高中数学极坐标课件
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人教版高中数学课件-极坐标系
二 極坐標系 第1課時 極坐標系的概念
【自主預習】
1.極坐標系
(1)取極點:平面內取一個______. 定點O
(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.
(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).
2.點的極座標
(1)定義:有序數對(ρ,θ)叫做點M的極座標,記為
2.如圖,在極坐標系中, (1)作出以下各點: A(5，0)，B(3，)，C(4，3)，D(2，－3). (2)求點E,F的6 極座標2(ρ,θ)(ρ2≥0,θ∈R).
【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是 確定的. (2)由於點E的極徑為4, 在θ∈[0,2π)內,極角 又因為點的極座標為(ρ,θ)(7ρ6≥，0,θ∈R),
【解析】因為 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故
AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.
【解析】因為 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極座標.
【解析】設線段AB中點M的極座標為(ρ,θ),
【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一 點M與極點的距離為2,則點M的極座標的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正確表示的序號為____________.
【解析】由於極軸的反向延長線上一點M與極點的距離 為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的 極座標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確. 答案:②③
兩點 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 間的距離是 ( )
【自主預習】
1.極坐標系
(1)取極點:平面內取一個______. 定點O
(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.
(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).
2.點的極座標
(1)定義:有序數對(ρ,θ)叫做點M的極座標,記為
2.如圖,在極坐標系中, (1)作出以下各點: A(5，0)，B(3，)，C(4，3)，D(2，－3). (2)求點E,F的6 極座標2(ρ,θ)(ρ2≥0,θ∈R).
【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是 確定的. (2)由於點E的極徑為4, 在θ∈[0,2π)內,極角 又因為點的極座標為(ρ,θ)(7ρ6≥，0,θ∈R),
【解析】因為 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故
AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.
【解析】因為 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極座標.
【解析】設線段AB中點M的極座標為(ρ,θ),
【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一 點M與極點的距離為2,則點M的極座標的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正確表示的序號為____________.
【解析】由於極軸的反向延長線上一點M與極點的距離 為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的 極座標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確. 答案:②③
兩點 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 間的距離是 ( )
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
高中数学《极坐标的概念》课件
两个距离
极坐标系
距离和角度
点的形式 x, yx, y R
与平面内点 一一对应 的关系
数学本质
两直线相交确定点的位 置
， 0， R
不是一一对应
圆与射线相交确定点的 位置
极坐标系
12
探究
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③ 坐标不唯一是由谁引起的？ ④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表 达式？
解决一些与三角形边长和面积有关的问题。
极坐标系
15
知识延伸
• 一般地，对于极坐标内不与极点重合的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则
P1P2 ? SOP1P 2 ?
请同学们自己推导。
极坐标系
16
这节课我们学到了什么？
1.极坐标系的建立
四 要
素
极点 极轴 单位长度 角度的正方向
2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
极坐标系
13
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内可确定唯一的一点M； (2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π，那么除极点外,平面
O
a x
2
如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学 楼A处，请回答下列问题：
（1）他向东偏北600方向走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他 应如何描述？
抽象概括，形成概念
极坐标系
距离和角度
点的形式 x, yx, y R
与平面内点 一一对应 的关系
数学本质
两直线相交确定点的位 置
， 0， R
不是一一对应
圆与射线相交确定点的 位置
极坐标系
12
探究
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③ 坐标不唯一是由谁引起的？ ④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表 达式？
解决一些与三角形边长和面积有关的问题。
极坐标系
15
知识延伸
• 一般地，对于极坐标内不与极点重合的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则
P1P2 ? SOP1P 2 ?
请同学们自己推导。
极坐标系
16
这节课我们学到了什么？
1.极坐标系的建立
四 要
素
极点 极轴 单位长度 角度的正方向
2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
极坐标系
13
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内可确定唯一的一点M； (2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π，那么除极点外,平面
O
a x
2
如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学 楼A处，请回答下列问题：
（1）他向东偏北600方向走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他 应如何描述？
抽象概括，形成概念
极坐标PPT优秀课件
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
极坐标ppt课件
在极坐标系中，圆心在( 2，π)且过极点 的圆的方程为________．
解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB＝2 2＝sinθ－ρ 90°，化简得 ρ＝－2 2cosθ.
答案：ρ＝－2 2cosθ
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ， ρ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
(2)求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后 解决较为方便．
在极坐பைடு நூலகம்系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线 3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方 程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x ＋4y＋a＝0.
由题设，知圆心(1,0)到直线的距离为1，即有
【分析】 依条件利用公式x＝ρcosθ，y ＝ρsinθ化为直角坐标方程后求解．
【解】 (1)由 ρcosθ－π3＝1 得 ρ12cosθ＋ 23sinθ＝1.
从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1， 即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 当 θ＝π2时，ρ＝233， 所以 N233，π2.
解法二：将极坐标化为直角坐标，点 A1，π2的直角坐标为 A(0,1)，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y＝0，
若线段 AB 最短，则 AB⊥l，且 B 为垂足．
过 A 与 l 垂直的直线方程为 y－1＝x，
联立方程xx＋－yy＝＋01＝0
，得 B 点坐标为－12，12，
再化为极坐标为 22，34π.
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》课件2
2 ＋ y2 x ρ ＝________
2
y tan θ ＝x（x≠0）
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限
取最小正角．
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名师点睛
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置． 2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的 位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角． 平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐 标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点 (ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
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(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离 极径 ，记为ρ；以极轴Ox |OM|叫做点M的_____
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
(ρ，θ) 叫做点M的极坐标，记 极角 ，记为θ.有序数对_________ M的_____ M(ρ，θ) 为___________ ．
极角θ在后，不能把顺序搞错了． (2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除
极点外，点的极坐标是唯一确定的．
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【变式1】 写出下列各点的极坐标．
解
π A(4，0)，B1， 3
2 13 5 C3， π ，D4， π ，E2， π ， ， 3 12 4
对应关系？
定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯 一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一 对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)
新课标人教版课件系列选修4－4
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
Page 25
Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
Page 25
Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)
高中数学极坐标 ppt课件
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
ppt课件
1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ppt课件
14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
ppt课件
11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
ppt课件
12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
ppt课件
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均 表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系 的原点作为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取 相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也 应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数 学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已 学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向)， 这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解 学习参数方程的缘由。
高中数学极坐标PPT课件
.
.
极坐标：（1）了解坐标系的作用，了解平面直角坐标系的伸缩变换作用下 平面图形的变化情况。 （2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能 进行极坐标和直角坐标的互化。 （3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 参数方程：（1）了解参数方程的意义。 （2）能选择适当的参数写出直线、圆、和椭圆的参数方程。
.
参数方程： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这 条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、 y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标 间关系的方程叫普通方程。
，该方程叫曲线
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（1）圆的参数方程可表示为.
（2）椭圆的参数方程可表示为.
（3）抛物线的参数方程可表示为.
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
极
坐
标
高
与
三
参
数
数
学
方
程
.
.
极坐标：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫 做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针 方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有 时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建 立的坐标系叫做极坐标系。
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极坐标：（1）了解坐标系的作用，了解平面直角坐标系的伸缩变换作用下 平面图形的变化情况。 （2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能 进行极坐标和直角坐标的互化。 （3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 参数方程：（1）了解参数方程的意义。 （2）能选择适当的参数写出直线、圆、和椭圆的参数方程。
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参数方程： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这 条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、 y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标 间关系的方程叫普通方程。
，该方程叫曲线
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（1）圆的参数方程可表示为.
（2）椭圆的参数方程可表示为.
（3）抛物线的参数方程可表示为.
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
极
坐
标
高
与
三
参
数
数
学
方
程
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极坐标：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫 做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针 方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有 时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建 立的坐标系叫做极坐标系。
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标和直角坐标的互化课件
第一讲坐标系 二极坐标系
2.极坐标和直角 坐标的互化
人民教育出版社 高中 |选修4-4
基础知识：
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思考：
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老师点拨：
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老师点拨：
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人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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分析：
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人民教育出版社 高中 |选修4-4
学生思考，老师总结 ：
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典型例题2 ：
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分析：
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2.极坐标和直角 坐标的互化
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基础知识：
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思考：
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人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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分析：
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学生思考，老师总结 ：
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典型例题2 ：
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分析：
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高中数学课件《极坐标系》
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
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以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
请问： 去国光怎么走？
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
精神病！
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
精神病！
从这向南 2000米。
请问： 谢谢! 去国光怎么走？
请分析上面这句话，告诉了人家什么？ 从 这 向 南 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
四、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况 M [1]给定（,）,就可以在 (ρ,θ)… 极坐标平面内确定唯一 O X 的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。 原因在于： 极径有正有负；极角有无数个。
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合 6 的点是( C )
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有:
2k 或 ，(2k 1) ，
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或-π< θ≤π,那么除极点 外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
方向
距离
在生活中我们经常用距离和方向来表示 一点的位置。用距离和方向表示平面上 一点的位置，就是极坐标。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
题组一：说出下图中各点的极坐标
4
C E D O1 B A X
2
5 6
4 3
F
G
5 3
题组二：1 在极坐标系里描出下列各点 A(3, 0) B(6, 2 ) C (3, ) 2 4 5 D(5, ) E (3, ) F (4, ) 3 6 5 G (6, ) 3 2 书上P10 1(1)
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，既 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
2
5 6Βιβλιοθήκη 4C A O B X G
E F
4 3
D
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③极坐标不唯一是由什么原因引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
A.(3, 6 )
C. (3, －
2. P10 思 考：
5 6
B. (－3, － 6 )
)
D. (－3,
2
5 － 6
)
1(2)(3)
例题：在右图中，用点A、B、C、D分别表示教学楼， 体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置,建立适当 的极坐标系，写出各点的极坐标。 实验楼
D C 图书馆
解：如图,以点A为极点，AB所在的射线为 极轴（单位长度为1m），建立极坐标系. 则点A、B、C、D的极坐标分别 为
交流平台：
你能从中体会: 极坐标与直角 坐标在刻画点的位置时的区别 吗？
五 极坐标与直角坐标的区别
直角坐标 极坐标
表示形式 与平面内点 的对应关系
x、y R
x, y
0, R
,
x、y R
当ρ ＞0,0≤θ ＜2π时 一一对应
一一对应
本节课总结： [1]极坐标系的建立需确定几条？ 极点；极径；长度单位和角度正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极径的正负和极角引起的。
三、点的极坐标的表达式的研究
4 请说出点M的极坐标的其他表达式 O 思考方向：
如图：OM的长度为4，
M
X
1:极径都是一样的,不同的是极角。但是， 极角和极角之间有什么关系？ 2:极径和极角都不同。 点M的极坐标统一表达式：
2k 或 ，(2k 1) ， 4 4
60 3m
120m B 体育馆 C
办公楼 E 45 60 50m A 60m 教学楼 D
3 0, 0 , 60, 0 , 120, , 60 3, , 50, 3 2 4
60 3m
E 45 60 50m A (O)60m 120m B x
请问： 去国光怎么走？
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
精神病！
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
精神病！
从这向南 2000米。
请问： 谢谢! 去国光怎么走？
请分析上面这句话，告诉了人家什么？ 从 这 向 南 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
四、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况 M [1]给定（,）,就可以在 (ρ,θ)… 极坐标平面内确定唯一 O X 的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。 原因在于： 极径有正有负；极角有无数个。
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合 6 的点是( C )
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有:
2k 或 ，(2k 1) ，
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或-π< θ≤π,那么除极点 外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
方向
距离
在生活中我们经常用距离和方向来表示 一点的位置。用距离和方向表示平面上 一点的位置，就是极坐标。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
题组一：说出下图中各点的极坐标
4
C E D O1 B A X
2
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4 3
F
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5 3
题组二：1 在极坐标系里描出下列各点 A(3, 0) B(6, 2 ) C (3, ) 2 4 5 D(5, ) E (3, ) F (4, ) 3 6 5 G (6, ) 3 2 书上P10 1(1)
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，既 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
2
5 6Βιβλιοθήκη 4C A O B X G
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5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③极坐标不唯一是由什么原因引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
A.(3, 6 )
C. (3, －
2. P10 思 考：
5 6
B. (－3, － 6 )
)
D. (－3,
2
5 － 6
)
1(2)(3)
例题：在右图中，用点A、B、C、D分别表示教学楼， 体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置,建立适当 的极坐标系，写出各点的极坐标。 实验楼
D C 图书馆
解：如图,以点A为极点，AB所在的射线为 极轴（单位长度为1m），建立极坐标系. 则点A、B、C、D的极坐标分别 为
交流平台：
你能从中体会: 极坐标与直角 坐标在刻画点的位置时的区别 吗？
五 极坐标与直角坐标的区别
直角坐标 极坐标
表示形式 与平面内点 的对应关系
x、y R
x, y
0, R
,
x、y R
当ρ ＞0,0≤θ ＜2π时 一一对应
一一对应
本节课总结： [1]极坐标系的建立需确定几条？ 极点；极径；长度单位和角度正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极径的正负和极角引起的。
三、点的极坐标的表达式的研究
4 请说出点M的极坐标的其他表达式 O 思考方向：
如图：OM的长度为4，
M
X
1:极径都是一样的,不同的是极角。但是， 极角和极角之间有什么关系？ 2:极径和极角都不同。 点M的极坐标统一表达式：
2k 或 ，(2k 1) ， 4 4
60 3m
120m B 体育馆 C
办公楼 E 45 60 50m A 60m 教学楼 D
3 0, 0 , 60, 0 , 120, , 60 3, , 50, 3 2 4
60 3m
E 45 60 50m A (O)60m 120m B x