高一数学(必修1)专题复习四 函数与方程

高一数学（必修1）专题复习四

函数与方程

一．基础知识复习

1．函数的零点：方程0)(=x f 的根也称作函数)(x f y =的零点．

（1）方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．

（2）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(

① 定理中函数)(x f y =不一定有唯一的零点，当函数)(x f 在),(b a 上是单调函数时，有唯一的零点．

② 如果函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，不一定有0)()(

2.二分法：对于在区间a [，]b 上连续且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

3．二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 的零点：

（1）当0>∆时，方程0)(=x f 有两不等实根，二次函数)(x f 的图象与x 轴有两个交点，即有两个零点．

（2）当0=∆时，方程0)(=x f 有两相等实根，二次函数)(x f 的图象与x 轴有一个交点，即有一个零点．

（3）当0<∆时，方程0)(=x f 无实根，二次函数)(x f 的图象与x 轴无交点，即无零点．

4．二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布及条件． 二．训练题目

一．选择题

1．函数x

x x f 2ln )(-

=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)4,3( D ．),(+∞e

2．方程x

x 12=的解0x 所在的区间是（ ） A ．)2.0,1.0( B ．)4.0,3.0( C ．)7.0,5.0( D ．)1,9.0(

3．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

4．关于x 的方程()01122

2=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根．

其中假命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．设函数⎩⎨⎧>≤++=0,

20,)(2x x c bx x x f ，且2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下图所示 给出下列四个命题：

（1）方程0)]([=x g f 有且仅有6

（2）方程0)]([=x f g 有且仅有3（3）方程0)]([=x g f 有且仅有5（4）方程0)]([=x f g 有且仅有4个根

其中正确的命题个数是（ ）

A ．4个

B ．3个 7．设函数)(|

|1)(R x x x x f ∈+-=，区间],[b a M =)(b a <，集合 }),(|{M x x f y y N ∈==，则使N M =成立的实数对),(b a 有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

8．函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P ，则方程0)(=x f 的根是=x （ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

9．设()f x 是连续的偶函数，且当0>x 时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ）

A ．3-

B ．3

C ．8-

D ．8 10．设c b a ,,均为正数，且a a 2

1log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c 2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛．则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．c a b <<

11．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与

()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(0,2)

B ．(0,8)

C ．(2,8)

D ．(,0)-∞

12．设定义域为R 的函数111()11x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩

，， ，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=

有3个不同的整数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于（ ）

A ．5

B ．2222b b +

C ．13

D ．2222c c

+

二．填空题

1．已知)(x f y =是偶函数，且其图象C 与x 轴有4个交点，则方程0)(=x f 的所有实根之和为 ．

2．设⎩⎨⎧>-≤-=-0

,)1(0,2)(1x x f x a x f x ，若x x f =)(有且只有两个实数根，则实数a 的取值范

围是_ __．

3．已知关于x 的方程016)82(22=-+--m x m x 的两个实根21,x x 满足2123x x <<，则实数m 的取值范围_______________．

4．二次函数c bx ax y ++=2

中，0

5．若方程2210ax x ++=至少有一个负数根，则实数a 的取值范围_______________．

6．关于x 的方程x a x x =-+-|34|2恰有三个不同的实根，则实数a 的取值范围_____．

7．已知1x 是方程27lg =+x x 的解，2x 是方程2710=+x x 的解，则=+21x x

三．解答题

1．确定下列方程的解的个数

（1）62lg =+x x （2）0133=--x x

（3）0ln 31=--x x （4）x x e x 82-=

思考：方程x a a x log =0(>a 且)1≠a 的解的个数．