高三基础知识天天练3-3. 数学 数学doc人教版

第3模块 第3节

[知能演练]

一、选择题

1．函数y ＝x

sin x

，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的

(

)

解析：∵y ＝x

sin x 是偶函数，排除A ，

当x ＝2时，y ＝

2

sin2>2，排除D. 当x ＝π6时，y ＝π6

sin π6＝π3

>1，排除B.

答案：C

2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π

4

)的值是

( )

A ．0

B ．1

C ．－1

D.π

4

解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π

4得ω＝4，

∴f (x )＝tan4x ，∴f (π

4)＝tan π＝0.

答案：A

3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是

( )

A ．[－π，－5π

6]

B ．[－5π6，－π6]

C ．[－π

3

，0]

D ．[－π

6

，0]

解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π

3)

∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π

3

当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π

6≤x ≤0时，f (x )递增．

答案：D

4．对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x

(0

( )

A ．有最大值而无最小值

B ．有最小值而无最大值

C ．有最大值且有最小值

D ．既无最大值又无最小值

解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1

sin x ，∵0

∴

1sin x ≥1，∴1＋1

sin x

≥2.∴f (x )有最小值而无最大值． 答案：B 二、填空题 5．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为____________，函数y ＝12sin(π4－2

3

x )的单调

递增区间为________．

解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧

sin x >0cos x －1

2≥0， 即⎩⎪⎨⎪

⎧

sin x >0cos x ≥12

，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

2kπ

3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ

3

＋2kπ，k ∈Z ，

∴函数的定义域为{x |2kπ

3＋2kπ，k ∈Z }．

(2)由y ＝12sin(π4－2

3x )得

y ＝－12sin(23x －π4

)，

由π2＋2kπ≤23x －π4≤3

2π＋2kπ，得 98π＋3kπ≤x ≤21π

8

＋3kπ，k ∈Z ，

故函数的单调递增区间为 [98π＋3kπ，21π

8＋3kπ](k ∈Z )． 答案：{x |2kπ

3＋2kπ，k ∈Z }

[98π＋3kπ，21π

8

＋3kπ](k ∈Z ) 6．对于函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当x ＝π＋kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π

4＋2kπ(k ∈Z )对称；

④当且仅当2kπ

2

.

其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析：画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象．

由图象知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2kπ(k ∈Z )和x ＝3

2π＋2kπ(x ∈Z )时，

该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x ＝5

4π＋2kπ(k ∈Z )对

称，在2kπ

2

.故③④正确．

答案：③④ 三、解答题

7．已知函数y ＝f (x )＝2sin x

1＋cos 2x －sin 2x

.

(1)求函数定义域；

(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调区间． 解：(1)∵f (x )＝

2sin x 2cos 2x

＝sin x

|cos x |， ∴函数的定义域是{x |x ≠kπ＋π

2，k ∈Z }．

(2)由(1)知

f (－x )＝sin(－x )|cos(－x )|

＝－sin x

|cos x |＝－f (x )，