一元二次方程根的判别式(PPT课件)
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一元二次方程根的判别式课件
两个虚根
当判别式 (D) < 0 时，方程没有 实根，只有两个虚根。
辨别方程解的图形表示方法
两个不相等的实根
方程的图像将与x轴交于两个不 同的点。
两个相等的实根
方程的图像将与x轴交于同一个 点。
两个虚根
方程的图像将完全位于x轴上方 或下方，不与x轴交于任何点。
判别式的应用举例
1
物理学
2
判别式在抛体运动和能量守恒定律等物
计算公式
判别式(D) = b²- 4ac，其中a、b和c是一元二次方程的系数。
判别式与方程根的关系
判别式的值可以用来确定方程根的个数和类型。
判别式与方程解的类型
两个不相等的实根
当判别式 (D) > 0 时，方程有两 个不相等的实根。
两个相等的实根
当判别式 (D) = 0 时，方程有两 个相等的实根。
理问题中有广泛应用。
3
房屋销售
判别式可以帮助确定一栋房屋是否能够 被出售，以及价值如何。
金融领域
判别式被用于计算利润和决策分析，帮 助预测市场趋势和投资回报率。
结论和要点
1 判别式是用来判断一 2 判别式的值可以用来 3 判别式的应用广泛，
元二次方程根的特性
确定方程根的个数和
涵盖了房屋销售、物
的数学工具。
一元二次方程根的判别式 ppt课件
欢迎大家来参加本次关于一元二次方程根的判别式的PPT课件。本课件将帮 助你理解判别式的定义、计算公式、与方程根的关系以及解的类型，同时还 会介绍辨别方程解的图形表示方法和判别式的一些应用举例。一起来探索这 个有趣而重要的主题吧！
什么是判别式？
定义
判别式是用来判断一元二次方程的根的特性的一个数学工具。
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
(课件7)22.2一元二次方程根的判别式
2 2
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 （1）要使方程有两个不等实根，只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时，方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程，x
解：原方程可化为： m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2
2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程，判断方程根的情况时： 1.先计算判别式的值； 2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根 的情况，（要注意二次项系数不为0）.
系数不为0”.
动手试一试吧！
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解，那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根，试判断△ABC的形状. 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2，从而n=3.
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 （1）要使方程有两个不等实根，只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时，方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程，x
解：原方程可化为： m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2
2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程，判断方程根的情况时： 1.先计算判别式的值； 2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根 的情况，（要注意二次项系数不为0）.
系数不为0”.
动手试一试吧！
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解，那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根，试判断△ABC的形状. 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2，从而n=3.
一元二次方程根的判别式(ppt课件)
练习4：关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，求a
的取值范围
解：①当原方程是一元一次方程时 则有a-1=0，a=1
②当原方程是一元二次方程时 则有Δ≥0，（a-1）≠0
b2-4ac=（-2）2-4×（a-1）×1≥0，a≠1 解得：a＜2且a≠1.
【类型三】运用根的判别式判断三角形的形状
(1)2x2＋3x－4＝0； 有两个不相等的实数根
(2)x2－x＋1＝0；
4
有两个相等的实数根
(3)x2－x＋1＝0.
无实数根
练习 2：不解方程，判断下列方程根 的情况
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. (2)(x－5)(x－6)＝x－5. (3)4x2＋4x＋10＝1－8x.
有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
课
有两个不__相__等__的__实数根， (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
堂
有__俩__个__相__等__的__实数根。 (3)b2 － 4ac<0⇔ 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝
小
0(a≠0)解决问题时，如果二次项系数中
（4）由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0
移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数划为 1：x2＋bx＝－c， aa
b
b
配方，得：x2＋bx＋
2a
2＝－
c
＋
2a
2，
a
a
b
x＋ 2a
2＝b2－4ac，
4a2
可以看出
只有当b²-4ac≥0时，方 程才有实数根，这样b²-
4ac就决定着一元二次方
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册
板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
根的判别式∆：
∆>0：
∆=0：
∆<0：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 , 下列说法：①当 =
+ 时，则方程 2 + + = 0一定有一根为 = −1；②若 > 0
B． 2 + 3 + 6 = 0
C． 2 + 8 + 16 = 0
D．( − 1)2 = 9
3.已知关于x 的一元二次方程 2 − = 2 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ A ）
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知关于 的方程 2 + (1 − ) − 1 = 0 ，下列说法正确的是( C )
2 − 4 − 2 + 4 = 0
( − 1) 2 − 4 + 4 = 0
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的方程 ( − 4) − 2 + 4 = 0
新知导入
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
初中数学沪教版八年级上册一元二次方程根的判别式 课件PPT
逆定理的用途是： 在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△
值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范 围。
注意： 运用定理和逆定理时，必须把所给的方
程化成一般形式后方可使用。
1.不解方程，判断下列方程根的情况. (1)2x2－5x－4=0； (2)7t2－5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 3y.
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△。
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△ 的符号。 ③根据根的判别式定理，写出结论。
例3、利用一元二次方程的判别式求字母的取值范围
已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时， 这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？
记住了， 别搞错!
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? (1)在什么情况下，一元二次方程有解? (2)有什么样的解?它的解是多少？ (3)什么情况下一元二次方程无解?
2、同步练习17.3
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
老师的 “绝活”
不解一元二次方程，就能很快 知道它的根的大致情况。 你相信吗？
1、用公式法解下列方程
（1）x2 3x 2 0 （2）x2 8x 16 0
（3）3y2 10 2 y
2、一元二次方程根的判别式
初中数学沪教版八年级上册 《一元二次方程根的判别式》
值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范 围。
注意： 运用定理和逆定理时，必须把所给的方
程化成一般形式后方可使用。
1.不解方程，判断下列方程根的情况. (1)2x2－5x－4=0； (2)7t2－5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 3y.
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△。
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△ 的符号。 ③根据根的判别式定理，写出结论。
例3、利用一元二次方程的判别式求字母的取值范围
已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时， 这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？
记住了， 别搞错!
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? (1)在什么情况下，一元二次方程有解? (2)有什么样的解?它的解是多少？ (3)什么情况下一元二次方程无解?
2、同步练习17.3
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
老师的 “绝活”
不解一元二次方程，就能很快 知道它的根的大致情况。 你相信吗？
1、用公式法解下列方程
（1）x2 3x 2 0 （2）x2 8x 16 0
（3）3y2 10 2 y
2、一元二次方程根的判别式
初中数学沪教版八年级上册 《一元二次方程根的判别式》
1一元二次方程根的判别式课件
相等实数根,
（2） b-4ac=0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ，有两个相
等实数根,
（3） b-4ac<0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ， 没有相等
实数根。
反之，同样成立，即
（1） 一元二次方程有两个不相等实数根， b 2-4ac > 0，
（2） 一元二次方程有两个相等实数根, b 2-4ac = 0，
所以原方程没有实数根.
(3)x(x+1)=3； 解：原方程可变形为x2+x－3=0，
因为∆=12－4×1×(－3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)3y2+25=10 3 y. 解：原方程可变形为3y2－10 3y+25=0，
因为 ∆=(10 3 )2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根.
1、一元二次方程的一般情势是什么?
ax2 bx c （0 a 0）
2、解一元二次方程都有哪些方法？ 3、公式法解一元二次方程的具体步骤是
什么？
探究与发现 思考并总结
用公式法解下列一元二次方程，并结合你 以往解一元二次方程的经验完成以下探究
(1)x2 5x 6 0
(2)x2 4x 4 0
17.3一元二次方程根的判别式
复习回顾：
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
一元二次方程根的判别式ppt课件
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
22.2 第4课时 一元二次方程根的判别式 华师大版数学九年级上册课件
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第4课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1. 了解一元二次方程根的判别式； (重点) 2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点) 3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用. (难点)
回忆
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
(x＋2ba)2
Байду номын сангаас
=
b2−4ac 4a2
（*）
只有当b²－4ac ≥ 0时，才能直接开平方，得
x＋2ba =±
b² −4ac 4a²
也就是说，只有当一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0)的系数
a、b、c满足条件b²－4ac ≥ 0时才有实数根，因此，我们可以
根据一元二次方程的系数直接判定根的情况。
如果b²－4ac＜0会怎么样? 如果b²－4ac＜0，则不能直接开平方，因为负数没有平方根。
解：(3)原方程可变形为 4y2－y＋4 = 0. 因为Δ =(-1)2－4×4×4 = 1－64 = -63＜0， 所以方程没有实数根。
练习
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 3x²＋5x = 4； (2) 2x²－x²－2 = 0
解：(1)原方程可变形为 3x2 ＋ 5x＋4 = 0. ∵b²－4ac =52－4×3×(-4) = 73＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根。
解：(4)原方程可化为 2x2 － x＋2 = 0. ∵b²－4ac =(-1)2－4×2×2= -15＜0， ∴原方程无实数根。
2.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：
若一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正
22.2 一元二次方程的解法
第4课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1. 了解一元二次方程根的判别式； (重点) 2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点) 3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用. (难点)
回忆
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
(x＋2ba)2
Байду номын сангаас
=
b2−4ac 4a2
（*）
只有当b²－4ac ≥ 0时，才能直接开平方，得
x＋2ba =±
b² −4ac 4a²
也就是说，只有当一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0)的系数
a、b、c满足条件b²－4ac ≥ 0时才有实数根，因此，我们可以
根据一元二次方程的系数直接判定根的情况。
如果b²－4ac＜0会怎么样? 如果b²－4ac＜0，则不能直接开平方，因为负数没有平方根。
解：(3)原方程可变形为 4y2－y＋4 = 0. 因为Δ =(-1)2－4×4×4 = 1－64 = -63＜0， 所以方程没有实数根。
练习
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 3x²＋5x = 4； (2) 2x²－x²－2 = 0
解：(1)原方程可变形为 3x2 ＋ 5x＋4 = 0. ∵b²－4ac =52－4×3×(-4) = 73＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根。
解：(4)原方程可化为 2x2 － x＋2 = 0. ∵b²－4ac =(-1)2－4×2×2= -15＜0， ∴原方程无实数根。
2.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：
若一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正
《公式法—— 一元二次方程根的判别式》PPT课件
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
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夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
根的判别式复习课PPT课件
2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围
例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3） 方程无实根；
解：△=
(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即 (2).当△ = 0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 =0 , 即 (3).当△ <0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 <0 , 即
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ： 有两个实数根，求m的值。 解：∵方程有两个实数根 ∴
解得：
∵m为非负数 ∴m=0或m=2 说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意 二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取 值范围.
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 根的判式是:
一元二次方程
判别式的情况 根的情况 两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解) 定理与逆定理
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1）
（2）
（3） 解：（1） =
所以，原方程有两个不相等的实根。 说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△， 然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情 况，得出结论。
3、证明方程根的情况
例4、求证：关于x的方程： 有两个不相等的实根。
证明：
无论m取任何实数都有： 即：△>0
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等 的实数根。
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在一元二次方程 ax bx c 0(a 0)中
2
若a与c异号, 则方程 (
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
)
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根
（2）∵方程有两个相等的实数根。 ∴△=0，即4k+1=0
思考:一元二次方程根的情况与一元二次方程中二 次项系数、一次项系数及常数项有关吗?
用公式法解下列方程: 例题 (1)x2+x-1=0; (2)x2 -2 3x+3=0;
(3)2x2-2x+1=0.
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况 可由b2-4ac来判定: （1）当b2-4ac ＞0时, 方程有两个不等的实数根 （2）当b2-4ac = 0时, 方程有两个相等的实数根 （3）当b2-4ac ＜0时, 方程没有实数根
初中数学八年级下册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 根的判别式
城南实验初级中学
用公式法解下列方程: 例题 (1)x2+x-1=0; (2)x2 -2 3x+3=0;
(3)2x2-2x+1=0.
不解方程,你能判断下列方程根的情况吗? (1)x2+2x-8=0; (2)x2=4x-4; (3)x2-3x=-3
拓展延伸 2.关于x的方程 kx2+3x-1=0有实数根,则k 的取值范围是 ( C )
9 A.k 4 9 C.k 4 9 B.k 且k 0 4 9 D.k 且k 0 4
拓展延伸 1 2 3.已知关于x的方程 x (2k 1) x 4(k ) 0
10.方程(k-1) x 2 2 k x 1 0有两个不相等的
实数根,求k的取值范围
知识要点：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况 可由b2-4ac来判定: （1）当b2-4ac ＞0时, 方程有两个不等的实数根 （2） 当b2-4ac = 0时, 方程有两个相等的实数根 （3） 当b2-4ac ＜0时, 方程没有实数根 （1）关于x的方程x2-kx+k- 2=0 根的情况是方程有两个不等的实数根．
2
所以,不论m为何值,这个方程总有两个 不相等的实数根
练习
2.关于x的方程 (k 1) x (1 2 x)k 2 0 有两个不相等的实数根,求k的最小整数.
2
拓展延伸 1.已知关于x的方程
(1 2k ) x 2 k 1x 1 0
2
有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
根的情况是方程有两个不等的实数根 ．
当方程系数中含有字母时， 一般先将b2-4ac化成b2-4ac=( )2+k的形式.
例2: 1.k取什么值时, 方程x2-kx+4=0有两个相 等的实数根?求这时方程的根. 变式: (1)k取什么值时, 方程x2-4x+k=0有两个不 相等的实数根? (2)k取什么值时, 方程x2-4x+k=0有两个实 数根?
7 （2）若关于x的方程 x (2k 1) x k 4 0 有两个相等的实数根，则k=1)x2+x-1=0; (2)x2 -2 3x+3=0;
(3)2x2-2x+1=0.
2+bx+c=0（a≠0）根的情况 一元二次方程 ax 2- 4ac叫做一元二次方程 我们把 b 可由b22 -4ac来判定: ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式 . 2 （1）当b -4ac ＞0时, 方程有两个不等的实数根 （2）当b2-4ac = 0时, 方程有两个相等的实数根 （3）当b2-4ac ＜0时, 方程没有实数根
1 ∴k= 4
1 当k= 4
时，方程有两个相等的实数根
例3、已知关于x的方程,
2
证明:不论m为何值,这个方程 总有两个不相等的实数根
解: 4m 4 2m 4 2 4m 8m 16
2
x 2mx 2m 4 0
4 m 2m 1 12 2 4m 1 12 0
练习:书第17页第1题
不解方程,你判断下列方程根的情况吗? (1)x2+2x-8=0; (2)x2=4x-4; (3)x2-3x=-3
(4) x (2m 1) x (m m) 0
2 2
当方程系数中含有字母时， 一般先将b2-4ac化成b2-4ac=( )2+k的形式.
练习:
关于x的方程x2-kx+k-2=0
2
(1)求证:无论k取什么实数值，这个方程总有 实根. (2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边b、c 恰好是这个方程的两根,求△ABC的周长.
小结
☆ 一元二次方程根的判别式. ☆ 根据条件确定方程中字母的值或范围. ☆ 证明方程有无实数根.
9.若关于x的一元二次方程(k-1)x2-2kx+k+3=0 有两个不相等的实数根，求k 的最大整数值.