含参变量积分

目录

摘要 (1)

前言 (2)

一、预备知识 (2)

（一）、含参变量积分的定义 (2)

（二）、含参变量反常积分的定义 (2)

（三）、定理 (3)

1、含参变量积分的相关定理 (3)

2、含参变量反常积分的相关定理 (4)

二、含参变量积分的应用 (5)

（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 (5)

1、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式 (5)

2、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式 (6)

（二）、证明等式 (7)

（三）、证明不等式 (9)

（四）、求极限 (10)

（五）、求隐函数的导数 (12)

三、含参量反常积分的性质 (13)

（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 (13)

1、局部一致收敛概念 (13)

2、连续的等价条件 (13)

3、几种收敛性的关系 (15)

（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 (17)

1、主要结果 (17)

2、主要引理 (18)

（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法 (21)

1、利用反常积分的定义和变量替换求解 (21)

2、通过建立微分方程求积分值 (21)

3、引入收敛因子法求解 (22)

4、级数解法 (23)

5、利用其他的积分 (24)

总结 (25)

参考文献 (25)

含参变量积分

赵洁

（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）

摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。

关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分

Parameter Integral

Zhao Jie

(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter improper integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given.

Keywords：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral

前言

含参变量积分是一类比较特殊的积分, 由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。对于含参量反常积分，本文给出了含参量反常积分局部一致收敛的定义，将建立在局部一致收敛的定义的基础上，根据局部一致收敛与一致收敛的区别与联系，参照一致收敛的判别法给出含参量反常积分的几种新的判别法，证明了局部一致收敛与含参量反常积分连续的等价性， 最后讨论了含参量反常积分几种收敛性的关系，介绍了几种求反常积分的方法。

一、预备知识

（一）、含参变量积分的定义

定义1.1]1[ 设函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a ⨯上有定义，当x 取],[b a 上任一个固定值0x 时，),(0y x f 在],[d c 上可积，则

⎰

d

c

dy y x f ),(0

就确定一个数，当x 在],[b a 变动时，这样的积分就定义了一个函数 ⎰=d

c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1.1） 称此积分为含参变量积分。

除（1.1）外，以下两种表示形式的积分⎰)

()(),(x d x c dy y x f (],[b a x ∈) ，

⎰

+∞

),(dx y x f 也是含参变量积分。

（二）、含参变量反常积分的定义

定义 1.2]2[ 设函数),(y x f 在无界区域],[],[+∞⨯=c b a R 上有定义，若对每一个固定的x ],[b a ∈，反常积分

⎰

+∞

c

dy y x f ),( （1.2）

都收敛，则它的值是x 在],[b a 上取值的函数，当记这个函数为)(x I 时，则有

⎰+∞

=c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈， （1.3） 称（1.2）式为定义在],[b a 上的含参变量反常积分。

（三）、定理

1、含参变量积分的相关定理

定理1.1 （连续性）若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a ⨯上连续，则函数 ⎰=d c dy y x f x I ),()( 在],[b a 上连续。

定理1.2 （连续性）设二元函数),(y x f 在区域

(){},|()(),G x y c x y d x a x b =≤≤≤≤

上连续，其中(),()c x d x 为],[b a 上的连续函数，则函数

⎰

=)()

(),()(x d x c dy y x f x F

在],[b a 上连续。

定理1.3 （可微性）若函数),(y x f 与其偏导数

(,)f x y x

∂

∂都在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数

⎰=d

c dy y x f x I ),()(

在],[b a 上可微，且

(,)(,)d

d c c d f x y dy f x y dy dx x

∂=∂⎰⎰. 定理1.4 设),(y x f 和),(y x f x 在],[],[d c b a ⨯上连续，则⎰=d

c dy y x f x I ),()(在

],[b a 上有连续的导函数，且