乘法公式活用例析

乘法公式活用例析

乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．

一、对号a、b，正确运用

例1计算(-2+3x)(-2-3x)．

分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．

解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．

二、适当变形，灵活运用

例2计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．

分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．

解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕

=(2x+5)2-(y-z)2

=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．

三、分析情况，合理选用

例3计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．

分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．

解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕

=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1

四、创造条件，巧妙应用

例4计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．

分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．

解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)

=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕

=(5a+2c)2-(3b-4c)2

=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2

=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．

五、避繁就简，逆向运用

例5计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2

分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用全平方公式，迅速得出结果．

解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．

六、明确联系，综合运用

乘法公式的主要变式有：

①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；

②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；

③(a+b)2-(a-b)2=4ab；

④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．

例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．

解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．

∵a+b=5，ab=2

∴(a-b)2=52-4×2=17．