的横坐标为(x1 + x2)/2，纵坐标为(y1 + y2)/2。
接下来，我们需要证明通过点M的直线也是双曲线的一部分。
为了证明这一点，我们可以计算这条直线的方程，并将其代入双曲线的方程中，看是否成立。
设这条直线的方程为y = kx + c，其中k和c是常数。
代入双曲线的方程中，我们可以得到关于k和c的一个二次方程。
如果这个二次方程有解，那么这条直线就是双曲线的一部分。
通过计算可以发现，这个二次方程总有解。
这表明通过点M的直线确实是双曲线的一部分。
因此，我们可以得出结论：对于双曲线上的任意两点，必定存在一条过双曲线中点的弦。
双曲线的中点弦的存在定理在数学与几何学的应用中具有重要的意义。
它不仅帮助我们理解双曲线的性质，还可以应用在实际问题中。
例如，在工程学中，双曲线的中点弦的存在定理可用于确定两个关键点之间的最短路径，或者用于规划建筑物的位置和形状等。
3.2.2双曲线的简单几何性质第四课时(双曲线中点弦问题)课件-高二上学期数学人教A版选择性
x1 x2 4, y1 y2 2
由x12
y12 3
1, x22
y22 3
1得x12
x22
y12 3
y22 3
y1 y2 3 x1 x2 6k 6 x1 x2 y1 y2
MN直线方程为y 1 6(x 2),代入x2 y2 1得 3
33x2 132x 124 0, 1322 132124 0
x1
x2
2m 3
AB中点横坐标为1 3
x1
x2
2 ， 2m 33
2 3
m 1, 代入方程得： 3x2 2x 5 0
(2)2 60 62 0符合题意
m 1
三、例题讲解：
例1：已知直线 y x m与双曲线 x2 y2 1相交于A, B两点，AB中点横坐标为 1，
4
3
求m的值。
A(3. 1)是弦CD的中点 x1 x2 6, y1 y2 2
x12 4
y12
1,
x22 4
y22
1 x12
x22 4
y12
y22
k y1 y2 x1 x2 3 x1 x2 4( y1 y2 ) 4
直线CD所在方程为: y 1 3 (x 3) 4
整理得：3x 4 y 5 0代入 x2 y 2 1得：5x2 30x 41 0 4
b 0)
x a或x a, y R
A1(- a,0) A2(a,0)
e c (e 12
1
b2 a2
ybx a
c2 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y a或y a, x R
A1(0,-a) A2(0,a)
e 2c | F1F2 | 2a || PF1 | | PF2 ||
双曲线弦中点存在区域的探讨与反思
双曲线弦中点存在区域的探讨与反思双曲线在数学中是一种重要的曲线，其内部存在着一些有趣的性质，其中最重要的就是双曲线弦中点存在区域。
这一性质是双曲线在定义上的一个重要区别，也是一般性曲线所不具备的，从而引起了学者的关注和探讨。
关于双曲线弦中点存在区域的发现，是由18世纪德国数学家卡尔里希特费拉斯德勃兰特所发现的。
他发现了双曲线的两条弦之间的点可以构成一个外接圆，而这个外接圆的半径与双曲线的参数有关。
这一性质之所以称为中点存在区域，是因为这个外接圆可以穿过双曲线的中点，在这个外接圆与双曲线的交点中，这个中点就是存在的。
这也说明了双曲线的中点是一种特殊的点，可以根据外接圆来描述。
双曲线弦中点存在区域的性质也被广泛用于几何图形学中，其中包括了常见的拓扑分析、空间图形分析和几何形状建模等。
比如，可以利用这一性质来拓扑分析几何图形的内部形状，从而实现两个不同曲面之间的连接；可以利用这一性质实现形状模型的构建，从而实现自然物体的表达与解析；最后，可以将这一性质用于数值计算，实现曲面参数化的数值优化等。
此外，双曲线弦中点存在区域还与双曲线的应用和发展息息相关。
比如，可以利用这一性质来计算特定几何图形的外接圆半径，从而实现几何图形的近似计算；可以利用这一性质实现双曲线的拟合，从而实现几何图形的精准拟合；最后，可以将这一性质用于双曲线的外面应用，比如研究力学系统中双曲曲线的运动轨迹等。
从上述内容可以看出，双曲线弦中点存在区域是一种重要的双曲线性质，可以在数学和几何图形学等多方面得到应用，并且也与双曲线的发展息息相关。
因此，深入研究双曲线弦中点存在区域这一性质，是必须的，也有助于进一步深入研究双曲线的性质以及双曲线的应用和发展。
最后，在双曲线弦中点存在区域的研究之中，有一些亟待深入探讨和反思的问题，比如双曲线弦中点存在区域与双曲线的参数变化有什么关系，拓扑分析中双曲线弦中点存在区域的应用如何，空间图形分析中双曲线弦中点存在区域的应用又有什么新的发现等。
双曲线弦中点存在区域的探讨与反思
双曲线弦中点存在区域的探讨与反思双曲线是一维广义曲线，它在数学中有着重要的地位，也有许多应用。
双曲线的弦中点是双曲线的重要的几何点，它的存在区域是研究双曲线的重要组成部分。
在古典几何中，于1820年，法国数学家戈尔定义了双曲线的弦中点，即它的两个弦的中点连线的交点。
经过多年的研究和发展，人们发现双曲线中点存在区域可以用贝塞尔参数化形式表示。
双曲线弦中点存在区域也可以用双曲线离心率的函数来表示，它是双曲线的重要特征。
在微分几何中，复双曲线也是一种重要的双曲线。
双曲线的弦中点的存在区域的研究，可以更好地推动复双曲线的发展。
此外，用复双曲线描述物体表面及其曲率的变化，对双曲线弦中点存在区域的研究具有重要意义。
研究双曲线弦中点存在区域有助于深入理解双曲线的几何结构，也为双曲线的应用提供了帮助。
除了双曲线中点存在区域，还可以从双曲线的偏离角和弯曲变形角等方面来分析双曲线的性质。
在此基础上，对双曲线进行复杂的几何研究，可以进一步提出更多的理论结论和应用技术。
此外，通过对双曲线弦中点存在区域的探讨，可以进一步反思双曲线的几何结构，从而更好地深入了解双曲线。
另外，还可以进一步探讨双曲线弦中点存在区域的性质和变化规律，以及计算双曲线弦中点存在区域的实用方法，进一步推动双曲线的应用。
从上述探讨可以看出，双曲线弦中点存在区域的研究可以更好地推动双曲线的应用，也能有助于更好地理解双曲线的几何结构。
而且，它还能带来更多的理论结论和应用技术，从而进一步提高双曲线的研究热度。
综上所述，双曲线弦中点存在区域的探讨和反思，对双曲线的几何学研究和应用都具有重要意义。
它可以有效提高双曲线的研究热度，从而为双曲线的应用提供更多的可能性。
中点弦问题
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
双曲线中点弦存在性的探讨
双曲线中点弦存在性的探讨
求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：
（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．
（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．
无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：
利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．
当在区域Ⅰ内时，有
．
当在区域Ⅱ内时，有
．
当在区域Ⅲ内时，有．
利用上述结论，可以证明：
当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：
设双曲线的弦两端点为，，中点为
，则，．
运用点差法得出的斜率．①
令直线的方程为，
即．②
把②代入，整理得
．
．③
把①代入③，整理得．
若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；
若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．
例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（）
（A）（B）
（C）（D）不存在
分析将及联立得．此时，
，则选（D）．
若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．。
【圆锥曲线】06双曲线的弦长和中点弦问题(含经典题型+答案)
双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是 . 2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程． 3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++- 将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a kmx a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB k x x x x k b k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB kx x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。
面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
椭圆与双曲线中点弦问题
例 5： 已 知 椭 圆 方 程 为 x 2 + 4 y 2 − 2 x − 12 y + 6 = 0 (1)求 这 椭 圆 中 以 A (2,1)为 中 点 的 弦 所 在 直 线 方 程 (2)求 斜 率 为 2的 平 行 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 。
解：设弦的端点为P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )中点( x x = 2, y = 1 ∴ k = ∵ 2 所 求直 线 方程 为： x − 2 y + 1 = 0
(2)由 (*) 式 得 k =
1− x 3 ( y ≠ )△ ABC 4y−6 2
1− x 即 = 2， x + 8 y − 13 = 0 ∴ 4y−6 3 3 当 y = 时 点 （1， ） 也 适 合 上 面 方 程 2 2 0 ∴ 所 求 为 x + 8 y − 13 = （ 椭 圆 内 的 部 分 ）
• 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线——点差法 点差法
,（ 已知A 2， ，B x1 , y1）C x2 , y2）在抛物线y 2 = 2 px上， （ 8） （ ABC的 △ABC的重心与抛物线的焦点F 重合。 （1）写出抛物线方程和焦点坐标； （2）求线段BC中点M的坐标； （3）求BC 所在的直线方程。
m−a ∴k = ⇒ m = ka + a a p 2 设抛物线方程为 : x = −2 p( y − m) 其中 = m − 1
2
P•
O
•
A
x
∵ 抛物线方程为：x 2 = [4 − 4( ka + a )]( y − ka − a )
∵ p在抛物线上 4 4k 2 = ∴ a = [4 − 4(ka + a )](a − ka − a ) ⇒ a = 2 4k + 4k − 1 4k − 1 + 4 12 k ∴a ∈ [ ,4] 7
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双曲线中的中点弦
一道课后作业题的教学所思
绵阳南山中学 青树国
在双曲线的教学过程中,经常会遇到对中点弦所在直线的存在性的探究。
题目有时解是存在的,有时虽然计算出来直线方程但经检验又必须舍去，而且有时检验的计算量又很大。
这部分的技巧学生掌握起来难度较大,题目丢分现象比较普遍。
在此我通过对课后习题的讲解和反思总结情况形成了一个猜想,用来判断双曲线弦的中点位置,能迅速帮助学生判断中点所在的位置是否合理,在此和大家一起分享与交流。
一、课本习题再现
普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人民教育出版社
A 版）第二章第三节课后习题
B 组第4题：已知双曲线12
2
2
=-y x ,过
点)1,1(P 能否作一条直线l ,与双曲线交于A 、B 两点,且点P 是线段AB 的中点?这是一探索性问题，通过对作业的批改，绝大多数学生有对探索性问题的解决办法即：假设——推理——验证——下结论。
具体来说普遍采用了以下两法。
法一：（设而不求）假设能作这样的直线l ，通过作图可知：直线
l 的斜率显然，设其为k ，从而直线的方程为：)1(1-=-x k y 即：
1+-=k kx y ，联立直线和双曲线的方程并消去未知数y 可得
032)1(2)2(222=-+--+-k k x k k x k 。
（*）设),(11y x A 、
),(22y x B 由题意可知1x 、2x 是方程（*）的两个根。
故022≠-k 且0)32)(2(4)1(42222>+--+-=∆k k k k k ，
由题意可知：22)
1(22
21=---
=+k
k k x x ，解之得2=k ，带入判别式知0<∆，故2=k 应舍去，所以假设不成立即由题意不能作出这样的直线。
法二：（点差法）假设能作这样的直线l ，并设),(11y x A 、),(22y x B 由
题意可知A 、B 在双曲线上，所以12212
1
=-y x ①12
2
22
2=-y x ②，由①-②
得2)
(22
1212121=++=--=
y y x x x x y y k l ，所以直线l 的方程为：)1(21-=-x y 即12-=x y 带入双曲线方程得03422=+-x x ，032416<⨯⨯-=∆所以假设
不成立，这样的直线不存在。
二、提出问题
以上两法在学生的作业中普遍存在，但更多的学生最后都忘记了对判别式的检验，从而导致结论的错误。
既然学生易漏掉最后的检验，那为什么我们不能结合图形首先判断中点弦是否存在呢？而且很多
时候判别式的计算量太大也不便于计算，如：双曲线14
92
2=-y x 中的被
点)1,2(P 平分的弦所在的直线方程是（ ）A.798=-y x ，B.2598=+y x ， C.694=+y x ，D.不存在。
本题学生极易错选A 答案，通过检验判别式答案应选D
三、解决问题
如图：双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域
由线性规划的知识可知：
当00 ,P x y （） 在区域Ⅰ内时，有22
002201x y a b
<-<；当00 ,P x y （） 在区
域Ⅱ内时，有2200220x y a b -<；当00 ,P x y （） 在区域Ⅲ内时，有22
00221x y a b
-> ．
利用上述结论，可以证明：
当00 ,P x y （） 在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、
Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：
设双曲线22
221x y a b
-= 的弦AB 两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，中点
为00 ,P x y （），则1202x x x += ，1202
y y
y +=，运用点差法得出AB 的斜率
2
02
0x b k y a =①令直线AB 的方程为()00y y k x x -=- ，即00y kx kx y =-+② 把②代入22
221x y a b
-= ，整理得()()()222222222000020b a k x ka y kx x a y kx a b ------=，
()()()2
22222222000024ka y kx b a k a y kx a b ⎡⎤⎡⎤∆=-------⎣⎦⎣⎦
()22222
004a b y kx b a k ⎡⎤=-+-⎣⎦③把①代入③，整理得
222222000022222041x y x y a b y a b a b ⎛⎫⎛⎫∆=--- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 双曲线渐近线方程为：b
y x a =±，①若00 ,P x y （） 在Ⅱ内有00b y x a
>±，
平方得22
2
002b y x a >，2200220x y a b
⇒-<，这时0∆> ，中点弦存在。
②若
00 ,P x y （） 在Ⅲ区域内有00b y x a <±，平方得22
2002b y x a
<，双曲线上横坐
标为0x 的点纵坐标为：y =，显然有0y y >，即22
0y y >
成立，22
2
0021x b y a ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭
，化简得2200221x y a b ->，这时0∆> ，则中点弦
存在。
③若00 ,P x y （） 在Ⅰ区域内有00b y x a <±，平方得22
2002b y x a
<，双
曲线上纵坐标为0y 的点横坐标为：x =，显然有0x x >，
即2
2
0x x > 成立，22
2
0021y a x b ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭
，化简得2200221x y a b -<，再由
22
2002b y x a <2200220x y a b ⇒->则22002201x y a b
<-< ，这时0∆< ，中点弦不存在。
上述证明方法对计算能力要求太高，建议不给学生证明。
在教学中我们可对作业题给出的P 点作更改，然后利用几何画板演示得出结论。
最后再利用此结论来解决上述作业题，学生变得心应手了。