基变换与坐标变换.
§4 基变换与坐标变换
解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
1基变换与坐标变换
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
(2) W1 W2 W1 W2 W1;
(3) W1 W2 W1 W1 W2; (4) W1 W2 W1 W2 W1 W2或W2 W1 .
定义7 1 , 2 , , r是V中的一组向量，
L1 , 2 , , r
11 2 2 r r 1 , , r F
称为1 , 2 , , r 生成（张成）的子空间.
（4）若向量组
1 ,2 ,
,
是线性空间
r
V
的一个
基，则 V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r F
V :基所生成的线性空间 1 , 2 , , r :向量x在基1 , 2 , , r下的坐标
例7 在线性空间P[ x]3中，p1 1，p2 x，p3 x 2，
p4 x 3是一组基，而q1 1，q2 x 2，q3 x 22， q4 x 23也是一组基．
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
(3) 0 0; 1 ; 0 0.
(4) 如果 0，则 0或 0.
定义2 设 x(1) , x(2) , , x(k) 是线性空间V 中的任一组
向量，1, 2 , , k 是F 中任一组数，
k
y 1 x(1) 2 x(2) k x(k ) i x(i ) i 1
基变换与坐标变换
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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换基变换与坐标变换是数学中的一个概念，它们都是研究变换形式的基础工作。
它们是将一个空间中的向量投影到另一个空间的过程。
基变换是指一种变换，它使空间的向量的基本特征保持不变。
坐标变换是指把数据由一种坐标系转换为另一种坐标系的过程，如从极坐标转换到直角坐标。
基变换可以分为几何和代数两种形式，每种形式都有不同的用途。
几何变换是指对点或向量空间中的向量应用一定的变换，来改变其形状或尺寸。
几何变换可以表示为一组线性方程，其作用是把输入空间中的点映射到输出空间中的点。
常见的几何变换包括旋转和缩放。
代数变换是指把一个空间中的点映射到另一个空间中的点，通过使用多项式来完成。
代数变换可以用来改变一个点的位置，形状，尺寸等属性，例如抛物线变换和二次变换等。
坐标变换是把一种坐标系的数据转换到另一种坐标系的过程。
坐标变换的基本原理是把一个物体的坐标从一个坐标系（原坐标系）转换到另一个坐标系（目标坐标系）。
常见的坐标变换有从极坐标到直角坐标的变换，从直角坐标到极坐标的变换，从笛卡尔坐标到其他坐标系的变换以及曲面坐标变换等等。
在工程中，基变换和坐标变换都经常被用来实现特定的工程目标。
基变换可以被用来改变数据的形状，比如在图像处理中，可以使用基变换来缩放和旋转图像。
坐标变换可以被用来将一个坐标系的数据转换到另一个坐标系，比如在机器人攻击中，可以使用坐标变换来实现从直角坐标到极坐标的变换。
总而言之，基变换和坐标变换在数学和工程中是非常重要的概念。
基变换可以用来改变空间中向量的特征，而坐标变换则可以用来将一种坐标系的数据转换到另一种坐标系。
它们在许多领域中都有重要用途，例如图像处理，机器人控制，计算机视觉，空间分析等方面，广泛应用于实际工程中。
基变换和坐标变换
基变换和坐标变换在数学和物理学中，基变换和坐标变换是两个重要的概念。
基变换是指在一个向量空间中改变基底的操作，而坐标变换则是在不同基底下表示同一个向量或矩阵时的转换方式。
基变换基是向量空间中一个特殊的向量组，它可以用来表示向量空间中的任意向量。
在基变换中，我们改变基底的选择，从而影响向量在新基底下的表示。
假设有一个向量空间V，它有一组基${\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots,\\mathbf{v}_n}$。
我们可以通过线性组合的方式表示V中的任意向量$\\mathbf{v}$：$$ \\mathbf{v} = c_1\\mathbf{v}_1 + c_2\\mathbf{v}_2 + \\ldots +c_n\\mathbf{v}_n $$其中$c_1, c_2, \\ldots, c_n$为标量系数。
现在，我们要将V中的向量$\\mathbf{v}$表示在另一组基${\\mathbf{u}_1,\\mathbf{u}_2, \\ldots, \\mathbf{u}_n}$下。
假设向量$\\mathbf{v}$在新基底下的表示为${\\mathbf{w}_1, \\mathbf{w}_2, \\ldots, \\mathbf{w}_n}$，我们可以表示$\\mathbf{v}$在新基底下的线性组合为：$$ \\mathbf{v} = d_1\\mathbf{w}_1 + d_2\\mathbf{w}_2 + \\ldots +d_n\\mathbf{w}_n $$我们想要找到向量$\\mathbf{v}$在新基底下的系数$d_1, d_2, \\ldots, d_n$。
这个过程就是基变换。
坐标变换坐标变换是指向量在不同基底下的表示方式的转换。
假设有两组基${\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots, \\mathbf{v}_n}$和${\\mathbf{u}_1,\\mathbf{u}_2, \\ldots, \\mathbf{u}_n}$，以及向量$\\mathbf{v}$在这两组基底下的坐标分别为${\\mathbf{c}}$和${\\mathbf{d}}$。
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换
基变换和坐标变换都是数学涉及的重要概念，有助于理解数学的精确分析和结论。
一、基变换是什么？
1. 定义：基变换是将一组向量从一种坐标系表示成另一种坐标系表示的过程。
2. 作用：基变换能够方便地从旧的坐标系转换到新的坐标系，以对对象进行更加精确的分析，节省计算资源和时间，更加有效地实现数学目标。
3. 应用：基变换通常应用在几何、微分几何和物理等多个领域。
二、坐标变换是什么？
1. 定义：坐标变换是指将一个点的坐标空间从一种（源）坐标系表示到另一种（目标）坐标系中的过程。
2. 作用：坐标变换减少了坐标转换的复杂性，帮助人们更容易理解空间坐标系统，有利于数学分析以及各种空间系统建模。
3. 应用：坐标变换广泛应用于航海、航空、地理信息系统、图形学等多种领域。
总结：基变换和坐标变换是数学中十分重要的概念，他们试图从一种坐标表示到另一种坐标表示，节省一些计算资源和时间，有利于更准
确的数学分析，并在几何、微分几何、物理、航海、航空、地理信息系统、图形学等领域得到广泛的应用。
维数基与坐标 基变换与坐标变换
§3.维数、基、坐标复习1. ⎧⎪⎨⎪⎩线性组合、线性表出基本概念向量组等价线性无关（相关） 1101112210,0,r rk k r r r r k k k k k ααααααα===⎧−−−−−→⎪+++=⎨−−−−−−−→⎪⎩只有存在不全为的，线性无关线性相关2. 性质：1）α线性相关⇔0α=；2）1r αα⇔，，线性相关其中一个向量是其余向量线性组合； 3）s r >且r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出，则r ααα,,,21 线性相关；r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出且r ααα,,,21 线性无关，则s r ≤；4）两个等价线性无关向量组含有相同个数向量； 5）r ααα,,,21 线性无关，βααα,,,,21r 线性相关⇒1,,r βαα可以被线性表出；6）1n ,,αα无关则其部分组1,,r αα也无关（整体无关则部分相关，部分相关则整体相关）；新课一 线性空间的基与维数定义1 在线性空间V 中，若存在n 个元素n ααα,,,21 ，满足： 1）n ααα,,,21 线性无关，2）V 中任意元素α总可由n ααα,,,21 线性表出，那么n ααα,,,21 就称为线性空间V 的一组基，n 称为线性空间V 的维数.Note :1）维数为n 的线性空间称为n 维线性空间，记作n V ；2）当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称V 是无限维的；例：=V { 所有实系数多项式 } 3）若n ααα,,,21 为n V 的一组基，则n V 可表示为： },,,{212211R x x x x x x V n n n n ∈+++== αααα 4）基不唯一，维数一定.[]n P x 中12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，每一个()[]n f x P x ∈都可以由12,,,,1-n x x x 线性表出，即12,,,,1-n x x x 是[]n P x 的一组基.二 元素在给定基下的坐标定义2 设n ααα,,,21 是线性空间n V 的一组基，对于任意元素n V ∈α，总有且仅有一组有序数n x x x ,,,21 使得n n x x x αααα+++= 2211，则有序数组n x x x ,,,21 称为元素α在基n ααα,,,21 下的坐标，并记为),,,(21'n x x x .例2：在n 维空间n P 中 12(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)n εεε=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 是一组基，设12(,,)n n a a a P α=∈，有'1'21122'(1,1,,1)(0,1,,1)(0,0,,1)n n n a a a εεαεεεε⎧=⎪=⎪=++→⎨⎪⎪=⎩基'''112121,()()n n n nP a a a a a ααεεε-∀∈=+-+-则§问题：在n 维线性空间n V 中，任意n 个线性无关的向量都可以作为n V 的一组基.对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的，那么不同的基之间有怎样的联系呢？同一个向量在不同基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何变化呢？ 1 基变换公式设12,,n εεε及'''12,,nεεε均是维线性空间n V 的一组基，且有 '11112121'21212222'1122n nn nn n n nn na a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++⎩↓⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''n nn nnn n n a a a a a a a a a εεεεεε 2121222121211121↓A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =''' 称此公式为基变换公式. 2 过渡矩阵在基变换公式A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε ='''中，矩阵A 称为由基12,,n εεε到基'''12,,nεεε的过渡矩阵. Note :1）过渡矩阵A 是可逆的.2）设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是n V 中两个向量组)(ij a A =，)(ij b B =是两个n n ⨯矩阵，那么))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =；))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα ； A A A n n n n ),,,(),,,(),,,(22112121βαβαβαβββααα+++=+ . 3 坐标变换公式设向量α是线性空间n V 中的任意元素，在基12,,n εεε下的坐标为),,,(21'n x x x ，在基'''12,,nεεε下的坐标为),,,(21''''n x x x ，于是有12112212(,,,)n n n n x x x x x x αεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭'1''''''''11221'(,,)n n n n x x x x x εεεεε⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭即 ()11121'121222''111'1211,,(,,)(,,)(,,)n n n n n n n n nn n n a a a x a a a A x a a a x x εεεεαεεεε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭而基向量线性无关，则'11'n nx x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1'1112111'2122222'12n n n n nn n n a a a x x a a a x xa a a x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例题分析：在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下坐标1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(,,,)x x x x ξ=在1234,,,ηηηη下的坐标小结：↓→↓⎧→⎨⎩向量线性相（无）关 基维数 基变换坐标坐标变换。
基变换公式坐标变换公式坐标旋转公式平面解析几何
(a1 a2 a3 , b1 b2 b3 a1a2 a1a3 a2a3 ) ；
同理可得 (a1,b1) ((a2 ,b2 ) (a3,b3 )) 上式右端结果，故 2)成立. 3) 取 (0,0) V, 则 (0,0) (a,b) (0 a,0 b 0 0) (a,b) ,即 (0,0) 是 V 的零向量.
线性空间的维数与数域有关.
6.1.作业习题解疑：
P267. 习题3 （5）：
分析： 题设之加法 ，数乘 易证是 V {(a,b) | a,b R} 上的代数运算， 关键在于验证 8 条算律成立.这里仅给出 2),3),4)的验证，其它算律略.
2) (a1,b1), (a2 ,b2 ), (a3,b3 ) V , ((a1,b1) (a2 ,b2 )) (a3 ,b3 )
基变换与坐标变换
一 基变换公式 二 坐标变换公式 三 过渡矩阵
* 问题的提出：
• dimV=n →
V
基1, 2 , , n
( x1, x2 , , xn )
基1/
,
/ 2
,
,
/ n
( x1/ , x2/ ,
, xn/ )
向量 ξ 在不同基下坐标有何换算关系？
•例： V2={α：始点为坐标原点的平面矢量}
记成 {1,2 , ,n} ；
是 P117 向量线性相关概念在一般线性空间中的推广.
定义 3 {1,2 , ,r }与{ 1, 2 , , s }等价 { 1,2 , ,r } { 1, 2 , , s }且{ 1, 2 , , s } { 1,2 , ,r }.
高等代数-6.4基变换与坐标变换
3）若由基1,2 , ,n到基1, 2 , , 过n 渡矩阵为A, 由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1,2 , ,n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
( 1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )B 则有，( 1, 2 , , n ) ((1,2 , ,n ) A)B
下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn ) 与 ( x1 , x2 , , xn ) ，
§6.4 基变换与坐标变换
即，
(1, 2 ,
x1
,
n
)
x2
与
(1, 2 ,
xn
x1 a11 a12
则
x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n x1 a2n x2
练习：已知 P 22 的两组基：
E11
1 0
0 0
, E12
0 0
1 0
, E21
0 1
0 0
, E22
0 0
0 1
;
F11
1 0
0 0
, F12
1 0
1 0
, F21
11 10
, F22
11 11
求由基 E11, E12,E21, E22到F11, F12,F21, F22 的过渡矩阵，
过渡矩阵．其中
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
并求向量 (a1,a2 , ,an )在基1,2 , ,n下的坐标.
基变换和坐标变换例题
基变换和坐标变换例题在线性代数中，基变换和坐标变换是非常重要的概念，它们在向量空间中的表示和描述中起着至关重要的作用。
这里将通过一些例题来详细解释和展示基变换和坐标变换的过程。
例题一假设存在一个二维向量v，其坐标表示为(3, 4)，现有两个基底b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)。
求向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
解答：首先，我们需要确定向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
对于向量v(3, 4)，我们可以表示为v = 3 * b1 + 2 * b2。
这是因为v = x * b1 + y * b2，其中x和y分别是v在基底b1和b2下的坐标表示。
代入已知的b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)，我们可以得到： v = 3 * (1, 1) + 2 * (-1, 1) = (3, 3) + (-2, 2) = (1, 5)。
所以，向量v在基底b1和b2下的坐标表示分别为(1, 1)和(5, 1)。
例题二现在考虑一个三维向量v = (2, 1, -3)，在标准基底下的坐标表示。
此外，有一个由向量a = (1, 1, 1)，b = (0, 1, 1)和c = (1, 2, 3)组成的基底B。
求向量v在基底B下的坐标表示。
解答：首先，我们需要确定向量v在基底B下的坐标表示。
同样地，我们可以表示v = x * a + y * b + z * c，其中x、y和z分别是v在基底B下的坐标表示。
代入已知的a、b和c，我们可以得到： v = 2 * (1, 1, 1) + 1 * (0, 1, 1) + (-3) * (1, 2, 3) = (2, 2, 2) + (0, 1, 1) + (-3, -6, -9) = (-1, -3, -6)。
所以，向量v在基底B下的坐标表示为(-1, -3, -6)。
总结基变换和坐标变换是线性代数中的重要内容，它们帮助我们在不同基底之间转换向量的坐标表示。
6.3.16.3基变换与坐标变换
1. V为数域 P上的 n 维线性空间，1,2 , ,n 为V中的一 组向量， V ，若
x11 x22 xnn
则记作
(1,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
2. V为数域 P 上 n 维线性空间，1,2 , ,n ； 1, 2 , , n 为V中的两组向量，若
1 a111 a212
且由基 1,2 , ,n到1, 2 , , n 的过渡矩阵为A，
即 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
③
又由基 1, 2 , , n到1,2 , ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
基变换
(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )BA
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,
2
,
3
,
4
)
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
，
坐标变换
2 0 2 1
(1,2,3,4 ) (1, 从而有 (1,2,3,4 )
2
,
3,
4
)
1 0 1
1 2 2
1 1 2
3
1 2
1 1 1 11 2 0 2 1
(1,2
1基变换与坐标变换共34页
对于通常的多项式的加法和数乘运算不能构成线性 空间．
例4 AAm nCm n,V x C nA 0 x ,F=C，
定义与 C n中相同的运算， V 构成一个复线性空间，
叫做矩阵Ａ的零空间（或核），也叫做方程 Ax0
的解空间，记为N(A)．
例5 AAm nCm n, V y C m y A ,x x C n ,
第一章 预备知识
第一节 线性空间
➢ 定义、性质及例子 ➢ 基与维数 ➢ 基变换与坐标变换 ➢ 子空间和维数定理
一、线性空间的定义、性质及例子
定义１ 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数 域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数
运算，叫做加法，即对于任意两个元素与 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为与 的
线性表示．
定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意 有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表 出，则称S 是V 的基．
定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量．
有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n ．
Cn、Rn是 n维空间，Cmn、 Rmn是 m×n维空间，
x (i)
i
i 1
也是V中的向量，称y 是向量组 x (1 ),x (2 ), ,x (k )的一
k
个线性组合， i x (i) 叫做y 的一个线性表出． i1
例１ V x x 1 ,2 , ,n T ,i C ,F=C，又设
y 1 ,2 , ,n T V , C , 对于通常的加法和数乘
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空间 两个基 , 且有
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
２．坐标变换公式
x1 x1' x2 x2' P , xn xn '
或
用初等变换计算
B
1
A.
B
2 1 A 0 1 1 0 0 0
0 1 2 2 0 1 0 0
2 1 1 2 0 0 1 01 1 0 1
1 1 1 1
1 2 1 1 1 0 0 1
3 2
k1 k2 k3 k4 0
故 x , x x , x 1 , x 1 线性无关
3
, 是 P [ x ] 3 的一个基
.
又令 a 1 x a 2 ( x x ) a 3 ( x 1) a 4 ( x 1)
3 3 2
x 2 x 3,
x1 ' x2' xn '
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
1 , 2 , , n x1 x2 1 , 2 , , n P xn x1' x2' . xn '
高等代数§6.4 基变换与坐标变换
则
x1 x2 xn
a11 a 21 a n1
( 1 , 2 , , n ) 与 a12 a1 n x 1 a 22 a 2 n x 2 ⑥ a n 2 a nn x n x1 x2 xn
①
即，
a11 a12 a 21 a 22 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) a n1 a n 2
a1n a2n a nn
②
则称矩阵
a11 a 21 A a n1
( a 1 , a 2 , , a n ) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标就是
( a 1 , a 2 , , a n )
设 在基 1 , 2 , , n下的坐标为 ( x 1 , x 2 , , x n ) ，则
x1 x2 xn 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 a1 a1 0 a 2 a 2 a1 0 a n a n a n1 1
若 1 , 2 , , n 线性无关，则
a1 a2 ( 1 , 2 , , n ) a n b1 b2 ( 1 , 2 , , n ) b n a 1 b1 a 2 b2 a b n n
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
6.4 基变换与坐标变换
ε 2 = 0ε 1 + 1ε 2 + 0ε 3 ε 3 = 0ε 1 + 0ε 2 + 1ε 3 , ε = 1ε + 0ε + 0ε 1 2 3 1
0 0 1 A = 1 0 0 0 1 0
方法2 直接利用矩阵来计算. 方法2：直接利用矩阵来计算.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 基变换公式的矩阵形式是“形式的” 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下， 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的. 出毛病的 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ), 就是第二组基向量 εj′ 在第一组ε 1 , ε 2 , … , ε n下的 坐标. 坐标
(2)
证明： 证明： 因
线性无关, 由于 ε 1 , ε 2 , L , ε n 线性无关 故即有关系式 (2).
′ x1 x1 ′ x2 x2 ′ ′ ′ (ε1 , ε 2 , L, ε n ) = ξ = (ε1 , ε 2 , L, ε n ) M M x x′ n n ′ x1 x′ 2 = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A M x′ n
(α1 ,α 2 ,L ,α n ) A = (α1 ,α 2 ,L ,α n ) B ⇔ A = B .
二、基变换
V为数域 P上的 n 维线性空间， 为数域 上的 维线性空间， α1 ,α 2 ,L,α n 为V 中的一组线性无关向量，而 中的一组线性无关向量， 引理