光强中什么是立体角及它的计算公式
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立体角计算公式
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0 引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”， 一般以 I 表示。若在某微小立体角 dΩ内的光通量为 dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。 式中，dΩ的单位为 sr（球面度），光强的单位为 cd（坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员 带来很大的困惑。
1
∂x ∂y
1− x2 − y2
（3） （4） （5）
代入（1）式得：
∫∫ A=
dxdy
D 1− x2 − y2
(6)
利用极坐标，得：
rdrdθ
∫∫ A=
D 1− r2
(7)
易知，积分区域在 xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
x 2 +y2=1
(8)
sin 2 α
x2 + y2 =1
参考文献 ⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11 ⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12 ⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1
注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海
150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811
165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544
180° 0.524 1.047 1.571 2.094 2.618 3.146 3.665 4.189 4.712 5.236 5.760 6.283
∫sin Φ1
A1=Φ1-
cosαdt
0 1− cos2 αt 2
∫sin Φ1
=Φ1-
dt
0 1 / cos 2 α − t 2
=Φ1-arcsin(cosα
·t)
sin Φ1 0
=Φ1-arcsin(cosα sinΦ1)
同理，
A2=Φ2-arcsin(cosβsinΦ2)
带入（14）式,得出最终结果：
A=4(arctg tgβ -arcsin(cosα sin(arctg tgβ ))
tgα
tgα
+arctg tgα -arcsin(cosβsin(arctg tgα )))
tgβ
tgβ
特别地，当α =β时，Φ1=Φ2=π/4，
A1=A2=π/4-arcsin(cosα / 2 )
(14)
(15) (16) (17)
曲面面积计算公式为：
∫∫ A= 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 dxdy
D
∂x ∂y
上半球球面方程为：
Z= 1− x2 − y2
图 3 计算示意图
（1） （2）
由 ∂z = − x ∂x 1− x2 − y2
∂z
−y
=
∂y 1− x2 − y2
得 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 =
Φ1
dΦ(−
0
1− r2
r1 0
∫Φ1
= (1− 0
1
1
−
sin
2
Φ
+
cos2 sin 2
Φ α
）dΦ
∫Φ1
=Φ1-
0
sin2 α 1− sin2 α sin2 Φ + cos2 Φ
dΦ
∫Φ1
=Φ1-
cosα cos ΦdΦ
0 1− sin2 Φ + sin2 α sin2 Φ
设 t=sinΦ，则 cosΦdΦ=dt
1 立体角的定义 将弧度表示平面角度大小的定义（弧长 除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角” 为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω
A = r2
图 1 平面角（单位：弧度 rad） 图 2 立体角（单位：球面度 sr）
2 立体角的计算 设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为 2α和 2β，求 其所对应的立体角的大小。设 0<2α<π，0<2β<π 不失一般性，设球体半径为单位长度 1，坐标原点在球 心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面 积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的 面积再乘以 4 即可。
90°
0.370 0.736 1.096 1.445 1.780 2.094
称
105° 0.415 0.827 1.234 1.632 2.016 2.382 2.723
120° 0.453 0.904 1.351 1.791 2.212 2.636 3.030 3.392
135° 0.484 0.966 1.445 1.921 2.389 2.848 3.291 3.710 4.091
1
(12)
sin
2
Φ
+
cos2 sin 2
Φ α
r2 =
1
(13)
cos
2
Φ
+
sin 2 sin 2
Φ β
Y
r2
2
r1
D
1
0
X
图 4 xy 面投影
根据对称性，有：
A=4(A1+A2)
∫ ∫ Φ1
r1
A1= dΦ
rdr
0
0 1− r2
∫ ∫ Φ2
r2
A2= dΦ
rdr
0
0 1− r2
于是，
∫ A1=
3 数值结果
2β
2α 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180°
2
2
15°a
0.068
b
30°
0.135 0.268
45°
0.200 0.397 0.588
对60°Βιβλιοθήκη 0.261 0.519 0.770 1.011
75°
0.318 0.633 0.940 1.237 1.519
(9)
sin2 β
sinα cos β
sin β cosα
交点坐标（
,
)
1− sin2 α sin2 β 1− sin2 α sin2 β
tgβ
φ1=arctg
(10)
tgα
φ2=arctg tgα
(11)
tgβ
将 x=rcosΦ，y=rsinΦ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为：
r1 =
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0 引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”， 一般以 I 表示。若在某微小立体角 dΩ内的光通量为 dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。 式中，dΩ的单位为 sr（球面度），光强的单位为 cd（坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员 带来很大的困惑。
1
∂x ∂y
1− x2 − y2
（3） （4） （5）
代入（1）式得：
∫∫ A=
dxdy
D 1− x2 − y2
(6)
利用极坐标，得：
rdrdθ
∫∫ A=
D 1− r2
(7)
易知，积分区域在 xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
x 2 +y2=1
(8)
sin 2 α
x2 + y2 =1
参考文献 ⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11 ⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12 ⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1
注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海
150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811
165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544
180° 0.524 1.047 1.571 2.094 2.618 3.146 3.665 4.189 4.712 5.236 5.760 6.283
∫sin Φ1
A1=Φ1-
cosαdt
0 1− cos2 αt 2
∫sin Φ1
=Φ1-
dt
0 1 / cos 2 α − t 2
=Φ1-arcsin(cosα
·t)
sin Φ1 0
=Φ1-arcsin(cosα sinΦ1)
同理，
A2=Φ2-arcsin(cosβsinΦ2)
带入（14）式,得出最终结果：
A=4(arctg tgβ -arcsin(cosα sin(arctg tgβ ))
tgα
tgα
+arctg tgα -arcsin(cosβsin(arctg tgα )))
tgβ
tgβ
特别地，当α =β时，Φ1=Φ2=π/4，
A1=A2=π/4-arcsin(cosα / 2 )
(14)
(15) (16) (17)
曲面面积计算公式为：
∫∫ A= 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 dxdy
D
∂x ∂y
上半球球面方程为：
Z= 1− x2 − y2
图 3 计算示意图
（1） （2）
由 ∂z = − x ∂x 1− x2 − y2
∂z
−y
=
∂y 1− x2 − y2
得 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 =
Φ1
dΦ(−
0
1− r2
r1 0
∫Φ1
= (1− 0
1
1
−
sin
2
Φ
+
cos2 sin 2
Φ α
）dΦ
∫Φ1
=Φ1-
0
sin2 α 1− sin2 α sin2 Φ + cos2 Φ
dΦ
∫Φ1
=Φ1-
cosα cos ΦdΦ
0 1− sin2 Φ + sin2 α sin2 Φ
设 t=sinΦ，则 cosΦdΦ=dt
1 立体角的定义 将弧度表示平面角度大小的定义（弧长 除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角” 为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω
A = r2
图 1 平面角（单位：弧度 rad） 图 2 立体角（单位：球面度 sr）
2 立体角的计算 设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为 2α和 2β，求 其所对应的立体角的大小。设 0<2α<π，0<2β<π 不失一般性，设球体半径为单位长度 1，坐标原点在球 心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面 积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的 面积再乘以 4 即可。
90°
0.370 0.736 1.096 1.445 1.780 2.094
称
105° 0.415 0.827 1.234 1.632 2.016 2.382 2.723
120° 0.453 0.904 1.351 1.791 2.212 2.636 3.030 3.392
135° 0.484 0.966 1.445 1.921 2.389 2.848 3.291 3.710 4.091
1
(12)
sin
2
Φ
+
cos2 sin 2
Φ α
r2 =
1
(13)
cos
2
Φ
+
sin 2 sin 2
Φ β
Y
r2
2
r1
D
1
0
X
图 4 xy 面投影
根据对称性，有：
A=4(A1+A2)
∫ ∫ Φ1
r1
A1= dΦ
rdr
0
0 1− r2
∫ ∫ Φ2
r2
A2= dΦ
rdr
0
0 1− r2
于是，
∫ A1=
3 数值结果
2β
2α 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180°
2
2
15°a
0.068
b
30°
0.135 0.268
45°
0.200 0.397 0.588
对60°Βιβλιοθήκη 0.261 0.519 0.770 1.011
75°
0.318 0.633 0.940 1.237 1.519
(9)
sin2 β
sinα cos β
sin β cosα
交点坐标（
,
)
1− sin2 α sin2 β 1− sin2 α sin2 β
tgβ
φ1=arctg
(10)
tgα
φ2=arctg tgα
(11)
tgβ
将 x=rcosΦ，y=rsinΦ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为：
r1 =