函数的单调性与最值

=
ax ax 1 2 x +1 x +1 1 2
ax
ax1 (x2 + 1) - ax2 (x1 + 1) a(x1 - x 2 ) = (x1 + 1)(x2 + 1) (x1 + 1)(x2 + 1)
∵－1<x1<x2， ∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0. ∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数
f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数
返回导航页
结束放映
(2)单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
解析： 设－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝
x ，x∈(－1,1)的单调性． 2 x +1
x x (x - x )(x x + 1) 1 2 2 1 1 2 = x 2 -1 x 2 -1 (x 2 - 1)(x 2 - 1) 1 2 1 2
∵－1<x1<x2<1，∴|x1|<1，|x2|<1，x2－x1>0， x12－1<0，x22－1<0， |x1x2|<1， 即－1<x1x2<1.∴x1x2＋1>0.
考向大突破三：函数单调性的应用
例3：已知f(x)＝ x - a (x≠a)． (1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解析： (1)证明：任设x1＜x2＜－2， x 则f(x1)－f(x2) 1
x1 2 x2 2 x2
返回导航页
结束放映
1.判断函数的单调性应先求定义域； 2．用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为： 取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键， 而变形的方法有因式分解、配方法等； 3．用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够 的重视．
返回导航页
结束放映
变式训练1.试讨论函数f(x)＝
x 2 0 -x 2
1 0 -1
x>0 2f(x－1)，则函数 ， g(x) ＝ x x=0 x<0 Nhomakorabea)
B．[0,1)
C．[1，＋∞)
D．[－1,0]
x >1 如图所示， x =1 x <1
y
2
其递减区间是[0,1)．故选B.
-1
1
0 -1
1
x
返回导航页
结束放映
归纳升华
.
∵ a ＞ 0 ， x 2－ x 1＞ 0， ∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，∴a≤1. 综上所述知0＜a≤1.
x

2(x1 x2 ) . (x1 2)(x2 2)
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， ∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1＜x1＜x2，则 x1 x f(x1)－f(x2)＝ x 2 a x a
1
2
a(x2 x1) (x1 a)(x2 a)
返回导航页
结束放映
变式训练2.函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
解析： y＝－(x－3)|x|＝
2 -x + 3x 2 x - 3x
x>0 x0
y
作出该函数的图象，
3 观察图象知递增区间为 [0, 2 ] [0, ] 答案： 2 3
0
3 2
3
x
返回导航页
结束放映
(x - x )(x x + 1) 2 1 1 2 2 (x - 1)(x 2 - 1) 1 2
∴
>0.
因此，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时函数为减函数．
返回导航页
结束放映
考向大突破二：求函数的单调区间
例2：设函数f(x)＝ g(x)的递减区间是(
A．(－∞，0] 解析： g(x)＝
返回导航页
结束放映
温馨提示: 请点击相关栏目。
考点 ·大整合 考向 ·大突破 考题 ·大攻略
返回导航页
结束放映
考点 • 大整合
1．把握函数单调性的内含
(1)单调函数的定义 增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有 定 义
1.求函数单调区间应注意的问题
函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间 必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的 定义域内进行．
2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤
(1)确定定义域； (2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)； (3)分别确定这两个函数的单调区间； (4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减， 则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．
返回导航页
结束放映
考向大突破一：函数单调性的判断
例1：判断函数f(x)＝ 在(－1，＋∞)上的单调性，并证 x +1 明．
解析： 当a>0时，函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 当a<0时，函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 证明如下： 设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝
[说明] 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单 调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的 单调性相同，也不能用并集表示．
返回导航页
结束放映
2．会求函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 条件 ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
返回导航页
结束放映
3.活用判断函数单调性的四种方法
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论； (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函 数，不同时为减函数； (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象 易作出，可由图象的直观性判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．