二次函数图像与性质完整归纳

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

y ax =的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2.

2y ax c

=+的性质：

上加下减。

a

的

符号 开口方向 顶点

坐标

对称轴

性质 0

a > 向上

()00，

y

轴

x >时，y 随x 的增大而增

大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最

小值0．

a < 向下

()00，

y

轴

x >时，y 随x 的增大而减

小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最

大值0．

a

的

符号 开口方向 顶点

坐标

对称轴

性质

3.

()

2

y a x h =-的性质：

左加右减。

a > 向上

()0c ，

y

轴

x >时，y 随x 的增大而增

大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最

小值c ．

a < 向下

()0c ，

y

轴

x >时，y 随x 的增大而减

小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最

大值c ．

a

的

符号 开口方向 顶点

坐标

对称轴

性质 0

a > 向上

()0h ，

X=h

x h

>时，y 随x 的增大而增

大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最

小值0．

a < 向下

()0h ，

X=h

x h

>时，y 随x 的增大而减

小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最

大值0．

4.

()2

y a x h k

=-+的性质：

二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式

()2

y a x h k

=-+，确定其顶点坐标()h k ，；

⑵ 保持抛物线2

y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

a

的

符号 开口方向 顶点

坐标

对称轴

性质 0

a > 向上

()h k ，

X=h

x h

>时，y 随x 的增大而增

大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最

小值k ．

a < 向下

()h k ，

X=h

x h

>时，y 随x 的增大而减

小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最

大值k ．

3. 两根式：12

a≠，1x，2x是抛物线与

=--（0

y a x x x x

()()

x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以

写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，

即240

-≥时，抛物线的解析式才可以用交

b ac

点式表示．二次函数解析式的这三种形式

可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2

=++中，a作为二次项系数，

y ax bx c

显然0

a≠．

⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴在0a>的前提下，

当0b >时，02b

a

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；

当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是

y

轴；

当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴

的右侧．

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b a

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；

当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是

y

轴；

当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴

的左侧．

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab

的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则

>ab ，在y 轴的右侧则0

右异” 总结：