初中数学复习 第四讲——整式与分式

初中数学复习 第四讲——整式与分式

一、知识结构

说明：在本部分，代数式分为整式和分式讨论。在实数范围内，代数式分为有理 式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。

二、知识点梳理

1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结 果叫做代数式的值。

2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独 一个数也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包 括符号）；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项 式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就 是这个多项式的次数。

4.整式：单项式、多项式统称为整式。

5.分式：两个整式A 、B 相除，即A ÷B 时，可以表示为A B

.如果B 中含有字母， 那么A B

叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。 6.同类项：所含的字母相同，且相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项。 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并 后含有几项，这个多项式就叫做几项式。合并同类项的法则：把同类 项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变（合 并同类项，法则不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样）。

7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合 并同类项来完成整式的加减运算。去括号法则：括号前面是“+” 号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—” 号，去掉“—”号和括号，括号里的各项都变号。（括号前面是“+” 代数式

分式

整式 分式的意义 分式的基本性质 分式的

运算（加、

减、乘、

除） 整数指数

幂的运算 整式的有关概念 整式的运算（加、减、乘、除、乘方） 因式分解

号，去掉括号不变号；括号前面是“—”号，去掉括号都变号。）

8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

m n m+n a a =a ∙.（m 、n 都是正整数）

9.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即

()n m m n a =a .（m 、n 都是正整数）

10.积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即

()n n n ab =a b .（n 为正整数）

11.整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它 的指数不变，也作为积的因式。

（2）单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式乘 以多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得到的 积相加。

12.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即

m n m n

a a a -÷=.（m 、n 是正整数且m ＞n ，a ≠0）. 任何不等于零的数的零次幂为1，即

()010a a =≠

13.整式的除法：（1）单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂 分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式。

（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把多项式的每 一项除以单项式，再把所得的商相加。

14.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式， 分式的值不变，即

A A M A N

B B M A N

∙÷==∙÷ 其中M 、N 为整式，且B ≠0，M ≠0，N ≠0.

15.约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分； 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式 叫做最简分式；

化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数 的最大公因数、相同因式的最低次幂。如果分子、分母是多项式，先分 解因式，再约分。化简分式时要将分式化成最简分式或整式。

16.通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过 程叫做通分。

17.分式的运算：（1)分式的乘除：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母 相乘的积作分母；分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒 位置后，再与被除式相乘。

用式子表示为：

,.A C A C B D B D A C A D A D B D B C B C

∙=÷=∙= (2)分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； 异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减。

18.乘法公式：（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个 数的平方差，即

()()22

.a b a b a b +-=- （2）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们积的两倍，即

()()222222+2,2.a b a ab b a b a ab b =++-=-+

19.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（1）提取公因式法：（一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个 多项式的公因式。）如果一个多项式的各项含有公因式，那么 可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式 后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法 叫做提取公因式法。

提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时） 与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。

（2）公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式 法。

①平方差公式：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式， 那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数 的和与这两个数的差的积。

②完全平方公式：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加 上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方 公式把它分解因式，它等于这两个数的和（或差）的平方。

（3）十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解

成两个因数a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a+b ，那