第三讲 逻辑函数的标准形式
逻辑函数及其表示方法
C 0 1 0 1 0 1 0 1
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Y 0 0 0 1 0 1 1 1
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输出变量Y
为1表示通过， 为0表示没通过。
第四节 逻辑函数及其表示方法
2.逻辑函数式
三人表决电路真值表
把输入与输出之间的逻辑关系
A B 0 0 写成与、或、非等运算的组合式， 0 0 就得到了逻辑函数式。 0 1 0 1 根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义， 1 0 三人表决电路的逻辑函数式为： 1 0 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7
上页
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
下页 返回
第四节 逻辑函数及其入变量的任何取值下必有一个最大项，
而且仅有一个最大项的值为0。 2. 全体最大项之积为0。 3. 任意两个最大项的和为1。 4. 只有一个变量不同的两个最大项的乘积， 等于各相同变量之和。
2.最大项
定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和， 而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中 出现一次， 则称M 为该组变量的最大项。
n变量的最大项应为2n个。
输入变量的每一组取值， 都使一个对应的最大项的值等于0。
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19
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返回
第四节 逻辑函数及其表示方法
三变量最大项的编号表
最大项
使最大项为0的变量取值
上页
8
Y
下页
返回
第四节 逻辑函数及其表示方法
4.各种表示方法间的互相转换
从真值表写出逻辑函数式
一般方法：
（1）找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量 取值的组合。
（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，
其中取值为 1 的写入原变量，
逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法
逻辑函数的标准形式和卡诺图表⽰法1.最⼩项：定义在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因⼦的乘积项，⽽且这n个变量均以原变量或者反变量的形式在m中出现⼀次，则称m为该组变量的最⼩项。
Y=F(A,B,C) 最⼩项有2的三次⽅8个。
M7=ABC（m下标的定义为后⾯值为1的变量的组合对应的⼗进制数）最⼩项性质： 1）在输⼊变量的任何取值下必有⼀个最⼩项，⽽且仅有⼀个最⼩项的值为1； 2）全体最⼩项之和为1 3）任何俩个最⼩项的乘积为0 4）相邻（俩个最⼩项只有⼀个因⼦不同，并不是指下标数字相邻）俩个最⼩项之和可合并为⼀项并消去⼀对不同的因⼦2.最⼤项：定义在n变量的逻辑函数中，若M为包含n个变量之和，⽽且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现⼀次，则称M为该组变量的最⼤项。
Y=F(A,B,C)最⼤项有8个。
M7=^A+^B+^C(m下标定义为后⾯值为0的变量值的组合对应的⼗进制数)最⼤项的性质： 1）在输⼊变量的任何取值下必有⼀个最⼤项，⽽且仅有⼀个最⼤项为0 2）全体最⼤项之积为0 3）任意俩个最⼤项之和为1 4）相邻俩个最⼤项之乘积等于各相同变量之和 5）m i=^m i3.逻辑函数标准形式（需要利⽤互补律）： 1）最⼩项之和：任⼀逻辑函数都可以⽤唯⼀最⼩项之和的形式表⽰ 2）最⼤项之积：任⼀逻辑函数都可以使⽤唯⼀最⼤项之积的形式表⽰。
最⼤项之积和最⼩项之和之间有个重要关系：Y=ΣM i （最⼩项之和）=πM k（最⼤项之积）(其中k不等于i的其他值)4.卡诺图表⽰法 卡诺图：将n变量的相邻最⼩项在⼏何位置上相邻的排列起来所组成的图形，特点：变量组合值，每⾏和相邻⾏或每列与相邻列之间的变量组合取值中仅有⼀个变量发⽣变化。
卡诺图是上下左右闭合的图形（相邻的意思） 在卡诺图的框架中，在符合最⼩项的地⽅填⼊1其他地⽅填⼊0即可。
或者直接看出积为1（最⼩项定义）的地⽅填⼊1。
电子技术及应用第七章-第四节-3逻辑函数表达式的最简标准
2、最简与非—与非表达式
最简与非-或非表达式，就是 式中的非号最少、并且每个非号下 面乘积项中的变量也最少的与非与非表达式。
பைடு நூலகம்
Y A B AC A B AC
__________ ____ _____ _____ __ __ __________ __ __________ __ __ __
__
__
A B A C
3、最简或与表达式
最简或与表达式，就是式中的 括号最少、并且每个括号内相加的 变量也最少。
__ __
Y A B AC ( A B)( A C )
__ __
4、最简与或非表达式
最简与或非表达式，就是式中非 号下面相加的乘积项最少、并且每个 乘积项中相乘的变量也最少的与或非 表达式。
Y A B AC ( A B )( A C ) A B AC
__________ ____ __ __ __ __
__
__
所以，对逻辑函数进 从上面所介绍的函数的 各种最简表达式可知， 只要得到了函数的最简 与或表达式，再利用摩 根定律进行适当的变换， 就可以得到其他几种类 型的最简表达式。
逻辑函数的最小项
如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部 变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出 现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一
个标准积项，标准积项通常称为最小项。
逻辑函数的最小项表达式
任一个逻辑函数均可以表示成一
函数的标准 与或表达式
组最小项的和，这种表达式称为函数
的最小项表达式，也称为函数的标准 与或表达式，或称为函数的标准积之 和表达式。任何一个n变量的函数都 有一个且仅有一个最小项表达式。
逻辑函数的三个规则和标准形式
A B C = m2
0
1
1
A B C = m3
1
0
0
A B C = m4
1
0
1
A B C = m5
1
1
0
A B C = m6
1
1
1
A B C = m7
① n 个变量的所有最小项（2n个）之和为1 ；
② 相同变量的任意两个最小项mi 和mj 之积为0（i≠j）； ③ n变量最小项有n 个相邻最小项。
数字电路与逻辑设计
数字电路与逻辑设计
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最大项表达式 全部由最大项相与而构成的或－与表达式称为最大项表达式，又称为标准或－与式， 或标准和之积式。
最大项表达式的书写形式：
对于逻辑函数：F A B C A B C A B C
可以简写成： 或写成：
F A, B, C M0×M1×M4 F A, B,C M 0，1，4
等式仍成立。 解：
原式左边＝A[B +(C +D )]＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD 原式右边＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD
所以等式仍然成立。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
２．反演规则
设F 是一个逻辑函数表达式，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、 反变量互换，长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变，这样可得F 的反函数。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最小项表达式 全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－
1.2 逻辑函数的标准型
任意一个最小项，只有一组变 任意一个最小项， 量取值（真值表中的一行） 量取值（真值表中的一行）使 得它的值为1； 得它的值为 ； 不同的最小项，使它的值为1 不同的最小项，使它的值为 的那一组变量取值也不同（ 的那一组变量取值也不同（看 其下标）； 其下标）； 对于变量的任一组取值， 对于变量的任一组取值，任意 两个不同最小项乘积为0； 两个不同最小项乘积为 ； 对于变量的任一组取值， 对于变量的任一组取值，全体 最小项之和为1； 最小项之和为 ； A B C
ABC
ABC ABC
AB ABCA A(B + C )
因此n个变量共有2 因此n个变量共有2n个最小项
1.2 逻辑函数的标准型 2、最小项的表示 以三变量为例， 以三变量为例，三个变量的所有最小项列表如下
m0 m1 0 1 0 0 0 0 0 0 m2 0 0 1 0 0 0 0 0 m3 0 0 0 1 0 0 0 0 m4 0 0 0 0 1 0 0 0 m5 0 0 0 0 0 1 0 0 m6 0 0 0 0 0 0 1 0 m7 0 0 0 0 0 0 0 1
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
= ( A+ B)(A+ B)C + AB = ABC + ABC + AB 乘以 C + C =1 F( A, B, C) = ABC + ABC + AB(C + C)
第03讲逻辑函数的标准形式
因为：
F ( A, B, C ) = ΠM (0,2,4,7)
= ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )
所以： F ' ( A, B, C ) = ABC + ABC + ABC + A B C
F ( A, B , C ) = AB + BC + AC
= AB(C + C ) + BC( A + A) + AC( B + B)
= ABC + AB C + ABC + ABC + ABC + A BC
= ABC + A BC + ABC + ABC
= m3 + m5 + m6 + m7 = ∑ m(3,5,6,7)
2 n −1
③n个变量的全部最小项相或为1，即
∑m
i =0
i
= 1。
④n个变量的任何一个最小项有n个相邻最小项。所谓相邻最小项是指 两个最小项中仅有一个变量不同，且该变量分别为同一变量的原变量和 反变量。因此两个相邻最小项相加一定能合并成一项并消去一对以原变 量和反变量形式出现的因子。如
2. 最大项
逻辑函数F的最大项代号表示 F（A，B，C）= M0 M2 M4 M5=∏M（0，2，4，5）
第3讲 逻辑函 数的标准形式
最大项具有如下性质：
Digital Logic Circuit
①n个变量构成的任何一个最大项Mi，有且仅有一种变量取值组合使 其值为0，该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。换言之，在输 入变量的任何取值组合下必有一个最大项，并且只有一个最大项的值 为0。 ②相同变量构成的两个不同最大项相或为1，即Mi+Mj=1（i≠j）。 ③n个变量的全部最大项相与为0，即
第一章 数字逻辑基础
例：带符号8位二进制数原码和反码表示的数值范
围为
- 127~ +127
补码表示的数值范围为 - 2n-1 ~ (2n-1-1)
例: 带符号8位二进制数的补码 01111111 ～ 10000000 对于的十进制数为+127～-128
[X1]补码 +[X2]补码= [X1+X2]补码
[X1]补码 +[X2]补码= [X1+X2]补码
0 11010111.0100111 00
小数点为界
32 72 3 4
第一章 数字逻辑基础
第一节 数制与编码
二、数 制 转 换
（二） 非十进制数间的转换 2. 二进制与十六进制间的转换
从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四 位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和 小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的 十六进制码替代，即得目的数。
在原码表示中，负数与正数具有相同的尾数部分
，但符号位为1 而不是0.
2. 反码
(正数) 反码= (正数) 原码
(负数)反码 =符号位+ 正数的尾数部分按位取反
2. 反码 (正数) 反码= (正数) 原码
(负数)反码 =符号位+ 正数的尾数部分按位取反
原码
反码
补码
+ 25 00011001 - 25 10011001
第一章 数字逻辑基础
第一节 数制与编码
二、数 制 转 换 （一） 十进制与非十进制间的转换
1. 十进制转换成二进制
(2) 小数部分的转换
乘基取整法：小数乘以目标数制的基数（R=2），第
一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位K-1，将其小 数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直 到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据 设备字长限制，取有限位的近似值）。
4-3逻辑函数的多种表达形式以及相互之间的关系
000 1 001 1 010 0 011 1 100 1 101 1 110 0 111 1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
product-of-sums
expression (“和之积”表达式 ) OR-AND expression (“或与”式)
2、 Truth Table t LogicExpression
(Sum Term) —— An n-variable maxterm is a normal sum
A+B+C A+B+C’ A+B’+C
term with n literals. (n变量最大项是具有n个因子的标准求和项) – There are 2n such maxterms. (n变量函数具有2n个最大项)
A+B’+C’
– Any two different sum terms produce 1.
A’+B+C
(任意两个最大项的和为1)
A’+B+C’ A’+B’+C
– Product of all maxterms is 0. (全体最大项之积为0)
1 1 1 A’+B’+C’
Minterms and Maxterms
真值表 逻辑表达式
ABC F G
000 0 1
真 001 0 1
010 0 1
值 011 1 0
100 0 1
表 101 0 1
110 0 1
111 0 1
3-数电-第三讲
•带符号的二进制数可以用原码、反码、补码三种形式来表示，其中最高位为符号位，其它为数值位。
•一般用0表示正号，用1表示负号。
•二进制正数，原码、反码、补码相同•原码的数值位和二进制负数的绝对值相同•反码的数值位是将二进制负数的绝对值按位取反•补码的数值位是将二进制负数的绝对值按位取反后，在最低位加1•用4位二进制码元来表示1位十进制数符“0~9”的代码，简称BCD码•用BCD 码表示十进制数时，只要把十进制数的每一位数码，分别用BCD码取代即可。
•格雷码：任何相邻的两个码字(包括首、尾两个码字)中，只有一位取值不同。
•奇偶校验码由信息位和校验位两部分组成。
信息位是要传输的原始信息，校验位仅有一位。
•奇校验:使每一个码组中信息位和校验位的“１”的个数之和为奇数。
•偶校验:使每一个码组中信息位和校验位的“１”的个数之和为偶数。
•对各个字母和符号编制的代码叫字符代码。
1.5 逻辑变量及基本逻辑运算一、逻辑变量取值：逻辑0、逻辑1。
逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态二、基本逻辑运算与运算或运算非运算逻辑表达式F=A B =AB与逻辑真值表与逻辑关系表1.与逻辑开关A 开关B 灯F 断断断合合断合合灭灭灭亮A BF 1 01 10 10 00010只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。
可以作出如下表格来描述与逻辑关系：与逻辑运算符、∩实现“与运算”的电路叫与门，其逻辑符号如图所示，其中图(a)是我国常用的传统符号，图(b )为国外流行符号，图(c )为国家标准符号。
(a)FA B(b )FAB(c )&FA B与门的逻辑符号(a) 常用符号；(b) 国外流行符号；(c) 国标符号逻辑表达式F=A +B或逻辑真值表2.或逻辑只有决定某一事件的条件有一个或一个以上具备，这一事件才能发生A B F 1 01 10 10 01110N 个输入：F= A + B+ ...+ N或逻辑运算符或逻辑关系表＋FA BFA B≥1FAB (b )(c )(a )或门的逻辑符号(a) 常用符号；(b) 国外流行符号；(c) 国标符号3.非逻辑当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。
逻辑函数的标准形式
•
00 1 1
•
01 1 0
•
10 0 1
ห้องสมุดไป่ตู้
•
10 1 1
•
11 0 1
•
11 1 0
1.3 最大项之积形式
• 已经证明任何一个逻辑函数都可表达为最小项之和的形式，即Y = mi 。同
时，从最小项的性质可知全部最小项的和为1。故 mi 以外的那些最小项之
和必为 Y ，即 •
Y mk k i
（2.8）
• = mi (i = 3，6，7)
i
• 根据式（2.9）可得
•
Y=
k i
Mk
=
M
0
.M
1.M
2．M
4．M
5
• = (A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
数字电路逻辑设计
2n 1
•
mi 1
(2.5)
i0
• (2) 任意两个不同最小项的“与”为0，即
•
mi ·m j = 0 (i ≠ j)
(2.6)
（3）n个变量共有2 n个最小项，且对每一最小项都有n个最小项和它逻
辑相邻（即两者仅有一个因子同）。具有相邻性的两个最小项之“或”
可以合并成一项并消去一对不同的因子。例如，ABC和ABC两个最小
数字电路逻辑设计
1.1 最小项和最大项
• 最小项
• n个变量共有2 n 个最小项。 为了方便，对全部 最小项进行编号，其编号用m i表示，i和变量 的取值组合对应。输入变量的每一组取值都使 一个对应的最小项的值为1，其余都为0。
• 最小项的性质
• (1) 任何变量个数的最小项，全体最小项的“或”为1，即
3逻辑函数的标准形式
2.3.3 逻辑函数表达式的转换 将一个任意逻辑函数表达式转换成标准表达式有两种
常用方法，一种是代数转换法，另一种是真值表转换法。 一、代数转换法
所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公理、定理和规 则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形 式。 1. 求标准“与-或”式
一般步骤如下：
17
因此，同一函数的最小项表达式和最大项表达式 之间的关系为：
F（A，B，C）=∑m（1，3，6，7） =∏M（0，2，4，5）
推广到一般情况，同一逻辑函数从一种标准形式变换为另 一种标准形式时，只需将∑m和∏M符号互换，并在其后 的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。如： F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14） =∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）
当给出函数表达式已经是“与-或”表达式时，可直接 进行第二步。 2. 求一个函数的标准“或-与”式
一般步骤： 第一步：将函数表达式转换成一般“或-与”表达式。
第二步：反复利用定理 A = (A + B)(A + B) 把表达式中
所有非最大项的“或项”扩展成最大项。
21 21
例如，将逻辑函数表达式 F(A,B,C) = (AB+ AC) + BC 变
最大项
A+ B +C A+ B +C A+ B +C A+ B +C A+ B +C A+ B +C A+ B +C A+ B +C
编号 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
10
性质：最大项具有如下四条性质。
数电-第三节 逻辑函数的标准形式
i 0
逻辑函数的标准形式
AB 0 0 1 1 0 1 0 1
M0
0 1 1 1
M1
1 0 1 1
M2
1 1 0 1
M3
1 1 1 0
A B A B A B A B
F mi
i 0
2 n-1
0 0 0 0
AB 0 0 1 1 0 1 0 1
m0
AB
m1
AB
m2
AB
m3
AB
F
m
m4
0 0 0 0 1 0 0 0
m5
0 0 0 0 0 1 0 0
m6
0 0 0 0 0 0 1 0
F
A BC A BC
ABC A BC ABC ABC ABC
m
i 0
ห้องสมุดไป่ตู้2 n-1
i
0 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
逻辑函数的标准形式
最大项： n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的 和项（每个变量必须而且只能以原变量或反 变量的形式出现一次）。 n个变量有2n个最大项，记作i。 注意： 最大项与最小项相反，当变量取值为1时， 在最大项中以反变量形式出现，当变量取 值为0时，在最大项中以原变量形式出现。
逻辑函数的标准形式 乘积项 和项
一、 最小项和最大项
最小项编号 i：各输 n 个变量的逻辑函数中，包括全部 n 个变量 最小项： 入变量取值看成二进制 的乘积项（每个变量必须而且只能以原变 数，对应十进制数。 量或反变量的形式出现一次）。 3个变量有23（8）个最小项。 n个变量有2n个最小项，记作mi。
标准积之和( 最小项）表达式
第3章逻辑函数运算规则及化简解读
解：F AB ABC AB(C C ) ABC ABC ABC ABC m 3,6,7
3.4.4 标准或与表达式
【例3-11】将 F ABC ABC ABC ABC 开为最大项之积的形式。
3.4.3 标准与或表达式
【例3-9】将
F ABC ABD
展开为最小项之和的形式。
解：F ABC ABD ABC ( D D) ABD(C C ) ABCD ABCD ABCD ABCD m15 m14 m6 m4 m 4, 6,14,15
3.2.4 逻辑代数的基本规则
1．代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都 代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。 例: A（B+C）=AB+AC，等式中的C都用（C+D）代替， 该逻辑等式仍然成立，即 A（B+（C+D））=AB+A（C+D）
3.2.4 逻辑代数的基本规则
3.2.3 摩根定理
【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数 解：反复应用摩根定理可得：
F ( AB C)( A BC)
F AB C A BC ABC ABC ( A B)C A( B C ) AC BC AB AC A BC
C
0 1 0 1 0 1 0 1
Y
0 0 0 1 0 1 1 1
3.3.4 卡诺图表述
(a) 2变量卡诺图
(b) 3变量卡诺图
(c) 4变量卡诺图
图3-2 2、3、4变量的卡诺图 CDE AB 00 01 11 10 000 m0 m8 m24 m16 001 m1 m9 m25 m17 011 m3 m11 m27 m19 010 m2 m10 m26 m18 110 m6 m14 m30 m22 111 m7 m15 m31 m23 101 m5 m13 m29 m21 100 m4 m12 m28 m20
逻辑函数的标准表达式
逻辑函数的标准表达式
一个逻辑函数的表达式可以是多种多样的，通过布尔代数的公式可以将函数的表达式从一种形式转换为另一种形式。
例如：标准形式
逻辑函数有“最小项之和”及“最大项之积”两种标准形式。
表示方法
◆布尔代数法
按一定逻辑规律进行运算的代数。
与普通代数不同，布尔代数中的变量是二元值的逻辑变量。
◆真值表法
采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系，其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能组合，输出部分给出相应的输出逻辑变量值。
◆逻辑图法
采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形。
◆卡诺图法
卡诺图是一种几何图形，可以用来表示和简化逻辑函数表达式。
◆波形图法
一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变
化的规律。
◆点阵图法
是早期可编程逻辑器件中直观描述逻辑函数的一种方法。
◆硬件设计语言法
是采用计算机高级语言来描述逻辑函数并进行逻辑设计的一种方法，它应用于可编程逻辑器件中。
目前采用最广泛的硬件设计语言有ABLE-HDL、VHDL等。
逻辑函数的标准形式
逻辑函数的标准形式逻辑函数是数学中的一个重要概念，在逻辑学、计算机科学、电子工程等领域都有着广泛的应用。
逻辑函数的标准形式是指将逻辑函数表示为一组特定的标准形式，这样可以方便进行逻辑运算和逻辑表达式的简化。
本文将介绍逻辑函数的标准形式及其应用。
1. 逻辑函数的定义。
逻辑函数是由逻辑变量和逻辑运算符组成的函数，其结果也是逻辑值。
逻辑变量通常取值为0和1，逻辑运算符包括与、或、非等。
逻辑函数可以表示为一个真值表或者一个逻辑表达式。
2. 逻辑函数的标准形式。
逻辑函数的标准形式包括两种形式，合取范式和析取范式。
合取范式是指将逻辑函数表示为若干个合取式的析取式，析取范式是指将逻辑函数表示为若干个析取式的合取式。
合取范式和析取范式都是逻辑函数的标准形式，可以方便进行逻辑运算和逻辑表达式的简化。
3. 逻辑函数的应用。
逻辑函数的标准形式在逻辑设计、逻辑运算、逻辑表达式简化等方面有着重要的应用。
在逻辑设计中，可以通过逻辑函数的标准形式来实现逻辑电路的设计和分析；在逻辑运算中，可以通过逻辑函数的标准形式来进行逻辑运算和逻辑表达式的简化；在逻辑表达式简化中，可以通过逻辑函数的标准形式来简化逻辑表达式，减少逻辑运算的复杂度。
4. 逻辑函数的优化。
在实际应用中，逻辑函数的标准形式可能会比较复杂，需要进行优化。
逻辑函数的优化包括两种方法，代数化简和卡诺图方法。
代数化简是指通过代数运算来简化逻辑函数的标准形式，卡诺图方法是指通过卡诺图来找出逻辑函数的最简形式。
逻辑函数的优化可以减少逻辑运算的复杂度，提高逻辑电路的性能。
5. 结论。
逻辑函数的标准形式是逻辑函数的一种重要表示形式，可以方便进行逻辑运算和逻辑表达式的简化。
逻辑函数的标准形式在逻辑设计、逻辑运算、逻辑表达式简化等方面有着广泛的应用，对于提高逻辑电路的性能和减少逻辑运算的复杂度有着重要意义。
逻辑函数的优化可以进一步提高逻辑电路的性能，是逻辑函数研究的重要内容之一。
通过本文的介绍，相信读者对逻辑函数的标准形式有了更深入的了解，希望本文能够对读者有所帮助。
课件-02.3逻辑函数表达式的形式及变换
2
信息学院
三个输入变量， 例2 有X、Y、Z三个输入变量，当其中两个或两个以上取值 、 、 三个输入变量 为1时，输出 为1；其余输入情况输出均为 。试写出描述 时 输出F为 ；其余输入情况输出均为0。 此问题的逻辑函数表达式。 此问题的逻辑函数表达式。 解：三个输入变量有23=8 三个输入变量有 种不同组合， 种不同组合，根据已知条 件可得真值表如 下： 由真值表可知，使 由真值表可知， F=1的输入变量组合有 的输入变量组合有4 的输入变量组合有 所以F的与 的与—或表达 个，所以 的与 或表达 式为： 式为：
F = AB + AB
逻辑电路图: 逻辑电路图 卡诺图
A 1 & ≥1 B 1 & Y
4
(1) 真值表
信息学院
将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。 将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。 n 个变量可以有2 个输入状态。 个变量可以有 n个输入状态。 列真值表的方法： 列真值表的方法：一般按 二进制的顺序， 二进制的顺序，输出与 输入状态一一对应， 输入状态一一对应，列 出所有可能的状态。 出所有可能的状态。
A 1 0 C 1 m5 (5)10
表示最小项。 （3）简写：用mi表示最小项。 ）简写：
ABC
可
14
三个变量的所有最小项的真值表 m0—m7为对最小项的编号
m0 A B C
A BC
信息学院
m1
A BC
m2
ABC
m3
ABC
m4
A BC
m5
A BC
m6
ABC
m7
ABC
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
[工学]5标准与或式
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逻辑函数的标准形式
考查逻辑函数： F f ( A, B) AB AB AB
标准“与或” 式
化简，有： 最小项 A AB 0 AB 0 AB 1 AB 1 B 0 1 0 1
F ( A A) B AB B AB B A
F 0 1 1 1 同一个逻辑函数可以有 不同的表达AB AB AB
逻辑函数的标准式（2）
最小项： 在n变量逻辑函数中，若m包含n个因子的乘积项，而且 这些变量均以原变量或反变量的形式出现一次，则称m 为该组变量的最小项。 二变量最小项的编号表
使最小项为1的变量取值
最小项
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
编号
AB
AB
AB
m0
m1
m2
m3
AB
逻辑函数的标准式（3）
三变量最小项的编号表
使最小项为1的变量取值 最小项
A
0 0
B
0 0
C
0 1
编号
ABC ABC
AB C
m0
0
0 1 1 1 1
1
1 0 0 1 1
0
1 0 1 0 1
m1 m2
m3
m4 m5
ABC
ABC AB C
ABC
m6 m7
ABC
ABC
最小项特点： 在输入变量的任何 取值下必有且仅有 一个最小项的值为1; 任意两个最小项的 乘积为0； 全体最小项之和为1
逻辑函数的标准式（4）
利用 A A 1可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的 标准形式（标准“与或”式）。 例：
F ABC BC
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对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有 逻辑函数F的最大项代号表示： n 种取值组合，因此有2 2F（A，B，C） ( A B n 个最大项。全部由最大项构成 ) C )( A B C )( A B C )( A B C 的或—与表达式称为函数的最大项表达式，又称为标准 = M0 M 2 M4 M5 或—与表达式或标准和之积式。 =∏M（0，2，4，5） 为了简化书写，用M 来表示一个最小项。M的下标i
推广到一般情况，同一逻辑函数从一种标准形式变 换为另一种标准形式时，只需将∑m和∏M符号互换，并 在其后的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。如：
F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14） =∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）
二、逻辑函数标准形式的求取方法 -----------代数变换法和真值表法 1. 代数变换法求函数的最小项表达式 首先将函数变换成一般与-或表达式。从一般与-或表 达式得到最小项表达式只须利用互补律（A+ A =1）将每 个与项乘上未出现的变量的原变量与反变量和的形式，展 开后即得到最小项表达式。
3.代数变换法求函数的最大项表达式 首先将函数变换成一般或—与表达式。从一般或—与表 达式得到最大项表达式只须利用吸收律(A+B)(A+ B )=A将 每个非最大项的或项A扩展成最大项，即可得到最大项表达式。 其中B为非最大项或项中所缺少的变量。 4.真值表法求函数的最大项表达式 作出函数F的真值表。将真值表中使函数值为0的变量取 值组合对应的最大项相与，即可得到函数F的最大项表达式。
m
。
i
1
2. 最大项
F ( A, B , C ) A B C A B C A B C A B C
( A B C )( A B C )( A B C )( A B C )
最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻 辑变式出现，且只出现一次。这种包含所有输入逻辑变 量的或项称为最大项（或标准或项）。
m3 m5 m6 m7
m ( 3 ,5 , 6 , 7 )
2.真值表法求函数的最小项表达式 将真值表中使函数值为1的变量取值组合对应的最小 项相加，即可得到函数F的最小项表达式。 F(A,B,C)= m0 + m1 + m4 + m5 + m 例2：写出下列真值表对应的最小项表达式。 6 = ∑m（0，1，4，5，6）
实际上是该最大项将其原变量用0、反变量用1代入构成的 二进制数转换为的十进制数。
i
最大项具有如下性质： ① n个变量构成的任何一个最大项Mi ，有且仅有一种变量 取值组合使其值为0，该种变量取值组合即序号i对应的二 进制数。 ② 相同变量构成的两个不同最大项相或为1，即Mi+Mj=1 （i≠j）。 ③ n个变量的全部最大项相与为0，即
i0 2 1
n
Mi 0
。
④ n个变量的任何一个最大项有n个相邻最大项。
F(A，B，C) = ∏M(0，2，4，5)的真值表及其最大项、最小项
通过比较可以发现相同编号的最小项和最大项之 间存在互补关系，即： 所以： mi+Mi=1 mi·i=0 M
因此，同一函数的最小项表达式和最大项表达式之间的关 系为： F（A，B，C）= ∏M（0，2，4，5） = ∑m（1，3，6，7）
第三讲 逻辑函数的标准形式
例. 建立飞机允许滑跑信号的逻辑函数， 滑跑需满足以下条件： (1)发动机开关接通 (2)飞行员入座，保险带扣上 (3)乘客入座，保险带扣上；或座位上无乘客
解：假设①发动机开关接通S = 1 ②飞行员入座A = 1，保险带扣上B = 1 ③乘客入座Mi = 1，保险带扣上Ni = 1 ④允许滑跑F = 1 F = f(S,A,B,Mi,Ni)
最小项具有下列性质： ①n个变量构成的任何一个最小项mi，有且仅有一种变量取值 组合使其值为1，该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。 ②任意两个不同最小项相与为0，即 mi·j=0 （i≠j）。 m ③n个变量的全部最小项相或为1，即
2 1
n
i0 ④n个变量的任何一个最小项有n个相邻最小项。所谓相邻最 小项是指两个最小项中仅有一个变量不同，且该变量分别为 同一变量的原变量和反变量。因此两个相邻最小项相加一定 能合并成一项并消去一对以原变量和反变量形式出现 的因子。如
逻辑函数的标准形式
逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不是唯 一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。
一、最小项与最大项
1. 最小项 设一逻辑函数为 F ( A , B , C ) AB AC 利用互补律 A+ A =1对函数进行扩展变换得：
F ( A , B , C ) AB ( C C ) AC ( B B )
逻辑函数的表达式
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达 式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5 种表示形式。 (1)与或表达式：Y=AB+AC (2)或与表达式：Y=(A+B)(A+C)
(3)与非-与非表达式：Y=AB·AC
(4)或非-或非表达式：Y=A+B+A+C (5)与或非表达式：Y=AB+AC 一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽 管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑 功能是相同的。
ABC AB C A BC A B C
最小项：与项中包含了全部的输入逻辑变量，每个 输入逻辑变量在与项中可以以原变量的形式出现， 也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。 又 称为标准与项。
前述逻辑函数F可用最小项的代号表示为： 对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有 F（A，B，C） ABC AB C A BC A B C 2n 种取值组合，因此有2n 个最小项。全部由最小项构成 的与-或表达式称为函数的最小项表达式，又称为标准与 = m7+ m6+ m3+ m1 -或表达式或标准积之和式。 =∑m（1，3，6，7） 为简化书写，用mi来表示一个最小项。m的下标i实 际上是该最小项将其原变量用1、反变量用0代入构成的 二进制数转换为的十进制数。
= SAB(M1N1+M1)(M2N2+M2) ‥‥‥
= SAB(N1+M1)(N2+M2) ‥‥‥
（b）反演规则 用于求反函数。 Y
0
1 + A
·
A
（c）对偶规则 用于求对偶函数。 Y'
·
0
+ 1
逻辑函数的标准形式
内容： 最大项和最小项的定义及其性质 逻辑函数的标准形式及其求取方法 目的与要求： 理解并掌握最大项和最小项之间的关系； 掌握逻辑函数的标准形式及其求取方法； 重点与难点： 重点：最大项和最小项之间的关系； 难点：最大项的应用。
例1：求F（A，B，C）=AB+BC+AC的最小项表达式。
F ( A , B , C ) AB BC AC
AB ( C C ) BC ( A A ) AC ( B B )
ABC AB C ABC A BC ABC A B C
A BC A B C AB C ABC