离散数学--第7章图论-5(匹配)
图论的配对问题课件
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2,x5,x3}；V2 ={y3,y5}；
M=ME(P)={(x1,y1 ),(x2,y图3论),(的x配3对,y问2题),( x5,y5)}
（2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； 解 （（y34∈） ）N在 若(VXN1中()V-V找1)2=一V2个则非停饱止和，点否x则0，任V选1=一{x点0}，V2={}
图论 的配对问题
匹配问题是运筹学的重要问题之一，也是图论的重要 内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题” 中有重要作用。 假定有一个男生有穷集合，其中每个男生认识一些女 生，在什么条件下每个男生都可以和他认识的女生配对？
类似的工作分配问题：现有n个人，m份工作，每个人 有其擅长的工作。在什么条件下每个人都可以得到一份 他擅长的工作？如何分配？
V1={x2},V2=空集
N(V1)={y2, y3}
图论 的配对问题
解 （∪条（5）从{2）z若}x0】y，到已yV饱的2和=可V，增2∪M广{中道y}必路；有P转，(y（,对z)4之；）进作】行【，增否V广1则=；V【1转求一
x1
x2
x3
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x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)} V1={x2},V2=空集 V1=V1∪{x5}={x2,x5}； V2=V2∪ {y3} ={y3}
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
离散数学图论作业7-二部图匹配
离散数学图论作业7-二部图匹配Problem1证明：一个无回路的简单连通图最多只有一个完美匹配。
（完美匹配指能饱和所有顶点的匹配）Problem2从下图G=(A,B,E)中，找出相对于匹配M(粗边的集合)的任意三条交错路径(alternating path)和至少两条增广路径(augmenting path)，然后利用增广路径扩大M来找到最大匹配。
a0 a1 a2 a3 a4 a5b0 b1 b2 b3 b4 b5Problem3对于哪些n值来说，下列图是存在完美匹配的二部图？a)K nb)C nc)Q n对于每一个二部图G=(A,B,E)，判断G是否有饱和A的匹配。
如果没有，请说明理由。
(1)(2)(3)(4)Problem5令k为一整数。
对于任意有限集合，证明对它的任意两个k划分都存在一个相同的代表集。
•集合的k划分指划分为大小相同的互不想交的k个子集，为简便起见，设集合的大小为k的整数倍从而每个子集均有相同个元素。
•一个划分的代表集指从每个子集中取出一个元素而构成的集合。
举例：集合{1,2,3,4}的一个2划分为A:{1,2}{3,4}。
此划分的代表集有{1,3},{2,3},{1,4},{2,4}，但{1,2}不是其代表集。
集合的另外一个划分为B:{2,3}{1,4}。
易见，A与B存在相同的代表集{1,3}。
Problem6假设某校计算机系学生选导师时出现了这样的情况：对于每一位学生，至少对k名导师感兴趣；对于每一位导师，至多有k名学生对他感兴趣。
假设每位导师只能指导1名学生，且每位学生也只能选择1名导师。
试证明：存在这样的匹配，使得每位学生都能选到自己感兴趣的导师。
证明一个6×6的方格纸板挖去左上角和右下角后不能用剪刀裁剪成若干1×2的小矩形。
离散数学中的图的匹配和匹配理论
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散的、离散的、不连续的数学结构与问题。
而图论是离散数学的一个重要领域，它研究的是图的性质和关系。
在离散数学中，图是一个由节点（顶点）和边组成的网络结构。
节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图的匹配是指一种边的选择方式，使得没有两个边具有相同的起点或终点。
图的匹配问题是图论中的一个经典问题，匹配理论则是研究匹配问题的理论基础。
图的匹配在实际中有广泛的应用，比如在交通规划、人员分配等领域中都涉及到匹配问题。
在图的匹配问题中，存在两种不同的匹配，分别是最大匹配和完美匹配。
最大匹配是指在所有可能的匹配中，边数最多的匹配，而完美匹配是指图中的每个节点都被匹配。
在图的匹配问题中，一个重要的概念是增广路径。
增广路径是指一个由未匹配的顶点和匹配点依次相连所构成的路径。
通过寻找增广路径，可以使得匹配数增加，从而逐步逼近最大匹配。
图的匹配理论主要围绕匹配数的计算和匹配的寻找展开。
最简单的匹配算法是贪心算法，即每次找到一个未匹配的节点，与之相连的边进行匹配，并不断更新匹配的边。
然而，贪心算法无法保证得到最优解，因此需要其他更加高效的算法来解决匹配问题。
其中一种经典的算法是匈牙利算法，它以增广路径为基础，通过不断寻找增广路径来找到最大匹配。
匈牙利算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来增加匹配数。
具体步骤如下：1.初始化所有节点都未匹配2.对每个未匹配的节点，进行深度优先搜索，寻找增广路径3.如果找到增广路径，则将路径上的边匹配4.重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径5.返回匹配结果匈牙利算法的时间复杂度为O(V * E)，其中V为节点数，E为边数。
虽然匈牙利算法在时间复杂度上不是最优的，但它具有简单易懂、容易实现的优点。
在实际应用中，匹配问题往往需要考虑更多的因素，比如权重、容量等。
为了解决带权匹配问题，可以使用最小权重匹配算法，比如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。
离散数学第七章图论习题课ppt课件
24
设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明： 因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数，
故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
25
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
17
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
20
一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
（k为正整数）。 解：
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
离散数学--第7章+图论-5(匹配)
交错路为一条 M可增广路。
例
v1
v2
v3 v4
匹配， M {v1v6 , v2v5 }是一个对集；但不是
最大对集，有路P:v3v2v5v4，通过 匹配， ( M E ( P)) ( E ( P) M )得比M 更大的对集。P称为M 可扩路。 匹配， 增广路
返回 结束
v6
v5
7.5 .2 最大匹配的基本定理
S={x2,x5}；T={y3}；
S=S∪{x3}={x2,x5,x3}；T=T∪ {y5} ={y3,y5}
返回 结束
７.5.3 最大匹配算法
26
解 （4）若N(S)=T则停止，否则任选一点y∈N(S)-T；
x1 x2 x3 x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
返回 结束
７.5.3 最大匹配算法
基本步骤：
1.
18
设有初始匹配M，x0是M不饱和点，还没有尝试扩展；如果
不存在这样的结点，即不存在M可增广路，转5；
2.
寻找从x0出发的M可增广路P：S表示P在X中的结点，T表 示P在Y中的结点。S={x0}, T={},
3.
如果N(S)＝ T ，则x0不可扩展，即不存在从x0出发的可增
5
两条边在G中均不相邻， 则M称为G的一个边独立集或匹
配。 [最大匹配]若对图G的任何匹配，均有| M |＜|M|，则 称M
为图G的最大匹配。
[匹配数] G中最大匹配中的边数称为匹配数，记作
(G)。设G的所有匹配为M1、M2、… 、Mk，记
' (G) max | M i |
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
18
第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
19
第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
离散数学中的匹配问题研究
离散数学中的匹配问题研究离散数学是一门研究离散的数学结构和离散的数学对象的学科。
而在离散数学中，匹配问题是一个重要的研究方向。
匹配问题是指在一个图论模型中，找到一组边的集合，使得每个顶点都与集合中的某条边相连。
本文将深入探讨离散数学中的匹配问题，并介绍匹配问题的应用。
一、匹配问题定义及分类1. 定义匹配问题是在一个二分图（Bipartite Graph）中寻找满足特定条件的边的集合，使得每个顶点只与集合中的某条边相连。
二分图是一种特殊的图，在二分图中，顶点可以分为两个互不相交的集合，并且边只能连接不同集合中的顶点。
2. 分类匹配问题可以根据不同的条件和要求进行分类。
常见的匹配问题有以下几种：- 完全匹配：每个顶点都与集合中的某条边相连，没有孤立顶点。
- 最大匹配：找到一个边的集合，使得集合中的边数最大。
没有其他边可以加入集合中。
- 最小匹配：找到一个边的集合，使得集合中的边数最小。
没有其他边可以从集合中移除。
二、匹配问题的算法与应用1. 匈牙利算法匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。
该算法基于增广路径的思想，通过多次寻找增广路径来寻找最大匹配。
2. Dinitz算法Dinitz算法是解决二分图最大流问题的算法，由于二分图最大匹配问题可以转化为最大流问题，因此Dinitz算法也可以用于解决匹配问题。
3. 应用匹配问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：- 交通规划：通过匹配问题可以优化城市中的道路网络，使得交通流畅。
- 人员安排：通过匹配问题可以高效地安排人员在不同岗位上的分配，使得每个人都得到合适的工作。
- 电子商务：通过匹配问题可以实现商品与用户之间的匹配，提供个性化的推荐服务。
三、匹配问题的案例分析1. 经典案例：婚姻匹配问题（Stable Marriage Problem）婚姻匹配问题是匹配问题的一个经典案例。
假设有n个男性和n个女性，每个人都有自己的偏好列表。
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
离散数学第7章PPT课件
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
第36页/共94页
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
离散数学_二分图与匹配
二分图与匹配
满足如下条件的无向图G=<V，E>有非空集合X,Y:X∪Y=V,X∩Y=∅,且每个vᵢ ,vⱼ∈E,都有：vᵢ∈X∧vⱼ∈Y,或者vᵢ∈Y∧vⱼ∈X可以用G=<X,E,Y>表示二分图
完全二分图 : 如果X，Y中任意两个顶点之间都有边，则称为完全二分图
匹配 : 将E的子集M称作一个匹配
最大匹配 : 如果M中的任意两条边都没有公共端点边数最多的匹配称作最大匹配
完全匹配 : 如果X(Y)中的所有的顶点都出现在匹配M中,则称M是X(Y)-完全匹配 如果M既是X-完全匹配，又是Y-完全匹配，称M是完全匹配最大匹配匈牙利算法 : ①任意取一个匹配M (可以是空集或只有一条边) ②令S是非饱和点(尚未匹配的点)的集合 ③如果S=∅，则M已经是最大匹配 ④从S中取出一个非饱和点u₀作为起点，从此起点走交错路(交替属于M和非M的边构成的极大无重复点通路或回路)P ⑤如果P是一个增广路(P的终点也是非饱和点),则令M=M⊕P=(M-P)∪(P-M) ⑥如果P都不是增广路，则从S中去掉u₀，转到step3。
825匹配离散数学
匹配Matchinge 1 e 2e 3 e4e6e5e7 e8 e9v 1v3v5v 4 v2v6设G=(V, E) 是简单图，M⊆E。
如果M中任何两条边都不邻接，则称M 为G中的一个匹配（matching）或边独立集设顶点v∈V，若存在e∈M，使得v是e的一个端点，则称v是M-饱和的（matched or saturated），否则称v 是M-非饱和的（unmatched）{v2, v4, v5, v6}是M-饱和顶点{v1, v3}是M-非饱和顶点e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7 e8 e9v 1v3v5v 4 v2v6若匹配M满足对任意e∈E-M，M∪{e}不再构成匹配，则称M 作G的一个极大匹配（maximal matching）如果图G的匹配M满足对于G的任何匹配M’都有|M| ≥|M’|，则称M是G的一个最大基数匹配（maximum-cardinality matching）或最大匹配（maximum matching）最大匹配M的元素数称作图G的匹配数（matching number），记作ν(G)饱和图G中每个顶点的匹配称作完全匹配（complete matching）或完美匹配（perfect matching）是G 的匹配，但不是极大匹配e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7e8e9v 1v3v5v 4 v2v6是G 的极大匹配，但不是最大匹配e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7e8e9v 1v3v5v 4 v2v6是G的完美匹配，图的匹配数是3e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7e8e9v 1v3v5v 4 v2v6是G的完美匹配e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7e8e9v 1v3v5v 4 v2v6下图不存在完美匹配v 1v3v5v 4 v2v6(a) 极大匹配不是任何其他匹配的子集(b) 若匹配M是G的一个极大匹配，则对于任意e∈E-M，都存在e1∈M，使得e与e1 相邻(c) 一个图中的极大匹配可能不唯一(d) 一个图中的最大匹配可能不唯一(e) 每个最大匹配都是极大匹配，但不是每个极大匹配都是最大匹配(f) 显然图G的匹配数不超过G的阶数的一半(a) 在完美匹配中，每个顶点都关联匹配中的一条边(b) 如果图G存在完美匹配，则图G 的匹配数为G的阶数的一半，此时的阶数为偶数(c) 每个完美匹配都是最大匹配，但不是每个最大匹配都是完美匹配例完全图K（n≥3）中匹配数为⎣n/2⎦n的匹配数为min(m, n)完全二部图Km, n（n≥3）的匹配数为⎣n/2⎦圈图Cn下一讲——伯奇引理。
离散数学--第7章 图论-5(匹配)
MM’
其中回路包含相同数目的M边和M’边。由|M’|>|M|, 必 存在M’边开始， M‘边终止的M交互道路，即M-可增广 道路，矛盾！
返回 结束
7.5 .2 最大匹配的基本定理
例] 从匹配M={(v6,v7)}开始，求下图的最大匹 配
11
(a)
(b)
系统地检查不饱和点出发有无可增 广道路，如，v1出发有可增广道路 v1,v7v6,v8(可画以v1为根的交互树)， 由此得到匹配(a), v2出发没有，v3出 发存在v3v4，可得更大匹配(b), 其他 点出发不存在可增广道路，故(b)是 最大匹配。
交错路为一条 M可增广路。
例
v1 v6 v2 v3 v4
匹配， M {v1v6 , v2v5 }是一个对集；但不是
最大对集，有路 P:v3v2v5v4，通过 匹配， ( M E ( P)) ( E ( P) M )得比M 更大的对集。 匹配，P称为M 可扩路。 增广路
返回 结束
v5
7.5 .2 最大匹配的基本定理
为图G的最大匹配。
[匹配数] G中最大匹配中的边数称为匹配数，记作
(G)。设G的所有匹配为M1、M2、… 、Mk，记
' (G) max | M i |
i 1,...,k
返回 结束
7.5 .1 匹配的基本概念
e2 e6 e1
5
最大匹配： {e1,e5 ,e6} e7
e4 e3 匹配数：3
返回 结束
7.5 .2 最大匹配的基本定理
[M交错路] 设G和M如上所述，G的一条M交错路 指G中一条路，其中的边在M和 EM 中交错出现 。
路是由属于M的匹配边和不属于M的非匹配边交替出现组成
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若V1 V，E1 E，则称G1是G的子图，记为G1 G；
deg(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3；
无自回路的线图称为简单图。
于是|V1|为偶数(因为V1中的结点v之deg(v)都为奇数)，即奇度数的结点个数为偶数。
(o)
(p)
二、度数
定义 在无向图G＝<V，E>中，与结点v(vV)关联的边的条 数，称为该结点的度数，记为deg(v)；
3) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无 向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和vj称为邻接点， 否则称为不邻接的；
4) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 5) 图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)； 6) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 7) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 8) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
离散数学图论课件
（优选）离散数学图论课件
离散数学
2
图的术语
1) 若边e与结点无序偶(u，v)相对应，则称边e为无向边,记为 e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
2) 若边e与结点有序偶<u，v>相对应，则称边e为有向边(或 弧)，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点(或弧尾)，v是 边e的终点(或弧头)，统称为e的端点；
δ(G)最小度，Δ(G)最大度
定义 在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为 奇数，则称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数， 则称此结点为偶度数结点。
例：
例：
deg(v )＝3，deg (v )＝2，deg (v )＝1； 例:如下图所示，图(a)、图(b)、图(c)和图+ (d)所表示的图形实际上都是-一样的。
离散数学第七章图的基本概念知识点总结
图论部分第七章、图的基本概念7. 1无向图及有向图无向图与有向图多重集合：元素可以重复出现的集合无序积：{(x, y) |定义无向图Q<K£>,其中(1) 顶点集$0,元素称为顶点(2) 边集F为k&f的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如，如图所示，其中心⑷，…，心，&{(旳，匕)，(匕，匕),(迫，方)，(乃，方)，(迫，％), (s, %),(必，％)} 定艾有向图E>,其中(1) $同无向图的顶点集，元素也称为顶点(2) 边集F为的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替0的所有有向边所得到的无向图称作Q的基图，右图是有向图, 试写出它的！/和F注意：图的数学定艾与图形表示，在同构(待叙)的意狡下是一一对应的通常用G表示无向图，0表示有向图，也常用G泛指无向图和有向图，用6表示无向边或有向边.K6), E(G, Eg G和D的顶点、集,边集.77阶图：”个顶点的图有限图：K F都是有穷集合的图零图：吕0平凡图：1阶零图空图：^=0顶点和边的关联与相邻：定狡设e*,v)是无向图G^<V f E>的一条边，称v…匕为e*的端点，©与v, ( 16)关联.若Vi H V”则称故与Vi ( v)的关联次数为1;若匕=匕，则称6为环，此时称◎与匕的关联次数为2;若匕不是鸟端点, 则称鼓与匕的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图=<V, E>, v if K e“e《E,若©，匕)e£；则称乙匕相邻；若％ &至少有一个公共端点，则称6, 8/相邻.对有向图有类似定义.设6二〈乙匕〉是有向图的一条边，又称匕是牧的始点，V」是6的终点，K邻接到Vj.匕邻接于Vi.邻域和关联集邻域和关联集设无向图^veV(G)”的邻域谑克匕(6A3"(G)A亦}1 的闪邻域2V(V)=M V)U{V)丫的关联集7(v)=fej族要(G>e与咲联}设有向图空厲蚀)1的后绅元集石(护{边煖玖刀人今炉訪⑹付妙、的先驱元集纭(忙甸頰匕(D)人Y细>“(C)人T1的邻域E(v)=“e)u巧(巧'的丙邻域jv D(v) = 1V23(v)U{v}顶点的度数设G=<V,E>为无向图，keKy的度数(度)〃3): #作为边的端点次数之和悬挂顶点：度数为1的顶点悬挂边：与悬挂顶点关联的边G 的最大度zl(Q 二max {〃(“)| i/e HG的最小度&Q=min{d(访| keH例如〃(％)二3, 〃(乃)二4, 6/(I/.) =4,zl(6)=4, J(6)=1, r4是悬挂顶点，g是悬挂边,设^=<K £>为有向图，reKi/的出度dW: y作为边的始点次数之和1/的入度力3) ：#作为边的终点次数之和1/的度数(度)〃3)：#作为边的端点次数之和d(v)~ / (#) + d(v)。
离散数学-第七章-图论
5
离 例1、G1=<V,E>
散 数
V＝{v0, v1, v2,v3}
学 E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
v0
v3
v1
第
七
章
v2
图
论
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G1
6
离 例2、
散 数 学
G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3}
中的所有边，称为删除E´ 。
(2)设vV，用G-v表示从G中去掉v及所关联的 一切边，称为删除结点v；又设V´ V，用G-V´ 表示从G中删除V´中所有结点，称为删除V´ 。
学 u,v之间存在路，则称u,v是连通的，记作uv 。
定义2.3 设无向图Ｇ是平凡图或G中任何两个结 点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连 通图或分离图。
第
任意一个连通无向图的任两个不同结
七 点都存在一条通路。
章
图
论
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38
离
非连通图Ｇ可分为几个不相连通的子图，
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
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3
离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
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底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
数
学
A&B={{a,b}|aA, bB}
《图论课件第五章匹配与因子分解》课件
二、因子分解
2.1 定义
因子分解是将图进行拆分，使得每个因子都是图的 一个子图。
2.2 贪心算法
贪心算法用于在因子分解时选择边或顶点。
2.3 DAG上的匈牙利算法
用于在有向无环图上寻找因子分解的算法。
2.4 Tutte定理
用于判断一个图是否存在完美匹配。
三、应用实例
1
3.1 二分图最大匹配的应用
《图论课件第五章匹配与 因子分解》PPT课件
图论课件第五章匹配与因子分解
一、匹配
1.1 定义
匹配指的是图中的一组边，这些边不相交并且 没有公共顶点。
1.3 最大匹配
最大匹配是图中包含边数最多的匹配。
1.2 匹配的分类
分类包括完美匹配、最大匹配和最小匹配。
1.4 匈牙利算法
匈牙利算法用于寻找二分图的最大匹配。
应用于任务分配、婚姻匹配等场景。
3.2 带权二分图匹配的应用
2
应用于资源分配、工作调度等场景。
3
3.3 双倍经验的关卡通关问题
使用匹配算法解决游戏中的关卡设计问
3.4 理发店问题
4
题。
利用匹配算法解决顾客理发需要和理发 师时间安排的问题。
四、参考资料
4.1 书籍
《图论导论》、《算法导论》等
4.3 网站
Grap h Alg orithm s, Grap h Theo ry Online等
4.2 论文
Graph Matching Alg orithm s: A C om prehensive C om parison
4.4 其他资源
相关研究报告、课程讲义等
离散数学 第7章 图论
v2 v3
v4
v3
(b) 图G
v3 (c) 图G’
(a) 完全图K5
图G是图G’ 相对于图K5的补图。 图G’不是图G 相对于图K5的补图。（图G’中有结点v5 ）
例：276页图7-1.7 图(c)是图(b)相对于图(a)的补图。 图(b)不是图(c)相对于图(a)的补图。
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7-1
图的同构
图的基本概念
8
7-1
图的基本概念
1.无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 2.有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。 3.混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称 为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’
v1 v2
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v4 v3 ( c ) 混合图
17
7-1
图的基本概念
三、特殊的图
定义4 含有平行边的图称为多重图。 不含平行边和环的图称为简单图。
定义5 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间均有边 相连，则称该图为完全图。
无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
有n个结点的无向完全图记为Kn。
18
7-1
图的基本概念
推论 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj 到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk 必存在一条边数小于n的通路。
32
7-2
路与回路
定理7-2.1的证明 如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列 是vj…vi…vk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若l>n-1，则必有结点vs，它在序列中不止 出现一次，即必有结点序列vj…vs…vs…vk，在路中去 掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比 原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一 条从vj到vk的不多于n-1条边的路。