大学数学分析§2收敛数列的性质

1
lim
n
nkm
lim n
am

am1
1 n

L
bk

bk 1
1 n
L

a1
1 nm1

a0
1 nm

b1
1 nk 1

b0
1 nk
0 am 0.
bk
所以
原式
=

am bm
，m

k,
0, m k.
前页 后页 返回
例4
设
an 0,
lim
n
(1)
lim
n
an bn

lim
n
an

lim
n
bn;
(2)
nliman

bn


lim
n
an

lim
n
bn
,
当 bn为常数 c 时,
lim
n
c
bn

c
lim
n
bn
;
(3)
若 bn
0,
lim
n
bn
lim
n
an bn

lim
n
1 1 bn b
bn b
bnb

2 b2
bn b
，
即
lim
1
1.
所以
lim an

lim
n
an
.
n bn b
n bn
lim
n
bn
前页 后页 返回
七、一些例子
例3 用四则运算法则计算
lim
n
amnm bk nk

am1nm1 L bk1nk1 L
定理 2.6 设数列{an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn}
满足: 存在 N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
{cn } 收敛，且
lim
n
cn
a.
证
对任意正数 , 因为
lim
n
an
lim bn a ,
n
所以分
别存在 N1 , N2 , 使得当 n N1 时 , a an;
根据极限的保号性, 3a , 即
2
存在
n
a 2

n an

n
3a 2
.
又因为 lim n a lim n 3a 1 , 所以由极限的迫 n 2 n 2
敛性, 证得
lim n
n
an
1.
前页 后页 返回
例6
求极限
an
lim
n
1

a
n
( a 1).
解 (1) | a | 1 , 因为 lim an 0, 所以由极限四则
lim
k
ank
a.
注 由定理 2.8 可知,若一个数列的两个子列收敛
于不同的值,则此数列必发散.
前页 后页 返回
例8
求证
lim
n
an
a 的充要条件是
lim
n
a2n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lim
n
a2n

a.
证
(必要性)
设
lim
n
an
a，则
0, N , n N 时,
前页 后页 返回
注 若将定理 2.5 中的条件 an bn 改为 an bn ,
也只能得到
lim
n
an

lim
n
bn
.
这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n

2 n
,
但 lim 1 n n

lim
n
2 n
0.
前页 后页 返回
五、迫敛性 (夹逼原理)
|
an
a | | an a | | an a |
an a
a

. a
故 lim n
an
a 得证 .
前页 后页 返回
例5
设 an 0,
lim
n
an

a

0,
求证
lim n
n
an
1.
证 N,
因为
lim
n
an

当 n>N 时, 有
a 0, a 2 an
数
N0,当
n

N0
时,
有
an

bn ,则
lim
n
an

lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an

a,
lim
n
bn

b.
若 b a, 取

ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
an

a

a
2
b

a
2
b
,
bn

b

a
2
b

a
2
b
,
故 an bn , 导致矛盾 . 所以 a b .
an

a,
求证
lim
n
an
a.
证 由于an 0, 根据极限的保不等式性, 有a 0 .
对于任意 0, N , 当 n N 时, | an a | . 于
是可得:
(1) a 0 时, 有 | an 0 | an ;
(2) a 0 时, 有
n
运算法则, 得
an
lim
n
1

a
n

lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
lim
n
1
an an
lim 1 1 . n 2 2
(3) | a | 1, 因 lim (1 an ) 0 , 故得
n
an
lim
n
1
证
设
lim
n
an

a, 对于正数

1,
N,
n
N 时,有
| an a | 1, 即 a 1 an a 1 .
若令 M max{ | a1 |,| a2 |,L ,| an |,| a 1 |,| a 1 | },
则对一切正整数 n , 都有| an | M .
前页 后页 返回
定理 2.8 若数列 {an} 收敛到 a,则{an}的任意子列
{ank } 也收敛到 a.
证
设
lim
n
an
a. 则
0,
N , 当n

N,
an
a
.
设 {ank } 是 {an }的任意一个子列.由于 nk k,因此
k N 时,nk k N , 亦有 ank a . 这就证明了
前页 后页 返回
注 数列 {(1)n} 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条 件.
前页 后页 返回
三、保号性
定理 2.4
设
lim
n
an

a
,
对于任意两个实数
b,
c
,
b a c , 则存在 N, 当 n > N 时, b an c.
证 取 min{ a b, c a } 0, N , 当 n N 时,
n
1 n n!

0.
证 对任意正数 , 因为 lim (1 )n 0 ,
n n!
所以由
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
1 n
1, n!
即
1 n n!
.
这就证明了
lim
n
1 n n!

0.
前页 后页 返回
四、保不等式性
定理 2.5 设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正
由 的任意性, 得到
nliman

bn


a

b

lim
n
an

lim
n
bn
.
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
对于任意 0, 当n N时, 有
| an
a |
,
M 1
| bn
b |
，
| a | 1
an bn

an
1 bn
,
由(2),
只要证明
lim 1 1 .
n bn
lim
n
bn
由于 b 0, 据保号性, N1, 当 n N1 时 ,
前页 后页 返回
|
bn
|

|
b| 2
.
又因为
lim
n
bn

b,

N2 ,
当
n
N2 时,
bn b

b 2,
2
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N 时，

a
n
lim 1 n 1 1
an

1
1 lim(1
an) 1.
n
前页 后页 返回
例7 设 a1, a2 , L , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
L
amn
max { a1, a2,L
, am
}.
证 设 a max { a1, a2 ,L , am } . 由
从而有
| a b | | an a | | an b | 2 .
因为 是任意的，所以 a b .
前页 后页 返回
二、有界性
定理 2.3 若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ，
即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
hn )n

n(n 2
1) hn2
n 2 ,
故 1 n n 1 hn 1
2 . 又因 n1
lim 1 lim 1 2 1 ,
n n
n1
所以由迫敛性，求得 lim n n 1 . n
前页 后页 返回
六、四则运算法则
定理2.7 若 {an }与 {bn } 为收敛数列，则 {an bn}, { an bn }, { an bn } 也都是收敛数列, 且有
§2 收敛数列的性质
本节首先考察收敛数列这个新概念有哪
些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.
一、惟一性 二、有界性 三、保号性 四、保不等式性 五、迫敛性(夹逼原理) 六、极限的四则运算 七、一些例子
前页 后页 返回
一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 a 是 {an} 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a, b 不能是 {an} 的极限 .
则数列
n1 n2 L nk L ,
an1 ,an2 ,L ,ank ,L
称为 {an }的子列, 简记为 { ank }. 注 由定义, {an }的子列 {ank }的各项均选自{an }, 且保持这些项在 {an }中的先后次序.{ ank }中的第 k 项是 {an}中的第 nk 项, 故总有 nk k.
当n
N
时,
2
bn
a .
取
N
max{ N0, N1, N2
},
当 n N 时，a an cn bn a . 这就证得
前页 后页 返回
lim
n
cn

a.
例2 求数列 { n n }的极限.
解 设 hn n n 1 0, 则有
n

(1

b a an a c, 故 b an c.
注 若 a 0 (或a 0), 我们可取 b a ( 或 c a ) ,
则 an

a 0 2
( 或 an

a 0). 2
2
2
这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.
前页 后页 返回
例1
证明
lim
n
a
a1n a2n L
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
以及极限的迫敛性, 可得
n
lim
n
a1n a2n L
amn
a max { a1, a2, L
, am
}.
前页 后页 返回
定义1 设 {an} 为数列,{nk }为N+的无限子集,且

lim
n
am bm

am1 bm1
1
n 1
n



a1
1 nm1

b1
1 nm1

a0
1 nm

b0
1 nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
前页 后页 返回
lim
n
amnm bk nk
am1nm1 L a1n a0 bk1nk1 L b1n b0
a1n a0 b1n b0
,
其中 m k, ambk 0.
解
依据
1
lim
n
n
0
0, 分别得出:
(1) 当 m=k 时, 有
前页 后页 返回
lim
n
amnm bk nk
am1nm1 L a1n a0 bk1nk1 L b1n b0
前页 后页 返回
于是 | anbn ab | | anbn abn abn ab |
| bn | | an a | | a | | bn b | 2 ,
由 的任意性, 证得
lim
n
anbn

ab

lim
n
an
lim
n
bn
.
证明 (3)
因为
an
0, 则
lim
n
bn
.

an bn

也收敛，且
前页 后页 返回
证明 (1)
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0,
N1, 当 n N1 时，有
| an a | ;
(1)
N2 , 当 n N2 时，有
前页 后页 返回
| an b | .
(2)
令 N max{ N1, N2 }, 当 n > N 时 (1), (2)同时成立,